METODE PENDEKATAN SKYRME-EXTENDED-THOMAS -FERMI UNTUK PERHITUNGAN POTENSIAL REAKSI FUSI ANTARA DUA INTI 16 O. Muhammad Zamrun F. *

METODE PENDEKATAN SKYRME-EXTENDED-THOMAS-FERMI UNTUK PERHITUNGAN POTENSIAL REAKSI FUSI ANTARA DUA INTI 16O

Muhammad Zamrun F. *

ABSTRAK

METODE PENDEKATAN SKYRME-EXTENDED-THOMAS -FERMI UNTUK PERHITUNGAN POTENS IAL REAKSI FUSI ANTARA DUA INTI 16O. Densitas dari proton dan netron untuk inti 16O telah dihitung dengan menggunakan metode variasi dari formalisme densitas energi untuk interaksi Skyrme. Dalam formalisme ini, metode pendekatan Extended-Thomas-Fermi (ETF) dipakai untuk menghitung densitas energi kinetik dan densitas spin-orbit. Densitas proton dan densitas netron yang diperoleh sangat mirip dengan densitas-densitas yang dihasilkan melalui perhitungnan eksak menggunakan metode Skyrme-Hartree-Fock. Dengan menggunakan densitas dari proton dan netron ini, potential inti untuk reaksi fusi 16_O+16_{O juga telah dihitung dengan metode pendekatan sesaat (sudden}

approximation) bagi formalisme densitas energi. Hasil yang yang diperoleh dibandingkan dengan

potensial yang dihitung dengan metode yang diperkenalkan oleh Akyuz -Winther. Dari hasil yang diperoleh tampak bahwa kedua potensial sangat mirip satu sama lain terutama kemiringan dan daerah permukannya.

Kata-kata kunci: Densitas, Skyrme, Thomas-Fermi, Hartree-Fock, potensial, reaksi fusi

ABSTRACT

EXTENDED-THOMAS -FERMI METHOD USING FOR CALCULATING THE FUSION POTENTIAL OF NUCLEAR REACTION BETWEEN TWO 160 NUCLEI. The densities of proton and neutron of 16_{O have been calculated using variational method for the energy density formalism of}

Skyrme interaction. In this formalism, we use the so-called Extended-Thomas-Fermi (ETF) approach to estimate the kinetic energy and spin orbit densities. The obtained density of proton and neutron are similar to the one obtained with the exact Skyrme-Hartree-Fock calculations. Using these densities, the inter-nuclear potential for heavy-ion fusion reaction of 16_O+16_{O has also been determined using the}

sudden approximation of energy density formalism. The obtained potential is then compared with the potential calculated using the method proposed by Akyuz -Winther. It is shown that the potentials resemble to each other especially its slope and surface region.

Keywords: Densities, Skyrme, Thomas-Fermi, Hartree-Fock, inter-nuclear potential, fusion reaction

PENDAHULUAN

Potensial antara dua buah inti atom adalah bagian terpenting yang harus diketahui untuk mempelajari dinamika reaksi inti-inti berat. Model yang sangat familiar dan sering digunakan untuk menghitung potensial ini adalah Double Folding

knock-on exchange. Oleh karena itu, model ini tidak memperhitungkan sepenuhnya

efek dari sifat kejenuhan (saturation property) material inti.

Oleh karena rekasi fusi antara dua inti sangat berhubungan dengan daerah di dalam tanggul Coulomb, dimana dua buah inti saling overlap satu sama lain, maka sifat kejenuhan material inti memiliki peran yang sangat penting [3]. Sebenarnya ada sebuah model untuk menghitung potential antar inti-inti berat yang sepenuhnya memperhatikan secara konsisten efek dari sifat kejenuhan material inti yaitu Formalisme densitas energi (energy density formalism) [4-10]. Model ini pertama kali diperkenalkan oleh Brueckner [4] dan dikembangkan lebih lanjut oleh Brink dan Stancu dengan menggunakan densitas energi Skyrme [6-8] serta oleh Dobrwolski dkk dengan menggunakan pendekatan semiklasik yaitu model Extended Thomas-Fermi (ETF) [9]. Aplikasi model ini dalam menjelaskan reaksi fusi telah dijabarkan oleh Min liu ddk [10] serta zamrun dkk [11].

