Matematika Semester IV
Matematika Semester IV
F U N G S I
A. RELASI DAN FUNGSI
Dalam kehidupan sehari-hari kita sering mendengar kata relasi, seperti relasi bisnis,
relasi keluarga, dll. Kata relasi tersebut dapat diartikan sebagai hubungan. Sedangkan dalam
matematika, relasi dapat diartikan sebagai berikut
Relasi antara dua himpunan dapat dinyatakan dengan tiga cara, yaitu :
a. Diagram panah,
b. Himpunan pasangan berurutan,
c. Diagram Cartesius.
Secara matematis, fungsi dari A ke B yang memetakan setiap ( ) dinotasikan sebagai berikut
Pada fungsi di atas, himpunan A disebut daerah asal atau domain, dinotasikan oleh D, yaitu
himpunan asal semua unsure pemetaan. Himpunan B disebut daerah kawan atau kodomain
dinotasikan oleh K, yaitu himpunan tujuan pemetaan. Himpunan semua peta dari himpunan A
disebut range atau daerah hasil, dinotasikan oleh R. Range merupakan himpunan bagian dari
kodomain. Fungsi dapat dinyatakan dengan cara yang sama dengan menyatakan relasi antara dua
himpunan.
Contoh 1
Diketahui himpunan * + dan himpunan * +. Relasi yang menghubungkan KOMPETENSI DASAR
Mendeskripsikan perbedaan konsep relasi dan fungsi
Menerapkan konsep fungsi linear
Menggambar fungsi kuadrat
Menerapkan konsep fungsi kuadrat
Menerapkan konsep fungsi trigonometri
Relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu aturan atau hubungan yang memasangkan anggota-anggota himpunan A ke anggota-anggota himpunan B
Fungsi atau pemetaan dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu relasi khusus yang memasangkan setiap anggota A dengan tepat satu anggota B.
Matematika Semester IV
3
a. Diagram panah
b. Himpunan pasangan berurutan,
c. Diagram Cartesius
Jawab:
a. Diagram panah Diagram Cartesius
b. Himpunan pasangan berurutan
*( ) ( ) ( )+
Dari penyelesaian pada contoh di atas, didapat pernyataan sebagai berikut.
Himpunan * + adalah doamain (daerah asal atau daerah defenisi) fungsi.
Himpunan * + adalah kodomain (daerah kawan)
{2,4,6} adalah Range (derah hasil atau daerah nilai) fungsi.
2 adalah bayangan atau peta dari 1; 4 adalah bayangan atau peta dari 2; 6 adalah bayangan
atau peta dari 3.
Contoh 2
Suatu fungsi f dinotasikan dengan . Jika diketahui kodomainnya himpunan bilangan real dan daerah asalnya {-1, 0, 1, 2}, tentukan:
a. Rumus fungsi
b. Range
c. Himpunan pasangan berurutan
d. Bayangan (peta) dari 10
Jawab
c. Himpunan pasangan berurutan = {(-1,-5), (0,-3), (1,-1), (2,1)}
Matematika Semester IV
Jenis-jenis fungsi ditinjau dari sifat-sifatnya sebagai berikut:
a. Fungsi Injektif (Satu-Satu)
Fungsi f disebut fungsi injektif atau fungsi satu-satu bila dan anggota daerah asal,
, maka ( ) ( ). Yang berarti jika ( ) ( ) maka . Atau setiap anggota himpunan domain dan kodomain hanya mempunyai satu pasangan.
b. Fungsi Surjektif (Onto)
Suatu fungsi f dari himpunan A ke himpunan b disebut fungsi surjektif bila setiap anggota B mempunyai kawan di A. Dengan kata lain, setiap anggota dari B merupakan bayangan dari
elemen anggota A. Himpunan B merupakan daerah hasil atau range.
c. Fungsi Bijektif (Korespondensi Satu-Satu)
Bila suatu fungsi f dari himpunan A ke himpunan B mempunyai sifat injektif dan juga mempunyai sifat surjektif maka fungsi f disebut bijektif. Setiap dua anggota A, dan
yang berbeda atau maka kawannya juga berbeda, ( ) ( ). Setiap y anggota B merupakan bayangan dari tepat satu anggota A. Jadi, untuk fungsi bijektif tentu banyaknya
anggota daerah asal sama dengan banyaknya anggota daerah kawan ( ) ( )
B. FUNGSI LINEAR
Bentuk Umum Fungsi Linear
Fungsi Linear memiliki variable dengan pangkat tertinggi satu. Fungsi ini memetakan
setiap ke suatu bentuk , dengan , a dan b konstanta. Jika digambarkan, grafik fungsi linear akan berupa garis lurus.
Himpunan titik yang didapat dari fungsi ( ) membentuk grafik yang disebut grafik fungsi linear. Grafiknya berbentuk garis lurus dengan persamaan , di mana m
disebut graien garis atau kemiringan garis dan c merupakan suatu konstanta.
