¢ àì{¬ àâ, 2001, ®¬ 3, ë¯ãáª1
517.5
. . ã¡¥¦âë
¤ ç 宦¤¥¨ï¯à¨¡«¨¦¥®£®§ 票ï¨â¥£à « ¨¬ ¨áá«¥¤®¢
¤®áâ â®ç-®¯®¤à®¡®. ®áâ஥몢 ¤à âãàë¥ä®à¬ã«ë¤«ïà §ë媫 áᮢäãªæ¨©.
«®-£¨ç ï⥮à¨ï¤«ïᨣã«ïàëå¨â¥£à «®¢ ç « à §¢¨¢ âìáï§ ç¨â¥«ì®¯®§¦¥.
áâ®ï饩 § ¬¥âª¥¤ ¥âáï «¨§ ¨¬¥îé¨åá甆 ¤à âãàëå ä®à¬ã« ¤«ï
ᨣã«ïà-ëå¨â¥£à «®¢¨¯à¨¢®¤ïâáï®¢ë¥ ª¢ ¤à âãàë¥ä®à¬ã«ë.
¤ ç 宦¤¥¨ï ¯à¨¡«¨¦¥®£® § ç¥¨ï ¨â¥£à « ¨¬
¨áá«¥¤®-¢ ¤®áâ â®ç® ¯®¤à®¡®. ®áâà®¥ë ª¢ ¤à âãàë¥ ä®à¬ã«ë ¤«ï à §ëå
ª« áᮢ äãªæ¨© (á¬. [1]). «®£¨ç ï ⥮à¨ï ¤«ï ᨣã«ïàëå ¨â¥£à «®¢
ç « à §¢¨¢ âìáï § ç¨â¥«ì® ¯®§¦¥ [2]. ᮢ६¥®¬ íâ ¯¥ ¡« £®¤ àï
à ¡®â ¬¨ä ®¢ .., ¨ª¨¤§¥ ..,¥èª®. .¨¤à㣨åáãé¥áâ¢ãîâ
¤®áâ â®ç® à §¢¨âë¥ç¨á«¥ë¥ ¬¥â®¤ë.
áâ®ï饩§ ¬¥âª¥¤ ¥âáï «¨§¨¬¥îé¨åá甆 ¤à âãàëåä®à¬ã«¤«ï
ᨣã«ïàëå ¨â¥£à «®¢ ¨¯à¨¢®¤ïâáï ®¢ë¥ª¢ ¤à âãàë¥ ä®à¬ã«ë.
1. ¢ ¤à âãàë¥ ä®à¬ã«ë ¤«ï ᨣã«ïàëå ¨â¥£à «®¢
⨯ ìîâ® | ®â¥á
áᬠâਢ ¥âáï ᨣã«ïàë© ¨â¥£à « ¢ á¬ëá«¥ £« ¢®£® § 票ï
á«¥-¤ãî饣® ¢¨¤
S(f;x)= b
Z
a f(t)
t,x
dt; a<x<b; (1)
£¤¥f(t)|äãªæ¨ïª« áá H
r
()(0<1). â®®§ ç ¥â,çâ®f ¨¬¥¥â
¥¯à¥-àë¢ë¥ ¯à®¨§¢®¤ë¥ ®â१ª¥ [a;b],¢¯«®âì ¤® ¯®à浪 r 1 ¨ ¯à®¨§¢®¤ ï
f (r)
㤮¢«¥â¢®àï¥â ãá«®¢¨î ¥«ì¤¥à á ¯ à ¬¥â஬ . §¤¥«¨¬ ®â१®ª [a;b]
nà ¢ëåç á⥩ â®çª ¬¨ x
k
(k =0;1;:::;n); £¤¥x
k
=a+kh; h=(b,a)=n.
