Syarif Abdullah (G ) Matematika Terapan FMIPA Institut Pertanian Bogor.

Syarif Abdullah (G551150381)

Matematika Terapan FMIPA Institut Pertanian Bogor

e-mail: syarif_abdullah@apps.ipb.ac.id 25 Maret 2016

Ringkasan Kuliah ke-6 Analisis Numerik (16 Maret 2016) Materi : System Persamaan Linear

Sistem Persamaan Linear

Persamaan linear:

𝑐₁𝑥₁ + 𝑐₂𝑥₂+ ⋯ + 𝑐_𝑛𝑥_𝑛 = 𝑘 Sistem persamaan linear (SPL):

𝑎₁₁𝑥₁+ 𝑎₁₂𝑥₂+ ⋯ + 𝑎_1𝑛𝑥_𝑛 = 𝑏₁ 𝑎₂₁𝑥₁+ 𝑎₂₂𝑥₂+ ⋯ + 𝑎_2𝑛𝑥_𝑛 = 𝑏₂

⋮

𝑎_𝑚1𝑥₁+ 𝑎_𝑚2𝑥₂+ ⋯ + 𝑎_𝑚𝑛𝑥_𝑛 = 𝑏_𝑚 SPL dapat ditulis dalam bentuk matriks:

𝐴x = b

[

𝑎₁₁ 𝑎₁₂ ⋯ 𝑎_1𝑛 𝑎₂₁ 𝑎₂₂ ⋯ 𝑎_2𝑛

⋮ ⋮ ⋱ ⋮

𝑎_𝑚1 𝑎_𝑚2 ⋯ 𝑎_𝑚𝑛 ]

⏟

𝐴

[ 𝑥₁ 𝑥₂

⋮ 𝑥_𝑛

]

⏟

x

= [ 𝑏₁ 𝑏₂

⋮ 𝑏_𝑛

]

⏟

b

 Kekonsistenan Sistem Persamaan Linear

 Pangkat(A) = pangkat(A|b) = n  SPL mempunyai solusi tunggal.

 Pangkat(A) ≠ pangkat(A|b)  SPL tidak mempunyai solusi.

 Bila suatu SPL mempunyai solusi tunggal, maka terdapat banyak cara untuk mencari penyelesaian SPL tersebut, di antaranya adalah : x = A^-1b.

 Metode langsung yang dapat digunakan untuk mencari penyelesaian SPL antara lain:

Metode substitusi langkah mundur & substitusi langkah maju, metode eliminasi Gauss, dan sebagainya.

 Bentuk Matriks Segitiga Atas dan Substitusi Langkah Mundur 𝑎₁₁𝑥₁+ 𝑎₁₂𝑥₂+ 𝑎₁₃𝑥₃+ ⋯ + 𝑎_1,𝑛−1𝑥_𝑛−1+ 𝑎_1𝑛𝑥_𝑛 = 𝑏₁

𝑎₂₂𝑥₂+ 𝑎₂₃𝑥₃+ ⋯ + 𝑎_2,𝑛−1𝑥_𝑛−1+ 𝑎_2𝑛𝑥_𝑛 = 𝑏₂ 𝑎₃₃𝑥₃+ ⋯ + 𝑎_3,𝑛−1𝑥_𝑛−1+ 𝑎_3𝑛𝑥_𝑛 = 𝑏₃

⋮ ⋮ ⋮ 𝑎_{𝑛−1,𝑛−1}𝑥_𝑛−1+ 𝑎_{𝑛−1,𝑛}𝑥_𝑛 = 𝑏_𝑛−1

𝑎_𝑛𝑛𝑥_𝑛 = 𝑏_𝑛

[

𝑎₁₁ 𝑎₁₂ 𝑎₁₃ ⋯ 𝑎_1,𝑛−1 𝑎_1𝑛 0 𝑎₂₂ 𝑎₂₃ ⋯ 𝑎_2,𝑛−1 𝑎_2𝑛 0 0 𝑎₃₃ ⋯ 𝑎_3,𝑛−1 𝑎_3𝑛

⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮

0 0 0 ⋯ 𝑎_{𝑛−1,𝑛−1} 𝑎_𝑛𝑛

0 0 0 ⋯ 0 𝑎_𝑛𝑛][

𝑥₁ 𝑥₂ 𝑥₃ 𝑥_𝑛−1⋮

𝑥_𝑛 ]

= [

𝑏₁ 𝑏₂ 𝑏₃ 𝑏_𝑛−1⋮

𝑏_𝑛 ]

• Andaikan Ax = b adalah sistem persamaan linear segitiga atas. Jika aii ≠ 0 , untuk setiap i

= 1, 2, …, n, maka terdapat suatu penyelesaian tunggal bagi SPL tersebut.