Untuk menggambar garis pada bidang Cartesius dengan persamaan dapat dilakukan dengan menemukan paling sedikit dua titik yang memenuhi persamaan tersebut.
Selanjutnya dari kedua titik tersebut dihubungkan menjadi sebuah garis.
A
B
Fungsi Injektif
A
B
Fungsi Surjektif
A B
Matematika Semester IV
5
Contoh 1
Suatu fungsi Linear ditentukan oleh dengan daerah asal * +. Gambarkan titik-titik tersebut dalam diagram Cartesius.
Jawab
x -1 0 1 2
-2 -1 0 1
Gradien Persamaan Garis Lurus
Gradien suatu garis adalah bilangan yang menyatakan kecondongan suatu garis yang
merupakan perbandingan antara komponen y dan komponen x. Gradien suatu garis yang melalui titik pusat O(0, 0) dan titik (x, y):
Garis dengan persamaan y = mx memiliki gradien m Garis dengan persamaan y = mx + c memiliki gradien m
Hasil kali gradien dua garis yang saling tegak lurus adalah -1.
Contoh 2
1. Tentukan gradien garis berikut:
Matematika Semester IV
Menentukan Persamaan Garis Lurus
Persamaan Garis yang Melalui Sebuah Titik (x1,y1) dengan gradien m
Contoh 3
Tentukan persamaan garis yang melalui titik (-2, 1) dan gradien -2
Jawab
Jadi, persamaan garis lurus yang melalui titik (-2, 1) dengan gradien -2 adalah
Matematika Semester IV
7
Persamaan garis yang melalui titik (2, -3) maka dan
Persamaan garis lurus yang dicari melalui titik (2, -3) dan bergradien adalah
( )
Tentukan persamaan garis yang melalui titik (-3, 1) dan tegak lurus dengan garis
Matematika Semester IV
Persamaan Garis yang Melalui Dua Titik Sebarang (x1,y1) dan (x2y2)
Contoh 5
Tentukan persamaan garis yang melalui titik Q(-5, 0) dan R(3, 4)
Jawab
Tentukan persamaan garis dari grafik fungsi berikut
Jawab
Diketahui persamaan garis lurus melalui titik (2, 0)
dan titik (0, 4). Persamaan garisnya adalah:
Matematika Semester IV
9
Invers Fungsi Linear
Misal Bayangan dari karena fungsi f adalah
y=f(x)
Fungsi yang mengawankan setiap bayangan dari
karena fungsi f yaitu y=f(x) dengan maka fungsi g
disebut fungsi invers dari f.
Fungsi invers dari fungsi f ditulis
Bayangan dari karena adalah ( )
Syarat agar invers suatu fungsi f yaitu juga merupakan fungsi (disebut fungsi invers), hanya jika fungsi f adalah bijektif (berada dalam korespondensi satu-satu).
Untuk menentukan rumus invers dari sebuah fungsi, dapat dilakukan dengan
langkah-langkah sebagai berikut:
1. Misalkan ( )
2. Nyatakan x dalam y (sebagai fungsi y) 3. Nyatakan x sebagai ( )
4. Gantilah y pada ( ) dengan x untuk mendapatkan ( ) Contoh:
Carilah rumus invers dari fungsi-fungsi berikut.
a. ( )
b. ( )
Jawab
a. ( )
( )
( )
A B
f
y=f(x)
g x
( ) ( )
( )
( )
b. ( )
Matematika Semester IV
C. FUNGSI KUADRAT
Suatu fungsi dalam himpunan bilangan yang dinyatakan dengan rumus fungsi
dengan disebut fungsi kuadrat. Untuk menggambar grafik fungsi kuadrat pada sumbu koordinat Cartesius, lambang ( ) dapat diganti dengan y sehingga
( ) dapat ditulis dimana x disebut variable bebas dan y disebut variable terikat.
Grafik fungsi kuadrat ( ) berbentuk parabolasimetris.
Sifat-Sifat Grafik Fungsi Kuadrat
Berdasarkan Nilai a
(i) Jika (positif), maka grafik atau parabola terbuka ke atas (Gambar (a)). Fungsi kuadrat memiliki nilai ekstrim
minimum, dinotasikan , atau titik balik minimum.
(ii) Jika (negatif), maka grafik atau parabola terbuka ke bawah (Gambar (b)). Fungsi kuadrat memiliki nilai ekstrim maksimum, dinotasikan , atau titik balik
maksimum
Berdasarkan Nilai Diskriminan (D)
Nilai Diskriminan suatu persamaan kuadrat adalah sebagai berikut
Secara geometri, nilai diskriminan ini berkorespondensi dengan titik potong grafik dengan
sumbu X sebagai berikut
(i) Jika , maka grafik memotong sumbu X di dua titik yang berbeda (Gambar (a)).
(ii) Jika , maka grafik menyinggung
sumbu X di ( ) di sebuah titik (gambar (b)).
(iii)Jika , maka grafik tidak memotong
dan tidak menyinggung sumbu X (Gambar (c)).
