UJI BILANGAN PRIMA DENGAN GENERATOR 6n 1 PRIME NUMBER TESTING USING GENERATORS 6n 1

UJI BILANGAN PRIMA DENGAN GENERATOR 6n



1 PRIME NUMBER TESTING USING GENERATORS 6n



1

Mursaid Dahlan*

Staff Pengajar Program Studi Matematika, FKIP Universitas Darussalam Ambon

Diterima 12-10-09; Terbit 30-11-2009

ABSTRACT

Various exclusive and special properties from prime number continuously to be studied up to now. Some properties of various from prime number are spreading of series unregular, big-jumping movement, and also infinite. From these properties, any prime number can be expressed in the form of generator 6n±1, so that any prime number p(except 2 and 3) then exist integers nsuch that p=6n±1 or p(mod6)=±1. Based on prime number generator 6n±1, we can construct a more effective method by using generator 6n±1 to test prime number. To construct this method, several concepts which are involved are system modulus of arithmetic, and discriminant of quadratic equation.

Keywords: Prime Number, Generators 6n±1, Modulus of Arithmetic, Discriminant of Quadratic Equation, Testing Prime Number.

PENDAHULUAN

Manusia diduga telah mengenal bilangan prima sejak 6500 tahun Sebelum Masehi (Siang, 2002). Sedangkan Bilangan prima sebagai cabang ilmu Matematika dikenal mula-mula di Yunani, khususnya pada masa Phytagoras, sekitar 500 tahun Sebelum Masehi [7]. Pada awal perkembangan ilmu pengetahuan sedikit sekali manfaat yang dapat diketahui tentang bilangan prima. Dalam perkembangan ilmu pengetahuan yang semakin pesat seperti sekarang ini, semakin terasa pentingnya peranan bilangan prima. Bilangan prima dibutuhkan dalam aplikasi aljabar yang

menyangkut group, polinom, ring, ideal dan field [4]. Sebelum komputer ditemukan,

perkembangan penemuan bilangan prima masih lambat karena orang belum merasakan manfaatnya, juga belum adanya alat hitung yang canggih seperti sekarang ini. Setelah komputer ditemukan, penemuan bilangan prima besar semakin sering ditemukan orang.

Misalnya yang paling mutakhir adalah ditemukannya bilangan prima Mersenne ke-42 pada bulan Februari 2005 oleh GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search), yaitu M25964951

yang terdiri dari 7816230 digit, yang juga diklaim sebagai bilangan prima terbesar yang pernah diketahui.

Beberapa Metode Pendugaan Bilangan Prima a. Metode Trial Division: Suatu bilangan pharus dapat dibagi oleh bilangan prima yang lebih kecil atau sama dengan p, jika tidak maka bilangan tersebut adalah prima.

b. Bilangan Mersenne dan prima Mersenne: Bilangan Mersenne (dinotasikan dengan Mn) adalah bilangan yang berbentuk

_Mn



2

p



1

_,

sedangkan Mersenne prima (dinotasikan dengan Mp) adalah jika

_Mn



2

p



1

_{adalah prima.}

c. Uji Lucas–Lehmer: Untuk p adalah bilangan prima ganjil, bilangan Mersenne

2

p



1

adalah prima jika dan hanya jika (2p–1) S(p–1) dengan S(n+1) = S2_{(n), dan S(1) = 4.}

Sejak bilangan prima dikenal manusia sampai era komputer seperti sekarang ini, masih belum ditemukan rumusan yang benar-benar baku dan efektif dalam menentukan bilangan prima. Berbagai metode pengujian atau pendugaan bilangan prima telah diciptakan, dan dari setiap metode tersebut memiliki kelebihan dan kekurangannya sendiri. Dalam artikel ini akan dibahas permasalahan menyangkut bagaimana pengujian keprimaan suatu bilangan p, dengan generator 6n±1 menggunakan pendekatan konsep sistim modulo, dan diskriminan persamaan kuadrat.

Definisi 1

Twin primadalah sepasang bilangan prima yang memiliki selisih dua. Jadi jika padalah prima dan p+2 juga prima, maka p dan p+2 dikatakan sebagai twin prim. (Siang, 2002).

Bilangan bulat

Teorema 1

Algoritma Pembagian (the division algorithm): Misal a,b adalah bilangan bulat dengan b>0, maka terdapat bilangan bulat q (quotient) dan r (remainder) yang unik sedemikian hingga:

r bq

a= + dan 0≤r<b.

