( ) τ k τ HASIL DAN PEMBAHASAN. Perumusan Penduga Bagi θ

(1)

HASIL DAN PEMBAHASAN

Perumusan Penduga Bagi θ

Misalkan N adalah proses Poisson pada

interval [0, )∞ dengan rataan µ yang kontinu

mutlak, dan fungsi intensitas λ yang

terintegralkan lokal. Sehingga, untuk setiap himpunan Borel terbatas B maka:

( ) ( ) ( )

B

B N B s ds

µ = Ε =

_∫

λ < ∞.

Fungsi λ diasumsikan terdiri atas dua

komponen yaitu komponen periodik λ , c

dengan periode τ>0 (diketahui) dan komponen tren linear as, dengan slope a

tidak diketahui. Dengan kata lain, untuk setiap s∈[0, )∞ , fungsi intensitas λ dapat dituliskan sebagai berikut:

( )s c( )s as

λ =λ + (1)

dengan λc( )s adalah fungsi periodik dengan periode τ . Dalam tulisan ini, kita asumsikan

c

λ adalah periodik sehingga persamaan

( ) ( )

c s k c s

λ + τ =λ (2)

berlaku untuk setiap s∈[0, )∞ dan k ∈ , dengan adalah himpunan bilangan bulat. Contoh fungsi intensitas yang memenuhi persamaan (1) adalah 2 ( ) 4 exp cos 5 s s π s λ = ⎛_⎜ ⎛_⎜ ⎞_⎟⎞_⎟+ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ,

yang grafiknya dapat dilihat pada gambar berikut 5 10 15 20 5 10 15 20 25 30

Gambar 1. Contoh grafik fungsi intensitas periodik dengan tren linear.

Di sini kita perhatikan proses Poisson titik pada [0, )∞ karena λ harus memenuhi (1) dan harus tak-negatif. Dengan alasan yang sama, kita hanya perhatikan untuk kasus a>0.

Misalkan untuk suatu ω ∈ Ω , ada sebuah realisasi ( )N ω dari proses Poisson

N yang didefinisikan pada ruang peluang

(Ω,F,P) dengan fungsi intensitas λ seperti pada (1), yang diamati pada interval terbatas [0,n]. Tujuan kita dalam pembahasan ini adalah untuk mempelajari penyusunan penduga konsisten bagi intensitas global

0 1 1 ([0, ]) c( )s ds τ θ µ τ λ τ τ = =

_∫

(3)

dari komponen periodik λ dari fungsi c

intensitas λ pada (1).

Pada tulisan ini, kita asumsikan bahwa periode τ diketahui (seperti: satu hari, satu minggu, dan lain-lain), tetapi slope a dan

fungsi λ pada [0, )c τ keduanya tidak

diketahui. Pada situasi ini kita definisikan penduga a dan θ sebagai berikut

[ ]

(

)

2 2 0, ˆ_n N n a n = (4) dan

(

)

(

)

1 1 1 ([ ,( 1) ] [0, ]) ˆ ln / ˆ . 2 ln / n k n N k k n n k n a n τ τ θ τ τ τ τ ∞ = + ∩ = ⎛ ⎞ − ⎜_⎜ + ⎟_⎟ ⎝ ⎠

∑

(5) Penduga a yaitu ˆa diperoleh dari: n

[ ]

(

)

0 1 2 2 0 0 1 2 2 0 0, ( ( ) ) ( ) ( ) . n c n _n c n c N n s as ds s ds as s ds an λ λ λ Ε = + ⎤ = + _⎦ = +

∫

Bila kedua ruas dibagi dengan n2_maka

persamaan di atas menjadi

[ ]

(

)

0 2 2 ( ) 0, ₁ 2 n c s ds N n a n n λ Ε =

∫

+ .

Bagian pertama dapat ditulis sebagai

0 0 2 ( ) ( ) 1 n n c s ds c s ds n n n λ λ =

∫

. Perhatikan bahwa 0 ( ) n c s ds n λ

∫

merupakan rata-rata λc( )s pada interval [0,n] yang

(2)

merupakan suatu konstanta. Sementara 1 n konvergen ke 0 jika n→ ∞ . Maka

[ ]

(

)

2 0, ₁ 2 N n a n Ε = .

Dengan kata lain

[ ]

(

)

2 2 N 0,n a n Ε = .

Sehingga diperoleh penduga seperti pada (4).

Selanjutnya, kita uraikan ide untuk mengkonstruksi penduga dari θ yaitu ˆθ n

sebagai berikut: ( 1) 1 ( ) k c k s ds τ τ θ λ τ + =

_∫

. (6) Misalkan 1 1 ( [0, ]) n k L k n k τ ∞ = =

∑

Ι ∈ , maka dengan (6) diperoleh: 1 ( 1) 1 1 1 ( [0, ]) 1 1 ( ) ( [0, ]) . k n k c k n k k n L k s s n ds L k τ τ θ θ τ λ τ ∞ = + ∞ = = Ι ∈ = Ι ∈

∑

∫

Dengan menggunakan persamaan (1) maka kuantitas di atas sama dengan

( 1) 1 ( 1) 1 ( 1) 1 1 1 ( ( ) ) ( [0, ]) 1 1 ( ) ( [0, ]) 1 1 ( ) ( [0, ]) . k k n k k k n k k k n k s as s n ds L k s s n ds L k as s n ds L k τ τ τ τ τ τ θ λ τ λ τ τ + ∞ = + ∞ = + ∞ = = − Ι ∈ = Ι ∈ − Ι ∈

