Limit, Kekontinuan dan Turunan (Bagian 1) by : Henry Immanuel Sihombing

Materi Limit, Kekontinuan dan Turunan (Bagian 1) Dosen Dr. Sa`adatul Fitri, S.Si., M.Sc.

Asisten - Henry Immanuel Sihombing - Safrizal Ardana Ardiyansa

1. Limit

Pengantar : Fungsi 𝑓(𝑥) =_(𝑥−1)^𝑥3−1, terdefinisi untuk setiap 𝑥 ∈ ℝ, kecuali saat 𝑥 = 1. Bila kita harus menggambar grafiknya, apa yang akan terjadi di sekitar 𝑥 = 1?

Perhatikan tabel berikut :

𝑥 𝑓(𝑥)

1,1 3,31 1,01 3,0301 1,001 3,003001

"1" ? 0,999 2,997001

0,99 2,9701 0,9 2,71

Kita melihat bahwa nilai 𝑓(𝑥) saat 𝑥 𝑚𝑒𝑛𝑢𝑗𝑢 1 adalah mendekati 3.

Bagaimana kita yakin akan hal ini?

Catatan. Nilai 𝑥 di dekat 𝑐 tidak mencakup 𝑥 = 𝑐. Fungsi f tdk harus terdefinisi di 𝑥 = 𝑐

Teori 1 : Limit kanan dan limit kiri Limit kanan : lim

𝑥→𝑐⁺𝑓(𝑥) = 𝐿, berarti :

jika 𝑥 > 𝑐 dan dekat ke 𝑐, maka 𝑓(𝑥) dekat ke 𝐿.

Limit kiri : lim

𝑥→𝑐⁻𝑓(𝑥) = 𝐿, berarti :

jika 𝑥 < 𝑐 dan dekat ke 𝑐, maka 𝑓(𝑥) dekat ke 𝐿.

Teori 2 : Keberadaan limit

Limit fungsi 𝑓 di 𝑐 ada jika dan hanya jika limit kanan dan limit kiri 𝑓 di 𝑐 ada dan nilainya sama

Limit 𝑓 di 𝑐 tidak ada bila salah satu di antara beberapa kemungkinan berikut terjadi 1. Limit kanan dan limit kiri 𝑓 di 𝑐 ada, tetapi nilainya tidak sama

2. Limit kanan atau limit kiri 𝑓 di 𝑐 tidak ada karena a. Nilai 𝑓 di dekat 𝑐 menuju tak terhingga b. Nilai 𝑓 di dekat 𝑐 berosilasi

Definisi 1 : lim

𝑥→𝑐𝑓(𝑥) = 𝐿 jika dan hanya jika

“Untuk setiap ℇ > 0 terdapat 𝛿 > 0 sehingga:

Jika 0 < |𝑥 − 𝑐| < 𝛿, maka |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 𝜀.”

Ilustrasi :

Teorema 1 : Teorema Utama Limit 1. lim

𝑥→𝑐𝑘 = 𝑘 … (1)

2. lim

𝑥→𝑐𝑥 = 𝑐 … (2)

3. lim

𝑥→𝑐𝑘𝑓(𝑥) = 𝑘. lim

𝑥→𝑐𝑓(𝑥) = 𝐿 … (3)

4. lim

𝑥→𝑐[𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥) = lim

𝑥→𝑐𝑓(𝑥) ± lim

𝑥→𝑐𝑔(𝑥) … (4)

5. lim

𝑥→𝑐𝑓(𝑥). 𝑔(𝑥) = lim

𝑥→𝑐𝑓(𝑥). lim

𝑥→𝑐𝑔(𝑥) … (5)

6. lim

𝑥→𝑐𝑓(𝑥)/𝑔(𝑥) = lim

𝑥→𝑐𝑓(𝑥)/ lim

𝑥→𝑐𝑔(𝑥) … (6)

7. lim

𝑥→𝑐[𝑓(𝑥)]^𝑛= [lim

𝑥→𝑐𝑓(𝑥)] ^𝑛 … (7)

8. lim

𝑥→𝑐^𝑛√𝑓(𝑥) = √lim^𝑛 _𝑥→𝑐𝑓(𝑥) … (8)

Catatan. Teorema berlaku juga untuk limit sepihak (limit kanan dan limit kiri).

Teorema 2 : Teorema Substansi

Jika 𝑓 adalah suatu fungsi polinom atau fungsi rasional, maka :

𝑥→𝑐lim𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑐) asalkan 𝑓(𝑐) terdefinisi.

