ANALISIS ALIRAN DAN PERPINDAHAN PANAS FLUIDA SISKO DALAM KEADAAN STEDI NURI ANGGI NIRMALASARI

ANALISIS ALIRAN DAN PERPINDAHAN

PANAS FLUIDA SISKO DALAM

KEADAAN STEDI

NURI ANGGI NIRMALASARI

1207 100 017

BAB I

PENDAHULUAN

LATAR BELAKANG

BATASAN MASALAH

TUJUAN

MANFAAT

RUMUSAN MASALAH

LATAR BELAKANG

Fluida Sisko digunakan dalam bidang industri dan teknik Fluida Sisko merupakan fluida non-Newtonian

Sulit memprediksi perilaku fluida tersebut

Menentukan model matematika dari kecepatan aliran dan perpindahan panasnya

Menganalisis bagaimana profil kecepatan aliran dan perpindahan panas berdasarkan grafik

Menampilkan penyelesaian yang didapat dalam bentuk grafik Menyelesaikan kedua model matematika tersebut secara

RUMUSAN MASALAH

visualisasi profil kecepatan dan

perpindahan panas fluida sisko didalam pipa dalam

bentuk grafik.

Bagaimana penyelesaian numerik dari model matematika kecepatan aliran dan perpindahan panas fluida sisko dalam

pipa Bagaimana model

matematika dari kecepatan aliran dan perpindahan panas fluida sisko dalam

BATASAN MASALAH



Tipe aliran fluida sisko yang mengalir dalam pipa adalah

seragam stedi.



Model matematika dari permasalahan tersebut

diselesaikan secara numerik dengan metode beda hingga

pusat.



Diasumsikan pipa yang digunakan adalah pipa lurus

dengan panjang (L).



Penampang pipa berupa silinder dengan diameter (D)

TUJUAN

visualisasi profil kecepatan dan

perpindahan panas fluida sisko didalam pipa dalam

bentuk grafik. Menyelesaikan model

matematika kecepatan aliran dan perpindahan panas fluida sisko dalam

pipa secara numerik

Menurunkan model matematika dari kecepatan

aliran dan perpindahan panas fluida sisko dalam

MANFAAT

diharapkan dapat memberikan informasi tentang profil

kecepatan aliran dan perpindahan panas fluida sisko dalam pipa

sehingga dapat digunakan sebagai bahan pengetahuan untuk

mengembangkan aplikasinya

untuk mengetahui bagaimana peran metode beda hingga

dalam menyelesaikan masalah yang terjadi di bidang teknik

BAGI BIDANG TEKNIK DAN INDUSTRI

BAB II

TINJAUAN PUSTAKA

Fluida merupakan zat yang berubah bentuk secara kontinu, bila terkena tegangan geser. Fluida terdiri dari 2 macam yaitu fluida cair ( tak mampu-mampat) dan fluida gas (mampu-mampat). Pada fluida cair terdapat viskositas, yaitu sifat dari fluida untuk melawan tegangan geser pada waktu mengalir.

Untuk fluida pada umumnya, tegangan geser dan lau regangan geser (gradien kecepatan) dapat dikaitkan dalam suatu hubungan sebagai berikut, (Munson, 2004):

•

dimana : 𝜏 = tegangan geser

𝜇 = kekentalan (viskositas) 𝛾 = laju regangan geser

FLUIDA

Karakteristik Fluida Fluida Cair Non-Newtonian Newtonian Shear tickening Bingham plastic Shear thinning 𝜏 >, 𝜇 > 𝜏 >, 𝜇 < 𝜏 = 𝜇𝛾 𝜏 = 𝜇𝛾 +a

Fluida Sisko

Fluida Sisko termasuk dalam karakteristik Bingham Plastic, yang pada beberapa kasus dialirkan dalam pipa annulus, yaitu pipa yang terdiri dari pipa luar dan pipa dalam dengan pusat jari-jari adalah sama. Tensor teganga fluida sisko sbb (M.Khan, 2010):

dengan 𝑆 = 𝑎 + 𝑏 1₂𝑡𝑟 𝐴₁2 𝑛−1 𝐴₁ 𝐴₁ = 𝐿 + 𝐿𝑇, 𝐿 = 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑉 Dimana: 𝑻 : Tensor tegangan 𝑝 ∶ tekanan

𝑺 ∶ tegangan geser pada fluida sisko a, b : Parameter material

n : Power index, termasuk sebagai parameter material 𝑉 : Kecepatan, 𝑉=v(r)

