STRUKTUR MARKOV PADA MASALAH LAJU KREDIT Riri Syafitri Lubis

Dosen Jurusan Pendidikan Matematika Fakultas Tarbiyah IAIN - SU Jl. Williem Iskandar Pasar V Medan Estate, 20371

ﻱﺪﻳﺮﲡ : ﻑﻮﻛﺭﺎﻣ ﺝﺫﻮﳕ ﺔﺳﺍﺭﺪﻟﺍ ﻩﺬﻫ ﻡﺪﺨﺘﺴﺗ (Markov) ﻥﺎﻤﺘﺋﻻﺍ ﰲ ﺕﺍﲑﻐﺘﻟﺍ ﻞﻴﻠﺤﺘﻟ . ﻟﺍ ﻤﻨ ﺮﻃﺎﳐ ﺔﻈﻔﳏ ﻝﺪﻌﻣﻭ ﺩﺍﺮﻓﻷﺍ ﺓﺪﻋﺎﺴﳌ ﻡﺯﻼﻟﺍ ﻝﺎﳌﺍ ﺱﺃﺭﻭ ﻝﺍﻮﻣﻷﺍ ﺓﺭﺍﺩﻹ ﺎﻫﺅﺎﺸﻧﺇ ﰎ ﺝﺫﺎ ﻥﺎﻤﺘﺋﻻﺍ ﺕﺍﻭﺩﺃ ﻦﻣ ﻥﺎﻤﺘﺋﻻﺍ . ﻡﺪﺨﺘﺴﻳﻭ ،ﺮﺧﺁ ﱃﺇ ﻯﻮﺘﺴﻣ ﻦﻣ ﻥﺎﻤﺘﺋﻻﺍ ﺔﻴﻣﺎﻨﻟﺍ ﻝﺎﻘﺘﻧﻻﺍ ﺍﲑﺜﻛ ﺎﻴﻟﺎﻤﺘﺣﺍ ﻥﺎﻤﺘﺋﻻﺍ ﺭﻮﻄﺗ ﻒﺼﻳ ﻱﺬﻟﺍ ﺝﺫﻮﻤﻨﻟﺍ ﺮﻳﺪﻘﺘﻟ . ﻊﻴﲨ ﱴﻟﺍ ﺺﺋﺎﺼﳋﺍ ﻡﺪﺨﺘﺴﺗ ﻮﻫ ﺍﲑﺜﻛ ﺝﺫﻮﳕ ﺔﺴﻧﺎﺠﺘﻣ ﺖﻗﻮﻟﺍ ﺭﻭﺮﻣ ﻊﻣ ﻂﻴﺴﺑ ﻑﻮﻛﺭﺎﻣ . ﻡﺍﺪﺨﺘﺳﺍ ﻦﻜﳝﻭ ﺺﺋﺎﺼﺧ ﻑﻮﻛﺭﺎﻣ ﺔﻈﻔﳏ ﺮﻄﺧ ﰲ ﲑﺼﻘﻟﺍ ﻯﺪﳌﺍ ﻰﻠﻋ ﺕﺍﲑﻴﻐﺘﻟﺍ ﻒﺻﻮﻟ .

Abstrak:_{“Penelitian ini menggunakan model Markov untuk}

menganalisis perubahan dalam kredit. Model dibuat untuk menghasilkan dana dan modal yang dibutuhkan untuk membantu individu dan tingkat risiko portofolio kredit dari instrumen kredit. Mengembangkan transisi kredit dari satu tingkat ke yang lain, dan sering digunakan untuk memperkirakan model yang menggambarkan evolusi kredit probalistik. Semua spesifikasi yang sering digunakan adalah simple Markov Model dengan waktu homogen. Markov spesifikasi dapat digunakan untuk menggambarkan perubahan jangka pendek dalam risiko portofolio”.

Kata Kunci: _{Rantai Markov, Transisi Kredit, Manajemen}

Resiko.

A. Pendahuluan

erkembangan ekonomi dunia tidak terlepas dari apa yang disebut dengan kredit. Mulai dari aktivitas ekonomi yang berskala kecil sampai pada aktivitas ekonomi yang berskala besar. Kredit seolah–olah sudah menjadi salah satu syarat suksesnya seseorang. Perkembangan ini tentunya mempengaruhi turun– naiknya laju kredit.