।¨ ª¢ ¤à âãàëå ä®à¬ã« ¤«ï ॣã«ïàëå ¨â¥£à «®¢ ¯®áâ஥ë
è¨-ப® ¨§¢¥áâë¥ ¨ ç áâ® ¯à¨¬¥ï¥¬ë¥ ä®à¬ã«ë ìîâ® -®â¥á . ¨ ¨¬¥îâ
c
¢¨¤
b
Z
a
f(x)dx(b,a) n
X
k=0 B
n
k f(x
k
); (2)
£¤¥
B n
k =
(,1) n,k
nk!(n,k)! n
Z
0
t(t,1):::(t,k+1)(t,k,1):::(t,n)dt:
ç áâ®áâ¨, ¯à¨ n= 1 ¨¬¥¥¬ ä®à¬ã«ã âà ¯¥æ¨©; ¯à¨ n= 2 | ä®à¬ã«ã
¨¬¯á® ; ¯à¨ n=3 ä®à¬ã«ã 3/8 ¨ â. ¤.
«®£¨çë¥ ä®à¬ã«ë ¬®¦® ¯®áâநâ줫ï ᨣã«ïண® ¨â¥£à « (1)
á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬.
®áâந¬ ¤«ïäãªæ¨¨ f(t) ¨â¥à¯®«ïæ¨®ë© ¬®£®ç«¥ £à ¦
L
n
(f;t) n
X
k=0
w(t)
(t,x
k )w
0
(x
k )
f(x
k
); (3)
£¤¥
w(t)= n
X
j=0 (t,x
j );w
0
(x
k )=
n
X
j=0
j6=k (x
k ,x
j ):
®¤áâ ¢«ïï ¢¬¥áâ®f(t)¥£® ¨â¥à¯®«ïæ¨®ë© ¬®£®ç«¥ ¢ (1),¯®«ã稬
S
n
(f;x) b
Z
a P
n
k=0
w(t)
(t,x
k )w
0
(x
k )
f(x
k )
t,x
dt
= n
X
k=0 1
w 0
(x
k )
b
Z
a
w(t)dt
(t,x
k
)(t,x) f(x
k )
= n
X
k=0
f(x
k )
(x,x
k )w
0
(x
k )
0
@ b
Z
a
w(t)
t,x dt,
b
Z
a
w(t)
t,x
k dt
1
A
:
(4)
áᬮâਬ ®â¤¥«ì® ¯®«ãç¥ë¥ ¤¢ ¨â¥£à « . «ï ¯¥à¢®£® ¢ë¯®«¨¬
á«¥¤ãî饥 ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥
b
Z
w(t)
t,x dt=
b
Z
w(t),w(x)
t,x
dt+w(x) b
Z
dt
¤¥áì ¯®¤¨â¥£à «ì®¥ ¢ëà ¦¥¨¥
w(t),w(x)
t,x
¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ¬®£®ç«¥
n-£® ¯®à浪 , ¯®íâ®¬ã ¨â¥£à « ¬®¦® â®ç® ¢ëç¨á«¨âì á ¯®¬®éìî ¢ëè¥
㪠-§ ëå ª¢ ¤à âãàëå ä®à¬ã« ìîâ® | ®â¥á (á¬. [1]). ®£¤
b
Z
a
w(t),w(x)
t,x
dt= n
X
k=0 A
k w(x
k
),w(x)
x
k ,x
= n
X
k=0 A
k w(x)
x,x
k H
n
(x); (5)
£¤¥ A
k
=(b,a)B n
k
. ¡«¨æ íâ¨å ª®íää¨æ¨¥â®¢¤ ¢ [1].