Teorema 3 : Teorema Apit

Misalkan 𝑓, 𝑔 𝑑𝑎𝑛 ℎ fungsi yang memenuhi 𝑓(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥) ≤ ℎ(𝑥) untuk 𝑥 disekitar 𝑐.

Jika lim

𝑥→𝑐𝑓(𝑥) = lim

𝑥→𝑐ℎ(𝑥) = 𝐿, Maka lim

𝑥→𝑐𝑔(𝑥) = 𝐿

Catatan. Teorema Apit berlaku pula untuk limit sepihak.

Contoh 1 : Kita tahu bahwa untuk setiap 𝜃 berlaku −1 ≤ sin 𝜃 ≤ 1

Teori 3 : Limit Fungsi Trigonometri

Lim𝑥→𝑐sin 𝑥 = sin 𝑐 Lim

𝑥→𝑐cos 𝑥 = cos 𝑐 … (9)

Lim𝑥→𝑐tan 𝑥 = tan 𝑐 Lim

𝑥→𝑐cot 𝑥 = cot 𝑐 … (10)

Lim𝑥→𝑐sec 𝑥 = sec 𝑐 Lim

𝑥→𝑐csc 𝑥 = csc 𝑐 … (11)

Limit Fungsi Trigonometri Khusus Lim𝑡→0

sin 𝑡

𝑡 = 1 Lim

𝑡→0 1−cos 𝑡

𝑡 = 1 … (12)

(Dapat dibuktikan dengan teorema nilai apit) Teori 4 : Limit tak hingga dan limit di tak hingga

Limit di tak hingga

Misalkan 𝑓 terdefinisi pada [𝑐, ∞). Kita tuliskan :

𝑥→∞Lim𝑓(𝑥) = 𝐿

Apabila : untuk setiap ε > 0 terdapat 𝑀 > 𝑐 sehingga: jika 𝑥 > 𝑀, maka | 𝑓(𝑥) − 𝐿| < ε.

Secara intuitif, “limit 𝑓 di tak hingga” sama dgn 𝐿 jika untuk 𝑥 cukup besar, nilai 𝑓(𝑥) dekat ke 𝐿.

Limit di minus tak hingga

Misalkan 𝑓 terdefinisi pada (−∞, 𝑑]. Kita tuliskan :

𝑥→−∞Lim 𝑓(𝑥) = 𝐿

Apabila : untuk setiap ε > 0 terdapat 𝑁 > 𝑐 sehingga: jika 𝑥 > 𝑁, maka | 𝑓(𝑥) − 𝐿| < ε.

Secara intuitif, “limit 𝑓 di minus tak hingga” sama dengan 𝐿 jika untuk −𝑥 cukup besar, nilai 𝑓(𝑥) dekat ke 𝐿.

Selain Teorema Substitusi , teorema-teorema limit dan Teorema Apit berlaku pula untuk limit di tak hingga

Contoh 2 : lim

𝑥→∞

𝑥−1 𝑥+1= lim

𝑥→∞

1−¹

𝑥

1+¹

𝑥

=^{𝑥→∞lim(1−}

1 𝑥)

𝑥→∞lim(1+¹

𝑥)=¹

1= 1 … (13)

Teori 4 (Ljt) : Limit di tak hingga

Tinjau fungsi 𝑓(𝑥) =¹_𝑥, 𝑥 ≠ 0.

Apa yang terjadi di dekat 𝑥 = 0? Berapa nilai limit 𝑓 di 0 bila ada?

Misalkan 𝑓 terdefinisi di sekitar 𝑥 = 𝑐. Kita tuliskan

𝑥→𝑐lim⁺𝑓(𝑥) = +∞

Apabila : untuk setiap 𝑀 > 0 terdapat δ > 0 sehingga : jika 0 < 𝑥 − 𝑐 < δ , maka 𝑓(𝑥) > 𝑀

Misalkan 𝑓 terdefinisi di sekitar 𝑥 = 𝑐. Kita tuliskan

𝑥→𝑐lim⁻𝑓(𝑥) = +∞

Apabila : untuk setiap 𝑀 > 0 terdapat δ > 0 sehingga : jika 0 < 𝑐 − 𝑥 < δ , maka 𝑓(𝑥) > 𝑀

2. Kekontinuan

Definisi 3 : Misalkan 𝑓 terdefinisi di sekitar 𝑐, termasuk di 𝑐. Fungsi 𝑓 dikatakan kontinu di 𝑐 apabila

Lim𝑥→𝑐𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑐)

yakni: untuk setiap ε > 0 terdapat δ > 0 sehingga: jika |𝑥 − 𝑐| < δ, maka

| 𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑐)|< ε.