T : Temperatur, T=T(r)

Koordinat Polar

Tempat kedudukan sebuah titik ditunjukkan oleh koordinat-koordinat 𝑟, 𝜃 dan 𝑧. 𝑟 = jarak radial dari sumbu- 𝑧

𝜃 = sudut yang diukur dari garis sejajar sumbu- x 𝑧 = koordinat sepanjang sumbu-z

Misal pada kecepatan, komponen-komponennya adalah: 𝑣_𝑟 = kecepatan radial

𝑣_𝜃 = kecepatan tangensial 𝑣_𝑧 = kecepatan aksial

Sehingga kecepatan pada sebuah titik, dinyatakan:

Dimana:

𝒆 _𝒓 = vektor arah 𝒓

𝒆 _𝜽 = vektor arah 𝜽

𝒆 _𝒛 = vektor arah 𝒛

Persamaan Kontinuitas

Hukum kekekalan massa:

Dimana:

• 𝜌 : kerapatan fluida

• 𝑉 : komponen kecepatan fluida yang tegak lurus bidang 𝐴 Pada aliran steady state

Dalam keadaan steady 𝜌. 𝐴𝑉. 𝑛 = 0 𝛻. 𝜌. 𝐴𝑉. 𝑛 = 𝛻. 0

𝛻. 𝑉 = 0 ………..Persamaan kontinuitas Dalam koordinat polar silinder:

𝜕 𝜕𝑡 𝜌 𝑑∀ + 𝜌. 𝐴𝑉. 𝑛 = 0 1 𝑟 𝜕(𝑟𝑣_𝑟) 𝜕𝑟 + 1 𝑟 𝜕𝑣_𝜃 𝜕𝜃 + 𝜕𝑣_𝑧 𝜕𝑧=0

Persamaan Momentum Linier

Berdasarkan pergerakan fluida, dijelask+an oleh persamaan Navier-Stokes, yaitu:

𝜌𝑑𝑉

𝑑𝑡 = 𝛻. 𝑻

Pada fluida Newtonian yang mengalir dalam pipa pada arah-z (sejajar dinding), persamaan diatas menjadi:

ρ 𝜕𝑣𝑧 𝜕𝑡 +𝑣𝑟 𝜕𝑣_𝑧 𝜕𝑟 + 𝑣_𝜃 𝑟 𝜕𝑣_𝜃 𝜕𝜃 +𝑣𝑧 𝜕𝑣_𝑧 𝜕𝑧 = − 𝜕𝑝 𝜕𝑧 + ρ𝑔 + 𝜇 1 𝑟 𝜕 𝜕𝑟 𝑟 𝜕𝑣_𝑧 𝜕𝑟 + 1 𝑟2 𝜕2𝑣_𝑧 𝜕𝜃2 + 𝜕2𝑣_𝑧 𝜕𝑧2 𝜕 𝜕𝑡 𝜌 𝑉 𝑑∀ + 𝜌. 𝐴𝑉2. 𝑛 = 𝑔𝑎𝑦𝑎 − 𝑔𝑎𝑦𝑎 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑏𝑒𝑘𝑒𝑟𝑗𝑎

Aliran fluida dalam pipa annulus

Kecepatan aliran dalam pipa diasumsikan sebagai berikut:

Aliran sejajar dengan dinding sehingga 𝑣_𝑟 = 0 dan 𝑣_𝜃 = 0 akibatnya 𝜕𝑣_𝜕𝑧𝑧 = 0 (berdasarkan persamaan kontinuitas). Selain itu pada keadaan steady 𝜕𝑣_𝜕𝑡𝑧 =0, dengan demikian persamaan Navier-Stokes menjadi:

Dengan kondisi batas 𝑣_𝑧 = 0 pada 𝑟 = 𝑟₀ 𝑣_𝑧 = 𝑣₁ pada 𝑟 = 𝑟₁ Dimana :

𝑟₀ adalah jari-jari silinder dalam

𝑣₁ dan 𝑟₁merupakan kecepatan dan jari-jari silinder luar

0 = −𝜕𝑝 𝜕𝑧 + 𝜇 1 𝑟 𝜕 𝜕𝑟 𝑟 𝜕𝑣_𝑧 𝜕𝑟

Persamaan Distribusi Panas pada aliran fluida

Persamaan secara umum (Lienhard, 2005):

Sedangkan pada fluida sisko dinyatakan sebagai berikut:

Dimana:

