(DS.2)
MENENTUKAN STATISTIK PENGUJIAN UNTUK
EKSPERIMEN FAKTORIAL DENGAN
DUA KALI PEMBATASAN PENGACAKAN
(Studi kasus untuk Desain Split Plot)
Sri Mulyani Sanro’i Dra, M.Stat, Enny Supartini Dra, MS.
Jurusan Statistika FMIPA Universitas Padjadjaran Bandung e-mail : srimulyani_stat@yahoo.com
arthinii@yahoo.com
Abstrak
Penelitian mengenai pengaruh pemberian beberapa jenis pupuk terhadap tanaman kacang tanah digunakan beberapa takaran pupuk yang berbeda, eksperimen yang digunakan eksperimen faktorial yang terdiri dari dua faktor yaitu jenis pupuk dan takaran pupuk yang dalam hal ini untuk eksperimen faktorial pengacakan harus dilakukan secara lengkap, tetapi dalam pelaksanaannya pengacakan terhadap replikasi dan terhadap pemberian takaran pupuk tidak bisa dilakukan secara acak lengkap karena dalam penelitian ini replikasi sebagai blok dan untuk takaran pupuk juga tidak bisa dilakukan pengacakan karena dalam prakteknya ditentukan dulu jenis pupuknya baru ditentukan ukuran takarannya, sehingga dalam eksperimen ini pupuk sebagai plot induk sedangkan ukuran takarannya sebagai split
plot maka terjadi dua kali pembatasan pengacakan dan desain yang sesuai untuk eksperimen
ini adalah Desain split plot. Untuk menentukan statistik uji dalam analisis varians harus sesuai dengan desain yang digunakan, karena statistik pengujian diturunkan berdasarkan model matematis dari desain yang sesuai dengan permasalahan.
Kata kunci : Anava, Statistik Pengujian, Desain Split Plot.
Abstrac
Research on the effect of some types of fertilizer on peanut crop is used several different doses of fertilizer, the experiment used a factorial experiment consisting of two factors: the type of fertilizer and the measuring of fertilizer, which in this case for factorial experiments should be conducted in complete randomization, but in its implementation randomization of replication and to the provision of fertilizer can’t be done completely randomization because in this study for replication as a block and fertilizer can’t be determined randomization, in practice the first new type of fertilizer is determined size of the measuring, so that in this experiment fertilizer as the main plot while measuring the size as the split plot, randomization restriction occurs twice and the appropriate design for this experiment was a split plot design. To determine the test statistic in the analysis of variance must be in accordance with the design used, because the test statistic is derived based on mathematical models of designs that fit with the problem.
1.
PENDAHULUANRancangan atau desain suatu eksperimen dibuat supaya eksperimen yang dilakukan akan memberikan informasi yang dibutuhkan untuk pengkajian permasalahan tersebut dan ketika kita memilih satu desain eksperimen maka harus dipastikan bahwa rancangan tersebut tepat untuk permasalahan yang diteliti. Untuk memberikan hasil yang baik maka ketika eksperimen itu dilakukan harus sesuai benar dengan desain yang dipilih, apabila dalam pelaksanaannya terjadi keterbatasan maka harus ada penyesuaian-penyesuaian baik terhadap desainnya maupun terhadap analisisnya. Ketika melakukan eksperimen faktorial penuh maka harus dilakukan secara acak lengkap dan apabila dalam pelaksanyaannya terjadi keterbatasan dalam melakukan pengacakannya karena replikasi yang dilakukan tidak bisa dikondisikan homogen yang mengakibatkan pengacakan tidak bisa dilakukan sepenuhnya maka untuk hal ini replikasi dijadikan sebagai blok, kemudian terjadi lagi keterbatasan lainnya yaitu tidak bisa dilakukan pengacakan dalam blok karena blok dibagi lagi kedalam beberapa bagian yang disebut plot, kemudian masing-masing plot dibagi lagi kedalam beberapa bagian yang disebut split plot, sehingga dengan dilakukannya 2 kali pembatasan pengacakan baik model matematis maupun analisis variansnya harus disesuaikan dan ketika menentukan statistik pengujian untuk melakukan analisis varians maka statistik pengujian yang tepat bisa diperoleh melalui ekspektasi kuadrat tengah (expected mean square) dari masing-masing parameter yang terlibat dalam model matematisnya.