Teori 5 : Keluarga Fungsi Kontinu

1. Fungsi polinom kontinu di setiap titik pada ℝ. Demikian pula fungsi rasional kontinu di setiap titik pada daerah asalnya . Ingat Teorema Substitusi 2. Fungsi Nilai Mutlak 𝑓(𝑥) = |𝑥| kontinu pada ℝ.

3. Fungsi akar 𝑓(𝑥) = √𝑥 kontinu pada (0, ∞), fungsi ini kontinu di kanan 𝑐 = 0.

4. Fungsi 𝑓(𝑥) = sin 𝑥 𝑑𝑎𝑛 𝑔(𝑥) = cos 𝑥 kontinu pada ℝ.

Teorema 4 : Jika 𝑓 dan 𝑔 kontinu di 𝑐 dan 𝑘 suatu konstantam maka : 𝑘𝑓, 𝑓 + 𝑔, 𝑓 − 𝑔, 𝑓𝑔,^𝑓_𝑔, 𝑓^𝑛, 𝑑𝑎𝑛 √𝑓^𝑛 kontinu di 𝑐.

Jika Lim

𝑥→𝑐𝑔(𝑥) = 𝐿 dan 𝑓 kontinu di 𝐿, maka :

Lim𝑥→𝑐𝑓(𝑔(𝑥)) = 𝑓(𝐿) … (14)

Jika 𝑔 kontinu di 𝑐, dan 𝑓 kontinu di 𝑔(𝑐), maka 𝑓 ∘ 𝑔 kontinu di 𝑐.

Contoh 3 : 𝑓(𝑥) = 𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝑥 kontinu di setiap titik karena merupakan hasilkali dua buah fungsi yang kontinu di setiap titik pada R

𝐹(𝑥) = |𝑥²− 1| kontinu di setiap titik (pada ℝ) karena ℎ(𝑥) = 𝑥²− 1 kontinu di setiap titik, g(x) = |x| juga kontinu di setiap titik, dan

𝐹(𝑥) = 𝑔(ℎ(𝑥)) = (𝑔 ∘ ℎ)(𝑥) … (15)

Teori 6 : Fungsi kontinu pada suatu selang tutup

Fungsi 𝑓 dikatakan kontinu pada [𝑎, 𝑏] apabila 𝑓 kontinu pada (𝑎, 𝑏), kontinu kanan di 𝑎, dan kontinu kiri di 𝑏

Contoh 4 : fungsi 𝑓(𝑥) = 𝑥³− 𝑥²+ 1 kontinu pada [−1,2].

1Teori 6 (Ljt) Grafik fungsi 𝑓 yang kontinu pada selang tutup [𝑎, 𝑏] tidak terputus dari titik (𝑎, 𝑓 (𝑎)) ke (𝑏, 𝑓(𝑏)).

Teorema 5 : Teorema Nilai Antara

Jika 𝑓 kontinu pada [𝑎, 𝑏], 𝑓(𝑎) < 0 𝑑𝑎𝑛 𝑓(𝑏) > 0 (atau sebaliknya , 𝑓(𝑎) > 0 dan 𝑓(𝑏) < 0 )), maka terdapat 𝑐 є (𝑎, 𝑏) sehingga 𝑓(𝑐) = 0

Contoh 5 : fungsi 𝑓(𝑥) = 𝑥³− 𝑥²+ 1 kontinu pada [−1,2],

𝑓(−1) = −1 dan 𝑓(2) = 5. Menurut Teorema Nilai Antara, terdapat 𝑐𝜖(−1,2)

sehingga : 𝑓(𝑐) = 𝑐³− 𝑐²+ 1 = 0 … (16)

(Dengan kata lain, 𝑓 mempunyai akar pada [-1,2])

Teori 7 : Aturan Dasar Turunan

1. Jika 𝑓(𝑥) = 𝑘 (Konstanta), maka 𝑓′(𝑥) = 0 … (17) 2. Jika 𝑓(𝑥) = 𝑥 (fungsi indentitas) 𝑓′(𝑥) = 1 … (18) 3. Jika 𝑓(𝑥) = 𝑥^𝑛 (fungsi pangkat, 𝑛 bilangan bulat positif),

maka 𝑓′(𝑥) = 𝑛𝑥^𝑛−1. … (19)