∑

∫

∑

∫

∑

∫

Dengan perubahan batas integral pada suku kedua ruas kanan persamaan di atas, maka diperoleh

(

)

( 1) 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 ( ) ( [0, ]) 1 ( ) ( [0, ]) [ ,( 1) ] [0, ] 1 1 1 ( [0, ]) ( [0, ]) . k k n k k n k n k n k n s s n ds L k a s k s k n ds L k X k k n L k a s s k n ds L k a s k n ds L τ τ τ τ τ θ λ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ + ∞ = ∞ = ∞ = ∞ = ∞ = = Ι ∈ − + Ι + ∈ Ε + ∩ = − Ι + ∈ − Ι + ∈

∑

∫

∑ ∫

∑

∫

∑

∫

(7) Perhatikan bahwa 1 1 ( [0, ]) n (1) n k s k n L O L k τ ∞ = Ι + ∈ = + ≈

∑

(8) (lihat Titchmarsh 1960) dan

2 0 2 s ds τ _τ =

∫

.

Bagian kedua pada (7) adalah 2 aτ ≈ . Misalkan 1 0 1 ( [0, ]) n k n x k n dx τ ζ τ τ τ ∞ = ⎛ ⎞ = Ι + ∈ _{− ⎜ ⎟} ⎝ ⎠

∑

∫

. (9)

Perhatikan bahwa ζ ≤ untuk setiap n 1

1

n≥ .

Bagian ketiganya menjadi

1 0 ( [0, ]) n k n n a a n s k n ds L L τ _τ τ ζ τ ∞ = ⎛ ⎞ Ι + ∈ = _⎜ + _⎟ ⎝ ⎠

∑

∫

n n n n a an L L an L τζ = + ≈ (10)

dimana ζ ≤ untuk setiap n 1 n≥ . 1

Sehingga (7) menjadi

(

)

1 [ , ( 1) ] [0, ] 1 1 . 2 k n n N k k n L k n a L τ τ θ τ τ ∞ = Ε + ∩ ≈ ⎛ ⎞ − _⎜ + _⎟ ⎝ ⎠

∑

(11) Dari (10) dan n ln n L τ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ dengan n→ ∞ diperoleh:

(

)

(

)

(

)

1 [ ,( 1) ] [0, ] 1 1 ln / . 2 ln / k N k k n n k n a n τ τ θ τ τ τ τ ∞ = Ε + ∩ ≈ ⎛ ⎞ − ⎜_⎜ + ⎟_⎟ ⎝ ⎠

∑

(12) Dengan mengambil padanan stokastik dari bagian pertama, maka diperoleh persamaan (5) dan juga mengganti a dengan

ˆn

(3)

Pendekatan Asimtotik untuk Bias dan Ragam dari ˆθ n

Lema 6:

Misalkan fungsi intensitas λ memenuhi (1) dan terintegralkan lokal, maka

2 2 1 ˆ ( )an a O n n θ ⎛ ⎞ Ε = + _{+ ⎜ ⎟} ⎝ ⎠ (13) dan 2 3 2 1 ˆ ( )n a Var a O n n ⎛ ⎞ = _{+ ⎜ ⎟} ⎝ ⎠ (14)

dengan n→ ∞ . Sehingga ˆan merupakan

penduga a yang konsisten. Mean Squared

Error (MSE)-nya diberikan oleh

2

ˆ ˆ ˆ

( )n ( )n ( )n

MSE a =bias a +Var a . Dari (13) 2 2 1 ˆ ˆ ( ) , jika . n n Bias a a a O n n n θ ⎛ ⎞ = Ε − = _{+ ⎜} _⎟ ⎝ ⎠ → ∞ Dari (14) diperoleh 2 3 2 1 ˆ ( )n a Var a O n n ⎛ ⎞ = _{+ ⎜ ⎟} ⎝ ⎠ sehingga

( )

2 2 2 3 2 2 3 4 2 1 ˆ ( ) (4 2 ) n a MSE a O n n n a n O n θ θ − − ⎛ ⎞ = + _{+ ⎜ ⎟} ⎝ ⎠ = + + jika n→ ∞ .

Bukti dari lema ini dapat dilihat pada jurnal Helmers dan Mangku (2005).

Teorema 1: (Kekonsistenan ˆθ ) n

ˆ P _jika

n n

θ ⎯⎯→θ → ∞ (15)

Dengan kata lain, ˆθ merupakan penduga _n yang konsisten bagi θ . MSE dari ˆθ n

konvergen ke 0 jika n→ ∞ .

Bukti:

Teorema 1 akan dibuktikan setelah bukti Teorema 2.

Teorema 2: (Pendekatan Asimtotik untuk Bias dan Ragam dari ˆθ ) n

(

)

( )

(2 ) / 2 1 ˆ ( ) ln ln n n _n a o n τ γ θ γ ζ τ θ θ − − + ⎛ ⎞ Ε = − _{+ ⎜} _⎟ ⎝ ⎠

jika n→ ∞ . Dengan γ =0,577...adalah konstanta Euler. Serta

(

)

(

)

(

)

(

)

( )

2 2 2 6 ˆ ( ) 2 ln / _ln _/ 1 2 ln . a a a Var n n _n o n θ π _γ τ θ τ _τ + − − = + + ⎛ ⎞ ⎛ _{⎞⎜ ⎟} ⎜ _{⎟⎜ ⎟} ⎝ _{⎠⎝ ⎠} ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ (17) Bukti:

Pertama, akan dibuktikan (16). Nilai harapan dari persamaan (12) adalah

(

)

1 [ ,( 1) ] [0, ] 1 1 ˆ ln ˆ 2 _ln n k n N k k n n k n a n τ τ θ τ τ τ τ ∞ = Ε + ∩ Ε = ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − + Ε ⎜ ⎛ ⎞⎟ ⎜ ⎟ ⎜ _{⎝ ⎠}⎟ ⎝ ⎠

∑

(18) Bagian pertama pada (18) sama dengan

(

)

1 1 [ ,( 1) ] [0, ] 1 1 ln 1 1 ( ) ( [0, ]) . ln k k k k N k k n n k x x n dx n k τ τ τ τ τ τ τ λ τ τ ∞ = + ∞ = Ε + ∩ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = Ι ∈ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

∑

∫

Dengan perubahan batas integral, maka persamaan di atas menjadi

1 0 1 1 ( ) ( [0, ]) . ln k x k x k n dx n k τ λ τ τ τ τ ∞ = = + Ι + ∈ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

∑ ∫

Dengan persamaan (1) diperoleh

1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 ( ) ( ) ln ( [0, ]) 1 1 ( ) ( [0, ]) ln 1 1 ( [0, ]) ln 1 1 ( [0, ]) . ln c k c k k k x k a x k n k x k n dx x k x k n dx n k ax x k n dx n k ak x k n dx n k τ τ τ τ λ τ τ τ τ τ λ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ ∞ = ∞ = ∞ = ∞ = = + + + ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Ι + ∈ = + Ι + ∈ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ + Ι + ∈ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ + Ι + ∈ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

∑ ∫

(4)

Dengan persamaan (2), persamaan di atas menjadi

(

)

(

)

(

)

1 0 1 0 1 0 1 1 1 ( ) ( [0, ]) ln / 1 1 ( [0, ]) ln / 1 ( [0, ]) . ln / c k k k x x k n dx n k a x x k n dx n k a x k n dx n τ τ τ λ τ τ τ τ τ τ τ _τ τ τ ∞ = ∞ = ∞ = = Ι + ∈ + Ι + ∈ + Ι + ∈

∑

∫

∑

∫

∑

∫

(19) Diketahui bahwa 1 1 ( [0, ]) ln (1) k n x k n o k τ τ γ ∞ = ⎛ ⎞ Ι + ∈ = _{⎜ ⎟}+ + ⎝ ⎠

∑

, (20) jika n→ ∞ dan seragam pada x∈

[ ]

0,τ (Lihat Titchmarsh 1960).

Dengan mensubstitusi (20) pada bagian pertama (19), maka

(

)

1 0 0 0 0 0 1 1 1 ( ) ( [0, ]) ln 1 1 ( ) ln (1) ln 1 1 ( ) ( ) ln 1 1 ( ) (1) ln 1 . ln ln c k c c c c x x k n dx n k n x o dx n x dx x dx n x o dx n o n n τ τ τ τ τ λ τ τ τ λ γ τ τ τ γ λ λ τ τ τ λ τ τ θγ θ τ ∞ = Ι + ∈ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎛ ⎞ ⎞ = _⎜ _{⎜ ⎟}+ + _⎟ ⎛ ⎞ ⎝ ⎝ ⎠ ⎠ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = + ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ + ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ = + _{+ ⎜} _⎟ ⎛ ⎞ ⎝ ⎠ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

∑

∫

(21) Dengan cara yang sama, bagian kedua pada (19) menjadi 1 0 0 0 0 0 1 1 ( [0, ]) ln 1 [0, ] ln (1) ln 1 (1) 1 . ln ln k a x x k n dx n k a n x o dx n a a o a x dx x dx x dx n n τ τ τ τ τ τ τ τ γ τ τ τ γ τ τ τ τ τ ∞ = Ι + ∈ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎛ ⎞ ⎞ = _⎜ _⎜ _⎟+ + _⎟ ⎛ ⎞ ⎝ ⎝ ⎠ ⎠ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = + + ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∑

∫

Karena 2 0 1 2 x dx τ τ =

∫

, maka persamaan di atas menjadi 2 2 1 1 1 1 2 _ln 2 ln 1 , 2 _{2 ln} ln a a o n n a a o n n γ τ τ τ τ τ τ γτ τ ⎛ ⎞ + _{+ ⎜} _⎟ ⎛ ⎞ ⎝ ⎠ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ = + _{+ ⎜} _⎟ ⎛ ⎞ ⎝ ⎠ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ (22) jika n→ ∞ . Perhatikan bahwa 1 1 ( [0, ]) n. k n x kτ n ζ τ τ ∞ = Ι + ∈ = +

∑

(lihat Titchmarsh 1960) (23) Sehingga bagian ketiga pada (19) menjadi 1 0 1 ( [0, ]) ln k a x k n dx n τ τ _τ τ τ ∞ = Ι + ∈ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