• Untuk menyelesaikan Ax = b dengan metode substitusi langkah mundur, maka semua unsur pada diagonal utama haruslah tak nol.

Mula-mula hitung:

𝑥_𝑛 = 𝑏_𝑛 𝑎_𝑛𝑛 Kemudian gunakan aturan:

𝑥_𝑖 = 𝑏_𝑖− ∑^𝑛_𝑗=𝑖+1𝑎_𝑖𝑗𝑥_𝑗

𝑎_𝑖𝑖 untuk 𝑖 = 𝑛 − 1, 𝑛 − 2, … ,1.

 Bentuk Matriks Segitiga Bawah dan Substitusi Langkah Maju

𝑎₁₁𝑥₁ = 𝑏₁ 𝑎₂₁𝑥₁+ 𝑎₂₂𝑥₂ = 𝑏₂ 𝑎₃₁𝑥₁+ 𝑎₃₂𝑥₂+ 𝑎₃₃𝑥₃ = 𝑏₃ ⋮ ⋮ ⋮

𝑎_𝑛−1,1𝑥₁+ 𝑎_𝑛−1,2𝑥₂+ 𝑎_𝑛−1,3𝑥₃+ ⋯ + 𝑎_{𝑛−1,𝑛−1}𝑥_𝑛−1 = 𝑏_𝑛−1 𝑎_𝑛1𝑥₁+ 𝑎_𝑛2𝑥₂ + 𝑎_𝑛3𝑥₃+ ⋯ + 𝑎_𝑛𝑛𝑥_𝑛 = 𝑏_𝑛

[

𝑎₁₁ 0 0 ⋯ 0 0

𝑎₂₁ 𝑎₂₂ 0 ⋯ 0 0

𝑎₃₁ 𝑎₃₂ 𝑎₃₃ ⋯ 0 0

⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮

𝑎_𝑛−1,1 𝑎_𝑛−1,2 𝑎_𝑛−1,3 ⋯ 𝑎_{𝑛−1,𝑛−1} 0 𝑎_𝑛1 𝑎_𝑛2 𝑎_𝑛3 ⋯ 𝑎_{𝑛−1,𝑛} 𝑎_𝑛𝑛][

𝑥₁ 𝑥₂ 𝑥₃ 𝑥_𝑛−1⋮

𝑥_𝑛 ]

= [

𝑏₁ 𝑏₂ 𝑏₃ 𝑏_𝑛−1⋮

𝑏_𝑛 ]

• Andaikan Ax = b adalah sistem persamaan linear segitiga bawah. Jika aii ≠ 0 untuk setiap i = 1, 2, …, n, maka terdapat suatu penyelesaian tunggal bagi SPL tersebut.

• Untuk menyelesaikan Ax = b menggunakan metode substitusi langkah maju, maka semua unsur pada diagonal utama haruslah tak nol.

Mula-mula hitung:

𝑥₁ = 𝑏₁ 𝑎₁₁ Kemudian gunakan aturan:

𝑥_𝑖 =𝑏_𝑖− ∑^𝑖−1_𝑗=1𝑎_𝑖𝑗𝑥_𝑗

𝑎_𝑖𝑖 untuk 𝑖 = 2,3, … , 𝑛.

2. Eliminasi Gauss Naïve

 Operasi OBE pada Matriks Segitiga Atas

 Langkah Substitusi Mundur

Metode eliminasi Gauss naif merupakan metode yang dikembangkan dari metode eliminasi.

Langkah penyelesaian:

1. Tulis SPL dalam bentuk matriks diperbesar

2. Ubah matriks tersebut menjadi matriks segitiga atas atau segitiga bawah dengan operasi baris elementer (OBE)

Contoh soal:

Diketahui SPL dengan 4 persamaan dan 4 variabel sebagai berikut:

6𝑥₁− 2𝑥₂ + 2𝑥₃+ 4𝑥₄ = 16 12𝑥₁− 8𝑥₂+ 6𝑥₃+ 10𝑥₄ = 26

3𝑥₁− 13𝑥₂+ 9𝑥₃+ 3𝑥₄ = −19

−6𝑥₁+ 4𝑥₂+ 𝑥₃− 18𝑥₄ = −34 Tentukan penyelesaian SPL tersebut dengan eliminasi Gauss!

