Bilangan kromatik Graf hasil operasi dan aplikasinya pada permainan pewarnaan Graf

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI. BILANGAN KROMATIK GRAF HASIL OPERASI DAN APLIKASINYA PADA PERMAINAN PEWARNAAN GRAF. SKRIPSI. Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains Program Studi Matematika. Oleh: Aurelia Utari 153114023. PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA 2019. i.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI. CHROMATIC NUMBER OF GRAPH PRODUCT AND ITS APPLICATION IN GRAPH COLORING GAME. THESIS. Presented as Partial Fulfillment of the Requirements to Obtain the Degree of Sarjana Sains in Mathematics. By: Aurelia Utari 153114023. DEPARTEMEN OF MATHEMATICS MATHEMATICS STUDY PROGRAM FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY SANATA DHARMA UNIVERSITY 2019. ii.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI. MOTTO. ACHIEVING GOALS IN SILENCE. vi.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI. HALAMAN PERSEMBAHAN. Karya ini saya persembahkan untuk orang tua tercinta, Adha Yuwanto dan Asteria Arimurti. Serta adik-adik saya tersayang, Flavia Acitya Danastri, Maura Sekar Cantya, dan Egidia Rena Rahajeng.. vii.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI. ABSTRAK. Teori graf memiliki banyak pembahasan, diantaranya operasi graf dan bilangan kromatik. Kedua pembahasan tersebut sangat menarik untuk dibahas bersama. Dalam tulisan ini akan dibahas bilangan kromatik pada hasil operasi graf lingkaran dengan graf lintasan menggunakan operasi darab tensor (𝐺 ⊗ 𝐻) dan operasi korona (𝐺 ⊙ 𝐻). Bilangan kromatik dari salah satu graf hasil operasi, yaitu (𝐶𝑛 ⨀ 𝑃𝑚 ), akan digunakan untuk mencari bilangan kromatik permainan dari graf tersebut.. Kata kunci: graf, operasi graf, bilangan kromatik, bilangan kromatik permainan.. ix.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI. ABSTRACT. Graph theory offers a diverse of topic discussions, for example graph product and chromatic number. These two objects of study attract researchers to investigate in one study. In this paper the chromatic number in graph product of cycle graph and path graph using the tensor product (𝐺 ⊗ 𝐻) and the corona product (𝐺 ⊙ 𝐻) will be discussed. The chromatic number of one of the graph product, i.e. (𝐶𝑛 ⨀ 𝑃𝑚 ), will be used to find the game chromatic number of the graph.. Key words: graph, graph product, chromatic number, game chromatic number.. x.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI. KATA PENGANTAR. Puji dan syukur kepada Tuhan Yesus Kristus karena berkat kasih-Nya yang melimpah sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini. Skripsi yang berjudul “BILANGAN KROMATIK GRAF HASIL OPERASI DAN APLIKASINYA PADA PERMAINAN PEWARNAAN GRAF” disusun sebagai salah satu syarat memperoleh gelar Sarjana Sains pada Program Studi Matematia, Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Sanata Dharma. Penulis menyadari bahwa selama mengerjakan skripsi, penulis melibatkan banyak pihak yang terlibat membantu dalam menyelesaikan skripsi ini. Oleh karena itu, penulis mengucapkan banya terima kasih kepada: 1. Ibu M. V. Any Herawati, S.Si., M.Si. selaku dosen pembimbing skripsi. 2. Bapak Sudi Mungkasi, S.Si., M.Math.Sc., Ph.D. selaku Dekan Fakultas Sains dan Teknologi dan selaku Dosen Pembimbing Akademik. 3. Bapak Hartono, S.Si., M.Sc., Ph.D. selaku Kaprodi Matematika. 4. Romo Prof. Dr. Frans Susilo, SJ., Bapak Dr. rer. nat.. Herry P.. Suryawan, S.Si., M.Si., Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc dan Bapak Ricky Aditya, M.Sc. selaku dosen Prodi Matematika yang telah memberi banyak pengetahuan kepada penulis selama proses perkuliahan. 5. Bapak/Ibu dosen/karyawan Fakultas Sains dan Teknologi yang telah berdinamika bersama selama penulis berkuliah. 6. Orang tua, adik-adik dan keluarga yang selalu memberi dukungan dan semangat kepada penulis. 7. Guntur, Cynter, Jessica, Ririn, Alve, Intan, Puspa, Fika, Tama, Argha, Fira dan Anin yang telah membantu penulis, memberikan semangat dan menemani penulis dalam mengerjakan skripsi.. xi.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI. DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL ............................................................................................. i HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ................................................ iii HALAMAN PENGESAHAN .............................................................................. iv HALAMAN KEASLIAN KARYA ...................................................................... v MOTTO ................................................................................................................ vi HALAMAN PERSEMBAHAN.......................................................................... vii LEMBAR PERYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI ............................. viii ABSTRAK ............................................................................................................ ix ABSTRACT ........................................................................................................... x KATA PENGANTAR .......................................................................................... xi DAFTAR ISI ....................................................................................................... xiii BAB I PENDAHULUAN ...................................................................................... 1 A.. Latar Belakang Masalah.....................................................................................1. B.. Rumusan Masalah...............................................................................................3. C.. Tujuan Penulisan.................................................................................................3. D.. Manfaat Penulisan ..............................................................................................3. E.. Batasan Masalah .................................................................................................4. F.. Metode Penulisan................................................................................................4. G.. Sistematika Penulisan.........................................................................................4. BAB II GRAF, OPERASI GRAF DAN PEWARNAAN GRAF ...................... 