∑

∫

ln ln ln n n a n n a a n n n τ _ζ τ τ τζ τ τ τ τ ⎛ ⎞ = _⎜ + _⎟ ⎛ ⎞ ⎝ ⎠ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = + ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ . ln ln n a an n n τζ τ τ = + ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (24) Dengan mensubstitusikan (13) ke

bagian 2 persamaan (18), maka

2 2 2 2 ˆ 2 _ln 2 1 2 _ln 1 2 2 _ln 2 1 ln ln 2 1 2 _ln _ln n n a n n a O n n n a an O n n n n O n n n a an O n n n τ τ τ θ τ τ θτ τ τ θ τ τ τ θ τ τ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − + Ε ⎜ ⎛ ⎞⎟ ⎜ ⎟ ⎜ _{⎝ ⎠}⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎜ _⎟⎛ _⎛ _⎞_⎞ ⎜ ⎟ = − + _⎜ + + _⎜ _⎟_⎟ ⎜ ⎛ ⎞_{⎜ ⎟}⎟⎝ ⎝ ⎠⎠ ⎜ _{⎝ ⎠}⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ = − − − _⎜ _⎟− ⎛ ⎞ ⎝ ⎠ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ − − _⎜ _⎟ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎝ ⎠ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ = − − − _{+ ⎜ ⎟} ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎝ ⎠ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ jika n→ ∞ . (25)

(5)

Dengan menggabungkan (21), (22), (24) dan (25), maka persamaan (16) terbukti sebagai berikut

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

1 ˆ ( ) ln / ln 2 1 2 ln / ln ln / ln / 2 ln / n n a o n n a an o n n n a a an n n θγ τ θ θ τ γτ τ τ τζ τ τ τ ⎛ ⎞ Ε = + + _⎜ _⎟+ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ + + _⎜ _⎟+ ⎝ ⎠ + − −

(

)

2 2 1 ln n/ O n θ τ ⎛ ⎞ − _{+ ⎜ ⎟} ⎝ ⎠

(

)

(

)

(

2

)

( / 2) 2 1 ln / ln (2 ) ₁ ln / ln n n a a o n n a o n n γ θγ γτ τζ θ θ τ γ θ ζ τ θ τ + + − ⎛ ⎞ = + _{+ ⎜} _⎟ ⎝ ⎠ − − + _⎛ _⎞ = − _{+ ⎜} _⎟ ⎝ ⎠ jika n→ ∞ .

Selanjutnya akan dibuktikan persamaan (17). Telah didefinisikan penduga bagi θ yaitu ˆθ pada persamaan (5). Misalkan n

didefinisikan 1 1 1 ([ ,( 1) ] [0, ]) ln n k N k k n A n k τ τ τ τ ∞ = + ∩ = ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

∑

(26) dan

(

)

ˆ 2 ln / n n n B a n τ τ ⎛ ⎞ = ⎜_⎜ + ⎟_⎟ ⎝ ⎠ . (27) Sehingga kita dapat menuliskan

ˆ

n An Bn

θ = − . (28)

Kemudian kita dapat menghitung ragam dari ˆθ sebagai berikut n

ˆ

( )n ( )n ( ) 2n ( ,n n)

Varθ =Var A +Var B − Cov A B

(29) Catatan, untuk setiap j k j k≠ , , =1, 2,...,

maka

(

[

jτ,(j+1)τ

]

∩[0, ]n

)

dan

[

]

(

kτ,(k+1)τ ∩[0, ]n

)

tidak saling tumpang tindih (tidak overlap). Sehingga

[

]

(

,( 1) [0, ]

)

N j jτ + ∩τ n dan N k k

(

[

τ,( 1)+ τ

]

∩[0, ]n

)

adalah bebas, untuk k≠ . j

Sehingga Var A( )n dapat dihitung

sebagai berikut

(

)

2 2 2 1 ( ) 1 1 ( ([ ,( 1) ] [0, ])) ln( / ) n k Var A Var N k k n k n τ τ τ τ ∞ = =

∑

+ ∩

(

)

2 2 2 1 0 1 1 ( ) ( [0, ]) . ln( / ) k x k x k n dx k n τ λ τ τ τ τ ∞ = =

∑ ∫

+ Ι + ∈

Dengan menggunakan persamaan (1), maka

( )

(

)

( )

(

)

( )

(

)

2 2 2 1 0 2 2 2 1 0 2 2 2 ₁ 0 ( ) 1 1 ( ) ( ) ( [0, ]) ln / 1 1 ( ) ( [0, ]) ln / 1 1 ( ) ( [0, ]) . ln / n c k c k k Var A x k a x k x k n dx k n x k x k n dx k n a x k x k n dx k n τ τ τ λ τ τ τ τ τ λ τ τ τ τ τ τ τ τ ∞ = ∞ = ∞ = = + + + Ι + ∈ = + Ι + ∈ + + Ι + ∈

∑ ∫

Kemudian, dengan persamaan (2) diperoleh

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

2 2 2 ₁ 0 2 2 2 1 0 2 1 0 ( ) 1 1 ( ) ( [0, ]) ln / 1 ( [0, ]) ln / 1 ( [0, ]) . ln / n c k k k Var A x x k n dx k n a x x k n dx k n a x k n dx k n τ τ τ λ τ τ τ τ τ τ τ τ τ ∞ = ∞ = ∞ = = Ι + ∈ + Ι + ∈ + Ι + ∈

∑

∫

∑

∫

∑

∫

(30) Perhatikan bahwa 2 2 1 1 ( [0, ]) (1) 6 k x k n o k π τ ∞ = Ι + ∈ = +

∑

(31) jika n→ ∞ , seragam pada x∈

[ ]

0,τ (Lihat Titchmarsh 1960).