( )
(a)
(b)
(a) X
X
X
X
(b)
X
X
Matematika Semester IV
11
Menggambar Grafik Fungsi Kuadrat
Langkah-langkah menggambar grafik fungsi kuadrat adalah sebagai berikut.
(i)Menentukan titik potong dengan sumbu X. Titik potong dengan sumbu X diperoleh jika atau yaitu dengan memfaktorkan persamaan atau dengan menggunakan rumus
(ii) Menentukan titik potong dengan sumbu Y. titik potong dengan sumbu Y diproleh jika , yaitu dengan mensubstitusikan ke dalam fungsi kuadrat.
(iii)Menentukan sumbu simetri dan koordinat titik balik
Persamaan sumbu simetri adalah
Koordinat titik puncak/titik balik adalah (
)
(iv) Menentukan beberapa titik bantu lainnya (jika diperlukan). Ambil sebarang nilai kemudian substitusikan ke persamaan fungsi kuadrat. Hubungkan titik-titik tersebut untuk
mendapatkan grafik fungsi yang diinginkan.
Perhatikan contoh berikut.
Gambarkan grafik fungsi kuadrat dengan persamaan .
Jawab:
( ) ( )
(i) Titik potong grafik dengan sumbu X ( )
Karena D<0 maka, grafik tidak memotong sumbu X
(ii) Titik potong grafik dengan sumbu Y ( )
( ) ( )
Jadi, titik potong grafik dengan sumbu Y adalah titik (3, 0)
(iii) Sumbu simetri dan koordinat titik balik
( ) ( )
( ) ( )
Jadi, titik puncaknya adalah ( ) dan sumbu simetri
(iv) Titik bantu
Untuk ( ) ( ) Titik bantu (1,3)
Matematika Semester IV
Menentukan Persamaan Fungsi Kuadrat Jika Diketahui Grafik Atau Unsur-Unsurnya
Persamaan Fungsi Kuadrat ( ) Apabila Diketahui Grafik Fungsi Melalui Tiga Titik
Contoh:
Tentukan fungsi kuadrat yang melalui titik (1, -4), (0, -3), dan (4, 5).
Jawab
( )
( ) ( ) ( ) Substitusi x = 1dan ( ) ....(1)
( ) ( ) ( ) Substitusi x = 0dan ( )
…..(2)
( ) ( ) ( ) Substitusi x = 4dan ( ) ...(3)
Substitusi (2) ke (1)
... (4) Substitusi (2) ke (3)
... (5) Dari (4) dan (5) diperoleh:
Substitusi a = 1 ke (4) 1 + b = -1
b = -2
Jadi fungsi kuadratnya adalah ( )
Persamaan Fungsi Kuadrat ( ) Apabila Diketahui Dua Titik Potong Terhadap Sumbu X dan Satu Titik Yang Lainnya
Persamaan fungsi kuadrat ( ) apabila diketahui dua titik potong terhadap sumbu x dan satu titik yang lainnya dapat ditentukan dengan rumus berikut
-
Matematika Semester IV
13
Contoh:
Tentukan persamaan fungsi kuadrat yang memotong sumbu X di titik A (1, 0), B (-3, 0), dan
memotong sumbu Y di titik (0, 3)
Jawab
( ) ( )( )
Titik (1, 0) dan (-3, 0) disubstitusikan ke ( ) menjadi
( ) ( )( )…. (1)
Kemudian substitusikan (0, 3) ke persamaan (1) menjadi
( )( )
Persamaan fungsi kuadratnya menjadi
( ) ( )( ) ( ) ( )
Jadi, fungsi kuadratnya adalah ( )
Persamaan Fungsi Kuadrat ( ) Apabila Diketahui Titik Puncak Grafik ( ) dan Satu Titik Yang Lainnya
Persamaan fungsi kuadrat ( ) apabila diketahui titik puncak grafik ( )
dan satu titik yang lainnya dapat ditentukan dengan rumus sebagai berikut
Contoh:
Tentukan persamaan fungsi kuadrat yang titik puncaknya (-1, 9) dan melalui (3, -7).
Jawab
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) …. (1)
Substitusikan titik (3, -7) ke persamaan (1) menjadi
( )
Substitusikan titik ke persamaan (1)
( ) ( ) ( ) ( )
Matematika Semester IV
( )Jadi, fungsi kuadratnya adalah ( ) Penerapan Fungsi Kuadrat
Contoh 1:
Lintasan sebuah peluru yang ditembakkan vertikal ke atas setinggi h meter dalam waktu t detik, dinyatakan dengan rumus . Tentukan:
a. Waktu yang diperlukan untuk mencapai tinggi maksimum,
b. Tinggi maksimum peluru tersebut.
Jawab
(fungsi kuadrat dengan a = -5, b = 40, c = 0)
a. Tinggi maksimum dicapai pada
( )
Jadi, waktu yang diperlukan untuk mencapai tinggi maksimum adalah t = 4 detik.
b.