Selanjutnya a disebut divident dan b disebut divisor (Fletcher, 1991).

Definisi 4

Misalkan a,b∈Z, dengan gcd (a,b)=1, maka a dan b dikatakan saling relatif prima (relatively prime) atau koprima.

Bilangan Komposit dan Pemfaktoran

Definisi 5

Sebuah bilangan bulat p dikatakan prima jika 1

± , 0

≠

p dan hanya memiliki pembagi yakni ±1 dan ±p.

Teorema 2

Teorema Dasar Aritmatika (The Fundamental Theorem of Arithmetic)

Setiap bilangan bulat yang lebih besar dari 1 dapat ditulis sebagai produk bilangan prima secara unik; jika n=p1p2p3...pr adalah

faktor-faktor dari n dan n=q1q2q3...qs juga faktor dari

n dengan tiap pi dan qj adalah prima, maka

s

r



(jumlah faktor n adalah sama) serta setelah diatur kembali lalu diberi indeks pada q, diperoleh: (Hungerford, 1997).

Modular Aritmatika

Definisi 6

Misalkan a,b dan n adalah bilangan bulat dengan n>0, maka a dikatakan kongruen terhadap bmodulo n, ditulis a≡b(modn), jika n membagi (a-b). Selanjutnya bilangan bulat n disebut modulus kekongruenan.

Teorema 3

Misal n adalah bilangan bulat positif. Untuk ,

, ,bc Z

a ∈ yang semuanya tidak sama dengan nol, maka berlaku :

i) Refleksif: a≡a(modn);

ii) Simetris: Jikaa≡b(modn),makab≡a(modn); iii)Transitif: ). (mod maka ,) (mod dan ) (mod Jikaa≡ b n b≡ c n a≡c n (Menezes, 1996) Persamaan Kuadrat

Persamaan kuadrat adalah polinomial berderajat dua. Bentuk standar dari persamaan kuadrat adalah:

dengan a≠0;b,c∈R

Salah satu metode dalam menyelesaikan persamaan kuadrat adalah dengan rumus abc, dengan memperhatikan nilai koefisien dari

, 0 = + + = ) (_{x ax}2 _{bx c} p

Z k n n1, 2, ∈ kuadrat adalah: a D b x 2 ± = 2 , 1 , dengan ac b

D= 2 4 , yang disebut sebagai nilai diskriminan dari persamaan kuadrat.

HASIL DAN PEMBAHASAN

Sifat-Sifat Bilangan Prima Yang Berhubungan Dengan Generator 6n±1

Sifat 1

Setiap bilangan prima p, selain 2 dan 3, dapat dibangkitkan oleh suatu bilangan bulat n dalam generator 6n±1, yang memenuhi p=6n±1atau

1 ± = ) 6 (mod p . Sifat 2

Bila p adalah bilangan yang dibangkitkan oleh generator p=6n±1 dan p bukan prima, maka faktor-faktor prima dari p adalah bilangan-bilangan prima yang juga dibangkitkan oleh generator p_i =6n_i ±1. Artinya 2 dan 3 bukanlah faktor prima dari p.

Sifat 3

Jika _{p=6n±1, n∈Z}+_{, yang bukan prima, maka}

terdapat p₁=6n₁±1dan p₂=6n₂±1(baik prima ataupun komposit) dengan +

2 1,n Z

n ∈ , yang merupakan faktor dari p, sedemikian hingga memenuhi: i. dan ii. + 2 1 2 + 1 atau =6 1= = 1 6 = n p p p n p p p . Sifat 4: Jika p+=6n+1, n∈Z+; k≥1,k∈Z , dan misalkan n =kp+±n. Maka p±=6n±1 bukanlah generator suatu twin prim. Dengan ketentuan:

i. Jika n =kp+ n maka p =6n 1 bukanlah bilangan prima karena

p

 terbagi oleh

p



dan 6k 1

ii. Jika n=kp++n _{maka p}+_{=6n+1 bukanlah}

bilangan prima karena _p+ _{terbagi oleh p}+

dan 6k+1

Sifat 5:

Jika p =6n 1, n∈Z+; k≥1,k∈Z, dan misalkan n =kp ±n. Maka _p± =6_n±1 bukanlah generator suatu twin prim. Dengan ketentuan:

i. Jika n =kp n maka p+=6n+1 bukanlah bilangan prima karena _p+ _{terbagi oleh p}

dan

6

k



1

ii. Jika

n



kp





n

maka

_p





6

_n



1

bukanlah bilangan prima karena

p

 terbagi oleh

p

 dan 6k+1

Algoritma Pengujian Bilangan Prima Dengan Uji Nilai Diskriminan Persamaan Kuadrat :

i. Menentukan nilai _p∈Z+ _{yang akan diuji}

keprimaannya

ii. Menentukan kategori dari p. Jika 1 = ) 6 (mod p , p=6n+1, maka p kategori +

p ; Jika p(mod6)= 1, p=6n 1, jadi p

kategori bilangan p . Selainnya, pengujian selesai, p bukan bilangan prima terbagi oleh 2 atau 3.

iii. Membangun persamaan linier bilangan komposit. Yaitu dua buah persamaan linier

dengan tiga variabel n₁,n₂,k; dengan

2 1 + + 2 + 1 +_{=6n+1=p p atau p =6n+1=p p} p 0 , 1, , 1 _{2 1 2} 1≥ n ≥ n ≤n k≥ n

Gunakan Algoritma pembagian pada n

dalam bentuk n =6q+r, r∈Z6; untuk

memperoleh nilai qdan r. a. untuk kategori _p+ k q n n_{1 2}= r k n n1+ 2=6 + (1) k q n n_{1 2}= + r k n n₁+ ₂=6 (2)

Jika _p+ _{adalah bilangan komposit}

maka haruslah terdapat n₁,n₂,k yang memenuhi persamaan (1) atau (2). Jika tidak maka _p+ _{adalah bilangan}

prima. Untuk sebarang n1,n2,k yang

memenuhi persamaan (1), maka

+ 1+1)\ 6 ( n p dan (6n2+1)\p+ atau ) 1 + 6 )( 1 + 6 ( = _{1 2} + _{n n} p + 2 + 1 =p p . Untuk sebarang n₁,n₂,k yang memenuhi persamaan (2), maka

+ 1 1)\ 6 ( n p dan + 2 1)\ 6 ( n p atau

)

1

6

)(

1

6

(

1



2







_n

_n

p

=p1 p2 . b. kategori p k q n n_{1 2}= r k n n2 1=6 + (3) k q n n_{1 2}= + r k n n2 1=6 (4)

Jika p adalah bilangan komposit maka haruslah terdapat n₁,n₂,k yang memenuhi persamaan (3) atau (4). Jika tidak maka p adalah bilangan prima. Untuk sebarang n1,n2,k yang

memenuhi persamaan (3), maka

p n +1)\ 6 ( 1 dan (6n2 1)\p atau ) 1 6 )( 1 + 6 ( = n1 n2 p =p1+p2 .

Untuk sebarang n₁,n₂,k yang memenuhi persamaan (4), maka

p n 1)\ 6 ( 1 dan (6n2+1)\p atau

)

1

6

)(

1

6

(

₁



₂







_n

_n

p

+ 2 1 =p p . iv. Membuat model diskriminan persamaan

kuadrat. Dari persamaan linier bilangan komposit (persamaan (1),(2),(3), dan (4)) dapat dinyatakan dalam persamaan kuadrat yang tergantung pada variabel

k

n₁, ; dan diperoleh model diskriminan persamaan kuadrat yang hanya tergantung pada variabel k.

a. kategori p+

i) Model diskriminan persamaan kuadrat untuk persamaan (1)

) ( 4 ) + 6 ( = k r 2 q k D

ii) Model diskriminan persamaan kuadrat untuk persamaan (2)

)

(

4

)

6

(

_k

_r

2

_q

_k

D









b. kategori

p



i) Model diskriminan persamaan kuadrat untuk persamaan (3)

) ( 4 + ) + 6 ( = k r 2 q k D

ii) Model diskriminan persamaan kuadrat untuk persamaan (4)

)

(

4

)

6

(

_k

_r

2

_q

_k

D









v. Menentukan interval k, yaitu max

min k k

k ≤ ≤ ;

k



Z

. Pada model diskrimian persamaan kuadrat yang hanya tergantung pada variabel k, akan dilakukan uji sebarang nilai k yang

memberikan D bulat. Jadi diperlukan sebuah interval pengujian bagi variabel k. a. kategori _p+

i) nilai kmin dan kmaxuntuk

persamaan (5) ) 2 + 6 ( ) 2 ( = min r r n rn q k ;dan 7 1 + = max r q k ; dengan 6 1 + = p n_r

ii) nilai kmin dan kmax untuk

persamaan (6) ) 2 6 ( ) + 2 ( = min r r n rn q k ;dan 5 + 1 + = max r q k ; dengan 6 1 + = p nr b. kategori p

i) nilai kmin dan kmax untuk

persamaan (7) 0 = min

k ; dan k_max =q ₇1 r ii) nilai k_min dan k_max untuk

persamaan (8) 0 = min k , jika r=0; 1 = min k , jika r>1; dan 5 + 1 = max r q k

vi. Menguji nilai diskriminan terhadap variabel k.