Dengan menggunakan persamaan (31), bagian pertama dari persamaan (30) menjadi

(

)

(

)

(

)

(

)

2 2 2 1 0 2 2 2 0 1 1 ( ) ( [0, ]) ln / 1 ( ) (1) 6 ln / c k c x x k n dx k n x o dx n τ τ λ τ τ τ π λ τ τ ∞ = Ι + ∈ ⎛ ⎞ = _⎜ + _⎟ ⎝ ⎠

∑

∫

(

)

(

)

2 2 1 (1) 6 ln n/ o π _θ τ τ ⎛ ⎞ = ⎜ + ⎟ ⎝ ⎠

(

)

(

)

( )

2 2 2 6 1 ln ln n/ o n θ π τ τ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ _⎛ _⎞ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ _⎜ _⎟ = + _⎜ _⎟ ⎝ ⎠ , (32) jika n→ ∞ .

(6)

Bagian keduanya menjadi

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

( )

2 2 2 1 0 2 2 2 0 2 2 2 2 2 2 2 1 ( [0, ]) ln / (1) 6 ln / 1 (1) 6 2 ln / 2 6 1 , ln ln / k a x x k n dx k n a x o dx n a o n a o n n τ τ τ τ τ π τ τ π _τ τ τ π τ ∞ = Ι + ∈ ⎛ ⎞ = _⎜ + _⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ = _⎜ + _⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ _⎛ _⎞ ⎝ ⎠ _⎜ _⎟ = + _⎜ _⎟ ⎝ ⎠

∑

∫

(33)

jika n→ ∞ . Dengan menggunakan

persamaan (20), bagian ketiganya menjadi

( )

2 1 0 2 0 2 2 2 1 ( [0, ]) ln ln (1) ln ln (1) ln 1 ln ln _ln k a x k n dx k n a n o dx n a n o n a a o n _n _n τ τ τ τ τ γ τ τ τ γ τ τ τ τ γ τ _τ ∞ = Ι + ∈ ⎛ ⎛ ⎞⎞ ⎜ ⎟ ⎜ _{⎝ ⎠}⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎛ ⎞ ⎞ = _⎜ _{⎜ ⎟}+ + _⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ ⎛ ⎞⎞ ⎜ ⎟ ⎜ _{⎝ ⎠}⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎛ ⎞ ⎞ = _⎜ _{⎜ ⎟}+ + _⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ ⎛ ⎞⎞ ⎜ ⎟ ⎜ _{⎝ ⎠}⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = + + _⎜ _⎟ ⎛ ⎞ ⎛ ⎛ ⎞⎞ _⎝ _⎠ ⎜ ⎟ _⎜ _{⎜ ⎟}_⎟ ⎝ ⎠ _⎝ _{⎝ ⎠}_⎠

∑

∫

(34)

jika n→ ∞ . Dengan menggabungkan

persamaan (32), (33) dan (34), diperoleh

(

)

₍

₎

( )

2 2 2 2 6 ( ) ln / _ln _/ 1 . ln n a a a Var A n _n o n θ π _γ τ τ _τ ⎛ ₊ ⎞ ₊ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = + ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ + _⎜ _⎟ ⎝ ⎠ (35) Selanjutnya, dengan menggunakan persamaan (14) Var B( n) menjadi

( )

(

)

2 2 3 ˆ ( ) 2 ln ˆ ( ) 2 ln 2 1 2 ln / n _n n n Var B Var a n n Var a Var n a n O n n n τ τ τ τ τ τ ⎛ ⎛ ⎞⎞ ⎜ ⎟ = _⎜ ⎜_⎜ + ⎟_⎟_⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ = ⎜_⎜ + ⎟_⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎛ ⎛ ⎞⎞ =_⎜ + _⎜ _{⎟ ⎜}_⎟⎜ + ⎟_⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

(

)

(

)

2

(

)

2 1 ln / ln / jika . a O n n n n τ τ ⎛ ⎞ = + ⎜_⎜ ⎟_⎟ ⎝ ⎠ → ∞ , (36) Kemudian, akan kita hitung ( ,n n)

Cov A B sebagai berikut:

(

)

(

)

[

]

(

)

(

)

(

)

2 1 ( , ) 2 ln / 2 ln / 1 ,( 1) [0, ] , [0, ] . n n k Cov A B n n n n Cov N k k n N n k τ τ τ τ τ τ ∞ = ⎛ ⎞⎛ ⎞ =⎜_⎜ + ⎟⎜_⎟⎜ ⎟_⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ + ∩

∑

Karena N k

(

[

τ,(k+1)τ

]

∩[0, ]n

)

adalah himpunan bagian dari N

(

[ ]

0,n , maka

)

Cov(An,Bn) dapat ditulis sebagai berikut

(

)

(

)

(

)

[

]

(

)

(

)

2 2 1 2 1 ( , ) ln / ln / 1 , ( 1) [0, ] . n n k Cov A B n n n n Var N k k n k τ τ τ τ τ ∞ = ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ + ∩

∑

Karena N adalah peubah acak Poisson, maka ( )

Var N = Ε . Sehingga kita perolehN

( )

(

)

( )

(

)

( )

(

)

( )

2 2 1 0 2 2 2 1 ( , ) ln / ln / 1 ( ) ( [0, ]) 2 1 . ln / ln / n n c k Cov A B n n n n x ax x k n dx k n n n n τ τ τ τ λ τ τ τ τ ∞ = ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ =_⎜ + _⎟ ⎝ ⎠ + Ι + ∈ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ + + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

∑

∫

(37) Substitusi persamaan (20) ke bagian pertama persamaan (37) akan kita peroleh

( )

1 ln O n n ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠, jika n→ ∞ .