(( ) ( )( )) ( )
Jadi, tinggi maksimum peluru adalah h = 80 meter
Contoh 2:
Panjang seutas kawat adalah 200 m. Kemudian kawat itu dibentuk menjadi persegi panjang dengan
panjang x meter dan lebar y meter. Jika luas persegi panjang itu dinyatakan dengan L, a. Nyatakan L sebagai fungsi,
b. Tentukan luas maksimum persegi panjang.
Jawab
a. Panjang kawat = keliling persegi panjang = 200 m
( ) ( ) ( )
( )
b. Fungsi kuadrat dengan a = -1, b = 100, dan c = 0
(( ) ( ) ( )( ))
Matematika Semester IV
15
D. FUNGSI TRIGONOMETRI
Fungsi trigonometri memetakan bilangan real x pada perbandingan trigonometrinya antara lain pada ( ) ( ) ( ) . Nilai fungsi perlu dihitung untuk memudahkan dalam menggambar grafik fungsi trigonometri. Berikut ini diberikan tabel
sudut-sudut istimewa.
Secara umum grafik fungsi trigonometri dapat digambar dengan menggunakan bantuan
tabel maupun lingkaran satuan.
( ) x
0
√ √ 1
1
√ √ 0
0
Matematika Semester IV
E. Latihan Mandiri
Kerjakan soal berikut secara individu sebagai tugas akhir SK 1
1. Persamaan garis yang melalui titik A(-1, 1) dan sejajar dengan garis 2x + y + 3 = 0 adalah ….
a. 2x - y + 3 = 0
b. 2x + y + 3 = 0
c. 2x + y + 1 = 0
d. x + 2y + 1 = 0
e. x - 2y - 3 = 0
2. Persamaan garis yang melalui titik A(-2, 4) dan sejajar garis dengan persamaan 2x + y + 3 = 0
adalah ….
a. y = 4x + 10
b. y = 2x - 10
c. y = -2x - 8
d. y = x + 8
e. y = 4x – 12
3. persamaan garis yang melalui titik A(-4, 6) dan B (2, 8) adalah ….
a. 3y – 4x – 12 = 0
b. 3y – x – 22 = 0
c. x – 3y + 22 = 0
d. 3x – y – 22 = 0
e. 3y – 3x + 22 =
4. Fungsi kuadrat yang mempunyai titik puncak (-1, 9) dan melalui titik (3, -7) adalah …
a. y =
b. y =
c. y = d. y = e. y =
5. Grafik fungsi f (x) = – x –6 adalah….
a
c.
b d
-3 0 2 Y
0 -2 3
Y
-3 0 2 Y
Matematika Semester IV
17
e
6. Persamaan fungsi kuadrat yang memotong sumbu X di titik (-4,0) dan (3,0) serta memotong
sumbu Y di titik (0, -12), mempunyai persamaan ….
a. b. c. d.
e.
7. Persamaan fungsi kuadrat yang titik puncaknya (-4, 1) dan melalui titik (0, -15) adalah…
a. b. c. d.
e.
Matematika Semester IV
BARISAN & DERET
A. POLA BILANGAN, BARISAN BILANGAN DAN NOTASI SIGMA
Pola dan Barisan Bilangan
Sekumpulan bilangan yang sering ditemui kadang mengikuti pola tertentu. Pola bilangan
digunakan dalam menentukan urutan atau letak suatu bilangan dari sekumpulan bilangan.
Misalkan bilangan kelima dari kumpulan bilangan genap: 10, 12, 14, 16, 18, . . . adalah 18.
Kumpulan bilangan tersebut membentuk sebuah barisan bilangan. Barisan bilangan adalah
susunan anggota suatu himpunan bilangan yang diurutkan berdasarkan pola atau aturan tertentu.
Anggota barisan bilangan disebut suku barisan yang dinyatakan sebagai berikut.
Sedangkan penjumlahan dari suku-suku suatu barisan disebut deret. Bentuk umum deret adalah
sebagai berikut.
Menurut banyak suku-suku pembentuknya deret bilangan dibedakan menjadi deret hingga dan
deret tak hingga.
Notasi Sigma
Untuk menuliskan jumlah dari suku-suku barisan bilangan dapat digunakan notasi sigma atau notasi penjumlahan sebagai berikut.
∑
Sifat-sifat notasi sigma Aturan suku konstan
∑ ⏟
Aturan jumlah
∑( ) ∑
∑
Aturan perkalian skalar
∑
∑
KOMPETENSI DASAR
Mengidentifikasi pola, barisan dan deret bilangan
Menerapkan konsep barisan dan deret aritmetika
Matematika Semester IV
19
∑( )
∑
∑
Aturan bagian (jika 1 < m < n)
∑
∑
∑
Aturan pengubahan indeks
∑
∑
∑
∑
Aturan dominan (jika untuk k = 1, 2, 3, ..., n)
∑
∑
Aturan kuadrat
∑( ) ∑ ∑ ∑
B. BARISAN DAN DERET ARITMETIKA
Barisan Aritmetika
Jika terdapat suatu pola (aturan) tertentu antara suku-suku pada barisan, yaitu selisih
antara kedua suku yang berurutan selalu tetap (konstan), maka barisan bilangan itu disebut
barisan aritmetika.