6 A.. Graf.......................................................................................................................6. B.. Graf Lingkaran dan Graf Lintasan ..................................................................12. C.. Operasi Darab Tensor.......................................................................................13. D.. Operasi Korona .................................................................................................20. E.. Pewarnaan Titik dan Bilangan Kromatik .......................................................30. BAB III BILANGAN KROMATIK GRAF HASIL OPERASI DAN BILANGAN KROMATIK PERMAINAN ....................................................... 35 A.. Bilangan Kromatik Graf Hasil Operasi Darab Tensor dari Graf Lintasan dengan Graf Lingkaran ....................................................................................35. xiii.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI. B.. Bilangan Kromatik Graf Hasil Operasi Korona dari Graf Lingkaran dengan Graf Lintasan ........................................................................................... 46. C.. Bilangan Kromatik Permainan .................................................................. 66. BAB IV PENUTUP ............................................................................................. 72 A.. Kesimpulan................................................................................................ 72. B.. Saran .......................................................................................................... 80. DAFTAR PUSTAKA .......................................................................................... 81. xiv.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI. BAB I PENDAHULUAN. A. Latar Belakang Masalah Teori graf merupakan bagian dari cabang ilmu matematika yaitu matematika diskret. Pertama kali diperkenalkan oleh Leonhard Euler pada tahun 1736. Ketika itu, Euler mencoba membuktikan bahwa tidak ada kemungkinan untuk melewati tepat satu kali setiap jembatan di empat daerah yang terhubung dengan tujuh jembatan di atas sungai Pregel, Konigsberg, Rusia.. Gambar 1 Jembatan di atas sungai Pregel. Graf merupakan pasangan himpunan (𝑉, 𝐸) dengan 𝑉 adalah himpunan tidak kosong dari titik-titik, ditulis dengan 𝑉 = {𝑣1 , 𝑣2 , 𝑣3 , … , 𝑣𝑛 } dan 𝐸 adalah himpunan sisi yang menghubungkan satu atau dua titik pada graf tersebut, ditulis dengan 𝐸 = {𝑒1 , 𝑒2 , 𝑒3 , … , 𝑒𝑚 }. Graf memiliki bermacam-macam jenis, dan yang akan dibahas dalam tulisan ini adalah graf lingkaran dan graf lintasan. Graf lingkaran 𝐶𝑛 adalah graf yang tiap-tiap titiknya berderajat dua. Sedangkan, graf yang terbentuk dari 𝐶𝑛 dengan menghilangkan sebuah sisinya disebut graf lintasan 𝑃𝑚 . Dua buah graf dapat dioperasikan dengan bermacam-macam operasi, antara lain operasi joint (𝐺 + 𝐻), darab Cartesius (𝐺 × 𝐻), darab korona (𝐺 ⊙ 𝐻), darab tensor (𝐺 ⊗ 𝐻), komposisi (𝐺[𝐹]), dan Amalgamation. Salah satu aplikasi yang menggunakan operasi graf adalah model jaringan. 1.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 2. Teori graf memiliki berbagai macam pembahasan selain pengoperasian dua buah graf, salah satunya yaitu pewarnaan graf. Ada tiga macam pewarnaan graf, yaitu pewarnaan peta, pewarnaan sisi dan pewarnaan titik. Pewarnaan peta adalah pemberian warna pada setiap daerah dimana dua daerah yang saling bertetangga diberi warna yang berbeda. Pewarnaan sisi adalah pemberian warna pada setiap sisi pada suatu graf dimana dua sisi yang bertetangga diberi warna yang berbeda. Pewarnaan titik adalah pemberian warna pada setiap titik pada suatu graf dimana dua titik yang bertetangga diberi warna yang berbeda. Sedangkan jumlah warna minimum yang digunakan dalam pewarnaan titik pada suatu graf disebut bilangan kromatik. Dalam kehidupan sehari-hari, pewarnaan graf dan bilangan kromatik dapat digunakan dalam penjadwalan, permainan sudoku, pembuatan peta, pengaturan lampu lalu lintas dan lain sebagainya. Selain dalam kehidupan sehari-hari bilangan kromatik dapat diaplikasikan pada teori lain, salah satunya bilangan kromatik permainan. Bilangan kromatik permainan dapat membantu mengetahui siapa pemenang dari permainan pewarnaan graf dimana dua pemain secara bergantian memberi warna yang tepat pada titik dalam suatu graf. Pemain pertama dianggap menang jika semua titik dalam graf diberi warna yang tepat. Sedangkan pemain kedua akan memenangkan jika terdapat titik yang tidak dapat diberi warna dengan tepat. Beberapa pembahasan dalam teori graf tersebut sangat menarik untuk dibahas bersama-sama. Dalam tulisan ini akan dibahas bilangan kromatik pada hasil operasi graf lingkaran dengan graf lintasan menggunakan operasi darab tensor (𝐺 ⊗ 𝐻) dan operasi darab korona (𝐺 ⊙ 𝐻). Bilangan kromatik dari salah satu graf hasil operasi yaitu (𝐶𝑛 ⨀ 𝑃𝑚 ) akan digunakan untuk mencari bilangan kromatik permainan dari graf tersebut..

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 3. B. Rumusan Masalah Berdasarkan latar belakang yang telah diuraikan, rumusan masalah yang akan dibahas adalah: 1.. Bagaimana hasil operasi darab tensor dan darab korona dari graf lingkaran dengan graf lintasan?. 2.. Bagaimana pewarnaan titik pada graf hasil operasi darab tensor dan darab korona dari graf lingkaran dengan graf lintasan?. 3.. Berapa bilangan kromatik pada graf hasil operasi darab tensor dan darab korona dari graf lingkaran dengan graf lintasan?. 4.. Berapa bilangan kromatik permainan dari graf hasil operasi graf lingkaran dengan graf lintasan?. C. Tujuan Penulisan Berdasarkan rumusan masalah di atas, tujuan dari penulisan tugas akhir ini adalah sebagai berikut: 1.. Mendapatkan hasil operasi darab tensor dan darab korona dari graf lingkaran dengan graf lintasan.. 2.. Medapatkan pewarnaan titik pada graf hasil operasi darab tensor dan darab korona dari graf lingkaran dengan graf lintasan.. 3.. Mendapatkan bilangan kromatik pada graf hasil operasi darab tensor dan darab korona dari graf lingkaran dengan graf lintasan.. 