Penelitian mengenai pengaruh pemberian beberapa jenis pupuk yang diberikan terhadap tanaman kacang tanah dengan beberapa takaran pupuk yang berbeda, yang dalam pelaksanaannya pengacakan terhadap replikasi tidak bisa dilakukan karena dalam hal ini replikasi tidak homogen yaitu replikasi berupa petak-petak tanah yang berbeda maka replikasi sebagai blok, begitu juga dalam pemberian takaran pupuk tidak bisa dilakukan secara acak karena dalam hal ini jenis pupuknya dulu yang ditentukan dan berdasarkan jenis pupuk yang terpilih baru ditentukan ukuran takaran pupuk yang berbeda, sehingga dalam hal ini jenis pupuk sebagai plot induknya sedangkan ukuran takaran yang berbeda sebagai split plot atau subplot, sehingga dalam eksperimen ini terjadi dua kali pembatasan pengacakan, yang pertama replikasinya menjadi blok dan yang kedua pengacakan terhadap ukuran takaran pupuk dan dalam analisis variansnya statistik uji harus sesuai dengan desain yang digunakan, dalam hal ini desain yang sesuai dengan eksperimen ini adalah Desain Split Plot.
2.
MENENTUKAN STATISTIK PENGUJIAN UNTUK SUATU DESAIN EKSPERIMEN2.1. Model matematis untuk eksperimen Faktorial dengan satu kali pembatasan pengacakan.
Dalam melakukan eksperimen faktorial apabila replikasi tidak bisa dilakukan dalam kondisi yang homogen maka replikasi dijadikan sebagai blok.
Model matematis untuk Desain Blok Acak adalah sebagai berikut :
Ykl = µ + Ri + πl + εil (1)
Dengan Ykl sebagai variabel respons atau variabel yang diukur.
µ : merupakan rata-rata umum
Ri : merupakan efek blok ke-i
πl : merupakan efek perlakuan ke-l
Untuk eksperimen fakorial dengan pembatasan pengacakan maka replikasi dijadikan sebagai blok sehingga dalam kasus ini eksperimen faktorial dalam desain blok acak, dimana pengacakan dilakukan didalam blok, secara matematis mengakibatkan pada persamaan 1.
πl merupakan faktorial yang misalnya terdiri dari dua faktor model matematisnya adalah :
πl = Ai + Bj + ABij (2) sehingga persamaan (2) menjadi :
Yijk = µ + Ri + Aj + Bk + ABij + εijk (3) Untuk i=1,2,...a ; j=1,2,...b dan k=1,2,...r
Dengan Ai : merupakan efek faktor A taraf ke-i
Bj : merupakan efek faktor B taraf ke-j
ABij :merupakan efek bersama taraf ke-i faktor A dan taraf ke-j faktor B
2.2. Model matematis untuk eksperimen faktorial dengan dua kali pembatasan pengacakan
Dengan menggunakan eksperimen faktorial dengan desain acak sempurna pengacakan harus dilakukan secara acak sempurna terhadap seluruh kombinasi perlakuan dan replikasi harus dilakukan dalam kondisi yang homogen dan pengacakan secara sempurna, ketika kedua persaratan ini tidak dipenuhi, baik terhadap replikasinya maupun terhadap pengacakan pada kombinasi perlakuannya maka terjadi dua kali pembatasan pengacakan dalam eksperimen faktorial. Pada bagian 2.1. terjadi pembatasan pengacakan pada replikasi dan replikasi dijadikan sebagai blok dan pengacakan dilakukan terhadap blok. Ketika pengacakan dalam blok tidak bisa dilakukan maka blok dibagi lagi menjadi beberapa