Laju kredit adalah suatu perubahan rating kredit dari suatu level tertentu ke level lainnya yang dipengaruhi oleh beberapa

P

faktor tertentu. Laju kredit merupakan perubahan ekspektasi di dalam kualitas kredit, yang digunakan untuk mengestimasi penurunan distribusi, peentuan skenario analisis kredit, dan penghitungan ukuran Value at Risk (VaR). Probabilitas laju kredit ditentukan berdasarkan data historis yang dihitung dari beberapa periode waktu tertentu, dengan asumsi ketidakpastian.

Tujuan utama dari sistim laju kredit adalah menyediakan klasifikasi sederhana dari risiko kegagalan terhadap rangkaian masalah, nasabah dan lain sebagainya (Goldfeld: 1986). Turun naiknya laju kredit pada suatu badan keuangan dapat dipengaruhi oleh beberapa faktor antara lain adanya peningkatan kualitas pelayanan, periklanan, promosi dan faktor lainnya.

Pengembangan laju kredit dapat dilakukan dengan pendekatan rantai Markov (Markov Chain). Rantai Markov adalah sebuah proses perubahan dengan pola tetap sehingga akhirnya menuju ke sebuah komposisi yang setimbang, yang tak berubah – ubah lagi(Ross: 1983). Pada umumnya, keadaan setimbang itulah yang selalu dicari, sehingga pemecahan permasalahan rantai Markov ini menjadi sederhana.

Transisi rating atau laju memiliki makna yang sama dengan estimasi probabilitas transisi, yang didalamnya terdapat beberapa kasus statistik, yang sudah pasti berhubungan dengan probabilitas. Secara teori, matriks transisi dapat diestimasi untuk beberapa horizon transisi, dalam kerangka waktu yang berbeda. Transisi matriks memiliki nilai eigen. Nilai eigen ini dapat membantu untuk menentukan bahwa laju kredit adalah Markov.

Dengan menggunakan spesifikasi model Markov dengan waktu yang homogen, proses stokastik dapat ditetapkan secara lengkap pada probabilitas transisi. Sehingga digunakan rantai Markov sederhana untuk problema pengembangan laju laju kredit. Rantai Markov dalam pengembangan laju kredit baik digunakan karena struktur rantai Markov dengan waktu yang homogen dapat merepresentasikan laju kredit dalam suatu horizon waktu yang panjang.

Untuk mendapatkan gambaran yang lebih jelas bagaimana struktur rantai markov dalam menjelaskan pengembangan laju kredit dan mengembangkan struktur rantai markov untuk

mengestimasi probabilitas transisi laju kredit akan diuraikan dalam pembahasan berikut ini.

B. Model Dalam Problema Laju Kredit

1. Model Satu Faktor Gaussian Copula

Model satu faktor Gaussian Copula didasarkan pada industri keuangan sebagai suatu model yang menilai perdagangan hutang obligasi(Bielecki et.al,2002). Andaikan :

∫ − = − = > t_i du u i t F t e Q 0ˆ( ) ) ( 1 ) (

τ

γ i t V V X 2 1 ρ ρ + − =

dimana F adalah referensi filtrasi trivial (diasumsikan sebagai pendekatan langsung),

γ

ˆiadalah intensitas marjinal, merupakan fungsi deterministik, V dan Vi, i = 1, 2, … , n adalah bebas,

variabel Gaussian dibawah Q dan parameter korelasi

ρ

berada di (-1,1). Andaikan C adalah fungsi copula yang bersesuaian dengan distribusi dari vektor (X1, … , Xn), maka C untuk setiap

[ ]

0,1 ,..., , 2 1 v vn∈ v : )) ( ),..., ( ( ) ,..., ( 1 1 1 1 1 vn Q X N v Xn N vn v C = < − < −

Didefinisikan kelalaian waktu

τ

_i, i = 1, 2, … , n, dengan formula :       _{∈ >−} = +

_∫

t i i i t R u du 0 ln ) ( ˆ : inf γ ξ τ

atau ekivalen dengan :

{

i i

}

i

t

R

F

t

ξ

τ

=

inf

∈

+

:

1

−

(

)

<

dimana distribusi acak seragam didefinisikan dengan persamaan : ξi =1−N(Xi).

) ,...,

(X₁ Xn , (

ξ

1,....,

ξ

n) dan (

τ

1,...,

τ

n) adalah vektor acak yang

berhubungan dengan fungsi copula Gaussian.