4.. Mendapatkan bilangan kromatik permainan dari graf hasil operasi graf lingkaran dengan graf lintasan.. D. Manfaat Penulisan Manfaat dari penulisan tugas akhir ini adalah sebagai berikut: 1.. Penulis mendapatkan pengetahuan baru selama penulisan tugas akhir ini.. 2.. Memperluas wawasan pembaca tentang bilangan kromatik dan bilangan kromatik permainan pada hasil operasi graf lingkaran dengan graf.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 4. lintasan. 3.. Tugas akhir ini dapat dijadikan referensi bagi peneliti yang lain.. E. Batasan Masalah Dalam tugas akhir ini, akan dibahas bilangan kromatik hasil operasi graf lingkaran dengan graf lintasan. Graf yang digunakan adalah graf tak berarah dengan operasi darab tensor (𝐺 ⊗ 𝐻) dan operasi darab korona (𝐺 ⊙ 𝐻). Bilangan kromatik permainan hanya akan dibahas untuk graf hasil operasi darab korona antara graf lingkaran dengan graf lintasan (𝐶𝑛 ⊙ 𝑃𝑚 ).. F. Metode Penulisan Metode penulisan dalam tugas akhir ini adalah metode studi pustaka yaitu dengan membaca dan mempelajari buku-buku atau jurnal-jurnal yang berkaitan dengan pengoperasian dua graf dan bilangan kromatik.. G. Sistematika Penulisan Sistematika penulisan tugas akhir ini adalah sebagai berikut: BAB I PENDAHULUAN A.. Latar Belakang Masalah. B.. Rumusan Masalah. C.. Tujuan Penulisan. D.. Manfaat Penulisan. E.. Batasan Masalah. F.. Metode Penulisan. G.. Sistematika Penulisan. BAB II GRAF, OPERASI GRAF DAN PEWARNAAN GRAF A.. Graf, Graf Lingkaran dan Graf Lintasan.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 5. B.. Operasi Darab Tensor. C.. Operasi Korona. D.. Pewarnaan Titik dan Bilangan Kromatik. BAB III BILANGAN KROMATIK GRAF HASIL OPERASI DAN PERMAINAN PEWARNAAN GRAF A.. Bilangan Kromatik Graf Hasil Operasi Darab Tensor Graf Lingkaran dengan Graf Lintasan. B.. Bilangan Kromatik Graf Hasil Operasi Darab Korona Graf Lingkaran dengan Graf Lintasan. C.. Permainan Pewarnaan Graf. BAB IV KESIMPULAN A.. Kesimpulan. B.. Saran. DAFTAR PUSTAKA.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI. BAB II GRAF, OPERASI GRAF DAN PEWARNAAN GRAF. Teori graf adalah salah satu cabang ilmu matematika yang sudah menyumbang banyak aplikasi dalam kehidupan nyata, seperti pembuatan peta, penjadwalan dan pengaturan lampu lalu lintas. Teori graf memiliki banyak pembahasan diantaranya operasi graf dan pewarnaan graf.. A. Graf Pada tahun 1736, teori graf pertama kali diperkenalkan oleh Leonhard Euler yang mempublikasikan penyelesaian suatu teka-teki. Ketika itu, Euler membuktikan bahwa tidak ada kemungkinan untuk melewati tepat satu kali pada setiap jembatan di empat daerah yang terhubung dengan tujuh jembatan di atas sungai Pregel, Konigsberg, Rusia. Untuk menyelesaikan teka-teki tersebut, Euler menerjemahkannya ke dalam masalah teori graf. Teori graf memiliki penerapan yang luas dalam berbagai bidang. Bebereapa diantaranya, yaitu masalah penetapan frekuensi radio selular, masalah jaringan makanan dan masalah pengaturan lalu lintas.. Definisi 2.1.1 (Epp, 2011) Graf 𝐺 terdiri dari dua himpunan berhingga, yaitu himpunan tak kosong 𝑉(𝐺) dari titik-titik dan himpunan 𝐸(𝐺) dari sisi-sisi, dimana setiap sisi menghubungkan satu atau dua titik yang disebut titik ujung dari sisi tersebut.. Anggota dari himpunan titik dapat ditulis dengan 𝑉 = {𝑣1 , 𝑣2 , 𝑣3 , … , 𝑣𝑛 } dan anggota himpunan sisi 𝐸 = {𝑒1 , 𝑒2 , 𝑒3 , … , 𝑒𝑛 }. Selanjutnya, untuk graf 𝐺 dengan himpunan titik 𝑉 dan himpunan sisi 𝐸 dinotasikan dengaan 𝐺 (𝑉, 𝐸).. 6.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 7. Contoh 2.1.1 Misal 𝐴 adalah graf sebagai berikut,. Gambar 2 Graf A Himpunan titik dari graf A tersebut 𝑉 = {𝑣1 , 𝑣2 , 𝑣3 , 𝑣4 , 𝑣5 , 𝑣6 } dan himpunan sisinya 𝐸 = {𝑒1 , 𝑒2 , 𝑒3 , 𝑒4 , 𝑒5 , 𝑒6 , 𝑒7 }. Titik ujung dari setiap sisi dalam graf 𝐴, yaitu. Sisi. Titik Ujung. 𝑒1. 𝑣1 , 𝑣2. 𝑒2. 𝑣1 , 𝑣3. 𝑒3. 𝑣1 , 𝑣3. 𝑒4. 𝑣2 , 𝑣3. 𝑒5. 𝑣5 , 𝑣6. 𝑒6. 𝑣5. 𝑒7. 𝑣6. Definisi 2.1.2 (Epp, 2011) Sebuah sisi dengan satu titik ujung disebut loop, dan dua atau lebih garis berbeda yang memiliki himpunan titik ujung yang sama disebut sisi ganda..

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 8. Contoh 2.1.2 Dalam contoh 2.1.1, diketahui bahwa graf 𝐴 memiliki dua buah loop yaitu sisi 𝑒6 dengan titik ujung 𝑣5 dan sisi 𝑒7 dengan titik ujung 𝑣6 . Graf 𝐴 juga memiliki sisi ganda yaitu sisi 𝑒2 dan sisi 𝑒3 dengan titik ujung keduanya adalah 𝑣1 dan 𝑣3 .. Definisi 2.1.3 (Epp, 2011) Dua titik yang terhubung dengan suatu sisi dikatakan bertetangga dan suatu sisi dikatakan bersisian dengan setiap titik ujungnya.. Contoh 2.1.3 Dari contoh 2.1.1, dapat dilihat beberapa contoh titik yang bertetangga dari graf A seperti, 𝑣1 bertetangga dengan 𝑣3 , 𝑣5 bertetangga dengan 𝑣6 . Sisi 𝑒1 , 𝑒2 dan 𝑒3 bersisian dengan 𝑣1 .. Definisi 2.1.4 (Epp, 2011) Graf sederhana adalah sebuah graf yang tidak memiliki loop dan sisi ganda. Dalam graf sederhana, sebuah sisi dengan titik ujung 𝑣 dan 𝑤 dinotasikan dengan {𝑣, 𝑤}.. Contoh 2.1.4 Misal 𝐵 adalah graf sebagai berikut,. Gambar 3 Graf B.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 9. Graf B merupakan graf sederhana karena tidak memiliki loop maupun sisi ganda. Sisi-sisi dalam graf sederhana tersebut yaitu sisi 𝑒1 yang dapat ditulis dengan {𝑣1 , 𝑣2 }, sisi 𝑒2 yang dapat dinotasikan dengan {𝑣2 , 𝑣3 }, sisi 𝑒3 yang dapat dinotasikan dengan {𝑣3 , 𝑣4 }, sisi 𝑒4 yang dapat dinotasikan dengan {𝑣4 , 𝑣5 } dan sisi 𝑒5 yang dapat dinotasikan dengan {𝑣1 , 𝑣5 }.. Definisi 2.1.5 (Epp, 2011) Misal 𝐺 adalah sebuah graf dan 𝑣 serta 𝑤 adalah titik-titik dalam 𝐺. Sebuah jalan dari 𝑣 ke 𝑤 adalah suatu barisan tak kosong bergantian dari titik-titik bertetangga dan sisi-sisi dari 𝐺. Jadi jalan memiliki susunan 𝑣0 , 𝑒1 , 𝑣1 , 𝑒2 , … , 𝑣𝑛−1 , 𝑒𝑛 , 𝑣𝑛 dengan 𝑣𝑖 menyatakan titik dan 𝑒𝑖 menyatakan sisi, 𝑣0 = 𝑣, 𝑣𝑛 = 𝑤, dan untuk semua 𝑖 = 1, 2, … , 𝑛, 𝑣𝑖−1 dan 𝑣𝑖 adalah titik ujung dari 𝑒𝑖 .. Definisi 2.1.6 (Epp, 2011) Misal G adalah sebuah graf dan 𝑣 serta 𝑤 adalah titik-titik dalam 𝐺. Sebuah jejak dari 𝑣 ke 𝑤 adalah sebuah jalan dari 𝑣 ke 𝑤 yang tidak memiliki sisi yang berulang.. Definisi 2.1.7 (Epp, 2011) Misal 𝐺 adalah sebuah graf dan 𝑣 serta 𝑤 adalah titik-titik dalam 𝐺. Sebuah lintasan dari 𝑣 ke 𝑤 adalah sebuah jejak yang tidak memiliki titik yang berulang. Panjang lintasan terpendek antara 𝑣 dan 𝑤 pada graf terhubung dinotasikan dengan 𝑑𝐺 (𝑣, 𝑤)..