Lalu dengan mensubstitusi persamaan (23) ke bagian kedua persamaan (37) akan diperoleh

( )

2 2 1 , jika ln ln a O n n n n ⎛ ⎞ + _⎜ _⎟ → ∞ ⎝ ⎠ . Maka

(

)

(

)

2

(

)

2 1 ( , ) . ln / ln / n n a Cov A B O n n n τ τ ⎛ ⎞ = + ⎜_⎜ ⎟_⎟ ⎝ ⎠

Sehingga bagian ketiga persamaan (29) menjadi

(7)

( )

(

)

2

( )

4 1 2 ( , ) , ln / ln / jika . n n a Cov A B O n n n n τ τ ⎛ ⎞ − = − + ⎜_⎜ ⎟_⎟ ⎝ ⎠ → ∞

Maka Teorema 2 terbukti.

Bukti Teorema 1:

Dengan menggunakan persamaan (16), diperoleh

(

2

)

ˆ lim ( ) (2 ) 1 lim ln( / ) ln . n n n n a o n n γ θ γ θ ζ τ θ τ θ →∞ →∞ Ε ⎛ − − + _⎛ _⎞⎞ = ⎜_⎜ − + _⎜ _⎟⎟_⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ =

Atau dapat ditulis sebagai ˆ

( )θn θ o(1), jika n

Ε = + → ∞ .

(38) Sedangkan persamaan (17) mengakibatkan

( ) ( ) 2 2 2 2 1 2 6 ln ln _ln ˆ lim ( ) lim 0. n n n a a a n n n Var θ π _γ τ _θ τ _τ θ →∞ →∞ + − − + + ⎛ _⎛ _⎞_⎛ _⎞ ⎞ ⎜ _⎜ _⎟⎜ _⎟ _⎛ _⎞⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎜ ⎟ = _⎜ ⎜_⎜ ⎟_⎟_⎟ ⎛ ⎞ ⎛ ⎛ ⎞⎞ ⎝ ⎠ ⎜ ⎜ ⎟ _⎜ _{⎜ ⎟}_⎟ ⎟ ⎜ ⎝ ⎠ _⎝ _{⎝ ⎠}_⎠ ⎟ ⎝ ⎠ =

Dapat ditulis juga sebagai ˆ

( )n (1), jika

Varθ =o n→ ∞ .

(39) Selanjutnya, akan dibuktikan bahwa ˆθ n

adalah penduga konsisten bagi θ, yaitu bahwa untuk setiap ε > berlaku 0

(

ˆ

)

₀

n

θ θ ε

Ρ − > → , jika n → ∞ .

Ruas kiri persamaan di atas dapat ditulis sebagai berikut

(

ˆ

) (

ˆ ˆ ˆ

)

_.

n n n n

θ θ ε θ θ θ θ ε

Ρ − > = Ρ − Ε + Ε − >

(40) Dengan ketaksamaan segitiga maka persamaan (40) menjadi

(

)

(

)

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ _. n n n n n n θ θ θ θ ε θ θ ε θ θ ≤ Ρ − Ε + Ε − > = Ρ − Ε > − Ε − (41) Berdasarkan persamaan (38), maka ada

no sehingga ˆ _, 2 n ε θ θ Ε − ≤ (42) untuk setiap n n> . o

Dengan mensubstitusikan persamaan (42) ke persamaan (41), maka ruas kanan persamaan (41) menjadi ˆ ˆ 2 n n ε θ θ ⎛ ⎞ = Ρ_⎜ − Ε > _⎟ ⎝ ⎠. Kemudian diperoleh

(

ˆ

)

ˆ ˆ 2 n n n ε θ θ ε ⎛θ θ ⎞ Ρ − > ≤ Ρ_⎜ − Ε > _⎟ ⎝ ⎠.

Dengan menggunakan pertaksamaan Chebyshev, maka 2 ˆ 4 ( ) ˆ ˆ _. 2 n n n Varθ ε θ θ ε ⎛ ⎞ Ρ_⎜ − Ε > _⎟≤ ⎝ ⎠ (43) Dengan (39), maka ruas kanan persamaan (43) konvergen ke 0 jika n→ ∞ .

Mean Squared Error-nya adalah 2

ˆ ˆ ˆ

( )n ( )n ( )n

MSEθ =Bias θ +Varθ . Dari persamaan (38), diperoleh

ˆ ˆ ( )n n (1), jika Biasθ = Ε − =θ θ o n→ ∞ , sehingga 2_{( )}ˆ _{(1), jika} n Bias θ =o n→ ∞ .

Dari persamaan (39), diperoleh ˆ

( )n (1), jika

Varθ =o n→ ∞ .

Jadi, MSE( )θ =ˆn o(1), jika n→ ∞ , dengan kata lain MSE( )θ →ˆn 0, jika .n→ ∞ Maka Teorema 1 terbukti.

Reduksi Bias

Untuk mengevaluasi bias dari ˆθ , kita n

perhatikan suatu kasus khusus, yaitu proses Poisson dengan fungsi intensitas

( ) ( ) 2 exp cos . c s s as s A as λ λ π ρ φ τ = + ⎧ ⎛ ⎞⎫ = _⎨ _⎜ + _⎟_⎬+ ⎝ ⎠ ⎩ ⎭

Kita pilih ρ = 1, τ = 5, φ = 0 dan a = 0.05. Dengan parameter tersebut, fungsi intensitas menjadi 2 ( ) exp cos 0.05 5 s s A π s λ = ⎧⎨ ⎛⎜_⎝ ⎞⎟_⎠⎫⎬+ ⎩ ⎭ . (44) Kita pertimbangkan tiga nilai θ yaitu θ=1.2661 (A = 1), θ = 2.5322 (A = 2) dan θ=5.0644 (A = 4). Untuk A = 1, kita peroleh

5 0 1 2 exp cos 1.2661 5 5 s ds π θ= ⎛_⎜ ⎛_⎜ ⎞_⎟⎞_⎟ = ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∫

.