• 𝜌 adalah densitas,

• 𝐶_𝑝 adalah kapasitas panas pada tekanan konstan,

• 𝑞 adalah fluks panas yang persamaannya ditentukan sebagai berikut: 𝑞 = −𝑘 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑇

𝜌𝐶_𝑝 𝜕𝑇

𝜕𝑡 = 𝛻. 𝑘𝛻𝑇 + 𝑞

𝜌𝐶_𝑝 𝜕𝑇

Metode Beda Hingga

Deret Taylor:

• 𝑢(𝑥₀ + ℎ) = 𝑢 𝑥₀ + ℎ. 𝑢 𝑥₀ + ℎ_2!2𝑢 𝑥₀ + … + ℎ_𝑛!𝑛 𝑢 𝑥₀ + 𝑅_𝑛

• 𝑢 𝑥₀ − ℎ = 𝑢 𝑥₀ − ℎ. 𝑢 𝑥₀ + ℎ_2!2𝑢 𝑥₀ − ⋯ + ℎ_𝑛!𝑛 𝑢 𝑥₀ + 𝑅_𝑛 Didapat pendekatan turunan pertama metode beda hingga pusat:

Pendkatan turunan kedua:

𝑑𝑢 𝑥₀ 𝑑𝑥 ≈ 𝑢 𝑥₀ + ℎ − 𝑢 𝑥₀ − ℎ 2ℎ 𝑑𝑢2 𝑥₀ 𝑑𝑥2 ≈ 𝑢 𝑥₀ + ℎ − 2𝑢 𝑥₀ + 𝑢 𝑥₀ − ℎ ℎ2

BAB III

PROSEDUR KERJA

Studi Literatur

Model kecepatan aliran Model perpindahan panas

Persamaan diferensial, n=1 Didapat kecepatan secara numerik Persamaan diferensial, n=0 Persamaan diferensial, n=1 Persamaan diferensial, n=0 Didapat temperatur secara numerik Didapat temperatur secara numerik Didapat kecepatan secara numerik

Setiap penyelesaian divisualisasikan dalam bentuk grafik

Analisis profil kecepatan berdasarkan nilai b yang

bervariasi

Analisis distribusi temperatur berdasarkan

nilai b dan Br yang bervariasi

Membandingkan profil kecepatan dan distribusi temperatur antara Fluida Sisko

BAB IV

PEMODELAN DAN PENYELESAIAN

NUMERIK

• Model didapat dengan menurunkan persamaan kontinuitas, momentum linier, dan perpindahan panas yang dipengaruhi oleh gradient kecepatan dan gaya-gaya pada fluida sisko

4.1 Model kecepatan

aliran

Persamaan aliran dalam pipa 0 = −𝜕𝑝_𝜕𝑧 + 𝜇 1_𝑟𝜕𝑟𝜕 𝑟𝜕𝑣𝑧 𝜕𝑟 𝜕𝑝 𝜕𝑧 = 1 𝑟 𝜕 𝜕𝑟 𝑟. 𝜇 𝜕𝑣_𝑧 𝜕𝑟 𝜕𝑝 𝜕𝑧 = 1 𝑟 𝑑 𝑑𝑟 𝑟𝑺𝑟𝑧 𝜇𝜕𝑣𝑧 𝜕𝑟 = 𝜏𝑟𝑧 (tegangan geser fluida newtonian)

𝑺_𝑟𝑧 (tegangan geser fluida sisko)

 𝑑𝑝_𝑑𝑧 : gradient kecepatan

 𝑟 : jari-jari penampang pipa  𝑎, 𝑏 : parameter material

 𝑣 : fungsi kecepatan terhadap jari-jari

𝑑𝑝 = 𝜕𝑝 𝜕𝑟𝑑𝑟 + 1 𝑟 𝜕𝑝 𝜕𝜃𝑑𝜃 + 𝜕𝑝 𝜕𝑧𝑑𝑧 Dimana, 𝜕𝑝 𝜕𝑟 = 𝜕𝑝 𝜕𝜃 = 0, sehingga 𝑑𝑝 𝑑𝑧 = 𝜕𝑝 𝜕𝑧

Persamaan Kecepatan Aliran : 𝑑𝑝

𝑑𝑧 = 1 𝑟 𝑑 𝑑𝑟 𝑟𝑺 dengan 𝑺 = 𝑎 + 𝑏 𝑑𝑣_𝑑𝑟 𝑛−1 𝑑𝑣 𝑑𝑟

Persamaan diferensial Kecepatan Aliran fluida sisko

𝑑𝑝 𝑑𝑧 = 1 𝑟 𝑑 𝑑𝑟 𝑟 𝑎 + 𝑏 𝑑𝑣 𝑑𝑟 𝑛−1 _𝑑𝑣 𝑑𝑟 Dimana :