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 10. Contoh 2.1.5 Ditunjukkan graf C sebagai berikut,. Gambar 4 Graf C. Graf tersebut memiliki beberapa lintasan dari 𝑣6 ke 𝑣4 . Lintasan pertama yaitu 𝑣6 , 𝑒1 , 𝑣1 , 𝑒2 , 𝑣3 , 𝑒4 , 𝑣4 , lintasan kedua 𝑣6 , 𝑒1 , 𝑣1 , 𝑒3 , 𝑣3 , 𝑒4 , 𝑣4 dan lintasan ketiga 𝑣6 , 𝑒7 , 𝑣2 , 𝑒5 , 𝑣4 . Panjang lintasan pertama, kedua dan ketiga secara berurutan adalah 3, 3 dan 2. Jadi, panjang lintasan terpendek dari 𝑣6 ke 𝑣4 (𝑑𝐶 (𝑣6 , 𝑣4 )) adalah 2.. Definisi 2.1.8 (Epp, 2011) Misal 𝐺 adalah sebuah graf. 𝐺 dikatakan graf terhubung, jika dan hanya jika, untuk setiap dua titik v dan w dalam 𝐺, terdapat jalan dari 𝑣 ke 𝑤.. Contoh 2.1.6 Ditunjukkan graf 𝐷 sebagai berikut,. Gambar 5 Graf D Graf. diatas. merupakan. graf. terhubung. yang. memiliki. jalan. 𝑣1 , 𝑒1 , 𝑣2 , 𝑒2 , 𝑣2 , 𝑒3 , 𝑣3 . Jalan tersebut merupakan sebuah jejak karena tidak.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 11. memiliki sisi yang berulang. Namun, jalan tersebut bukan merupakan lintasan karena ada titik yang berulang yaitu 𝑣2 .. Definisi 2.1.9 (Epp, 2011) Misal 𝐺 adalah sebuah graf dan 𝑣 adalah titik dalam G. Derajat dari 𝑣, dinotasikan dengan deg(𝑣), merupakan jumlah sisi yang bersisian dengan 𝑣, dengan sebuah sisi yang merupakan loop menyumbang dua atas derajat titik tersebut.. Derajat terbesar antara titik-titik dari 𝐺 disebut derajat maksimum dari 𝐺, dinotasikan dengan ∆(𝐺). Sedangkan derajat minimum dari 𝐺 dinotasikan dengan 𝛿(𝐺).. Contoh 2.1.7 Misal 𝐸 adalah graf sebagai berikut dan akan dihitung derajat setiap titiknya,. Gambar 6 Graf E deg(𝑣1 ) = 0, karena tidak ada sisi yang bersisian dengan 𝑣1 (𝑣1 terisolasi). deg(𝑣2 ) = 2, karena baik 𝑒1 maupun 𝑒2 bersisian dengan 𝑣2 . deg(𝑣3 ) = 4, karena baik 𝑒1 maupun 𝑒2 bersisian dengan 𝑣3 dan loop 𝑒3 juga bersisian dengan 𝑣3 (dan berkontribusi 2 untuk derajat dari 𝑣3 )..

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 12. Definisi 2.1.10 (Wilson, 1998) Sebuah graf yang setiap titiknya memiliki derajat yang sama disebut graf reguler. Jika setiap titik berderajat 𝑟, graf tersebut dikatakan 𝑟- reguler.. B. Graf Lingkaran dan Graf Lintasan Graf dapat dikelompokkan menjadi beberapa macam kelompok, yaitu berdasarkan jumlah titik dan sisi, ada tidaknya sisi ganda dan loop, atau berdasarkan orientasi arah pada sisi graf. Dalam tulisan ini, akan digunakan dua jenis graf berdasarkan jumlah titik dan sisinya, yaitu graf lingkaran dan graf lintasan.. Definisi 2.2.1 (Wilson, 1998) Graf lingkaran adalah graf terhubung 2-reguler. Graf tersebut dinotasikan dengan 𝐶𝑛 , bila 𝑛 merupakan banyaknya anggota himpunan titiknya, dimana 𝑛 ≥ 3. Graf yang terbentuk dari 𝐶𝑛 dengan menghilangkan sebuah sisinya disebut graf lintasan. Graf tersebut dinotasikan dengan 𝑃𝑛 , bila 𝑛 merupakan banyaknya anggota himpunan titiknya, dimana 𝑛 ≥ 2.. Contoh 2.2.1 Ditunjukkan graf lingkaran 𝐶3 , 𝐶4 , dan 𝐶8 , sebagai berikut. Gambar 7 Graf 𝐶3 , 𝐶4 , dan 𝐶8.