(8)

Contoh 1:

Pada contoh ini kita pelajari perilaku dari ˆθ (dalam Teorema 2), dengan fungsi n

intensitas λ(s) diberikan oleh (44).

Pendekatan asimtotik bagi bias dan ragam pada Teorema 2 akan dibandingkan dengan suatu hasil simulasi yang diambil dari Mangku (2005).

(i) Untuk θ = 1.2661, dengan persamaan (16) dan (17) diperoleh penduga asimtotik untuk bias dan ragam dari ˆθ n

sebagai berikut: ˆ ˆ ( ) 0.5778 (2 0.5778)(1.2661) 1 (0.05)5 2 ln(1000/5) 0.3734. n n Biasθ =Ε −θ θ ⎛ ⎞ − −_⎜ −_⎟ ⎝ ⎠ =− =− 2 2 1.2661 0.05 0.05(2 0.5778) 5 2 6 0.05 ˆ ( ) 1000 ₁₀₀₀ ln _ln 5 ₅ 0.0232. n Var π θ ⎛ ⎞ ⎛ ₊ ⎞ ₋ ₋ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ = + ⎛ ⎞ _⎛ _⎛ _⎞_⎞ ⎜ ⎟ _⎜ _⎜ _⎟_⎟ ⎝ ⎠ _⎝ _⎝ _⎠_⎠ =

Dari simulasi, dengan menggunakan

M=10000, realisasi yang bebas dari

proses N yang diobservasi pada interval [0,1000], diperoleh Biasˆ ( ) 0.3793θˆn =− dan Varˆ ( ) 0.0221θˆn = , dimana Biasˆ ( )θ ˆn

adalah rata-rata contoh (yang diperoleh dari simulasi) dikurangi nilai θ yang sebenarnya dan Varˆ ( )θ adalah ragam ˆn

contoh. Jadi, ˆ ˆ ˆ ( ) ( ) 0.3734 ( 0.3793) 0.0059 n n Biasθ −Biasθ = − − − = ˆ ˆ ˆ ( ) ( ) 0.0232 0.0221 0.0011. n n Varθ −Varθ = − =

(ii) Untuk θ=2.5322, dengan (16) dan (17), dan dari simulasi (M=10000) diperoleh

ˆ ˆ ˆ ( ) ( ) 0.7137 ( 0.7303) 0.0166 n n Biasθ −Biasθ = − − − = dan ˆ ˆ ˆ ( ) ( ) 0.0381 0.0364 0.0017. n n Varθ −Varθ = − =

(iii) Untuk θ=5.0644, dengan (16) dan (17) dan simulasi (M=10000) diperoleh

ˆ ˆ ˆ ( ) ( ) 1.3938 ( 1.4210) 0.0272 n n Biasθ −Biasθ = − − − = dan ˆ ˆ ˆ ( ) ( ) 0.0677 0.0634 0.0043. n n Varθ −Varθ = − =

Dari Contoh 1, kita lihat bahwa penduga asimtotik untuk bias dan ragam pada (16) dan (17) sudah cukup baik untuk memperkirakan bias dan ragam dari penduga

ˆ

n

θ dengan ukuran contoh yang terbatas. Tetapi bias dari ˆθ masih cukup besar. Kita n

dapat mereduksi bias ini dengan menambahkan penduga dari bagian kedua pada persamaan (16) ke dalam ˆθ . Dengan n

demikian, kita peroleh penduga dengan bias yang telah dikoreksi untuk θ sebagai berikut

, ˆ _ˆ (2 ) 2 ˆ ˆ ln n n n n b n a n γ γ θ ζ τ θ θ τ ⎛ ⎞ − −_⎜ + _⎟ ⎝ ⎠ = + ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ . (45)

Teorema 3: (Pendekatan Asimtotik untuk Bias dan Ragam dari θ ) ˆn b, Misalkan fungsi intensitas λ memenuhi (1) dan terintegralkan lokal, maka

, 1 ˆ ln n b o n θ θ ⎛ ⎞ Ε _{= + ⎜} _⎟ ⎝ ⎠ (46) jika n→ ∞ , dan

( )

(

)

(

)

(

)

2 , 2 2 2 2 6 ˆ ( ) ln / _ln _/ 1 , (ln ) n b a _a a Var n _n o n θ π _γ τ θ τ _τ ⎛ ⎞ ⎛ ₊ ⎞ ₊ ₋ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ = + ⎛ ⎞ + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ (47) jika n→ ∞ . Bukti:

Pertama, akan dibuktikan persamaan (46). Untuk membuktikannya, kita tulis kembali penduga θ pada (45) sebagai ˆn b, berikut

(

)

, / 2 (2 ) ˆ ₁ ˆ _ˆ ln( / ) ln( / ) n n b n an n n γ ζ τ γ θ θ τ τ + ⎛ − ⎞ = +_⎜ _⎟ − ⎝ ⎠ . (48) Dengan (16), nilai harapan bagian pertama pada (48) menjadi

(9)

(

)

( )

(2 ) _ˆ 1 ln( / ) (2 ) / 2 (2 ) 1 1 ln( / ) ln ln 1 2 _, ln ln n n n n n a o n n a o n n τ γ _θ τ γ θ γ ζ τ γ _θ τ γ ζ τ θ τ ⎛ − ⎞ = +_⎜ _⎟Ε ⎝ ⎠ ⎛ − − + ⎞ ⎛ − ⎞ ⎛ ⎞ = +⎜ ⎟⎜_⎜ − + ⎜_⎝ ⎟_⎠⎟_⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎛ ₊ ⎞ ⎜ ⎟ _⎛ _⎞ ⎝ ⎠ = + _{+ ⎜} _⎟ ⎛ ⎞ ⎝ ⎠ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ (49) jika n→ ∞ .