4.2 Model Distribusi

panas

Persamaan Distribusi Panas: 𝜌𝐶_𝑝 𝑑𝑇 𝑑𝑡 = 𝑻. 𝑳 − 𝑑𝑖𝑣 𝑞 𝜌𝐶_𝑝𝑑𝑇 𝑑𝑡 = (−𝑝𝑰 + 𝑺). 𝑑𝑣 𝑑𝑟 + 𝑘 𝛻2𝑇 𝑞 = −𝑘 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑇 𝑻 = −𝑝𝑰 + 𝑺 𝐿 = 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑉 (−𝑝𝑰 + 𝑺).𝑑𝑣_𝑑𝑟 + 𝑘 𝛻2𝑇= 0 Steady

Persamaan diferensial Distribusi panas fluida sisko T=T(r) 𝑘 𝑟 𝑑 𝑑𝑟 𝑟 𝑑𝑇 𝑑𝑟 + 𝑎 + 𝑏 𝑑𝑣 𝑑𝑟 𝑛−1 𝑑𝑣 𝑑𝑟 2 = 0

Model Kecepatan aliran dan Perpindahan panas non-dimensional • Variabel-variabel non-dimensional 𝑟∗ = 𝑟 𝑟₀, 𝑧∗ = 𝑧 𝑧₀, 𝑣∗ = 𝑣 𝑣₁, 𝑏∗ = 𝑏 𝑎 𝑣₁ 𝑟₀ 𝑛−1 , 𝑝∗ ₌ 𝑝 𝑎𝑣₁ 𝑟₀ , 𝑇∗ = 𝑇 − 𝑇₀ 𝑇₁ − 𝑇₀, 𝐸𝑐 = 𝑣₁2 𝑐_𝑝 𝑇₀ − 𝑇₁ , 𝑃_𝑟 = 𝑎𝑐_𝑘𝑝 , 𝐵_𝑟 = 𝑃_𝑟𝐸_𝑐 1 𝑟 𝑑 𝑑𝑟 𝑟 𝑑𝑇 𝑑𝑟 + 𝐵𝑟 1 + 𝑏 𝑑𝑣 𝑑𝑟 𝑛−1 𝑑𝑣 𝑑𝑟 2 = 0 𝑑𝑝 𝑑𝑧 = 𝑑 𝑑𝑟 1 + 𝑏 𝑑𝑣 𝑑𝑟 𝑛−1 _𝑑𝑣 𝑑𝑟 + + 1 𝑟 1 + 𝑏 𝑑𝑣 𝑑𝑟 𝑛−1 _𝑑𝑣 𝑑𝑟 Model matematika

Kecepatan aliran fluida sisko

Model matematika Distribusi panas fluida sisko

Penyelesaian Numerik model matematika kecepatan aliran

Akan dibandingkan bagaimana profil kecepatan dengan power index n=0 dan n=1

Dengan : 𝑟_𝑖 = 1 + 𝑖∆𝑟, dimana ∆𝑟 = 𝑑 − 1 𝑁 Atau bisa ditulis

Didapat skema numerik untuk i= 1,2,3,…,N-1

Dengan: 𝑝 = _2∆𝑟1 dan 𝑞_𝑖 = _{1+𝑖∆𝑟}1 n=0 _𝑑2_𝑣 𝑑𝑟2 + 1 𝑟 𝑑𝑣 𝑑𝑟 + 𝑏 𝑟 = 𝑑𝑝 𝑑𝑧 Skema numerik dengan metode beda hingga pusat

𝑣_𝑖+1 − 2𝑣_𝑖 + 𝑣_𝑖−1 (∆𝑟)2 + 1 𝑟_𝑖 𝑣_𝑖+1 + 𝑣_𝑖−1 2∆𝑟 + 𝑏 𝑟_𝑖 = 𝑑𝑝 𝑑𝑧 1 ∆𝑟2+ 1 2(1 + 𝑖∆𝑟)∆𝑟 𝑣𝑖+1− 2 ∆𝑟2 𝑣𝑖 + 1 ∆𝑟2 − 1 2 1 + 𝑖∆𝑟 ∆𝑟 𝑣𝑖−1 = 𝑑𝑝 𝑑𝑧 − 𝑏. 𝑞𝑖 4𝑝2 _{+ 𝑝𝑞} 𝑖 𝑣𝑖+1− 8𝑝2 𝑣𝑖 + 4𝑝2− 𝑝𝑞𝑖 𝑣𝑖−1 = 𝑑𝑝 𝑑𝑧 − 𝑏. 𝑞𝑖