Dalam kontribusi ini, densitas-densitas proton dan netron dari 16O akan ditentukan secara numerik dengan metode variasi dari densitas energi Skyrme. Densitas-densitas ini kemudian dipakai untuk menghitung potensial inti untuk reaksi fusi 16O+16O menggunakan formalisme densitas energi secara numerik dengan bahasa pemograman FORTRAN.

METODOLOGI

Potential antara dua buah inti yang berekasi menurut formalisme densitas energi dapat dihitung sebagai berikut [10] (lihat Gambar 1 untuk definisi koordinat dari inti target dan proyektil )

∫

∫

∫

− −

= nuc P₊T nuc T T T nuc P P P

nuc(R) [ (r;R)]dr [ (r )]dr [ (r )]dr

V

ε

ρ

  

ε

ρ

 

ε

ρ

  (1)

dengan εnuc adalah densitas energi,

ρ

P(T) adalah densitas dari dari target (T) dan poyektil (P), dan R adalah jarak antara inti target dan inti proyektil. Suku pertama mewakili total energi dari sistem yang terdiri dari inti target dan proyektil dan berjarak

R satu sama lain. Densitasnya diasumsikan sebagai P T(r;R) P(r) T(r R)      _{= + −} + ρ ρ ρ

yaitu densitas inti target ditambah dengan densitas inti proyektil. Suku kedua dan ketiga berturut-turut adalah energi total dari inti target dan inti proyektil.

Gambar 1. Defini koordinat antara inti target dan inti proyektil.

Fungsional densitas energi,

ε

_nuc, yang berkaitan dengan interaksi Skyrme diberikan sebagai

(

)

(

)

( )

( )

(

)

[

]

(

p n

)

[

p p n n

]

n p p p n n n p J J J W x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t m r ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ τ ρ τ ρ ρτ ρ ρ ρ τ ε α _{+ •∇ + •∇ + •∇}       ₊       ₊ −       ₊ + ∇ + ∇             ₊ +       ₊ − ∇             ₊ −       ₊ + +             ₊ −       ₊ −             ₊ +       ₊ + +       ₊ −       ₊ + =      2 2 1 12 2 1 12 2 1 2 1 3 16 1 2 1 2 1 3 16 1 2 1 2 1 4 1 2 1 2 1 4 1 2 1 2 2 1 2 2 ) ( 0 2 2 3 3 2 3 3 2 2 2 2 1 1 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 0 0 2 0 0 2 nuc (2)

dengan  adalah kontanta Planck tereduksi, m adalah massa dari nucleon,

τ

p(n) adalah densitas energi kinetik untuk proton (p) atau netron (n), sedang

J



_p(n) adalah densitas spin orbit untuk proton (p) atau netron (n). Konstanta-kontanta t0, t1, t2, t3, x0, x1, x2, x3, W0, dan α adalah parameter-parameter untuk interaksi Skyrme yang biasanya

ditentukan sedemikian hingga sifat-sifat dasar dari inti-inti stabil yang sudah diperoleh secara eksperimen dapat dijelaskan. Dalam makalah ini digunakan parameter-parameter SkM*[12] yang secara khusus ditentukan untuk memprediksi secara tepat tinggi dari tanggul fisi untuk inti-inti yang berada di daerah aktinode dimana sifat-sifat permukaan memegang peranan yang sangat penting. Nilai dari parameter-parameter ini dapat dilahat pada tabel 1. Dalam pers.(2), besaran-besaran yang tidak memiliki indeks seperti ρ merupakan penjumlahan dari densitas proton dan densitas netron

n

p

ρ

ρ

ρ

= + .