â®à®©¨â¥£à «¬®¦®¢ëç¨á«¨âì «®£¨ç®, ®á®¢¥á«¥¤ãî饣®
¯à¥-®¡à §®¢ ¨ï:
b
Z
a
w(t)
t,x
k dt=
b
Z
a
w(t),w(x
k )
t,x
k
dt= n
X
j=0 A
j w(x
j
),w(x
k )
x
j ,x
k
=A
k w
0
(x
k
): (6)
ç¨âë¢ ï (5) ¨ (6) ¨§ (4)®ª®ç â¥«ì® ¯®«ãç ¥¬
S
n
(f;x)= n
X
k=0
1
(x,x
k )w
0
(x
k )
H
n
(x)+w(x)ln b,x
x,a ,A
k w
0
(x
k )
f(x
k
): (7)
¢¥á⢮(7)ï¥âáï¯à¨¡«¨¦¥®© ä®à¬ã«®© ¤«ïᨣã«ïàëå ¨â¥£à «®¢
¢¨¤ (1).
®¤áâ ¢«ïï ¢ (7) ¢¬¥áâ® x á।¨¥ § ç¥¨ï ¬¥¦¤ã ¤¢ã¬ï 㧫 ¬¨, â. ¥.
x = x
k +x
k +1
2
(k = 0;1;::: ;n,1), ¯®«ã稬 ¢á¥ § ç¥¨ï ¨â¥£à « (1). «ï
¢ëç¨á«¥¨ï § 票©¢ â®çª åx
k
(k=1;2;:::;n,1) ¤® ¢§ïâì¢(7)
ᮮ⢥â-áâ¢ãî騥 ¯à¥¤¥«ë ¯à¨ x!x
k .
楨¬ ¯®£à¥è®áâì ª¢ ¤à âãன ä®à¬ã«ë (7). ª ¨§¢¥áâ®
f(x)=L
n
(f;x)+R
n (f;x);
£¤¥
R
n
(f;x)=
w(x)
(n+1)! f
(n+1)
(); a< <b:
®£¤
jS(f;x),S
n
(f;x)j=
b
Z
a R
n (f;t)
t,x dt
:
楨¬ ¯®á«¥¤¥¥ ¢ëà ¦¥¨¥:
b
Z
R
n (f;t)
t,x
dt=R
n
(f;x)ln b,x
x,a +
b
Z
R
n
(f;t),R
n (f;x)
t,x
ª¢ ¤à âãàëå ä®à¬ã« å ¤«ïᨣã«ïàëå ¨â¥£à «®¢
1{53
§ ®¡é¥© ⥮ਨ ®æ¥®ª ¤«ï ᨣã«ïàëå ¨â¥£à «®¢ ¢ ª« áᥠäãªæ¨¨
H r(
)
(á¬. [2, 4, 5, 6]), ¯®«ã稬
jS
(
f;
x)
,S n(
f
;
x)
jmax
x2[a;b]jR
n
(
f;
x)
j
ln
b,xx,a
+
O
ln
n nr+
=
O1
n r+
ln
b,xx,a
+
O
(ln
n)
(
n>1)
: áᬮâਬ ¤¢ ç áâëç á«ãç ï
n= 1 ¨
n= 2.