Didapat matriks penyelesaian sebagai berikut: − 8𝑝2 4𝑝2_{− 𝑝𝑞} 2 4𝑝2_{+ 𝑝𝑞} 1 − 8𝑝2 0 0 4𝑝 2_{− 𝑝𝑞} 3 0 ⋱ 0 ⋱0 0 4𝑝2_{+ 𝑝𝑞} 2 0 0 − 8𝑝2 4𝑝2_{− 𝑝𝑞} 4 4𝑝2_{+ 𝑝𝑞} 3 − 8𝑝2 ⋱ 0 ⋱0 0 0 … ⋱ 0 4𝑝2_{+ 𝑝𝑞} 4 ⋱ ⋱ ⋱ 0 …⋱ 0 0 00 0 0 00 ⋱ 4𝑝2_{− 𝑝𝑞} 𝑛−1 ⋱ − 8𝑝2 𝑣1 𝑣2 𝑣3 𝑣4 ⋮ 𝑣𝑛−1 = 𝑑𝑝/𝑑𝑧 𝑑𝑝/𝑑𝑧 𝑑𝑝/𝑑𝑧 𝑑𝑝/𝑑𝑧 ⋮ 𝑑𝑝/𝑑𝑧 − 4𝑝2_{+ 𝑝𝑞} 𝑛−1 − 𝑏 𝑞1 𝑞2 𝑞3 𝑞4 ⋮ 𝑞𝑛−1

Dengan cara dan definisi yang sama dengan yang dikenakan pada n=0, didapat skema numerik :

Dan dinyatakan dalam bentuk matriks sebagai berikut:

• − 8𝑝2 4𝑝2 _{− 𝑝𝑞} 2 4𝑝2 _{+ 𝑝𝑞} 1 − 8𝑝2 0 0 4𝑝 2_{− 𝑝𝑞} 3 0 ⋱ 0 ⋱0 0 4𝑝2_{+ 𝑝𝑞} 2 0 0 − 8𝑝2 4𝑝2_{− 𝑝𝑞} 4 4𝑝2_{+ 𝑝𝑞} 3 − 8𝑝2 ⋱ 0 ⋱0 0 0 … ⋱ 0 4𝑝2 _{+ 𝑝𝑞} 4 ⋱ ⋱ ⋱ 0 …⋱ 0 0 00 0 0 00 ⋱ 4𝑝2_{− 𝑝𝑞} 𝑛−1 ⋱ − 8𝑝2 𝑣₁ 𝑣₂ 𝑣₃ 𝑣₄ ⋮ 𝑣_𝑛−1 • =_1+𝑏1 𝑑𝑝/𝑑𝑧 𝑑𝑝/𝑑𝑧 𝑑𝑝/𝑑𝑧 𝑑𝑝/𝑑𝑧 ⋮ 𝑑𝑝/𝑑𝑧 − 0 0 0 0 ⋮ 4𝑝2_{+ 𝑝𝑞} 𝑛−1 n=1 𝑑2𝑣 𝑑𝑟2 + 1 𝑟 𝑑𝑣 𝑑𝑟 = 1 1 + 𝑏 𝑑𝑝 𝑑𝑧 4𝑝2 _{+ 𝑝𝑞} 𝑖 𝑣𝑖+1− 8𝑝2 𝑣𝑖 + 4𝑝2− 𝑝𝑞𝑖 𝑣𝑖−1 = 1 1 + 𝑏. 𝑑𝑝 𝑑𝑧