Maka diperoleh sebuah persamaan yang valid, untuk setiap i = 1, 2, … , n dan setiap t_∈R₊:

{

} {

}

      − − ≤ = − ≥ = ≤ − ₂ 1 1 )) ( ( ) ( 1 ρ ρ ξ τ t F t V N Fi t V i i i i

Dengan kebebasan bersyarat dari X1, … , Xn, yang

mempertimbangkan faktor utama V, sehingga menghasilkan pasar risiko kredit yang luas secara sistematis, maka untuk setiap t1, … , tn

+

∈

R

:

∫ ∏

₌ −       − − = ≤ ≤ _R n i i n n n v dv v t F N N t t Q 1 2 1 1 1 ( ) 1 )) ( ( ) ,..., ( ρ ρ τ τ

dimana n adalah fungsi padat peluang dari V.

2. Model Kusuoka

Model ini mengasumsikan bahwa beberapa perusahaan diklasifikasikan sebagai yang utama, ketika perusahaan lain dijadikan yang kedua, hal ini tidak relevan dengan sudut pandang dari model tersebut(Bielecki et.al,2002). Untuk kemudahan, diasumsikan :

Diambil n = 2, ini ditujukan untuk kasus dua nama kredit. Tingkat suku bunga r sama dengan nol, sehingga B(t,T) = 1 untuk setiap t ≤T

Filtrasi referensi F adalah trivial

Semua ikatan perusahaan setuju untuk patuh kepada skema tanpa perlindungan

Persamaan harga perusahaan pada waktu

t

∈

[ ]

0

,

T

adalah : ) ( ) , ( 1 2 1 0 1 t T Q THt Ht D = τ > ν

Nilai diatas didasarkan pada informasi yang lengkap, seperti yang dimodelkan filtrasi penuh _G=H1_VH2_{. Untuk perbandingan, akan} dievaluasi kesesuaian nilai yang didasarkan pada asumsi bahwa hanya tersedia sebuah pengamatan parsial, secara spesifik dihitung dengan : ) ( ) , ( ˆ 1 1 0 1 t T Q THt D =

τ

> , 2 1 0 1( , ) ( ˆ t H T Q T t D =

τ

> )

dimana t dan T adalah parameter waktu dan Hi adalah proses filtrasi.

Dengan ukuran peluang P waktu acak

τ

_i, i = 1, 2 diasumsikan sebagai variabel acak yang saling bebas dengan parameter eksponensial

λ

₁dan

λ

₂.

Untuk T > 0, didefinisikan suatu ukuran peluang Q yang ekivalen dengan P pada

(

Ω

,

G

)

dengan :

T

dP

dQ _η

=

Dimana proses kepadatan Radon Nikodym η_t,t∈

[ ]

0,T memenuhi : ( [ ] ) 1 ( 2 1 0,

∑∫

₌ − + = i t i u i u u t η K dM η

Dimana proses selanjutnya M1 dan M2 diberikan oleh :

∫

∧ = − ∧ − = t i i i i t i i t i t H du H t M ₀τλ ( τ )λ {t i} i t

H

=

1

_≥τ , dan G dapat diprediksi dengan K1 dan K2 yang diberikan oleh : ( )       − =1> 1 1 1 1 2 λ α τ t t K dan ( )       − =1> 1 2 2 2 1 λ α τ t t K

0

>

i

α

untuk i = 1,2.

Intensitas

τ

₁ dan

τ

₂ dibawah Q diberikan oleh :

{ 2}

1

{ 2}

1

1 1 1 τ τ

α

λ

λ

t

=

t<

+

t≥ dan _{{ } { }} 1 1

1

1

₂ 2 2 τ τ

α

λ

λ

t

=

t<

+

t≥

Proses

λ

1 merupakan prediksi H2 dan proses dari : 1 1 0 1 1 1 1 1 τ τ λ ∧ ∧ ∧ − = − =

_∫

t t t u t t H du H M

G martingale dibawah Q, menyebabkan proses

λ

1 menjadi sebuah versi dari intensitas G dari

τ

dibawah Q. secara umum, proses

λ

1

bukan merupakan intensitas H2 dari

τ

₁ dibawah Q, ketika diketahui: { } ( ) 1 ) ( 1 2 2 1 1 1 1 Q t t t t H E e H H s Q ∧t−∧s < ≠ ∨ > τ