ãáâì
n= 1. ®£¤
A 0= (
b,a
)
=2
; A 1= (
b,a
)
=2 ¨
S1
(
f
;
x) =
1
(
x,a)
w0
(
a)
H
1
(
x
) +
w(
x)ln
b,xx,a ,
b,a
2
w 0(
a
)
f
(
a)
+
(
1
x,b
)
w 0(
b
)
H
1
(
x
) +
w(
x)ln
b,xx,a ,
b,a
2
w 0(
b
)
f
(
b)
;(8)
£¤¥
w 0
(
a
) =
a,b; w 0(
b
) =
b,a; w(
x) = (
x,a)(
x,b)
; H1
(
x
) =
A 0w
(
x)
x,a+
A 1w
(
x)
x,b :®à¬ã« (8) §ë¢ ¥âáï í«¥¬¥â ன ä®à¬ã«®© ⨯ âà ¯¥æ¨© ¤«ï
á¨-£ã«ïàëå ¨â¥£à «®¢ (1). «®¦ ï ä®à¬ã« âà ¯¥æ¨© ¡ã¤¥â ¨¬¥âì ¢¨¤
S n
1
(
f
;
x) =
1
(
x,a)
w0
0
(
a)
H
10
(
x
) +
w 0(
x
)ln
x
1 ,x
x,a
,
h
2
w 00
(
a)
f
(
a)
+
(
1
x,x
1
)
w0
0
(
x1
)
H
10
(
x
) +
w 0(
x
)ln
x
1 ,x
x,a
,
h
2
w 00
(
x1
)
f
(
x 1)
+
(
1
x,x
1
)
w0
1
(
x1
)
H
11
(
x
) +
w 1(
x
)ln
x
2 ,x
x,x
1
,
h
2
w 01
(
x1
)
f
(
x 1)
+
(
1
x,x
2
)
w0
1
(
x2
)
H
11
(
x
) +
w 1(
x
)ln
x
2 ,x
x,x
1
,
h
2
w 01
(
x2
)
f
(
x2
)
(9)
+
::: ::: ::: ::: ::: ::: ::: ::: ::: ::: ::: :::+
(
1
x,x
n,1
)
w0
n,1
(
xn,1
)
H
1;n,1
(
x
) +
w n,1(
x
)ln
b,x
x,x
n,1
,
h
2
w 0n,1
(
xn,1
)
+
1
(x,b)w 0
n,1 (b)
H
1;n,1
(x)+w
n,1 (x)ln
b,x
x,x
n,1
,
h
2 w
0
n,1 (b)
f(b);
w
k
(x)=(x,x
k
)(x,x
k+1 ); w
0
k (x
k )=x
k ,x
k+1 ; w
0
k (x
k+1 )=x
k+1 ,x
k ;
H
1k (x)=
A
0
x,x
k +
A
1
x,x
k+1
; k =0;1;:::;n,1:
®à¬ã«ã (9) ¬®¦® ¯¥à¥¯¨á âì â ª
S n
1
(f;x)= n
X
k=0 A
k
(x)f(x
k );
£¤¥
A
k (x) =
1
(x,x
k )w
0
k,1 (x
k )
H
1;k,1
(x)+w
k,1
(x)ln j x
k ,x
x,x
k,1 j,
h
2 w
0
k,1 (x
k )
+
1
(x,x
k )w
0
k (x
k )
H
1;k
(x)+w
k
(x)ln j x
k+1 ,x
x,x
k j,
h
2 w
0
k (x
k )
(k =1;::: ;n,1);
A
0 (x)=
1
(x,a)w 0
0 (a)
H
10
(x)+w
0
(x)ln j x
1 ,x
x,a j,
h
2 w
0
0 (a)
;
A
n (x) =
1
(x,b)w 0
n,1 (b)
H
1;n,1
(x)+w
n,1 (x)ln
b,x
x,x
n,1
,
h
2 w
0
n,1 (b)
:
«ï ¯®£à¥è®á⨠á¯à ¢¥¤«¨¢ ®æ¥ª
jR
1
(f;x)j=O
lnn
n 2+
+O
1
n 2+
ln
b,x
x,a
:
祢¨¤®, ¢ í⮬ á«ãç ¥ ¯®¤à §ã¬¥¢ ¥âáï çâ® r2.