Dengan 𝑣 bergantung pada penyelesaian sebelumnya, selanjutnya penyelesaian dalam bentuk matriks • − 8𝑝2 4𝑝2_{− 𝑝𝑞} 2 4𝑝2_{+ 𝑝𝑞} 1 − 8𝑝2 0 0 4𝑝 2_{− 𝑝𝑞} 3 0 ⋱ 0 ⋱0 0 4𝑝2_{+ 𝑝𝑞} 2 0 0 − 8𝑝2 4𝑝2_{− 𝑝𝑞} 4 4𝑝2_{+ 𝑝𝑞} 3 − 8𝑝2 ⋱ 0 ⋱0 0 0 … ⋱ 0 4𝑝2_{+ 𝑝𝑞} 4 ⋱ ⋱ ⋱ 0 ⋱ … 0 0 00 0 0 0 0 ⋱ 4𝑝2_{− 𝑝𝑞} 𝑛−1 ⋱ − 8𝑝2 𝑇1 𝑇2 𝑇3 𝑇₄ ⋮ 𝑇𝑛−1 • = −𝐵_𝑟 𝑝(𝑣2) 2 𝑝(𝑣₃− 𝑣₁) 2 𝑝(𝑣4− 𝑣2) 2 𝑝(𝑣₅− 𝑣₃) 2 ⋮ 𝑝(1 − 𝑣𝑛−2) 2 − 𝐵_𝑟. 𝑏 𝑝(𝑣2) 𝑝(𝑣₃− 𝑣₁) 𝑝(𝑣4− 𝑣2) 𝑝(𝑣5− 𝑣3) ⋮ 𝑝(1 − 𝑣_𝑛−2) − 0 0 0 0 ⋮ 4𝑝2_{+ 𝑝𝑞} 𝑛−1

Penyelesaian Numerik model matematika distribusi panas

n=0 1_𝑟𝑑𝑟𝑑 𝑟𝑑𝑇 𝑑𝑟 + 𝐵𝑟 𝑑𝑣 𝑑𝑟 + 𝑏 𝑑𝑣 𝑑𝑟 = 0

Skema numerik dengan metode beda hingga pusat, untuk i=1,2,3,…,N-1 4𝑝2 + 𝑝𝑞_𝑖 𝑇_𝑖+1 − 8𝑝2 𝑇_𝑖 + 4𝑝2 − 𝑝𝑞_𝑖 𝑇_𝑖−1 = − 𝐵_𝑟 𝑣𝑖+1−𝑣𝑖−1 2∆𝑟 2 + 𝑏 𝑣𝑖+1−𝑣𝑖−1 2∆𝑟

n=1

Skema numerik dengan metode beda hingga pusat, untuk i=1,2,3,…,N-1

𝑣 bergantung pada penyelesaian model kecepatan aliran untuk n=1, sehingga didapat matriks sebagai berikut:

• − 8𝑝2 4𝑝2_{− 𝑝𝑞} 2 4𝑝2_{+ 𝑝𝑞} 1 − 8𝑝2 0 0 4𝑝 2_{− 𝑝𝑞} 3 0 ⋱ 0 ⋱0 0 4𝑝2_{+ 𝑝𝑞} 2 0 0 − 8𝑝2 4𝑝2_{− 𝑝𝑞} 4 4𝑝2_{+ 𝑝𝑞} 3 − 8𝑝2 ⋱ 0 ⋱0 0 0 … ⋱ 0 4𝑝2_{+ 𝑝𝑞} 4 ⋱ ⋱ ⋱ 0 ⋱ … 0 0 00 0 0 00 ⋱ 4𝑝2_{− 𝑝𝑞} 𝑛−1 ⋱ − 8𝑝2 𝑇1 𝑇₂ 𝑇₃ 𝑇4 ⋮ 𝑇_𝑛−1 • = −𝐵𝑟(1 + 𝑏) 𝑝(𝑣2) 2 𝑝(𝑣₃− 𝑣₁) 2 𝑝(𝑣4− 𝑣2) 2 𝑝(𝑣₅− 𝑣₃) 2 ⋮ 𝑝(1 − 𝑣_𝑛−2) 2 − 0 0 0 0 ⋮ 4𝑝2_{+ 𝑝𝑞} 𝑛−1 1 𝑟 𝑑 𝑑𝑟 𝑟 𝑑𝑇 𝑑𝑟 + 𝐵𝑟 1 + 𝑏 𝑑𝑣 𝑑𝑟 2 = 0 4𝑝2 _{+ 𝑝𝑞} 𝑖 𝑇𝑖+1 − 8𝑝2 𝑇𝑖 + 4𝑝2 − 𝑝𝑞𝑖 𝑇𝑖−1 = −𝐵_𝑟 1 + 𝑏 𝑣𝑖+1 − 𝑣𝑖−1 2∆𝑟 2

BAB V

VISUALISASI DAN PEMBAHASAN

Algoritma program:

• Mendefinisikan parameter-parameter yang dibutuhkan.

• Mendefinisiskan kondisi batas yang telah ditentukan pada bab 4.

• Memasukkan kondisi batas ke dalam skema numerik penyelesaian model matematika kecepatan aliran, yaitu persamaan .

• Skema numerik yang berupa matrik tridiagonal diselesaikan, sehingga didapat nilai kecepatan pada titik-titik sepanjang jari-jari pipa.