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 13. Contoh 2.2.2 Ditunjukkan graf lintasan 𝑃6 , sebagai berikut. Gambar 8 Graf 𝑃6. C. Operasi Darab Tensor Operasi graf merupakan salah satu pembahasan dalam teori graf. Salah satu operasi yang sering dibahas adalah operasi darab tensor.. Definisi 2.3.1 (Acharya & Mehta, 2014) Misal 𝐺1 (𝑉1 , 𝐸1 ) dan 𝐺2 (𝑉2 , 𝐸2 ) merupakan dua buah graf. Darab tensor dari 𝐺1 dan 𝐺2 dinotasikan oleh 𝐺 = 𝐺1 ⨂ 𝐺2 adalah graf yang memiliki himpunan titik 𝑉 = 𝑉1 × 𝑉2 . Dua titik (𝑣, 𝑤) dan (𝑣 ′, 𝑤′) dalam 𝑉 akan bertetangga dalam graf hasil operasi darab tensor 𝐺1 ⨂ 𝐺2 jika 𝑣𝑣 ′ ∈ 𝐸1 dan 𝑤𝑤′ ∈ 𝐸2.. Teorema 2.3.1 (Acharya & Mehta, 2014) Sisi-sisi 𝑣𝑣 ′ ∈ 𝐸1 dan 𝑤𝑤′ ∈ 𝐸2 jika dan hanya jika 𝑑𝐺1 (𝑣, 𝑣′) = 1 dan 𝑑𝐺2 (𝑤, 𝑤 ′) = 1.. Bukti 𝑣𝑣 ′ ∈ 𝐸1 dan 𝑤𝑤′ ∈ 𝐸2 jika dan hanya jika antara titik 𝑣 dan titik 𝑣′ serta antara titik 𝑤 dan titik 𝑤′ dihubungkan oleh sebuah sisi jika dan hanya jika panjang lintasan terpendek dari titik 𝑣 ke titik 𝑣′ serta dari titik 𝑤 ke titik 𝑤′ adalah 1 jika dan hanya jika menurut definisi 2.1.7, 𝑑𝐺1 (𝑣, 𝑣′) = 1 dan 𝑑𝐺2 (𝑤, 𝑤 ′ ) = 1.. ∎.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 14. Akan ditunjukkan beberapa contoh pengoperasian dua buah graf dengan operasi darab tensor. Operasi tersebut akan dilakukan pada graf lintasan 𝑃3 dan graf lingkaran 𝐶3 , dua buah graf lingkaran yaitu 𝐶4 dan 𝐶6 , dua buah graf lingkaran yaitu 𝐶3 dan 𝐶4 , dua buah graf lingkaran yaitu 𝐶4 dan 𝐶3 , dua buah graf lingkaran yaitu 𝐶3 dan 𝐶5 dan dua buah graf lintasan yaitu 𝑃3 dan 𝑃4 .. Contoh 2.3.1 Ditunjukkan dua buah graf yaitu graf lintasan 𝑃3 dan graf lingkaran 𝐶3 , sebagai berikut. Gambar 9 Graf 𝑃3 dan 𝐶3 Graf hasil operasi darab tensor dari graf lintasan 𝑃3 dan graf lingkaran 𝐶3 dinotasikan dengan 𝐺 = 𝑃3 ⨂ 𝐶3 . Jika digambarkan, graf hasil operasi darab tensor dari graf lintasan 𝑃3 dan graf lingkaran 𝐶3 tersebut, yaitu. Gambar 10 Graf 𝐺 = 𝑃3 ⨂ 𝐶3.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 15. Himpunan titik dari graf hasil operasi darab tensor tersebut memiliki anggota sebanyak |𝑉 | = 3 × 3 = 9 dengan himpunan titiknya adalah 𝑉 ={(a,1), (a,2), (a,3), (b,1), (b,2), (b,3), (c,1), (c,2), (c,3)}. Himpunan sisi dari graf hasil operasi darab tensor tersebut adalah 𝐸= {{(a,1),(b,2)}, {(a,1),(b,3)}, {(a,2),(b,1)}, {(a,2),(b,3)}, {(a,3),(b,1)}, {(a,3),(b,2)}, {(b,1),(c,2)}, {(b,1),(c,3)}, {(b,2),(c,1)}, {(b,2),(c,3)}, {(b,3),(c,1)}, {(b,3),(c,2)}}.. Contoh 2.3.2 Ditunjukkan dua buah graf lingkaran yaitu 𝐶4 dan 𝐶6 , sebagai berikut. Gambar 11 Graf 𝐶4 dan 𝐶6 Graf hasil operasi darab tensor dari dua buah graf lingkaran yaitu 𝐶4 dan 𝐶6 dinotasikan dengan 𝐺 = 𝐶4 ⨂ 𝐶6 . Himpunan titik dari graf hasil operasi darab tensor tersebut memiliki anggota sebanyak |𝑉 | = 4 × 6 = 24 dengan himpunan titiknya adalah 𝑉 = {(a,1), (a,2), (a,3), (a,4), (a,5), (a,6), (b,1), (b,2), (b,3), (b,4), (b,5), (b,6), (c,1), (c,2), (c,3), (c,4), (c,5), (c,6), (d,1), (d,2), (d,3), (d,4), (d,5), (d,6)}. Titik-titik tersebut akan diberi nama pengganti yang lebih sederhana agar mempermudah dalam membaca graf. Titik (a,1) dengan A, (a,2) dengan B, (a,3) dengan C, (a,4) dengan D, (a,5) dengan E, (a,6) dengan F, (b,1) dengan G, (b,2) dengan H, (b,3) dengan I, (b,4) dengan J, (b,5) dengan K, (b,6) dengan L, (c,1) dengan M, (c,2) dengan N, (c,3) dengan O, (c,4) dengan P, (c,5) dengan Q, (c,6) dengan R, (d,1) dengan S, (d,2) dengan T, (d,3) dengan U, (d,4) dengan V, (d,5) dengan W, dan (d,6) dengan X..