Jika suku pertama ( ) dinyatakan dengan a, selisih (beda) antara dua suku berurutan diberi notasi b, dan suku barisan ke-n dilambangkan dengan , maka bentuk umum barisan aritmetika adalah sebagai berikut.
Dimana , dengan b sebuah konstanta yang tidak bergantung pada n.
Contoh 1:
Tentukan suku pertama, beda, rumus suku ke-n, dan suku ke-10 dari barisan 5, 10, 15, 20, ...
Jawab
Suku pertama ( ) = a = 5
Beda (b) = Rumus suku ke-n ( ) ( )
( )
Matematika Semester IV
Suku ke-10 ( ) ( )
Contoh 1:
Diketahui barisan aritmetika dengan suku ke-4 = 17 dan suku ke-9 = 37. Tentukan suku ke-41.
Jawab
Suku ke-4 ( ) ( )
( )
Suku ke-9 ( ) ( )
( )
Eliminasi persamaan (1) dan (2) menjadi:
Substitusi b = 4 ke persamaan (1) menjadi:
( )
( ) ( )
( )
Jadi, suku ke-41 adalah 165
Deret Aritmetika (Deret Hitung)
Deret aritmetika adalah suatu barisan aritmetika yang suku-sukunya dijumlahkan.
Apabila jumlah n suku barisan aritmetika yang berurutan dinyatakan sebagai , maka dapat dinyatakan dengan rumus berikut.
-
( ( ) ) ( )
Matematika Semester IV
21
Dengan : jumlah n suku pertama
: suku ke-n
: suku pertama
: beda
: banyak suku Untuk setiap n berlaku:
Contoh:
Diketahui deret aritmetika: 2 + 5 + 8 + 11 + .... Tentukan:
a. Rumus suku ke-n ( ),
b. Rumus jumlah n suku pertama ( ), c. Jumlah 20 suku pertama ( )
Jawab
a. ( )
( )
b. ( )
( ( ))
( )
c. ( )
C. BARISAN DAN DERET GEOMETRI
Barisan Geometri
Barisan geometri adalah suatu barisan bilangan yang setiap suku berikutnya diperoleh dengan
mengalikan suatu bilangan yang besarnya tetap (r = rasio). Apabila diketahui barisan bilangan:
Nilai r diperoleh dari:
Matematika Semester IV
Dimana r merupakan bilangan konstan.
Bentuk umum barisan geometri dengan suku pertama a dan rasio r adalah sebagai berikut.
Dengan, : suku ke-n
: = suku pertama
: rasio antara dua suku yang berurutan
: banyak suku Contoh:
Diketahui barisan geometri: 27, 9, 3, 1, ... Tentukanlah suku pertama, rasio, rumus suku ke-n, dan suku ke-6.
Jawab
Suku pertama ( )
Rasio ( )
Rumus suku ke-n ( )
( ) ( )( )
( )( )( )
Suku ke-6 ( )
Deret Geometri (Deret Ukur)
Penjumlahan suku-suku dari barisan geometri yang berurutan disebut deret geometri.
Seperti pada deret aritmetika, deret geometri juga dinyatakan dengan .
Sehingga, untuk r < 1, berlaku:
Atau, untuk r > 1, berlaku:
( )
Matematika Semester IV
23
Contoh:
Tentukanlah rasio, suku ke-10, dan jumlah 10 suku pertama dari deret geometri
3 + 6 + 12 + 24 + … Jawab
( )
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) (
)
( ) ( )
Deret Geometri Tak Hingga
Deret geometri tak hingga adalah deret geometri yang banyak suku-sukunya tak hingga.
Deret geometri tak hingga terdiri dari 2 jenis, yaitu konvergen dan divergen.
Jika deretgeometri tak hingga dengan -1 < r < 1, maka jumlah deret geometri tak hingga
tersebut mempunyai limit jumlah (konvergen).
( )
Untuk (tak hingga), mendekati 0. Sehingga
Dengan : jumlah deret geometri tak hingga
a : suku pertama
r : rasio
Jika , maka deret geometri tak hingganya akan divergen, yaitu jumlah suku-sukunya tidak terbatas atau tidak menuju suatu bilangan tertentu. Hal ini terjadi karena perbedaan
nilai rasionya (r). Contoh:
Hiting jumlah deret geometri tak hingga : 18 + 6 = 2 + ...