• Selanjutnya nilai kecepatan dimasukkan ke dalam skema numerik penyelesaian model matematika perpindahan panas yaitu persamaan

• Selanjutnya dihitung nilai error berdasarkan penyelesaian numerik dan penyelesaian eksak.

Grafik kecepatan aliran

Gradien tekanan 𝑑𝑝_𝑑𝑧 = −0.4. dengan variasi parameter material 𝑏 = 0 untuk fluida Newtonian, dan 𝑏 = 0.2, 0.5 dan 0.8 untuk fluida Sisko. Berdasarkan grafik akan dianalisis distribusi kecepatan untuk banyak pendiskritan dan jari-jari silinder luar yang berbeda-beda, sebagai berikut:

𝑁 = 50 dan 𝑑 = 10 𝑁 = 150 dan 𝑑 = 10

𝑁 = 150 dan 𝑑 = 20

 Pada gambar (5.2) terlihat kecepatan disekitar jari-jari masih belum mendekati satu, sedangkan pada gambar (5.3) kecepatan mendekati 1 pada jari-jari dsekitar 20

 semakin besar nilai b maka kecepatan aliran fluida semakin besar

Grafik Kecepatan Aliran

Gradien tekanan 𝑑𝑝_𝑑𝑧 = −0.4. dengan variasi parameter material 𝑏 = 0 untuk fluida Newtonian, dan 𝑏 = 0.2, 0.5 dan 0.8 untuk fluida Sisko. Berdasarkan grafik akan dianalisis distribusi kecepatan untuk banyak pendiskritan dan jari-jari silinder luar yang berbeda-beda, sebagai berikut:

𝑁 = 50 dan 𝑑 = 10 𝑁 = 150 dan 𝑑 = 10

𝑁 = 150 dan 𝑑 = 20

Berbeda dengan distribusi kecepatan dengan power index 𝑛 = 0, dari grafik dapat disimpulkan bahwa untuk power index 𝑛 = 1, kecepatan aliran pada fluida sisko lebih kecil dibandingkan fluida Newtonian, atau dengan kata lain semakin besar nilai b, maka kecepatan aliran semakin kecil

Grafik Distribusi Panas

Gradien tekanan 𝑑𝑝_𝑑𝑧 = −0.4 dan bilangan Brinkman 1, dengan variasi parameter material 𝑏 = 0 untuk fluida Newtonian, dan 𝑏 = 0.2, 0.5 dan 0.8 untuk fluida Sisko. Berdasarkan grafik akan dianalisis distribusi panas untuk banyak pendiskritan dan jari-jari silinder luar yang berbeda-beda, sebagai berikut:

𝑁 = 50 dan 𝑑 = 10 𝑁 = 150 dan 𝑑 = 10

𝑁 = 150 dan 𝑑 = 20

Dengan memberikan nilai parameter material yang berbeda-beda terlihat bahwa semakin besar nilai b yang diberikan maka distribusi temparatur semakin besar, yang berarti pada distribusi panas, temperatur fluida sisko lebih besar dari temperatur fluida Newtonian.

Grafik Distribusi Panas

Gradien tekanan 𝑑𝑝_𝑑𝑧 = −0.4 dan bilangan Brinkman 1, dengan variasi

parameter material 𝑏 = 0 untuk fluida Newtonian, dan 𝑏 = 0.2, 0.5 dan 0.8 untuk fluida Sisko. Berdasarkan grafik akan dianalisis distribusi panas untuk banyak pendiskritan dan jari-jari silinder luar yang berbeda-beda, sebagai berikut:

𝑁 = 50 dan 𝑑 = 10 𝑁 = 150 dan 𝑑 = 10

𝑁 = 150 dan 𝑑 = 20

Dari grafik distribusi temperatur diatas terlihat bahwa gafik yang dihasilkan tidak berbeda dengan grafik distribusi temperatur untuk power index 𝑛 = 0, berbeda dengan distribusi kecepatan aliran, untuk distribusi panas dengan

power index 𝑛 = 0 dan power index 𝑛 = 1, temperataur

semakin tinggi untuk nilai parameter material b yang lebih besar.

Analisis distribusi panas berdasarkan bilangan Brinkman

Grafik distribusi panas, dengan variasi bilangan Brinkman:

Bilangan Brinkman merupakan bilangan yang mempengaruhi besarnya temperatur pada fluida. Dari grafik distribusi panas pada gambar diatas terlihat bahwa semakin besar bilangan Brinkman yang diberikan, maka temperatur fluida sisko semakin besar.