τ

Untuk mengobservasi proses

λ

1 yang merupakan intensitas H2 dari

1

τ

dibawah sebuah ukuran peluang

Q

~

, yang ekivalen dengan P, diberikan oleh : T dP Q d

η

~ ~ =

Dimana proses kepadatan Radon Nikodym

(

η~_,t∈

[ ]

_{0,T t}

)

memenuhi: [ ]

∫

−

+

=

_t u u u t 0,

K

dM

2 2

~

1

~

_η

η

Hal ini dapat diperiksa dengan syarat persamaan dibawah ini terpenuhi, untuk setiap s > t :

{ } ( ) ! ) ( ~ 2 ~ 2 1 1 1 1 1 Q t t t t H E e H H s Q ∧t−∧s < = ∨ > τ

τ

Hasil akhir memperlihatkan bahwa proses

λ

1 dan

λ

2 menentukan intensitas transisi, sehingga model tersebut dapat diterapkan dengan suatu rantai Markov dua dimensi.

Hurd dan Kuznetsov (2005) mengajukan perluasan dari rantai markov untuk menyelesaikan persoalan perubahan kredit dari beberapa perusahaan. Perubahan esensial dari model yang diajukan adalah membentuk rantai markov untuk laju kredit dari masing-masing perusahaan yang dipersyaratkan bebas tehadap perubahan waktu stokastik.

Model rantai markov campuran terhadap dinamika laju kredit diajukan oleh Frydman dan Schuermann (2007). Penggabungan dua rantai markov dilakukan pada laju perubahan diantara rating kredit. Model ini diestimasi dengan menggunakan data historis laju kedit dari Standard and Poor’s selama tahun 1981-2002 dan memperlihatkan bahwa model campuran dari kedua model tersebut secara statistik didominasi oleh model markov sederhana dan bahwa perbedaan diantara kedua model memiliki makna secara

ekonomi. Penelitian ini mempertimbangkan sebuah tipe yang berbeda dari kelakuan non makov dan mengajukan non markov sebagai suatu generalisasi dari suatu rantai markov waktu homogen kontinu. Suatu rantai markov waktu homogen kontinu memiliki jangka waktu yang mengikuti distribusi eksponensial. Non markov yang terdapat di dalam model mengimplikasikan bahwa distribusi dari laju kredit perusahaan di masa yang akan datang bergantung tidak hanya pada rating tertentu pada saat itu tetapi juga pada rating di masa lampau.

C. Pengertian Kredit

Pengertian kredit mempunyai dimensi yang beraneka ragam, dimulai dari arti kredit yang berasal dari bahasa Yunani “credere” yang berarti kepercayaan, karena itu dasar kredit dalah kepercayaan. Dengan demikian seseorang memperoleh kredit pada dasarnya adalah memperoleh kepercayaan. Kredit dalam bahasa latin adalah “creditum” yang berarti kepercayaan akan kebenaran. Dalam praktek sehari-hari pengertian ini berkembang luas lagi menjadi kemampuan untuk melaksanakan suatu pembelian atau mengadakan suatu pinjaman dengan suatu janji pembayarannya akan dilakukan pada suatu jangka waktu yang disepakati (Muljono dkk,1993).

Pada dasarnya kredit hanya satu macam saja bila dilihat dari pengertian yang terkandung di dalamnya. Akan tetapi untuk membedakannya, kredit dibedakan menurut faktor-faktor dan unsur-unsur yang ada di dalam pengertian kredit, maka diperoleh pembedaan kredit berdasarkan jenis penggunaan, keperluan kredit, jangka waktu kredit, cara pemakaian, dan jaminan.

D. Rantai Markov

Suatu proses stokastik

{

X

_n

,

n

=

0

,

1

,...

}

yang mempunyai ruang keadaan berupa himpunan berhingga atau himpunan terbilang. Secara umum, ruang keadaan ini dapat dinotasikan sebagai himpunan { 0, 1, ... }. Jika pada waktu n proses tersebut berada di keadaan i, maka kejadian ini ditulis sebagai

X

n

=

i

. Proses yang

kita pelajari mempunyai sifat khusus, yaitu untuk semua

j

i

i

i

₀

,...,

_n−1

,

,

dan semua

n

≥

0

, berlaku :

{

X

j

X

i

X

i

X

i

} {

P

X

j

X

i

}

Proses stokastik

{

X

_n

,

n

=

0

,

1

,...