Dengan substitusi mundur, diperoleh:

𝑥₁ = 3, 𝑥₂ = 1, 𝑥₃ = −2, 𝑥₄ = 1

VEKTOR ERROR DAN VEKTOR RESIDU

Misalkan diberikan SPL sebagai berikut: 𝐴𝑥 = 𝑏 Vektor error dari SPL tersebut adalah

dengan 𝑥̃: nilai hampiran 𝑥: nilai eksak

Vektor residu dari SPL tersebut adalah

Secara verbal, vektor residu adalah sisa yang dihasilkan oleh suatu nilai hampiran jika dimasukkan kembali ke SPL awal.

3. Eliminasi Gauss dengan Pivoting

 Partial Pivoting

Langkah penyelesaian SPL dengan pivot parsial:

1) Tentukan r sehingga

2) Tukarkan baris i dengan baris r, jika i = r maka tidak ditukar 3) Buat nol elemen di bawah aii, i = 1, 2, …, n-1.

4) Kembali ke langkah 1 hingga membentuk matriks segitiga atas 5) Lakukan substitusi mundur untuk memperoleh solusi

Contoh

SPL (1) dari ilustrasi:

{𝜀 𝑥₁+ 𝑥₂ = 1 𝑥₁+ 𝑥₂ = 2 Dengan menggunakan pivot parsial akan diperoleh:

- ex x

rAx b

x

( )

r Ax b r Ax Ax r A x x r Ae

 

 

 



{ 𝑥₁+ 𝑥₂ = 2 𝜀 𝑥₁+ 𝑥₂ = 1

dan diperoleh solusi:

𝑥₂ =1 − 2𝜀 1 − 𝜀 ≈ 1,

 Scaled Partial Pivoting

Langkah penyelesaian SPL dengan pivot parsial terskala:

1) Definisikan vektor indeks

ℓ = [ℓ₁, ℓ₂, … , ℓ_𝑛] = [1,2, … , 𝑛]

Definisikan vektor skala 𝑠 = [𝑠₁, 𝑠₂, … , 𝑠_𝑛] dengan 𝑠_𝑖 = max

1≤j≤n|𝑎_𝑖𝑗| , 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 2) Tentukan rasio masing-masing baris

{|𝑎_𝑙𝑖,1|

𝑠_𝑙𝑖 ; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛}

3) Pilih j, yaitu indeks dengan rasio maksimum. Baris j adalah pivot untuk iterasi k (k = 1, 2,

…, n-1). Jika banyaknya rasio maksimum lebih dari satu, maka pilih indeks terkecil.

4) Tukarkan lk dengan lk pada vektor indeks.

5) Tukarkan baris pada matriks sesuai dengan vektor indeks.

6) Buat nol elemen di bawah akk.

7) Kembali ke langkah 3. Vektor indeks yang digunakan adalah yang terbentuk pada langkah 5.

Contoh:

Tentukan solusi dari SPL berikut menggunakan eliminasi Gauss dengan pivot parsial terskala!

[−1 2 2

1 −1 −1

−1 4 2

] [ 𝑥₁ 𝑥₂

𝑥₃] = [−5 2 1

] 1) Definisikan vektor indeks dan vektor skala

ℓ = [1,2,3] = [ℓ₁, ℓ₂, ℓ₃] 𝑠 = [2,1,4] = [𝑠₁, 𝑠₂, 𝑠₃]

2) Untuk iterasi pertama (k = 1), tentukan j, yaitu indeks dengan rasio maksimum. Jika banyaknya rasio maksimum lebih dari satu, maka dipilih indeks terkecil.

{|𝑎_ℓ𝑖,1|

𝑠_ℓ𝑖 ; 𝑖 = 1,2,3} = {1 2,2

2,1

4} = {0.5,1,0.25}

3) Diperoleh vektor indeks baru:

4) Tukarkan baris pada matriks sesuai dengan vektor indeks. Diperoleh:

[ 1 −1 −1

−1 2 2

−1 4 2

] [ 𝑥₁ 𝑥₂

𝑥₃] = [ 2

−5 1

] 5) Buat nol elemen-elemen di bawah a11. Diperoleh:

[1 −1 −1

0 1 1

0 3 1

] [ 𝑥₁ 𝑥₂

𝑥₃] = [ 2

−3 3

]

6) Untuk iterasi kedua (k=2), vektor indeks dan vektor skala yang digunakan adalah:

ℓ = [2,1,3] = [ℓ₁, ℓ₂, ℓ₃] 𝑠 = [2,1,4] = [𝑠₁, 𝑠₂, 𝑠₃]

7) Tentukan rasio baru dengan menggunakan vektor indeks dan vektor skala pada 6.