Jawab
r > 1
Matematika Semester IV
D. Latihan Mandiri
Kerjakan soal latihan mandiri berikut sebagai tugas akhir pada SK II
1. Rumus suku ke-n dari barisan 3, 10, 29, 66, 127, … dengan n anggota himpunan bilangan asli
adalah …
a. n2 + 1 b. n3– 2 c. n2 + 3 d. 2n2 – 1 e. n3 + 2
2. Pak Faisal mempunyai 6 orang anak dengan pemberian uang saku setiap harinya membentuk deret aritmetika. Uang saku anak ke-2 Rp 8.000,00 dan anak ke-5 Rp 3.500,00. Jumlah uang
saku yang dikeluarkan Pak Faisal setiap harinya adalah …
a. Rp 30.000,00
b. Rp 32.000,00
c. Rp 34.500,00
d. Rp 37.000,00
e. Rp 39.500,00
3. Diketahui barisan bilangan geometri 5 + 7 + 12 + 23 + ….suku ke-10 dari barisan tersebut
adalah ….
a. 20 b. 21 c. 22 d. 23 e. 24
4. Jika (p + 1), (p – 2), (p –8), membentuk barisan geometri, maka rasionya adalah …. a. -1
b.
c. d. 1 e. 2
5. Diketahui deret geometri dengan suku pertama adalah 6 dan suku ke-3 adalah 54. Jumlah
lima suku pertama adalah …
a. 729
b. 726
c. 486
d. 480
e. 240
6. Diketahui suatu barisan gemetri dengan a = dan r = 3. Jumlah 4 suku pertamanya adalah …
a. 24
b. 24
Matematika Semester IV
25
e. 36
7. Besar suku ke-7 dan ke-3 dari suatu barisan aritmatika 37 dan 17. Jumlah 5 suku pertama
barisan tersebut adalah …
a. 65
b. 75
c. 85
d. 95
e. 105
8. Rumus suku ke-n suatu barisan aritmatika adalah = 16 – 3n, suku ke-5 barisan tersebut adalah
a. 1
b. 2
c. 4
d. 8
e. 31
9. Jumlah deret geometri tak hingga 6 + 2 + + …
a. 8
b. 8
c. 9
d. 10
e. 18
10.Rumus suku ke-n dari barisan , 1,….adalah
a.
b.
c.
d. – 3
Matematika Semester IV
RUANG DIMENSI DUA
A. PENGERTIAN SUDUT
Sudut terbentuk oleh dua sinar yang saling bertemu titik pangkalnya atau dapat
dikatakan bahwa sudut terbentuk oleh kemiringan suatu sinar terhadap sinar lain yang bersekutu
pangkalnya. Titik persekutuannya disebut titik sudut dan dua sinar yang bersekutu merupakan sisi
sudut atau kaki sudut. Besarnya suatu sudut dapat diukur menggunakan satuan sudut.
Satuan-satuan sudut yang biasa digunakan antara lain sebagai berikut.
1. Derajat
Derajat adalah satuan ukuran sudut dan dilambangkan dengan “ ”.
. Setiap derajat dibagi dalam 60 menit dan setiap menit dibagi dalam
60 detik.
Jadi, Contoh:
Nyatakan ke dalam satuan yang ditentukan.
a. b. ...’ =...” c.
Jawab
a.
b.
c.
KOMPETENSI DASAR
Mengidentifikasi sudut
Menentukan keliling bangun datar dan luas daerah bangun datar
Matematika Semester IV
27
2. Radian
Jika adalah besar sudut yang dibentuk oleh dua jari-jari pada sebuah lingkaran yang
menghadap busur lingkaran yang panjangnya sama dengan jari-jari lingkaran, maka besar
sudut adalah satu radian dan ditulis 1 rad. Jika panjang busur satu lingkaran = keliling
lingkaran = , maka besar sudut satu putaran penuh = radian.
3. Grade
Grade adalah satuan sudut yang membagi lingkaran menjadi 400 bagian yang sama. Sudut 1
putaran = radian =
B. KONVERSI SUDUT
Dari uraian di atas terlihat adanya hubungan tiap jenis satuan sudut, sehingga kita dapat
mengkonversikan satuan sudut yang satu menjadi satuan sudut yang lain menggunakan aturan
sebagai berikut.
Contoh:
Selesaikan soal berikut.
a. Ubahlah ke dalam satuan radian dan grade. b. Ubahlah 2 radian ke dalam satuan derajat dan grade.
c. Ubahlah ke dalam satuan derajat dan radian.
Jawab
a.
b.
c.
C. KELILING DAN LUAS DAERAH BANGUN DATAR
1. Persegi Panjang
Sifat-sifat persegi panjang adalah sebagai berikut.
a. Setiap sisi yang berhadapan sama panjang.
b. Setiap sudutnya merupakan sudut siku-siku.
c. Mempunyai dua diagonal yang sama panjang dan berpotongan di satu titik pada bagian
tengah persegi panjang. Titik tersebut membagi kedua diagonal menjadi dua bagian yang
sama panjang.
l d
Matematika Semester IV
d. Diagonal persegi panjang membagi persegi panjang menjadi dua segitiga siku-siku yang
kongruen.
e. Persegi panjang mempunyai 2 sumbu simetri, 2 simetri lipat, dan 2 simetri putar.