}

dinamakan rantai Markov, sebagai penghargaan atas jasa Andrei Markov (1856-1922) yang untuk pertama kalinya meneliti kelakuan proses stokastik tersebut setelah proses berjalan dalam selang waktu yang panjang.

Untuk dapat menganalisis rantai Markov ke dalam suatu kasus, ada beberapa syarat yang harus dipenuhi :

a. Jumlah probabilitas transisi untuk suatu keadaan awal dari sistim sama dengan 1.

b. Probabilitas-probabilitas tersebut berlaku untuk semua partisipan dalam sistim.

c. Probabilitas transisi konstan sepanjang waktu.

d. Kondisi merupakan kondisi independen sepanjang waktu.

E. Matriks Peluang Transisi

Misalkan proses

{

X

n

,

n

=

0

,

1

,...

}

suatu r antai Markov

dengan ruang keadaan { 0, 1, ... } Matriks peluang transisi (satu langkah) dari

{

X

_n

,

n

=

0

,

1

,...

}

, dinotasikan P, adalah suatu matriks dengan elemen ke (i,j) nya adalah

P

_ij . Jadi

P =             ... ... ... ... ... ... ... 22 21 20 12 11 10 02 01 00 P P P P P P P P P

Definisikan P_ij(n)=P

{

X_n+1 = jX_n =i

}

. Peluang P_ij(n₎ ini dikenal dengan nama peluang transisi satu langkah. Jika nilai

P

_ij

(

n

)

sama untk setiap nilai n, maka rantai Markov

{ }

X

_n dinamakan homogen.

Dari definisi

P

_ij dilihat bahwa elemen-elemen dari matriks P bernilai tak negatif dan jumlah elemen-elemen pada satu baris di matriks peluang transisi ini haruslah sama dengan satu.

Matriks transisi ini sangat membantu dalam menganalisa kelakuan rantai markov dalam beberapa langkah ke depan dan juga setelah proses berjalan lama (long run behavior).

Peluang proses yang berada pada keadaan i akan berada pada keadaan j setelah proses mengalami n transisi, misalnya dinyatakan peluang ini dengan

P

_ijn. Maka :

{

X

j

X

i

}

,

P

P

n _{n m m}

ij

=

+

=

=

m

≥

0

,

i

,

j

≥

0

Dapat dilihat bahwa

P

_ij1

=

P

_ij. Selanjutnya dengan menggunakan aturan probabilitas total, untuk semua n,

m

≥

0

,

dan semua

i

,

j

≥

0

,

m n ij

P

+ =

P

{

X

n+m

=

j

X

0

=

i

}

=

∑

∞

{

} {

}

=0 +

=

=

=

=

=

0 0

,

k n n m n

j

X

k

X

i

P

X

k

X

i

X

P

=

∑

∞ =0 k n ik m kj

P

P

Persamaan ini, dikenal dengan nama persamaan Chapman-Kolmogorov. Persamaan Chapman-Kolmogorov memberikan suatu metode untuk menghitung peluang transisi dalam n langkah.

Misalkan

P

(n) adalah matriks dengan elemen-elemennya merupakan peluang transisi dalam n langkah

P

_ijn. Dari persamaan tersebut didapatkan : n n n n

P

P

P

P

P

( )

=

( −1+1)

=

( −1) (1)

=

Rantai Markov yang pada awalnya berada pada keadaan i setelah satu transisi akan berada pada keadaan j dengan peluang yang diberikan oleh suku (i,j) dari matriks P. Secara umum, definisi vektor baris diberikan oleh :

,...)

,

(

0 2 0 1 0

π

π

π

=

Dengan

π

_i0 menyatakan peluang rantai Markov berada dikeadaan i pada permulaan proses, maka peluang setelah satu transisi rantai Markov tersebut berada di keadaan j (

π

0_j), diberikan oleh :

ki k k j

∑

P

∞ =

=

0 0 1

π

π

i

=

0

,

1

,...

Sekarang definisikan

(

1

,

2

,...