«®£¨ç® ¬®¦® ¢ë¯¨á âì ¨ ª¢ ¤à âãàãî ä®à¬ã«ã ⨯ ¨¬¯á®
¤«ï ᨣã«ïàëå ¨â¥£à «®¢. í⮬ á«ãç ¥ n = 2. «¥¬¥â à ï ä®à¬ã«
¨¬¯á® ¨¬¥¥â ¢¨¤
b
Z
a f(t)
t,x
dtS
2 (f;x)
=
1
(x,a)(a, a+b
)(a,b)
b,a
6
x, a+b
2
(x,b)+
4(b,a)
6
+ b,a
6
(x,a)
x, a+b
2
+(x,a)
x, a+b
2
(x,b)ln b,x
x,a
, b,a
6
a, a+b
2
(a,b)
f(a)+
1 (x, a+b 2 )( a+b 2 ,a)( a+b 2 ,b)
b,a
6
x, a+b
2
(x,b)+
4(b,a)
6
(x,a)(x,b)+ b,a
6
(x,a)
x, a+b
2
+(x,a)
x, a+b
2
(x,b)ln b,x
x,a ,
4(b,a)
6
a+b
2 ,a
a+b
2 ,b f
a+b
2
+
1
(x,b)
b, a+b
2
(b,a)
b,a
6
x, a+b
2
(x,b)
+
4(b,a)
6
(x,a)(x,b)+ b,a
6
(x,a)
x, a+b
2
, b,a
6
b, a+b
2
(b,a) f(b): «®¦ ï ä®à¬ã« ¨¬¯á® ¡ã¤¥â ¨¬¥âì ¢¨¤ b Z a f(t)
t,x
dtS n
2 (f;x)
=
1
(x,a)w 0 0 (a) H 20
(x)+w
0 (x)ln x 2 ,x
x,a , 2h 6 w 0 0 (a) f(a) + 1
(x,x
1 )w 0 0 (x 1 ) H 20
(x)+w
0 (x)ln x 2 ,x
x,a , 8h 6 w 0 0 (x 1 ) f(x 1 ) + 1
(x,x
2 )w 0 0 (x 2 ) H 20
(x)+w
0 (x)ln x 2 ,x
x,a , 2h 6 w 0 0 (x 2 ) f(x 2 ) + 1
(x,x
2 )w 0 2 (x 2 ) H 22
(x)+w
2 (x)ln x 4 ,x
x,x
2 , 2h 6 w 0 2 (x 2 ) f(x 2 ) + 1
(x,x
3 )w 0 2 (x 3 ) H 22
(x)+w
2 (x)ln x 4 ,x
x,x
2 , 8h 6 w 0 2 (x 3 ) f(x 3 ) + 1
(x,x
4 )w 0 2 (x 4 ) H 22
(x)+w
2 (x)ln x 4 ,x
x,x
+
1
(x,x
n,2 )w
0
n,2 (x
n,2 )
H
2;n,2
(x)+w
n,2 (x)ln
b,x
x,x
n,2
,
2h
6 w
0
n,2 (x
n,2 )
f(x
n,2 )
+
1
(x,x
n,1 )w
0
n,2 (x
1 )
H
2;n,2
(x)+w
n,2
(x)ln j
b,x
x,x
n,2 j,
8h
6 w
0
n,2 (x
n,1 )
f(x
n,1 )
+
1
(x,b)w 0
n,2 (b)
H
2;n,2
(x)+w
n,2 (x)ln
b,x
x,x
n,2
,
2h
6 w
0
n,2 (b)
f(b);
£¤¥
w
0
(x)=(x,a)(x,x
1
)(x,x
2 ); w
2
(x)=(x,x
2
)(x,x
3
)(x,x
4 );::: ;
w
n,2
(x)=(x,x
n,2
)(x,x
n,1
)(x,b);
H
2k =A
0 w
k (x)
x,x
k +A
1 w
k (x)
x,x
k+1 +A
2 w
k (x)
x,x
k+2
; (k =0;2;4;:::;n,2);
A
0 =
2h
6 ; A
1 =
8h