Jika persegi panjang memiliki ukuran panjang = p dan lebar = l, maka luas dan kelilingnya dapat ditentukan dengan rumus berikut
Sedangkan untuk mencari panjang diagonalnya adalah dengan rumus berikut.
2. Persegi
Persegi panjang yang keempat sisinya mempunyai panjang yang sama disebut
persegi. Persegi mempunyai sifat-sifat sebagai berikut.
a. Setiap sisinya sama panjang.
b. Setiap sudutnya merupakan sudut siku-siku.
c. Mempunyai dua diagonal yang sama panjang
dan berpotongan di satu titik pada bagian
tengah persegi. Titik tersebut membagi kedua
diagonal menjadi dua bagian sama panjang.
d. Diagonal persegi membagi persegi menjadi dua segitiga siku-siku sama kaki yang
kongruen.
e. Diagonal persegi membagi sudut persegi sama besar dan perpotongannya membentuk
sudut siku-siku.
f. Persegi mempunyai empat sumbu simetri, empat simetri lipat, dan empat simetri putar.
Jika sebuah persegi sisinya adalah s, maka luas keliling, dan panjang diagonalnya dapat ditentukan dengan rumus berikut.
3. Jajargenjang
Jajargenjang adalah bangun datar segi empat dengan
sisi-sisi yang berhadapan sejajar dan sama panjang. Sifat-sifat
jajargenjang adalah sebagai berikut.
a. Setiap sudut yang berhadapan sejajar dan sama panjang.
b. Sudut-sudut yang berhadapan sama besar.
Keliling (K) = 2 (p +l) Luas (L) =
Diagonal: √
Keliling (K) Luas (L) = Diagonal (d) √
s
s
s
s d
b
a
Matematika Semester IV
29
d. Jajargenjang mempunyai dua diagonal yang berpotongan di satu titik dan saling
membagi dua sama panjang.
e. Jajagenjang tidak mempunyai simetri lipat, namun mempunyai dua simetri putar.
Jika sebuah jajargenjang memiliki panjang sisi-sisi a dan b dengan tinggi t, maka keliling dan luasnya dapat ditentukan dengan rumus berikut.
4. Segitiga
Segitiga adalah bangun datar yang mempunyai tiga sisi yang ujungnya saling bertemu
dan membentuk tiga buah sudut. Jumlah ketiga sudut dalam segitiga adalah . Jenis-jenis segitiga antara lain;
a. Segitiga siku-siku, merupakan segitiga yang besar
salah satu sudutnya .
b. Segitiga sama kaki, merupakan segitiga yang
memiliki dua sisi sama panjang.
c. Segitiga sama sisi merupakan segitiga yang ketiga sisinya sama panjang.
d. Segitiga lancip, merupakan segitiga yang salah satu besar sudutnya < e. Segitiga tumpul, merupakan segitiga yang salah satu besar sudutnya >
Jika segitiga memiliki sisi-sisi a, b, c dan tinggi segitiga yang tegak lurus alas a
adalah t, maka luas dan kelilingnya dirumuskan sebagai berikut.
dengan
Keliling segitiga adalah
5. Layang-Layang
Layang-layang adalah bangun datar segi empat yang kedua diagonalnya berpotongan
tegak lurus dan membentuk sudut siku-siku. Sifat-sifat layang-layang adalah sebagai berikut.
a. Terdapat dua pasang sisi sama panjang yang
salah satu titik pangkalnya saling bertemu.
b. Diagonalnya saling berpotongan membentuk
sudut siku-siku.
Matematika Semester IV
Luas dan keliling layang-layang ABCD dirumuskan sebagai berikut.
6. Trapesium
Trapesium adalah sebuah bangun datar segi empat yang mempunyai sepasang sisi
yang sejajar. Ada tiga macam trapezium yaitu: trapesium sembarang (gambar a), trapesium
sama kaki (gambar b), dan trapesium siku-siku (gambar c).
(gambar a) (gambar b) (gambar c)
Jika panjang sisi-sisi sejajar sebuah trapesium
adalah a dan b, panjang sisi-sisi yang lain adalah c dan d,
serta tingginya t, maka luas dan kelilingnya adalah sebagai berikut.
7. Lingkaran
Lingkaran adalah bangun datar dimana untuk setiap titik pada lingkaran itu
mempunyai jarak yang sama terhadap suatu titik tertentu yang disebut pusat lingkaran. Jarak
yang sama itu disebut jari-jari. Garis tengah lingkaran yang melewati titik pusat lingkaran
disebut diameter. Panjang diameter adalah dua kali panjang jari-jari atau . Jika sebuah lingkaran memiliki panjang jari-jari r, maka keliling dan luasnya dirumuskan sebagai berikut.