Dengan menguji nilai diskrimian D terhadap variabel k∈Zdalam interval yang telah ditentukan, maka jika terdapat

ksehingga nilai D adalah bulat, maka p

adalah komposit, yang faktor-faktornya adalah p1,p2. Sedangkan bila dalam batasan interval k tersebut tidak terdapat nilai k yang membuat D bulat, maka p

adalah prima.

vii. Memperoleh p1 dan p2 sebagai faktor dari p. Dengan rumus abc persamaan kuadrat akan diketahui nilai n1dan n2 pada persamaan linier bilangan komposit (pada langkah iii), sehingga p1 dan p2 yang menjadi faktor p dapat diketahui. Nilai n1dan n2 diperoleh setelah dalam uji diskriminan terhadap variabel k terdapat suatu nilai kyang membuat D bulat, dan berdasarkan rumus abc persamaan kuadrat maka nilai

a D b n 2 ± = 2 , 1 juga bulat. a. kategori _p+

i) nilai n1,n2 untuk persamaan (1)

2 ± ) + 6 ( = 2 , 1 D r k n ;

ii) nilai n1,n2 untuk persamaan (2)

2 ± ) 6 ( = 2 , 1 D r k n ; b. kategori p

i) nilai n₁,n₂ untuk persamaan (3)

2 ± ) + 6 ( = 2 , 1 D r k n ;

ii) nilai n1,n2 untuk persamaan (4)

2 ± ) 6 ( = 2 , 1 D r k n ;

KESIMPULAN

Berdasarkan hasil dalam pembahasan, dapat disimpulkan langkah-langkah pengujian bilangan prima p dengan uji nilai diskriminan persamaan kuadrat:

i. Menentukan nilai _p∈Z+ _{yang akan diuji}

keprimaannya

ii. Menentukan kategori dari p, yakni kategori _p+ _{atau kategori p .}

iii. Membangun persamaan linier bilangan komposit untuk tiap kategori _p+ _dan

kategori

p

.

iv. Membuat model diskriminan persamaan kuadrat dari persamaan linier bilangan komposit.

v. Menentukan interval k, yaitu

max

min k k

k ≤ ≤ ;

k



Z

.

vi. Menguji nilai diskriminan terhadap variabel k dalam interval yang telah ditentukan. vii. Memperoleh p1 dan p2 sebagai faktor

dari p, dengan rumus abc persamaan kuadrat.

DAFTAR PUSTAKA

[1] Fletcher, H.P., 1991, Foundation of Discrete Mathematics, DWS, Kent Publishing Company, Boston

[2] Foldes, S., 1994, Fundamental Structures of Algebra & Discrete Mathematics, John Wiley & Sons, inc, Canada

[3] Hungerford, T.W., 1997, Abstract Algebra An Introduction, second edition, Sounders College Publishing, New York.

[4] Marjono, 2002, “The Rivest, Shamir, Adleman (RSA) Public Key Cryptosystem and Cyclic Codes”, Integral, April (2002), Vol. 7, hal. 1 – 6.

[5] Menezes, A., 1996, Hand Book of Applied Cryptography, CRC Press, Canada

[6] Siang, J.J. 2002, ”Bilangan Prima: Perkembangan dan Aplikasinya”, Integral, April (2002), Vol 7, hal. 7 – 13.

[6] http : // www. math. utah. edu. /~alfeld/math/ largeprima.html. [24 Maret 2005]

[8] http : // www. mathhworld. wolfram. com/ PrimeNumber.html. [19 Agustus 2005] [9] http : // www. wordlookup. net /di

/discriminant-of-a-polynomial.html. [19 Agustus 2005]

[10] http://www.–groups.dcs.stand.ac.uk /~history/ Mathematicians / Primenumbers.html. [6 Januari 2006]