BAB VI

SIMPULAN

Kesimpulan

𝐝 𝐝𝐫 𝟏 + 𝐛 𝐝𝐰 𝐝𝐫 𝐧−𝟏 𝐝𝐰 𝐝𝐫 + 𝟏 𝐫 𝟏 + 𝐛 𝐝𝐰 𝐝𝐫 𝐧−𝟏 𝐝𝐰 𝐝𝐫 = 𝐝𝐩 𝐝𝐳 Model Kecepatan Aliran Model Perpindahan Panas 𝟏 𝒓 𝒅 𝒅𝒓 𝒓 𝒅𝑻 𝒅𝒓 + 𝑩𝒓 𝟏 + 𝒃 𝒅𝒘 𝒅𝒓 𝒏−𝟏 𝒅𝒘 𝒅𝒓 𝟐 = 𝟎 Dari grafik

disimpulkan bahwa a. Untuk Power index n=0, kecepatan aliran fluida sisko lebih _{besar daripada fluida Newtonian, atau semakin besar nilai} b, kecepatan semakin besar, begitu juga dengan

temperatur.

b. Untuk power index n=1, semakin besar nilai parameter b, kecepatan aliran semakin kecil, namun temperatur

semakin tinggi.

c. Semakin besar bilangan Brinkman yang diberikan, temparatur semakin tinggi

Saran

1. Pada Tugas Akhir ini analisis yang dilakukan menggunakan asumsi bahwa aliran fluida sisko dalam pipa annulus dalam keadaan steady, selanjutnya dapat dikembangkan penelitian untuk menganalisis profil kecepatan aliran dan perpindahan panas fluida sisko dalam pipa dalam keadaan unsteady. 2. Tugas Akhir ini masih bersifat analitis pada tahap pemodelan dan numerik

untuk penyelesaiannya, belum ada data laboraturium yang dipakai sebagai pembanding. Diharapkan kedepannya bisa dilakukan uji laboraturium

sehingga model tersebut dapat diterapkan di lapangan.

DAFTAR PUSTAKA

Abdia, Gunaidi. 2006. Matlab Programming. Bandung: Informatika

Alfijar, Julian. Mekanika Fluida II.

http://alfijar.files.wordpress.com/2008/01/pertemuan-iii-dan-iii.ppt-Mirip. Diakses pada tanggal 1 Maret 2011 pukul 11.00 WIB.

Arhami, Muhammad dan Desiani, Anita. 2005. Pemrograman Matlab. Yogyakarta: ANDI. Khan, M. et. al. 2010. Steady Flow and Heat Transfer of a Sisko Fluid In Annular Pipe.

Journal of Heat and Mass Transfer. 53: 1290-1297. Departmen of Mathematics, Pakistan.

Lienhard IV, John H dan Lienhard V, John H. 2005. A Heat Transfer Textbook. University of Houston. USA.

Munson, Bruce R. et. al. 2004. Mekanika Fluida. Edisi Keempat Harinaldi dan Budiarso, penerjemah. Jakarta: Erlangga. Terjemahan dari: Fundamental of Fluid

Mechanics.

Sajid, M and Hayat, T. 2008. Wire Coating Analysis by Withdrawal From A Bath of Sisko

Fluid. Journal of Applied Mathematics and Computation. 199: 13-22.

Departmen of Mathematics, Pakistan

Saragi, Elfrida. Solusi Analitik dan Numerik Konduksi Panas Pada Pembangkit Energi. http://www.batan.go.id/ppin/lokakarya/LKSTN_10/Elfrida-.pdf. Diakses pada tanggal 2 Maret 2011 pukul 12.00 WIB.

Siddiq, A.m. et. al. 2009. On Taylor’s Scraping Problem and Flow of A Sisko Fluid.

Journal of Mathe matical Modelling and Analysis. 14: 515-529. Department of Mthematics, York Campus, York, PA 17403, USA.

Streeter, Victor L and Wylie, E Benjamin. 1999. Mekanika Fluida. Edisi Delapan Arko Prijono, penerjemah. Jakarta: Erlangga. Terjemahan dari: Fluid Mechanics Sweet, Erik. 2003. Analytical and Numerical Solutions of Differential Equations Arising

In Fluid Flow and Heat Transfer Problems. University of Central Florida

Orlando, Florida.

Ruwanto, Bambang. 2003. Matematika Untuk Fisika dan Teknik. Yogyakarta: Adicita Karya Nusa.