( )
dan
Keliling (K) = jumlah keempat sisinya
( ) ( )
dan
Keliling (K) =
t
a
d c
b
Keliling (K) =
Matematika Semester IV
31
D. TRANSFORMASI BANGUN DATAR
Misalkan ( ) ( ) merupakan titik-titik pada bidang Cartesius, maka jarak PQ didefenisikan sebagai berikut
1. Translasi (Pergeseran)
Translasi adalah suatu transformasi yang memindahkan suatu bangun datar dengan
jarak dan arah tertentu atau dengan cara digeser, hasilnya berupa bangun datra yang sama
dengan ukuran tetap. Sifat-sifat translasi adalah sebagai berikut.
a. Tidak mengubah bentuk dan ukuran.
b. Mengubah kedudukan dari titik, garis, atau bidang.
Hasil tanslasi titik ( ) oleh translasi ( ) adalah sebagai berikut.
2. Refleksi (Pencerminan)
Refleksi (pencerminan) adalah suatu transformasi (perpindahan) yang memindahkan
titik-titik pada suatu bangun dengan menggunakan sifat bayangan cermin. Refleksi terhadap
sebuah bangun datar diperoleh dengan merefleksi titik-titik pada bangun datar tersebut.
Refleksi titik ( ) terhadap :
a. Sumbu X atau y = 0 adalah ( ) ( ) b. Sumbu Y atau x = 0 adalah ( ) ( ) c. Pusat O adalah ( ) ( )
d. Garis x = h adalah ( ) ( ) e. Garis y = k adalah ( ) ( ) f. Garis y = x adalah ( ) ( ) g. Garis y = -x adalah ( ) ( ) h. Titik (h, k) adalah ( ) ( )
| | √( ) ( )
Q
( ) (→ ( ) )
R
Q’
P’ P
R’
R’
R Q’
P’ P
Q
Matematika Semester IV
3. Rotasi (Perputaran)
Rotasi atau perputaran ditentukan oleh pusat rotasi, besar sudut rotasi, dan arah
rotasinya (perputarannya). Arah rotasi ada dua, yaitu :
1. Arah positif yang berlawanan dengan arah putaran jarum jam,
2. Arah negatif yang searah dengan arah putaran jarum jam.
Bayangan rotasi suatu titik juga dapat
ditentukan dengan menggunakan matriks. Selain itu,
karena rotasi berhubungan dengan sudut rotasi, maka
untuk menentukan bayangan suatu titik harus dihitung
dengan nilai-nilai trigonometri.
Rotasi titik ( ) terhadap titik pusat O(0, 0) adalah
( ) ( )
Rotasi titik ( ) terhadap titik pusat (h, k) adalah
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
4. Dilatasi
Dilatasi adalah transformasi yang mengubah ukuran tetapi tidak mengubah bentuk
suatu bangun. Bayangan titik ( ) dilatasi dengan faktor skala k pusat O(0, 0) adalah sebagai berikut.
Dalam bentuk perkalian matriks ditulis,
Bayangan titik ( ) oleh dilatasi dengan faktor skala k pusat (a, b) adalah sebagai berikut.
Dalam bentuk perkalian matriks di atas,
Q
R P
O
Q’
R’
P’
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ( ) ( ))
( ) ( ) ( )
X Y
P(x, y)
Matematika Semester IV
33
E. Latihan Mandiri
Kerjakan soal latihan berikut secara individu sebagai tugas akhir pada SK III
1. Keliling daerah yang di arsir pada gambar di bawah adalah …
a. 7 cm
b. 12 cm
c. 14 cm 3 cm
d. 20 cm
e. 24 cm 8 cm
2. Luas persegi pada gambar di samping adalah …
a. 10 cm2 2cm
b. 8 cm2
c. 6 cm2
d. 4 cm2
e. 2 cm2
3. Diketahui 2 radian = 360 . Sudut radian sama dengan …
a. 20
b. 30
c. 45
d. 100
e. 135
4. Suatu keeping paving berbentuk seperti pada gambar di samping. Luas permukaan kepingan
paving tersebut adalah …
a. 133 cm2
b. 266 cm2
c. 308 cm2
d. 287 cm2
e. 397 cm2
5. Diketahui persegi PQRS dengan panjang diagonal PR = 6 cm. Luas persegi PQRS adalah …
a. 10 cm2
b. 12 cm2
c. 18 cm2
d. 24 cm2
e. 36 cm2
6. Trapezium PQRS siku-siku di P, PQ = 9 cm, QR 5 cm, dan RS = 6cm, keliling trapezium PQRS
adalah …
a. 18 cm
b. 20 cm
c. 22 cm
Matematika Semester IV
d. 24 cm
e. 26 cm
7. Diketahui luas suatu lingkaran adalah 314 cm2, jika = 3, 14 keliling lingkaran tersebut adalah
…
a. 3,14 cm
b. 31,4 cm
c. 62,8 cm
d. 628 cm
e. 942 cm
8. Sebuah hiasan dinding berbentuk seperti gambar di samping. Jika hiasan tersebut akan dilapisi
dengan cat minyak, luas bangun yang akan dilapisi ….