6 ; A
2 =
2h
6
; n,ç¥â®¥ :
᫨ r4, â® ¤«ï ¯®£à¥è®á⨠¢¥à®¥à ¢¥á⢮
jR
2n
(f;x)jO
1
n 4+
ln
b,x
x,a
+O
lnn
n 4+
:
2. ¢ ¤à âãàë¥ ä®à¬ã«ë ¤«ï ᨣã«ïàëå ¨â¥£à «®¢
⨯ ãáá
¥ àãè ï ®¡é®á⨠¬®¦® à áᬠâਢ âì á«¥¤ãî騥 ᨣã«ïàë¥
¨-â¥£à «ë
S(f;x)= 1
Z
,1 p(t)
f(t)
t,x
dt; ,1<x<1;
£¤¥ p(t) 0 ¢¥á®¢ ï äãªæ¨ï, f(t) 2 H
r
() (0 < 1). â¥à¥á¥ á«ãç ©,
ª®£¤
p(t)=(1,t)
(1+t)
¯®¬®éìî «®£¨çëå à áá㦤¥¨© ¯®«ãç ¥âáï ä®à¬ã«
S
n
(f;x) n
X
k=1
f(x
k )
(x,x
k )w
0
(x
k )
(H
n
(x)+w(x)(x),A
k w
0
(x
k ));
£¤¥ x
k
(k =1;2;:::;n)|ª®à¨¬®£®ç«¥ w(x), ®à⮣® «ì®£®¯® ¢¥áãp(x)
¬®£®ç«¥ ¬ ¬¥ì襩 á⥯¥¨ ®â१ª¥ [-1,1], A
k
| ª®íää¨æ¨¥âë
¨â¥à-¯®«ï樮ëå ª¢ ¤à âãàëå ä®à¬ã«
A
k =
1
w 0
(x
k )
1
Z
,1 p(x)
w(x)dx
x,x
k
; w(x)= n
X
k=1 (x,x
k );
H
n (x) =
n
X
k=1 A
k w(x)
x,x
k
; (x)= 1
Z
,1 (t)
t,x dt:
¡«¨æ ª®íää¨æ¨¥â®¢ A
k
¨ 㧫®¢ x
k
(k = 1;2;:::;n) ¤«ï à §ëå ¢¥á®¢ëå
äãªæ¨¨ p(x) ¨¬¥¥âáï ¢[7].
⬥⨬,çâ® «£¥¡à ¨ç¥áª ïâ®ç®áâìâ ª¨åª¢ ¤à âãàëåä®à¬ã«à ¢
n,1. ®ç®áâì ¡ã¤¥â ¨¢ëá襩 (2n, 1), ¥á«¨ ¢ ª ç¥á⢥ x ¢®§ì¬¥¬ 㫨
á«¥¤ãî饣® ãà ¢¥¨ï
1
Z
,1 (t)
w(t)
t,x
dt=0: (10)
í⮬á«ãç ¥â ª¨¥ä®à¬ã«ë¨¬¥îâ®ç¥ì¯à®áâãîä®à¬ã¤«ïà §ë墥ᮢëå
äãªæ¨¨ (t). ®â ¨å ¢¨¤
1
Z
,1 (t)
f(t)
t,x dt
n
X
k=1
f(x
k )
(x,x
k )w
0
(x
k )
(,A
k w
0
(x
k ))=
n
X
k=1 A
k f(x
k )
x
k ,x
; (11)
£¤¥ x ª®à¥ì ãà ¢¥¨ï (10).
®à¬ã« (11) ¯® ä®à¬¥ ᮢ¯ ¤ ¥â á ª¢ ¤à âãன ä®à¬ã«®© ⨯ ãáá
¤«ïäãªæ¨¨f(t)=(t,x). ¨¬¥¥â¯à®á⮩¢¨¤¨ ¨¢ëáèãî «£¥¡à ¨ç¥áªãî
á⥯¥ì â®ç®áâ¨2n,1.
â¥å¨ç¥áª¨å ¯à¨«®¦¥¨ïå ®á®¡®¥ § 票¥ ¨¬¥îâ ç áâë¥ á«ãç ¨,
-¯à¨¬¥à, ¨ ¯à¨¨¬ îâ § ç¥¨ï ¨§ ¬®¦¥á⢠f0; 1
2
g. áᬮâਬ íâ¨
á«ãç ¨:
1. = 0; = 0. í⮬ á«ãç ¥ (t) = 1. ஫¨ x
k
¢®§ì¬¥¬ ª®à¨
2. = , 1
2
; = , 1
2
. í⮬ á«ãç ¥ (t) = 1
p
1,t 2
. ®£¤ A
k =
n ,
x
k =cos
2k,1
2n
| ª®à¨ ¬®£®ç«¥ ¥¡ë襢 I-£® த .