{|𝑎_ℓ𝑖,2|

𝑠_ℓ𝑖 ; 𝑖 = 2,3} = {1 2,3

4} = {0.5 , 0.75}

Baris ketiga menjadi pivot untuk k=2.

8) Diperoleh vektor indeks

9) Tukarkan baris pada matriks sesuai dengan vektor indeks (tukarkan baris kedua dan ketiga), diperoleh:

[1 −1 −1

0 3 1

0 1 1

] [ 𝑥₁ 𝑥₂

𝑥₃] = [ 2 3

−3 ] 10) Buat nol elemen di bawah a22, diperoleh:

[2,1,3]



[2,3,1]



[

1 −1 −1

0 3 1

0 0 ²₃ ] [ 𝑥₁ 𝑥₂

𝑥₃] = [ 2 3

−4 ]

11) Dengan substitusi mundur, diperoleh:

4. Sistem Tridiagonal dan Sistem Banded Kestabilan Numerik

Eliminasi Gauss dikatakan stabil secara numerik jika matriks koefisien A dari SPL yang diberikan adalah dominan secara diagonal (strictly diagonally dominant), atau merupakan matriks simetris definit positif.

 Sistem Tridiagonal

Sebuah matriks berukuran n x n disebut mempunyai struktur banded jika terdapat bilangan bulat k (k ≤ n) sehingga aij = 0 ketika | i – j | ≥ k.

Suatu sistem yang direpresentasikan dengan matriks yang memenuhi:

1. Terdapat 3 diagonal, yaitu diagonal utama, superdiagonal, dan subdiagonal.

2. Elemen-elemen aij ≠ 0 jika |i–j|≤ 1 dan aij=0 jika |i–j|≥ 2.

Langkah penyelesaian sistem tridiagonal dengan metode eliminasi Gauss:

 Buat nol elemen-elemen a1, a2, …, an-1, dengan

1 1, 2 3, 3 6

x   x  x  

1 1 1 1

1 2 2 2 2

2 3 3 3 3

2 1 1 1 1

1

... ... ... ... ...

... ... ... ... ...

i i i i i

n n n n n

n n n n

d c x b

a d c x b

a d c x b

a d c x b

a d c x b

a d x b

    



     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

 Nilai di dan bi akan berubah menjadi:

i = 1,2,…,n-1

Dengan metode substitusi mundur, diperoleh solusi untuk x1, x2, …, xn.

Matriks A = (aij)nxn adalah strictly diagonally dominant, jika:

Dalam kasus tridiagonal sistem, dengan asumsi: a0 = an = 0

 Sistem Pentadiagonal

Suatu sistem yang direpresentasikan dengan matriks yang memenuhi:

1.Terdapat 5 diagonal, yaitu diagonal utama, 2 super-diagonal, dan 2 subdiagonal.

2.Elemen-elemen aij ≠ 0 jika |i–j|≥ 2 dan aij = 0 jika|i–j|≥ 3, untuk setiap i, j.

Langkah penyelesaian sistem pentadiagonal dengan metode eliminasi Gauss:

①Buat a1=0, dengan cara:

②Nilai d2, c2, dan b2 akan berubah menjadi:

③Buat e1=0, dengan cara:

④Elemen-elemen a2, d3, dan b3 akan berubah menjadi:

⑤Buat nol elemen ai, dengan:

⑥Elemen-elemen di+1, ci+1, dan bi+1 akan berubah menjadi:

⑦Buat nol elemen ei, dengan:

⑧Elemen-elemen ai+1, di+2, dan bi+2 juga akan berubah menjadi:

Solusi yang diperoleh dengan metode eliminasi Gauss:

Dengan substitusi mundur, diperoleh solusi untuk x1, x2, …, xn:

 Block Pentadiagonal

Di mana:

Contoh:

Tentukan solusi dari SPL berikut:

Jawab:

Dengan substitusi mundur, diperoleh:

KESIMPULAN

 SPL adalah kumpulan dari m persamaan linear dengan n variabel, yang secara umum dapat dituliskan ke dalam bentuk:

 Metode untuk menyelesaikan SPL:

1. Metode eliminasi Gauss (tanpa pivot) 2. Metode eliminasi Gauss dengan pivot

 Sistem tridiagonal dan pentadiagonal dapat diselesaikan dengan metode eliminasi Gauss (tanpa pivot).

Sumber :

1. Cheney, Ward and David Kingaid, Numerical Mathematics and Computing, Sixth Edition, The Thomson Corporation, 2008.

2. Munir, Rinaldi, Metode Numerik, Revisi Ketiga, Informatika, Bandung, 2013.