. 2 2 12 ) ( 6 6 3 36 ) ( ) 3 ( 5 3 ] [ 2 2 2 2 2 2 3 / 5 3 / 2 2               + ∇ − ∇ + ∇ • ∇ + ∇ + ∇ + = q q q q q q q q q q q q q q q q q q f W m f f f f f   ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ π ρ τ (3)

Faktor bentuk massa, f_q(r), dituliskan sebagai

. ) ( 2 1 2 1 ) ( 2 1 2 1 2 1 ) ( 1 1 2 2 2 2 1 1 2                ₊ −       ₊ −                ₊ +       ₊ + = m t x t x r t x t x r r fq q     _{ρ ρ (4)}

Sedangkan densitas spin-orbit diberikan sebagai

q q q q W f m J    ρ 2 2 − = (5)

dengan potensial spin orbit mempunyai bentuk

[

( ) ( )

]

2 )

(r W0 r r

W_q  = ∇ρ  +ρ_q  (6)

Dengan menggunakan pers.(3)-(6) maka dapat dilihat bahwa fungsional energi pada pers.(2) hanya merupakan fungsi dari densitas proton dan netron saja. Jika densitas-densitas ini telah diperoleh maka potensial pada pers.(1) dengan sendirinya dapat dihitung.

Gambar 2. Perbandingan densitas proton yang diperoleh melalui metode variasi dari pers.(2) dengan menggunakan densitas pers.(7) dengan densitas yang dihasilkan dari perhitungan eksak dengan metode Skyrme-Hartree-Fock.

HASIL DAN PEMBAHASAN

Untuk menghitung integral pada pers.(1) dengan bantuan pers.(2)-(6) maka densitas proton dan densitas netron terlebih dahulu ditentukan. Dalam makalah ini, ditinjau reaksi fusi 16O+16O dan diasumsikan kedua inti berbentuk bola. Dengan demikian maka densitas proton dan densitas netron untuk inti 16O harus diketahui. Oleh karena 16O mempunyai jumlah proton dan netron yang sama yaitu sebanyak 8 buah, maka diasumsikan mereka mempunyai densitas yang sama pula. Densitas ini dapat dituliskan sebagai berikut









₊

=

=

(

)

2

_3/2

exp(

2₃

/

2

)

1

2

₂2

)

(

p

r

p

p

r

r

r

n p

π

ρ

ρ

(7)

dengan p adalah parameter yang akan ditentukan kemudian. Parameter ini ditentukan dengan metode variasi untuk mendapatkan nilai minimum dari pers.(2). Metode yang digunakan adalah metode Brent yang ditulis dalam bahasa pemograman fortran. Hasil perhitungan yang diperoleh dengan metode ini adalah p = 1.73 fm. Dengan mengunakan nilai ini, densitas proton menurut pers.(7) dapat dilihat pada Gambar 2 yang ditunjukan dengan garis tebal. Sebagai perbandingan juga ditampilkan densitas proton yang diperoleh melalui perhitungan eksak dengan metode Skyrme-HF [13] dan ditunjukan dengan garis putus-putus. Dari Gambar 3 tampak jelas bahwa densistas

pemograman fortran. Potential yang diperoleh ditampilkan dalam Gambar 3 yang ditunjukkan oleh garis tebal. Sebagai perbandingan juga ditampilkan potential Woods-Saxon, ditunjukan dengan garis putus-putus, yang dihitung melalui persamaan berikut

}] / ) ( exp{( 1 /[ ) ( _{0 0} 1/3 1/3 ₀ ) ( nuc r V r r A A a V A−W =− + − _P + _T (8)

dengan AP dan AT adalah nomor massa inti proyektil dan inti target.

Parameter-parameter V0, r0, dan a0 ditentukan dengan menggunakan metode yang diperkenalkan oleh Akyuz dan Winther [14]. Nilai-nilai yang dipeoleh untuk reaksi inti 16O+16O berturut-turut adalah V0 = 42.14 MeV, r0 = 1.16 fm, dan a0 = 0.60 fm. Dari Gambar 3 dapat dilihat bahwa kedua potensial sangat mirip satu sama lain terutama kemiringan dan daerah permukaannya.

Gambar 4. Perbandingan potential inti untuk reaksi 16O+16O yang diperoleh dengan metode formalisme densitas energi Skyrme-ETF , pers.(1), (garis tebal) dengan potensial Woods-Saxon (garis putus-putus).

KESIMPULAN

Metode fungsional energi Skyme digabungkan dengan model semiklasik

Extended-Thomas-Fermi untuk menentukan densitas energi kinetik dan densitas spin

orbit telah digunakan untuk menghitung densitas proton dan netron dari inti 16O. Densitas-densitas ini ditentukan dengan metode variasi Brent yang ditulis dalam bahasa pemograman fortran untuk mencari nilai minimum dari fungsional energi.