Dengan (13), nilai harapan bagian kedua pada (48) menjadi

(

/ 2

)

ˆ ln( / ) n n a n γ ζ τ τ + = − Ε

(

)

(

)

(

)

2 / 2 2 1 ln( / ) / 2 1 , ln / ln n n a O n n n a o n n γ ζ τ θ τ γ ζ τ τ + ⎛ ⎛ ⎞⎞ = − _⎜ + + _⎜ _⎟_⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ + ⎛ ⎞ = − _{+ ⎜} _⎟ ⎝ ⎠ (50) Jika n→ ∞ .

Kemudian, dengan menggabungkan (49) dan (50), kita peroleh persamaan (46).

Selanjutnya, akan dibuktikan persamaan (47). Dengan menggunakan (48),

, ˆ ( n b)

Varθ dapat dihitung sebagai berikut

(

)

₍

₎

(

)

(

)

, 2 2 2 2 ˆ ( ) (2 ) _ˆ 2 _ˆ 1 ( ) ( ) ln / _ln _/ (2 ) 2 _{ˆ ˆ} 2 1 ( , ). ln / ln / n b n n n n n n Var Var Var a n _n Cov a n n θ γ ζ τ γ _θ τ _τ γ ζ τ γ _θ τ τ ⎛ ₊ ⎞ ⎜ ⎟ ⎛ − ⎞ ⎝ ⎠ = +⎜_⎜ ⎟_⎟ + ⎝ ⎠ ⎛ ₊ ⎞ ⎜ ⎟ ⎛ − ⎞⎝ ⎠ − ⎜_⎜ + ⎟_⎟ ⎝ ⎠ (51) Dengan (17), bagian pertama persamaan (51) sama dengan

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

( )

2 2 2 2 6 ₂ 2 ln / _ln _/ 1 2 ln ln / a a a a n _n o n n θ π γ τ τ _τ _τ + − − + + ⎛ ⎞ ⎛ _{⎞⎜ ⎟} ⎜ _{⎟⎜ ⎟} ⎝ _{⎠⎝ ⎠} + ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

(

)

(

)

(

)

(

)

( )

2 2 2 6 ₁ 2 2 ln / _ln _/ _ln , a a a o n _n _n θ π γ τ τ _τ + − + ⎛ ⎞ ⎛ _{⎞⎜ ⎟+} ⎜ _{⎟⎜ ⎟} _⎛ _⎞ ⎝ _{⎠⎝ ⎠} ⎜ ⎟ = + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ (52) jika n→∞.

Dengan (14), bagian kedua pada (51) adalah

2 2 1 (ln ) O n n ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ yang menjadi 2 1 (ln ) o n ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

jika n→∞. Kemudian dengan pertaksamaan Cauchy-Schwarz, bagian ketiga (51)

menjadi 1 ₂ (ln ) o n ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ jika n→∞. Sehingga, diperoleh (47). Teorema 3 terbukti. Contoh 2:

Pada contoh ini, kita pelajari perilaku dari penduga θ pada persamaan (45) ˆn b, dengan fungsi intensitas λ(s) pada (44). Hasil simulasi yang digunakan sebagai pembanding diambil dari Mangku (2005).

(i) Untuk θ = 1.2661, dari simulasi (M=10000) dan dengan (47), diperoleh penduga asimtotik untuk bias dan ragam dari θ sebagai berikut: ˆn b,

, ˆ ˆ ₍ ₎ _0.1090 n b Biasθ = − dan , 2 2 , , ˆ ( ) 0.05 (1.2661/5 0.05/2)( /6) 0.05(2 0.5778) 1000 ₁₀₀₀ ln _ln 5 ₅ 0.0283 ˆ ˆ ˆ ( ) ( ) 0.0283 0.0354 0.0071 nb nb nb Var Var Var θ π θ θ + + − = + ⎛ ⎞ _⎛ _⎛ _⎞_⎞ ⎜ ⎟ _⎜ _⎜ _⎟_⎟ ⎝ ⎠ _⎝ _⎝ _⎠_⎠ = − = − =−

(ii) Untuk θ=2.5322, dari simulasi

(M=10000) dan dengan (47), diperoleh , ˆ ˆ ₍ ₎ _0.2056 n b Biasθ = − , , ˆ ˆ ˆ ( ) ( ) 0.0431 0.0578 0.0147 n b n b Varθ −Varθ = − = −

(iii) Untuk θ=5.0644, dari simulasi

(M=10000) dan dengan (47), diperoleh , ˆ ˆ ₍ ₎ _0.3993 n b Biasθ = − , , ˆ ˆ ˆ ( ) ( ) 0.0728 0.1051 0.0323 n b n b Varθ −Varθ = − = −

Jelas bahwa bias dari θ jauh lebih ˆn b, kecil dari bias ˆθ . Jadi, reduksi bias pada n