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 16. Himpunan sisi dari graf hasil operasi darab tensor tersebut adalah 𝐸= {{A,H}, {A,L}, {A,T}, {A,X}, {B,G}, {B,I}, {B,S}, {B,U}, {C,H}, {C,J}, {C,T}, {C,V}, {D,I}, {D,K}, {D,U}, {D,W}, {E,J}, {E,L}, {E,V}, {E,X}, {F,G}, {F,K}, {F,S}, {F,W}, {G,N}, {G,R}, {H,M}, {H,O}, {I,N}, {I,P}, {J,O}, {J,Q}, {K,P}, {K,R}, {L,M}, {L,Q}, {M,T}, {M,X}, {N,S}, {N,U}, {O,T}, {O,V}, {P,U}, {P,W}, {Q,V}, {Q,X}, {R,S}, {R,W}}. Jika digambarkan, graf hasil operasi darab tensor dari dua buah graf lingkaran yaitu 𝐶4 dan 𝐶6 tersebut, yaitu. Gambar 12 Graf 𝐺 = 𝐶4 ⨂ 𝐶6 Contoh 2.3.3 Ditunjukkan dua buah graf lingkaran yaitu 𝐶3 dan 𝐶4 , sebagai berikut. Gambar 13 Graf 𝐶3 dan 𝐶4 Graf hasil operasi darab tensor dari dua buah graf lingkaran yaitu 𝐶3 dan 𝐶4 dinotasikan dengan 𝐺 = 𝐶3 ⨂ 𝐶4 . Himpunan titik dari graf hasil operasi darab.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 17. tensor tersebut memiliki anggota sebanyak |𝑉 | = 3 × 4 = 12 dengan himpunan titiknya adalah 𝑉 = {(a,1), (a,2), (a,3), (a,4), (b,1), (b,2), (b,3), (b,4), (c,1), (c,2), (c,3), (c,4)}. Himpunan sisi dari graf hasil operasi darab tensor tersebut adalah 𝐸= {{(a,1),(b,2)}, {(a,1),(b,4)}, {(a,1),(c,2)}, {(a,1),(c,4)}, {(a,2),(b,1)}, {(a,2),(b,3)}, {(a,2),(c,1)}, {(a,2),(c,3)}, {(a,3),(b,2)}, {(a,3),(b,4)}, {(a,3),(c,2)}, {(a,3),(c,4)}, {(a,4),(b,1)}, {(a,4),(b,3)}, {(a,4),(c,1)}, {(a,4),(c,3)}, {(b,1),(c,2)}, {(b,1),(c,4)}, {(b,2),(c,1)}, {(b,2),(c,3)}, {(b,3),(c,2)}, {(b,3),(c,4)}, {(b,4),(c,1)}, {(b,4),(c,3)}}. Jika digambarkan, graf hasil operasi darab tensor dari dua buah graf lingkaran yaitu 𝐶3 dan 𝐶4 tersebut, yaitu. Gambar 14 Graf 𝐺 = 𝐶3 ⨂ 𝐶4. Contoh 2.3.4 Ditunjukkan dua buah graf lingkaran yaitu 𝐶4 dan 𝐶3 , sebagai berikut,. Gambar 15 Graf 𝐶4 dan 𝐶3.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 18. Graf hasil operasi darab tensor dari dua buah graf lingkaran yaitu 𝐶4 dan 𝐶3 dinotasikan dengan 𝐺 = 𝐶4 ⨂ 𝐶3 . Himpunan titik dari graf hasil operasi darab tensor tersebut memiliki anggota sebanyak |𝑉 | = 3 × 4 = 12 dengan himpunan titiknya adalah 𝑉 = {(a,1), (a,2), (a,3), (b,1), (b,2), (b,3), (c,1), (c,2), (c,3), (d,1), (d,2), (d,3)}. Himpunan sisi dari graf hasil operasi darab tensor tersebut adalah 𝐸= {{(a,1),(b,2)}, {(a,1),(b,3)}, {(a,1),(d,2)}, {(a,1),(d,3)}, {(a,2),(b,1)}, {(a,2),(b,3)}, {(a,2),(d,1)}, {(a,2),(d,3)}, {(a,3),(b,1)}, {(a,3),(b,2)}, {(a,3),(d,1)}, {(a,3),(d,2)}, {(b,1),(c,2)}, {(b,1),(c,3)}, {(b,2),(c,1)}, {(b,2),(c,3)}, {(b,3),(c,1)}, {(b,3),(c,2)}, {(c,1),(d,2)}, {(c,1),(d,3)}, {(c,2),(d,1)}, {(c,2),(d,3)}, {(c,3),(d,1)}, {(c,3),(d,2)}}. Jika digambarkan, graf hasil operasi darab tensor dari dua buah graf lingkaran yaitu 𝐶4 dan 𝐶3 tersebut, yaitu. Gambar 16 Graf 𝐺 = 𝐶4 ⨂ 𝐶3. Contoh 2.3.5 Ditunjukkan dua buah graf lingkaran yaitu 𝐶3 dan 𝐶5 , sebagai berikut. Gambar 17 Graf 𝐶3 dan 𝐶5.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 19. Graf hasil operasi darab tensor dari dua buah graf lingkaran yaitu 𝐶3 dan 𝐶5 dinotasikan dengan 𝐺 = 𝐶3 ⨂ 𝐶5 . Himpunan titik dari graf hasil operasi darab tensor tersebut memiliki anggota sebanyak |𝑉 | = 3 × 5 = 15 dengan himpunan titiknya adalah 𝑉 = {(a,1), (a,2), (a,3), (a,4), (a,5), (b,1), (b,2), (b,3), (b,4), (b,5), (c,1), (c,2), (c,3), (c,4), (c,5)}. Jika digambarkan, graf hasil operasi darab tensor dari dua buah graf lingkaran yaitu 𝐶3 dan 𝐶5 tersebut, yaitu. Gambar 18 Graf 𝐺 = 𝐶3 ⨂ 𝐶5 Himpunan sisi dari graf hasil operasi darab tensor tersebut adalah 𝐸= {{(a,1),(b,2)}, {(a,1),(b,5)}, {(a,1),(c,2)}, {(a,1),(c,5)}, {(a,2),(b,1)}, {(a,2),(b,3)}, {(a,2),(c,1)}, {(a,2),(c,3)}, {(a,3),(b,2)}, {(a,3),(b,4)}, {(a,3),(c,2)}, {(a,3),(c,4)}, {(a,4),(b,3)}, {(a,4),(b,5)}, {(a,4),(c,3)}, {(a,4),(c,5)}, {(a,5),(b,1)}, {(a,5),(b,4)}, {(a,5),(c,1)}, {(a,5),(c,4)}, {(b,1),(c,2)}, {(b,1),(c,5)}, {(b,2),(c,1)}, {(b,2),(c,3)}, {(b,3),(c,2)}, {(b,3),(c,4)}, {(b,4),(c,3)}, {(b,4),(c,5)}, {(b,5),(c,1)}, {(b,5),(c,4)}}.. Contoh 2.3.6 Ditunjukan dua buah graf lintasan yaitu 𝑃3 dan 𝑃4 sebagai berikut,. Gambar 19 Graf 𝑃3 dan 𝑃4.