bagian atau disebut split maka model matematis untuk kasus ini dibagi kedalam dua bagian yang pertama adalah blok atau plot induk dan bagian berikutnya sebagai split plot-nya seperti berikut ini :
Yijkm = µ + Ri + Aj + RAij + Bk + RBik + ABjk + RABijk + εm(ijk) (4)
Plot Induk Split-plot Dengan i=1,2,...r; j=1,2,...,p dan k=1,2,...,t
Yijk adalah variabel respon pada blok ke i faktor A kej dan faktor B ke k
µ adalah efek rata-rata
Ri adalah efek replikasi/blok ke i
Aj adalah efek taraf ke j faktor A
RAij adalar efek bersama replikasi ke i dan taraf ke j faktor A
Bk adalah efek taraf ke k faktor B
RTik adalah efek bersama replikasi ke i dan taraf ke k faktor B
ABjk adalah efek bersama taraf ke j faktor A dan taraf ke k faktor B
RABijk adalah efek bersama replikasi ke i, taraf ke j faktor A dan taraf ke k faktor B
Untuk menentukan ekspektasi kuadrat tengah sacara matematis dapat diturunkan dari model matematisnya, misalnya untuk desain acak sempurna dengan satu faktor, adalah sebagai berikut :
Yij = µ + πi + εij
dengan i=1,2,...,a dan j=1,2,...,n
Kuadrat Tengah untuk eror atau EKT(E) merupakan estimasi untuk varians populasi yaitu Jumlah Kuadrat Eror JK(E) dibagi dengan derajat bebas (db) :
2 . 1 1 1 ( ) 1 a n ij i i j a i Y Y J K E N a n
(5)Maka Ekspektasi Kuadrat Tengah untuk Eror diperoleh seperti berikut :
2
1 1 1 1 ( ) ( ) 1 1 a n a n i ij i ij i j i j JK E EKT E E N a E N a
n
(6)Dengan menggantikan εij2 oleh σ2 dan εi.2 oleh nσ2 sedangkan E(εij)=0 maka
2 2 2 2 2 1 1 2
1
( )
a a i i i i
EKT E
E N
n
N
N
n
a
N
a
(7)Dengan cara yang sama akan diperoleh Ekspektasi Kuadrat Tengah untuk parameter yang lainnya.
Tabel 2.1. Ekspektasi kuadrat tengah untuk desain faktorial dengan 2 kali pembatasan
Faktor r a b 1 A T T T i j k n EKT Plot Induk Ri Aj RAij 1 a b 1 r 0 b 1 1 0 b 1 2 2 2 2 2 2 2 1 R j R A R A a b r b A b a b
Sub Plot Bk RBik ABjk RABijk εijk r a 0 1 1 a 0 1 r 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 ( 1)( 1) (not estimable) k RA RA jk RAB RAB ra B a a a r AB r a
Berdasarkan Ekspektasi Kuadrat Tengah seperti dapat dilihat pada Tabel 2.1 maka
untuk menentukan statistik pengujian pada model tetap dibawah hipotesis nol bahwa Aj=0
benar untuk semua j maka ∑ Aj = 0 akibatnya EKT(Aj) dan EKT(RAij)= σ2 + b σRA2 artinya
EKT(Ai) = EKT (RAij) sedangkan karena RAij sebagai kekeliruan Plot induk maka EKT(Ai) =
EKT (RAij) = σ2 sehingga KT(Aj) dan KT(RAij) sebagai penaksir tak bias dari σ2 dan dapat
dibandingkan sebagai statistk uji F (Mongomery 1991), yaitu : F = KT(Aj)/ KT(RAij)
Karena JK(Ai)/ σ2 berdistribusi Chi-square dengan db=a-1 dan JK(RAij)/ σ2 dengan db
= (r-1)(a-1) maka statistik uji F pada persamaan (2.7) berdistribusi F dengan db v1=a-1 dan
v2=(r-1)(a-1) (Mood Graybill 19)
Dengan cara yang sama dapat diperoleh statistik pengujian untuk yang lainnya.