Densitas yang diperoleh mirip dengan hasil perhitungan eksak melalui metode Skyrme-Hartree-Fock. Juga telah dihitung potential inti untuk reaksi fusi 16O+16O dengan menggunakan metode pendekatan sesaat (sudden approximation) bagi formalisme densitas energi. Perhitungan dilakukan dengan menggunakan metode integral Bode rule yang ditulis dalam bentuk bahasa pemograman fortran. Potensial inti yang diperoleh mirip dengan potential yang dihasilkan melalui metode yang diperkenalkan oleh Akyuz-Wither terutama untuk kemiringan dan bagian permukaannya.

DAFTAR PUSTAKA

1. SATCHLER, G. R. AND Love, W. G. , Phys. Rep. 55, (1979)183.

2. GONTCHAR I., I., HINDE D. J., DASGUPTA, M, AND NEWTON, J.O., Phys.

Rev. C 69, (2004) 024610.

3. MISICU, S. AND ESBENSEN H., Phys. Rev. Lett. 96, (2006) 112701.

4. BRUECKNER, K. A., BUCHLER, J. R., AND KELLY, M.M., Phys. Rev. 173, (1968) 944.

5. NGO, C., dkk., Nucl. Phys. A 240, (1975)353.

6. BRINK, D.M., AND Fl. STANCU, Nucl. Phys. A 243, (1975) 175. 7. Fl.STANCU AND BRINK, D. M., Nucl. Phys. A 270, (1976) 236. 8. BRINK, D.M., AND Fl.STANCU Nucl. Phys. A 299, (1978) 321.

9. DOBROWOLSKI, A., POMORSKI, K., and BARTEL, J, Nucl. Phys. A

729, (2003) 713.

10. MIN LIU, dkk, Nucl. Phys. A 768, (2006) 80.

11. MUHAMMAD ZAMRUN F., HAGINO, K., AND TAKIGAWA, N., AIP

conference proceeding, 856 (2006) 309.

12. BARTEL, J., QUENTIN, P., BRACK, M., GUET, C., and HAKANSON, H.B.,

Nucl. Phys. A 386, (1982) 79.

13. LANGANKE, K, MARUHN, J.A., AND KOONIN, S.D., Computational

2. Tempat/Tanggal Lahir : Lambubalano, Muna, 22 April 1972

3. Instansi : Universitas Haluoleo, Kendari, Sulawesi Tenggara

4. Pekerjaan / Jabatan : PNS/Dosen

5. Riwayat Pendidikan :

• S1-Fisika, Universitas Gadjah Mada,Yogyakarta. 1997

• S2-Fisika, Universitas Gadjah Mada, Yogyakarta, 2001

• S2-Nuclear Theory, Tohoku University, Japan

• S3-Nuclear Theory, Tohoku University, Japan

6. Pengalaman Kerja :

• 1997-Sekaramg, Dosen Jurusan Fisika FMIPA Universitas Haluoleo,

Kendari, Sulawesi Tenggara

7. Organisasi Profesional :

• Himpunan Fisika Indonesia Japan Physical Society

8. Publikasi (Makalah) :

• Muhammad Zamrun F., K. Hagino, S. Mitsuoka, and H. Ikezoe Coupled-channels analyses for large-angle quasi-elastic scattering in massive systems, Phys. Rev. C77 (2008) 034604/1-11

• Muhammad Zamrun F. and K. Hagino , Effects of anharmonic vibration on large-angle quasi-elastic scattering of 16O+144Sm, Phys. Rev. C77

(2008) 014606/1-7.

• N. Takigawa, Zakarya Mohamed Mohamed Mohmoud, Muhammad

Zamrun F., Nyein Wink Lwin, T. Takehi, and K. Hagino, Effects of transitional shape and shape admixture and of anti-symmetrization on sub-barrier fusion, Nucl. Phys. A787 (2007) 190c-197c.

• Muhammad Zamrun F., K. Hagino and N. Takigawa, Sub-barrier fusion cross section with energy density formalism, in the proceedings of

FUSION06: International Conference on Reaction Mechanisms and Nuclear Structure at the Coulomb barrier, March 19-23, 2006, San Servolo, Venezia, Italy,