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 20. Graf hasil operasi darab tensor dari dua buah graf lintasan yaitu 𝑃3 dan 𝑃4 dinotasikan dengan 𝐺 = 𝑃3 ⨂ 𝑃4 . Himpunan titik dari graf hasil operasi darab tensor tersebut memiliki anggota sebanyak |𝑉 | = 3 × 4 = 12 dengan himpunan titiknya adalah 𝑉 = {(a,1), (a,2), (a,3), (a,4), (b,1), (b,2), (b,3), (b,4), (c,1), (c,2), (c,3), (c,4)}. Jika digambarkan, graf hasil operasi darab tensor dari dua graf lintasan 𝑃3 dan 𝑃4 tersebut, yaitu. Gambar 20 Graf 𝐺 = 𝑃3 ⨂ 𝑃4 Himpunan sisi dari graf hasil operasi darab tensor tersebut adalah 𝐸 ={(a,1),(b,2)},. {(a,2),(b,1)},. {(a,2),(b,3)},. {(a,3),(b,2)},. {(a,3),(b,4)},. {(a,4),(b,3)}, {(b,1),(c,2)}, {(b,2),(c,1)}, {(b,2),(c,3)}, {(b,3),(c,2)}, {(b,3),(c,4)}, {(b,4),(c,3)}}.. D. Operasi Darab Korona Selain operasi darab tensor masih banyak lagi operasi graf lain, salah satunya adalah operasi darab korona. Operasi darab korona merupakan salah satu operasi graf yang juga sering dibahas.. Definisi 2.4.1 (Nada, et al, 2017) Misal 𝐺1 (𝑉1 , 𝐸1 ) dan 𝐺2 (𝑉2 , 𝐸2 ) merupakan dua buah graf. Operasi darab korona dari 𝐺1 dan 𝐺2 dinotasikan oleh 𝐺(𝑉, 𝐸) = 𝐺1 ⊙ 𝐺2 didefinisikan sebagai.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 21. graf yang diperoleh dengan mengambil sebuah salinan 𝐺1 dan |𝑉1 | salinan dari 𝐺2 dan titik ke-i dari salinan graf 𝐺1 dihubungkan oleh sebuah sisi dengan setiap titik pada salinan ke-i dari 𝐺2 .. Dari definisi 2.4.1, graf hasil operasi darab korona memiliki banyak anggota himpunan titik |𝑉 | = |𝑉 1 | + |𝑉 1 ||𝑉2 | = |𝑉 1 |(1 + |𝑉2 |) dan banyak anggota himpunan sisi |𝐸| = |𝐸1 | + |𝑉1| × |𝐸2 | + |𝑉1 | × |𝑉2 |.. Contoh 2.4.1 Ditunjukkan dua buah graf yaitu graf lintasan 𝑃3 dan graf lingkaran 𝐶4 , sebagai berikut,. Gambar 21 Graf 𝑃3 dan 𝐶4 Graf hasil operasi darab korona dari graf lintasan 𝑃3 dan graf lingkaran 𝐶4 dinotasikan dengan 𝐺 = 𝑃3 ⊙ 𝐶4 . Himpunan titik dari graf hasil operasi darab korona tersebut memiliki anggota sebanyak |𝑉 | = 3(1 + 4) = 15 dengan himpunan titiknya adalah 𝑉 ={a, b, c, (a,1), (a,2), (a,3), (a,4), (b,1), (b,2), (b,3), (b,4), (c,1), (c,2), (c,3), (c,4)}. Himpunan sisi dari graf hasil operasi darab korona tersebut memiliki jumlah anggota sebanyak |𝐸| = 2 + (3 × 4) + (3 × 4) = 26 dengan himpunan sisinya adalah 𝐸={{a,b}, {b,c}, {a,(a,1)}, {a,(a,2)}, {a,(a,3)}, {a,(a,4)}, {(a,1),(a,2)}, {(a,1),(a,4)}, {(a,2),(a,3)}, {(a,3),(a,4)}, {b,(b,1)}, {b,(b,2)}, {b,(b,3)}, {(b,(b,4)}, {(b,1),(b,2)}, {(b,1),(b,4)}, {(b,2),(b,3)}, {(b,3),(b,4)}, {c,(c,1)}, {c,(c,2)}, {c,(c,3)}, {c,(c,4)}, {(c,1),(c,2)}, {(c,1),(c,4)}, {(c,2),(c,3)}, {(c,3),(c,4)}}..

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 22. Jika digambarkan, graf hasil operasi darab korona dari graf lintasan 𝑃3 dan graf lingkaran 𝐶4 , yaitu. Gambar 22 Graf 𝐺 = 𝑃3 ⊙ 𝐶4. Contoh 2.4.2 Ditunjukkan dua buah graf yaitu graf lintasan 𝑃3 dan graf lingkaran 𝐶3 , sebagai berikut. Gambar 23 Graf 𝑃3 dan 𝐶3 Graf hasil operasi darab korona dari graf lintasan 𝑃3 dan graf lingkaran 𝐶3 dinotasikan dengan 𝐺 = 𝑃3 ⊙ 𝐶3 . Himpunan titik dari graf hasil operasi darab korona tersebut memiliki anggota sebanyak |𝑉 | = 3(1 + 3) = 12 dengan himpunan titiknya adalah 𝑉 ={a, b, c, (a,1), (a,2), (a,3), (b,1), (b,2), (b,3), (c,1), (c,2), (c,3)}. Himpunan sisi dari graf hasil operasi darab korona tersebut memiliki jumlah anggota sebanyak |𝐸| = 2 + (3 × 3) + (3 × 3) = 20 dengan himpunan sisinya adalah 𝐸={{a,b}, {b,c}, {a,(a,1)}, {a,(a,2)}, {a,(a,3)}, {(a,1),(a,2)},.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 23. {(a,1),(a,3)},. {(a,2),(a,3)},. {b,(b,1)},. {b,(b,2)},. {b,(b,3)},. {(b,1),(b,2)},. {(b,1),(b,3)},. {(b,2),(b,3)},. {c,(c,1)},. {c,(c,2)},. {c,(c,3)},. {(c,1),(c,2)},. {(c,1),(c,3)}, {(c,2),(c,3)}}. Jika digambarkan, graf hasil operasi darab korona dari graf lintasan 𝑃3 dan graf lingkaran 𝐶3 , yaitu. Gambar 24 Graf 𝐺 = 𝑃3 ⊙ 𝐶3. Contoh 2.4.3 Ditunjukkan dua buah graf yaitu graf lingkaran 𝐶3 dan graf lintasan 𝑃3 , sebagai berikut,. Gambar 25 Graf 𝐶3 dan 𝑃3 Graf hasil operasi darab korona dari graf lingkaran 𝐶3 dan graf lintasan 𝑃3 dinotasikan dengan 𝐺 = 𝐶3 ⊙ 𝑃3 . Himpunan titik dari graf hasil operasi darab.