Teori 8 : Hubungan antara Turunan dan Kekontinuan

Jika 𝑓 mempunyai turunan di 𝑎, maka 𝑓 kontinu di 𝑎. 𝐼𝑛𝑔𝑎𝑡 𝑝 → 𝑞 ≠ 𝑞 → 𝑝 Sehingga tidak berlaku : Kekontinuan di 𝑎 tidak menjamin adanya turunan di 𝑎 3. Turunan

Definisi 3 : Fungsi 𝑦 = 𝑓(𝑥) dikatakan mempunyai turunan di 𝑎 jika limit berikut ada :

𝑏→𝑎lim

𝑓(𝑏)−𝑓(𝑎) 𝑏−𝑎

Turunan 𝑓 di 𝑎 didefinisikan sama dengan limit ini , dan dilambangkan dengan 𝑓′(𝑎).

Dengan substitusi 𝑏 = 𝑎 + ℎ, kita peroleh 𝑓′(𝑎)= lim

ℎ→0

𝑓(𝑎+ℎ)−𝑓(𝑎)

ℎ , asalkan limit ini ada. … (20)

Contoh 6 : Misalkan 𝑓(𝑥) = 𝑥² dan 𝑎 = 1 akan kita hitung

ℎ→0lim

𝑓(1+ℎ)−𝑓(1)

ℎ = lim

ℎ→0

(1+ℎ)²−1

ℎ = lim

ℎ→02 + ℎ = 2. … (21)

Jadi, 𝑓 mempunyai turunan di 1 dan 𝑓 ’(1) = 2. Secara umum, dapat diperiksa bahwa 𝑓 mempunyai turunan di 𝑎 є 𝑅 sembarang dan 𝑓 ’(𝑎) = 2𝑎.

Teori 9 : Aturan Turunan

1. Aturan Kelipatan Konstanta : (𝑘𝑓)^′(𝑥) = 𝑘. 𝑓^′(𝑥). … (22) 2. Aturan Jumlah : (𝑓 + 𝑔)^′(𝑥) = 𝑓^′(𝑥) + 𝑔^′(𝑥). … (23) 3. Aturan Hasil Kali : (𝑓. 𝑔)^′(𝑥) = 𝑓^′(𝑥)𝑔(𝑥) + 𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥) … (24) 4. Aturan hasil bagi : (_𝑔^𝑓)^′(𝑥) =^𝑓′(𝑥)𝑔(𝑥)−𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥)

[𝑔(𝑥)]² … (25)

Contoh 7 : Contoh Penggunaan Aturan Turunan

Teori 10 : Turunan Fungsi Trigonometri

1. Jika 𝑓(𝑥) = sin 𝑥 maka 𝑓′(𝑥) = cos 𝑥 … (26)

2. Jika 𝑓(𝑥) = cos 𝑥 maka 𝑓′(𝑥) = −sin 𝑥 … (27)

3. Jika 𝑓(𝑥) = tan 𝑥 maka 𝑓′(𝑥) = sec²𝑥 … (28)

4. Jika 𝑓(𝑥) = cot 𝑥 maka 𝑓′(𝑥) = −csc²𝑥 … (29) 5. Jika 𝑓(𝑥) = sec 𝑥 maka 𝑓′(𝑥) = sec 𝑥 tan 𝑥 … (30) 6. Jika 𝑓(𝑥) = csc 𝑥 maka 𝑓^′(𝑥) = −csc 𝑥 cot 𝑥 … (31) Teori 11 : Aturan Rantai

Bagaimana cara kita menghitung turunan dari 𝑓(𝑥) = (1 + 0,5𝑥)¹²? Bagaimana pula dengan 𝑔(𝑥) = cos 3𝑥 ?

Perhatikan bahwa kedua fungsi tersebut dapat dipandang sebagai hasil komposisi dua fungsi yang kita ketahui turunannya.

Jika 𝑔 mempunyai turunan di 𝑥 dan f mempunyai turunan di 𝑢 = 𝑔 (𝑥), maka 𝑓 ◦ 𝑔 mempunyai turunan di 𝑥 dengan

(𝑓 ∘ 𝑔)^′(𝑥) = 𝑓^′(𝑔(𝑥)). 𝑔’(𝑥). … (32)

Contoh 8 : Diketahui 𝑓(𝑥) = (1 + 0,5𝑥)¹², Tentukan 𝑓′(𝑥).

Bahasan : Misalkan 𝑢 = 1 + 0,5𝑥 = 𝑔(𝑥) dan 𝑓(𝑢) = 𝑢¹².