Untuk mengaplikasikan statistik pengujian ini digunakan untuk menganalisis data hasil penelitian Sutarno 2005. Sedangkan hasil analisis dan perhitungannya dapat dilihat pada
Tabel 2.2. Hasil Analisis Varians untuk Eksperimen Split Plot
Sumber Variasi Db JK KT F Fα(v1,v2) Keputusan
Blok (R) Pupuk (P) Error Plot Induk(RP) Takaran (T) BlokxTakaran(RT) PupukxTakaran(PT) Subplot Error 3 3 9 4 12 12 36 15.938 101.737 35.313 67.375 112.125 151.825 225.825 5.313 33.912 3.924 16.844 9.344 12.625 6.274 8.64 1.8 2.02 3.8625 3.2592 2.0327 Signifikan Tidak signifikan Tidak Signifikan 79 710.187
Berdasarkan hasil analisis seperti dapat dilihat pada Tabel 2.2. diperoleh hasil bahwa untuk faktor pupuk ternyata signifikan berarti jenis pupuk yang diberikan berpengaruh terhadap hasil panen kacang tanah, sedangkan faktor ukuran takaran pupuk tidak signifikan berarti ukuran takaran pupuk tidak berpengaruh terhadap hasil panen kacang tanah, begitu juga interaksi antara takaran pupuk dan jenis pupuk tidak signifikan berarti tidak ada pengaruh bersama antara jenis pupuk yang digunakan dengan takaran pupuk yang digunakan. Sehingga dapat disimpulkan bahwa yang berpengaruh terhadap hasil panen kacang tanah hanya faktor jenis pupuk saja sedangkan takaran pupuk tidak berpengaruh, begitu juga pengaruh bersama antara jenis pupuk yang digunakan dengan ukuran takaran pupuk yang digunakan tidak mempunyai pengaruh bersama atau dengan perkataan lain tidak ada interaksi antara jenis pupuk dengan takaran pupuk yang digunakan.
3.
Kesimpulan- Statistik pengujian untuk menguji pengaruh dari faktor utama yang menjadi perhatian
utamanya berdistribusi F yang merupakan ratio dari EKTdari faktor utama tersebut terhadap EKT dari interaksi antara replikasi dengan faktor utama, karena interaksi antara replikasi dengan faktor utama merupakan kekeliruan atau error dari Plot Induk, sedangkan untuk menguji pengaruh dari faktor utama pada Split Plot statistik ujinya merupakan ratio dari EKT faktor utama tersebut terhadap EKT dari interaksi antara replikasi dengan faktor utama dari Split Plot dan statistik uji untuk interaksi antara faktor utama pada Plot Induk dan faktor utama pada Split Plot adalah ratio dari EKT dari interaksi ini terhadap EKT dari ineraksi antara replikasi dengan faktor utama pada Plot Induk dan faktor utama pada Split Plot, yang dalam hal ini interaksi tersebut merupakan kekeliruan atau error dari Split Plot.
- Untuk hasil analisis varians dari eksperimen mengenai pengaruh jenis pupuk terhadap pertumbuhan kacang tanah dengan menggunakan desain split plot ternyata jenis pupuk memberikan hasil pengujian yang signifikan terhadap pertumbuhan kacang tanah, sedangkan takaran pupuk dan interaksi antara jenis pupuk dan takaran pupuk tidak memberikan hasil pengujian yang signifikan, berarti hanya jenis pupuklah yang berpengaruh terhadap pertumbuhan kacang tanah
4.
DAFTAR PUSTAKABox, G. P., Hunter, W. G., and Hunter J. S., (1978) Statistical for Experimenters, New York, John Wiley.
Hinkelmann, K. And Kempthorne (1994) Design and Analysis of Experiment, New York, John Wiley.
Lehmann E., (1986) Testing Statistical Hypothesis, New York, John Wiley.
Montgomery, Douglas C., (2001) Design and Analysis of Experiment 5th ed. New York, John
Wiley.
Mood, A., Graybill F. A. & Boes, D.C. (1974) Introduction to The Theori of Statistic, New York , Mc Graw Hill.
Sudjana (1995), Desain dan Analisis Eksperimen, edisi 4, Bandung, PT Tarsito.