)

n n n

π

π

π

=

n

=

1

,

2

,...

sebagai vektor distribusi peluang dari keadaan rantai Markov setelah n transisi. Maka dengan persamaan Chapman-Kolmogorov di atas dapat ditunjukkan :

n n

P

0

π

π

=

F. Rantai Markov Dengan Ruang Keadaan

Berhingga

Jika ruang keadaan berhingga, distribusi peluang transisi dapat direpresentasikan dengan sebuah matriks yang disebut matriks transisi, dengan elemen ke (i , j) pada Psama dengan :

)

Pr(

X

₁

j

X

i

p

_ij

=

_n+

=

_n

=

P adalah matriks stokastik. Selanjutnya, jika rantai Markov adalah rantai Markov waktu homogen, sedemikian hingga matriks transisi P bebas dari label n, maka peluang transisi k langkah dapat dihitung sebagai kekuatan ke-k pada matriks transisi, pk .

Distribusi stasioner adalah sebuah (baris) vektor yang memenuhi persamaan :

P

π

π

=

Dengan kata lain, distribusi stasioner adalah sebuah normalisasi vektor eigen pada matriks transisi yang diasosiasikan dengan nilai eigen sama dengan 1.

G. Diskusi

Model probabilitas sederhana untuk problema transisi laju adalah dengan menggunakan model rantai Markov, yaitu model rantai Markov diskrit. Model rantai Markov diskrit adalah suatu proses stokastik

X

_t pada waktu diskrit t membentuk suatu himpunan terhitung atau terbatas. Keadaan (state) adalah integer positif. Jumlah keadaan pada suatu dimensi terbatas rantai Markov ditandai dengan integer K. Probabilitas

X

t+1

=

j

, dimana

X

t

=

i

,

disebut sebagai probabilitas transisi satu langkah p_ij(t). Probabilitas transisi merupakan fungsi dari keadaan awal dan akhir, dan waktu transisi. Ketika probabilitas transisi adalah bebas dari variabel waktu (biasanya pada kasus di bidang aplikasi finansial), proses Markov menjadi probabilitas transisi stasioner. Untuk kasus ini dapat dituliskan

ij

ij

t

p

p

(

)

=

. Matriks transisi dari probabilitas transisi diantara semua keadaan :

          = KK K K K K p p p p p p p p p P 2 1 2 22 21 1 12 11

Catatan untuk setiap baris, jumlah probabilitas transisi sama dengan satu,

_∑

= = K j1pij 1 Secara umum : m t m t

X

P

X

₊

=

Untuk kasus non homogen : 1 1 1 2 + + + +

=

t t

=

t t t t

X

P

X

P

P

X

dan 1 1

...

+ − + +m

=

t t t m t

X

P

P

X

Estimasi parameter probabilitas transisi rantai Markov

Spesifikasi yang populer dilakukan model rantai Markov sederhana dengan waktu homogen. Dengan spesifikasi ini, proses stokastik dapat dispesifikkan secara lengkap di dalam unsur-unsur probabilitas transisi. Estimasi probabilitas transisi pada rantai Markov sederhana dapat diselesaikan secara langsung dengan menghitung jumlah perubahan dari satu keadaan ke keadaan yang lain yang terjadi selama periode sampel tertentu. Salah satu caranya adalah dengan menggunakan rantai sederhana dua tahap, dimana keadaan kualitas kredit ditandai dengan risiko rendah dan risiko tinggi.

Matriks transisi periode tunggal adalah sebagai berikut :

P = _      − − 22 22 11 11 1 1 p p p p

Probabilitas transisi dalam suatu rantai Markov sederhana mengandung sejumlah perubahan dari satu keadaan ke keadaan yang lain yang terjadi selama periode sampel tertentu sehingga digunakan fungsi log likelihood untuk mengestimasinya. Andaikan

ij

n

adalah jumlah waktu pada suatu sampel berukuran N, dimana terdapat perpindahan dari keadaan i ke keadaan j. Fungsi log-likelihood untuk data yang diasumsikan Markov, diberikan oleh : lnL(P1−Periode

data)=n₁₁lnp₁₁+n₁₂ln(1−p₁₁)+n₂₁ln(1−p₂₂)+n₂₂lnp₂₂

Pemaksimuman fungsi ini dengan harapan parameter

p

₁₁dan

22

p

dalam kasus ini, di estimasi dengan maksimum likelihood estimator. Estimasi ini diberikan oleh :

) ( ˆ 22 11 11 11 n n n p + = ) ( ˆ 21 22 22 22 n n n p + =

Estimator-estimator ini dan generalisasinya dengan kasus K keadaan adalah sesuai dengan pengamatan transisi satu langkah.