Maka ℎ(𝑥) = (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥). Disini, 𝑔^′(𝑥) = 0,5 dan 𝑓^′(𝑢) = 12𝑢¹¹. … (33)

Menurut aruran rantai, (𝑓 ∘ 𝑔)^′(𝑥) = 𝑓^′(𝑔(𝑥)). 𝑔’(𝑥) … (34)

= 12[𝑔(𝑥)]¹¹. 0,5 … (35)

= 6(1 + 0,5𝑥)¹¹ … (36)

Teori 12 : 𝑦^′ = 𝑓′(𝑥) sering pula dituliskan sebagai ^𝑑𝑦_𝑑𝑥, notasi ini disebut nitasi lebniz.

Dengan demikian, aturan rantai dalam notasi lebniz berbunyi :

𝑑𝑦 𝑑𝑥=^𝑑𝑦

𝑑𝑢.^𝑑𝑢

𝑑𝑥 … (37)

Contoh 9 : Misalkan 𝑦 = (𝑥³+ 𝑥)¹⁰= 𝑢¹⁰ dengan 𝑢 = 𝑥³+ 𝑥. Maka :

𝑑𝑦 𝑑𝑥=^𝑑𝑦

𝑑𝑢.^𝑑𝑢

𝑑𝑥= 10𝑢⁹. (3𝑥²+ 1) = 10(𝑥³+ 𝑥)⁹. (3𝑥²+ 1) … (38) Teori 13 : Turunan Tingkat Tinggi

Diberikan sebuah fungsi 𝑦 = 𝑓(𝑥), kita turunkan 𝑓′ yang juga merupakan fungsi.

Dari 𝑓′ dapat kita turunkan 𝑓^′′= (𝑓^′)^′, yang disebut turunan kedua dari 𝑓, dan dari 𝑓^′′kita memperoleh turunan ketiga dari 𝑓 yakni 𝑓^′′′= (𝑓^′′)′, dst.

Turunan ke−𝑛 dari 𝑦 = 𝑓(𝑥) dilambangkan dengan 𝑓^(𝑛) atau ^𝑑_𝑑𝑥^𝑛𝑦_𝑛. Contoh 10 : Jika 𝑦 = sin 2𝑥, maka ^𝑑𝑦_𝑑𝑥= 2 cos 2𝑥,^𝑑2𝑦

𝑑𝑥²= −4 sin 2𝑥 , … (39)

𝑑³𝑦

𝑑𝑥³= −8 cos 2𝑥, 𝑑𝑠𝑡. … (40)

Teori 14 : Bila turunan pertama mempunyai interpretasi fisis kecepatan sesaat , maka turunan kedua secara fisis dapat diinterpretasikan sebagai percepatan sesaat ) yang

mengukur laju perubahan kecepatan terhadap waktu lihat buku teks Purcell &

Varberg.

Untuk memahami lebih jauh tentang interpretasi dari turunan, khususnya turunan pertama, kedua, dan ketiga, baca buku teks Purcell & Varberg tentang model matematika.

Teori 15 : Turunan fungsi Implisit.

Misalkan kita mempunyai persamaan 7𝑦³+ 𝑦 = 𝑥³. … (41) dan ingin menentukan persamaan garis singgung pada grafik persamaan tersebut di (2,1). Masalahnya adalah bagaimana menghitung ^𝑑𝑦_𝑑𝑥 , padahal kita tidak mempunyai rumus eksplisit untuk 𝑦 dalam 𝑥.

Secara implisit, kita dapat menurunkan kedua ruas terhadap 𝑥 dengan

menggunakan Aturan Rantai dengan mengingat bahwa 𝑦 adalah fungsi dari 𝑥 : 7𝑦³+ 𝑦 = 𝑥³ (Turunkan kedua ruas terhadap 𝑥)

21𝑦^{2 𝑑𝑦}

𝑑𝑥+^𝑑𝑦

𝑑𝑥= 3𝑥² … (42)

Dengan demikian kita peroleh :

𝑑𝑦

𝑑𝑥= ^3𝑥2

21𝑦²+1. … (34)

Di titik (2,1) kita hitung,

𝑑𝑦 𝑑𝑥= ¹²

21+1= ⁶

11 … (35)

Jadi, persamaan garis singgungnya adalah:

𝑦 − 1 = ⁶

11(𝑥 − 2) … (36)

Atau

6𝑥 − 11𝑦 − 1 = 0 … (37)

Contoh 11: Suatu zat cair dituangkan kedalam suatu corong berbentuk kerucut terbalik dengan laju 12 liter/𝑚𝑒𝑛𝑖𝑡, jika tinggi corong tersebut adalah 36 𝑑𝑚, dan jari-jari

permukaan atasnya adalah 18 𝑑𝑚 tentukan laju kenaikan tinggi air saat tingginya 9 𝑑𝑚!