3. = 1
2
; = 1
2
. í⮬ á«ãç ¥ (t) = p
1,t 2
. ®£¤ x
k
= cos k
n+1 ,
A
k =
n+1 sin
2 k
n+1
(k = 1;2;:::;n), x
k
| ª®à¨ ¬®£®ç«¥ ¥¡ë襢 II-£®
த .
4. = 1
2
; =, 1
2
. í⮬ á«ãç ¥ (t)= q
1,t
1+t
. ®£¤ A
k =
4
2n+1 sin
2 k
2n+1 ,
x
k =cos
2k
2n+1
(k=1;2;:::;n).
5. = , 1
2
; = 1
2
. í⮬ á«ãç ¥ (t) = q
1+t
1,t
. ®£¤ A
k =
4
2n+1 cos
2 2k,1
2(2n+1) , x
k =cos
2k,1
2n+1 .
¬¥â¨¬ ¢ § ª«î票¥, ç⮠㪠§ ë¥ ¢ëè¥ ä®à¬ã«ë ¨¬¥îâáï ã
¥ª®-â®àëå ¢â®à®¢ (á¬., ¯à¨¬¥à, [2, 3, 5]), ® â ¬ ®¨ ¯à¨¢®¤ïâáï ¢ ç áâëå
á«ãç ïå.
¨â¥à âãà
1. àë«®¢..ਡ«¨¦¥®¥¢ëç¨á«¥¨¥¨â¥£à «®¢.|.: 㪠, 1967.|
410 á.
2. ¨ä ®¢ . . ¥â®¤ë ᨣã«ïàëå ¨â¥£à «ìëå ãà ¢¥¨© ¨
ç¨á«¥-ë© íªá¯¥à¨¬¥â.|.: ýãáþ, 1995.|520 á.
3. ¨ª¨¤§¥ . . ¯®à浪¥ ¯à¨¡«¨¦¥¨ï ¥ª®â®àëå ᨣã«ïàëå
®¯¥à -â®à®¢ª¢ ¤à âãà묨á㬬 ¬¨//§¢¥áâ¨ï à¬ï᪮©.|1970.|
.5, ü 4.|C. 371{384.
4. ¥«®æ¥àª®¢áª¨© . . ¨ä ®¢ . . ¨á«¥ë¥ ¬¥â®¤ë ¢ ᨣã«ïàëå
¨â¥£à «ìëå ãà ¢¥¨ïå.|.: 㪠, 1985.|252 á.
5. ®à¥©ç㪠. . ¢ ¤à âãàë¥ ä®à¬ã«ë ¤«ï ᨣã«ïàëå ¨â¥£à «®¢.
// ¢ª.: ¨á«¥ë¥ ¬¥â®¤ë à¥è¥¨ï¤¨ää¥à¥æ¨ «ìëå ¨¨â¥£à «ìëå
ãà ¢¥¨© ¨ ª¢ ¤à âãàëå ä®à¬ã«.|.: 㪠, 1964.|C. 64{74.
6. ¥èª® . . á室¨¬®á⨠ª¢ ¤à âãàëå ¯à®æ¥áᮢ ¤«ï ᨣã«ïண®
¨â¥£à « //§¢. ¢ã§®¢, ⥬ ⨪ .|1976, ü12,|C. 108{118.
7. àë«®¢ .. ã«ì£¨ . . ¯à ¢®ç ï ª¨£ ¯® ç¨á«¥®¬ã
¨â¥£à¨-஢ ¨î.|.: 㪠, 1966.|370 á.