Andaikan terdapat data pada transisi periode kedua, maka

11

p

dan

p

₂₂akan diestimasi, probabilitas transisi satu periode dalam rantai Markov waktu homogen. Pertama, tandai probabilitas transisi periode kedua, yaitu p₁₁(2)dan

p

22

(

2

)

, setiap fungsi dari probabilitas transisi periode pertama memiliki hubungan 2

) 2 ( P P = . Secara spesifik :       − − = ) 2 ( ) 2 ( 1 ) 2 ( 1 ) 2 ( ) 2 ( 22 22 11 11 p p p p P       − − + − − − − + = ) 1 )( 1 ( ... 1 ... 1 ) 1 )( 1 ( 22 11 2 22 22 11 2 11 p p p p p p Misalkan n11(2)adalah jumlah pengamatan pada keadaan 1 untuk dua periode,

n

12

(

2

)

jumlah perpindahan dari keadaan 1 ke

keadaan 2, log likelihood untuk mengestimasi

p

₁₁dan

p

₂₂dari data transisi dua periode adalah :

+ − + = − ) (2)ln (2) (2)ln(1 (2)) 2 ( lnL P periodedata n₁₁ p₁₁ n₁₂ p₁₁ n21(2)ln(1−p22(2))+n22(2)lnp22(2) Dimana

p

_ij

₍

₂

₎

diatas didefinisikan dalam bentuk

p

_ij. Ketika satu periode dan dua periode data tersedia, likelihood total adalah jumlah dari log likelihood, yaitu :

+

+

−

+

−

+

=

−

)

11

ln

11 12

ln(

1

11

)

21

ln(

1

22

)

22

ln

22

2

&

1

(

ln

L

P

periodedat

a

n

p

n

p

n

p

n

p

) 2 ( ln ) 2 ( )) 2 ( 1 ln( ) 2 ( )) 2 ( 1 ln( ) 2 ( ) 2 ( ln ) 2 ( 11 12 11 21 22 22 22 11 p n p n p n p n + − + − + yang dimaksimumkan berkenaan dengan

ij

p .

Publikasi laju tidak hanya tahunan. Ketika proses transisi matriks digunakan, publikasi dapat dilakukan bulanan atau kuartalan.

Parameter dasar dari kasus ini adalah pemisahan matriks transisi satu periode

P

₁

,

P

₂

,

sampai dengan

P

_T, dimana T adalah waktu terpanjang dari transisi yang diamati. Ketika transisi multiple periode tunggal diamati, metode diatas data digunakan untuk mengestimasi parameter periode.

H.Penutup

Penelitian ini telah menghadirkan suatu metode untuk vektor transisi laju dengan menggunakan pendekatan rantai Markov untuk mengestimasi transisi kredit. Model ini diketahui dengan baik, dimana ini adalah suatu model sederhana yang digunakan sebagai deskripsi proses stokastik untuk resiko aset. Probabilitas transisi dalam suatu rantai Markov sederhana mengandung sejumlah perubahan dari satu keadaan ke keadaan yang lain yang terjadi selama periode sampel tertentu sehingga penelitian ini menggunakan fungsi log likelihood untuk mengestimasi probabilitas transisi tersebut. Adopsi kerangka transisi Markov sederhana membutuhkan biaya,asumsi pembatasan pada kredit transisi yang dibutuhkan untuk validitas model.

KEPUSTAKAAN

Bielecki, T. R. and M. Rutkowski., 2002, Credit Risk : Modelling, Valuation and Hedging, Berlin:Springer-Verlag

Frydman, H and Schuermann, Till., 2007, Credit Rating Dynamics and Markov Mixture Models, Wharton Financial Instittions Center Working Paper, No. 4-15.

Goldfeld, Stephen M. and Lester V. Chandler., 1986, The Economics of Money and Banking, Ninth Edition,New York:Harper&Row,Publishers,Inc

Hurd, Tom. And Kuznetsov, A., 2005, Affine Markov Chain Models of Multifirm Credit Migration, Working Paper of Mc Master University of Canada.

Muljono, Teguh Pudjo (1993), Manajemen Perkreditan Bagi Bank Komersil, Yogyakarta:BPFE

Ross, Sheldon M., 1983, Stochastic Process, USA:University of California.