Sketsa 2d:

Volume →^𝜋₃𝑟²ℎ dalam hal ini, ini 𝑟 = 18𝑑𝑚 = ℎ/2 … (38) Maka, Volume : ₁₂^𝜋 ℎ³→^𝑑𝑣

𝑑𝑡=^𝑑𝑣

𝑑ℎ.^𝑑ℎ

𝑑𝑡 =^𝜋

4ℎ^{2 𝑑ℎ}

𝑑𝑡 … (39)

Diketahui bahwa ^𝑑𝑣_𝑑𝑡 = 12𝑑𝑚³/𝑚𝑒𝑛𝑖𝑡 … (40)

Artinya, saat ℎ = 9𝑑𝑚, kita mempunyai persamaan … (41) 12 =^𝜋

4. 81𝑑ℎ/𝑑𝑡 … (42)

maka, laju penambahan ketinggian zat cair adalah ¹⁶

27𝑑𝑚/𝑚𝑒𝑛𝑖𝑡 … (43)

Latihan: 1. Buktikan bahwa Lim

𝑥→∞

𝑥

𝑥²+1= 0 2. Lim

𝑡→0csc (^𝜋

14) − 4 cos^2𝜋

7 = ⋯

3. Tentukan 𝑎 dan 𝑏 agar fungsi 𝑓 kontinu di setiap titik!

𝑓(𝑥) = −1, 𝑥 < −1

= 𝑎𝑥³+ 𝑏, −1 ≤ 𝑥 ≤ 1

= 2, 𝑥 > 1

4. Buktikan bahwa 𝑝(𝑥) = 𝑥⁵− 𝑥 − 1 mempunyai akar positif! (gunakan TNA).

5. Nyatakan ℎ(𝑥) = sin³4𝑥 sebagai perkalian beberapa fungsi, kemudian tentukan ℎ′(𝑥)

6. Sebuah pesawat, terbang dari kota Sibolga ke arah utara, yakni menuju kota Medan dengan laju 800 km/jam, melintas di atas Alun-alun kota Tarutung pada pukul 12.00 . Sebuah pesawat lain terbang dari arah barat yakni dari Tangsi Sipil ke arah timur, menuju bukit Siatas Barita, dengan laju 750 km/jam, melintasi Alun-alun kota Tarutung pada pukul 12.15 . Jika kedua pesawat tersebut terbang pada

ketinggian yang sama, seberapa cepat jarak di antara keduanya bertambah pada pukul 13.15?

Challenge: 1. Diberikan lim

𝑥→0⁺

tan²( ¹

√1−𝑥2−1)

(1−cos(√2𝑥))^𝑛= 𝑦, tentukan nilai dari 𝑛^22𝑦− 6𝑛 − 3𝑛𝑦!

(Jawaban: 2021) 2. Lim

𝑡→1 1−𝑡²

sin(2𝜋𝑡)= ⋯ (petunjuk: untuk 𝜃 → 0, sin 𝜃 ≅ 𝜃 ; Jawaban: −¹

𝜋 ) 3. Lim

𝑡→∞

𝜋 2cos^𝜋

4cos^𝜋

8cos ^𝜋

16… cos ^𝜋

2^𝑡+1= ⋯ (Jawaban: 1)

4. Diberikan 𝑦 = √𝑥 + √𝑥 + √𝑥 + ⋯ , misalkan ^𝑑𝑦_𝑑𝑥= 𝑘 temukan ^𝑑4𝑘

𝑑𝑦⁴! (Jawaban: _(2𝑦−5)³⁸⁴ ₅) Soal challenge adalah soal yang dianggap memiliki tingkat kesulitan yang lebih tinggi dari soal latihan, bagi peserta kelas yang telah menemukan jawaban soal challenge bisa langsung post hasil scan pekerjaan ke google classroom dengan durasi seminggu setelah soal challenge diberikan, jika tidak ada yang mengupload dengan tepat akan dibahas di pertemuan selanjutnya. Tidak perlu malu jika jawaban kurang tepat, karena ini semua adalah bagian dari proses belajar.

A shy person can’t learn An impatient person can’t teach