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 24. korona tersebut memiliki anggota sebanyak |𝑉 | = 3(1 + 3) = 12 dengan himpunan titiknya adalah 𝑉 ={a, b, c, (a,1), (a,2), (a,3), (b,1), (b,2), (b,3), (c,1), (c,2), (c,3)}. Himpunan sisi dari tersebut adalah 𝐸={{a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,(a,1)}, {a,(a,2)}, {a,(a,3)}, {(a,1),(a,2)}, {(a,2),(a,3)}, {b,(b,1)}, {b,(b,2)}, {b,(b,3)}, {(b,1),(b,2)},. {(b,2),(b,3)},. {c,(c,1)},. {c,(c,2)},. {c,(c,3)},. {(c,1),(c,2)},. {(c,2),(c,3)} dengan jumlah anggota sebanyak |𝐸| = 3 + (3 × 2) + (3 × 3) = 18. Jika digambarkan, graf hasil operasi darab korona tersebut, yaitu. Gambar 26 Graf 𝐺 = 𝐶3 ⊙ 𝑃3. Contoh 2.4.4 Ditunjukkan dua buah graf lingkaran yaitu 𝐶3 dan 𝐶4 , sebagai berikut. Gambar 27 Graf 𝐶3 dan 𝐶4 Graf hasil operasi darab korona dua graf lingkaran 𝐶3 dan 𝐶4 dinotasikan dengan 𝐺 = 𝐶3 ⊙ 𝐶4 . Himpunan titik graf hasil operasi tersebut memiliki anggota.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 25. sebanyak |𝑉 | = 3(1 + 4) = 15 dengan himpunan titiknya adalah 𝑉 ={a, b, c, (a,1), (a,2), (a,3), (a,4), (b,1), (b,2), (b,3), (b,4), (c,1), (c,2), (c,3), (c,4)} dan himpunan sisinya memiliki jumlah anggota sebanyak |𝐸| = 3 + (3 × 4) + (3 × 4) = 27 dengan himpunan sisinya adalah 𝐸={{a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,(a,1)}, {a,(a,2)}, {a,(a,3)}, {a,(a,4)}, {(a,1),(a,2)}, {(a,1),(a,4)}, {(a,2),(a,3)}, {(a,3),(a,4)}, {b,(b,1)}, {b,(b,2)}, {b,(b,3)}, {b,(b,4)}, {(b,1),(b,2)}, {(b,1),(b,4)}, {(b,2),(b,3)}, {(b,3),(b,4)}, {c,(c,1)}, {c,(c,2)}, {c,(c,3)}, {c,(c,4)}, {(c,1),(c,2)}, {(c,1),(c,4)}, {(c,2),(c,3)}, {(c,3),(c,4)}}. Graf tersebut tersebut ditunjukkan sebagai berikut. Gambar 28 Graf 𝐺 = 𝐶3 ⊙ 𝐶4 Contoh 2.4.5 Ditunjukkan dua buah graf lingkaran yaitu 𝐶4 dan 𝐶6 , sebagai berikut. Gambar 29 Graf 𝐶4 dan 𝐶6.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 26. Graf hasil operasi darab korona dua graf lingkaran 𝐶4 dan 𝐶6 dinotasikan dengan 𝐺 = 𝐶4 ⊙ 𝐶6 . Himpunan titik dari graf hasil operasi darab korona tersebut memiliki anggota sebanyak |𝑉 | = 4(1 + 6) = 28 dengan himpunan titiknya adalah 𝑉 ={a, b, c, d, (a,1), (a,2), (a,3), (a,4), (a,5), (a,6), (b,1), (b,2), (b,3), (b,4), (b,5), (b,6), (c,1), (c,2), (c,3), (c,4), (c,5), (c,6), (d,1), (d,2), (d,3), (d,4), (d,5), (d,6)}. Jika digambarkan, graf hasil operasi darab korona dua graf lingkaran 𝐶4 dan 𝐶6 , yaitu. Gambar 30 Graf 𝐺 = 𝐶4 ⊙ 𝐶6. Himpunan sisi dari graf hasil operasi darab korona tersebut memiliki jumlah anggota sebanyak |𝐸| = 4 + (4 × 6) + (4 × 6) = 52 dengan himpunan sisinya adalah 𝐸={{a,b}, {a,d}, {b,c}, {c,d}, {a,(a,1)}, {a,(a,2)}, {a,(a,3)}, {a,(a,4)}, {a,(a,5)}, {a,(a,6)}, {(a,1),(a,2)}, {(a,1),(a,6)}, {(a,2),(a,3)}, {(a,3),(a,4)}, {(a,4),(a,5)}, {(a,5),(a,6)}, {b,(b,1)}, {b,(b,2)}, {b,(b,3)}, {b,(b,4)}, {b,(b,5)}, {b,(b,6)}, {(b,1),(b,2)}, {(b,1),(b,6)}, {(b,2),(b,3)}, {(b,3),(b,4)}, {(b,4),(b,5)}, {(b,5),(b,6)}, {c,(c,1)}, {c,(c,2)}, {c,(c,3)}, {c,(c,4)}, {c,(c,5)}, {c,(c,6)},.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 27. {(c,1),(c,2)}, {(c,1),(c,6)}, {(c,2),(c,3)}, {(c,3),(c,4)}, {(c,4),(c,5)}, {(c,5),(c,6)}, {d,(d,1)}, {d,(d,2)}, {d,(d,3)}, {d,(d,4)}, {d,(d,5)}, {d,(d,6)}, {(d,1),(d,2)}, {(d,1),(d,6)}, {(d,2),(d,3)}, {(d,3),(d,4)}, {(d,4),(d,5)}, {(d,5),(d,6)}}.. Contoh 2.4.6 Ditunjukkan dua buah graf lingkaran yaitu 𝐶3 dan 𝐶5 , sebagai berikut,. Gambar 31 Graf 𝐶3 dan 𝐶5 Graf hasil operasi darab korona dua graf lingkaran 𝐶3 dan 𝐶5 dinotasikan dengan 𝐺 = 𝐶3 ⊙ 𝐶5 . Himpunan titik dari graf hasil operasi darab korona tersebut memiliki anggota sebanyak |𝑉 | = 3(1 + 5) = 18 dengan himpunan titiknya adalah 𝑉 ={a, b, c, (a,1), (a,2), (a,3), (a,4), (a,5), (b,1), (b,2), (b,3), (b,4), (b,5), (c,1), (c,2), (c,3), (c,4), (c,5)}. Himpunan sisi dari graf hasil operasi darab korona tersebut memiliki jumlah anggota sebanyak |𝐸| = 3 + (3 × 5) + (3 × 5) = 33 dengan himpunan sisinya adalah 𝐸={{a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,(a,1)}, {a,(a,2)}, {a,(a,3)}, {a,(a,4)}, {a,(a,5)}, {(a,1),(a,2)}, {(a,1),(a,5)}, {(a,2),(a,3)}, {(a,3),(a,4)}, {(a,4),(a,5)}, {b,(b,1)}, {b,(b,2)}, {b,(b,3)}, {b,(b,4)}, {b,(b,5)}, {(b,1),(b,2)}, {(b,1),(b,5)}, {(b,2),(b,3)}, {(b,3),(b,4)}, {(b,4),(b,5)}, {c,(c,1)}, {c,(c,2)}, {c,(c,3)}, {c,(c,4)}, {c,(c,5)}, {(c,1),(c,2)}, {(c,1),(c,5)}, {(c,2),(c,3)}, {(c,3),(c,4)}, {(c,4),(c,5)}}. Jika digambarkan, graf hasil operasi darab korona dua buah graf lingkaran 𝐶3 dan 𝐶5 ditunjukkan pada Gambar 32..

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 28. Gambar 32 Graf 𝐺 = 𝐶3 ⊙ 𝐶5. Contoh 2.4.7 Ditunjukkan dua buah graf lingkaran yaitu 𝐶4 dan 𝐶3 , sebagai berikut,. Gambar 33 Graf 𝐶4 dan 𝐶3 Graf hasil operasi darab korona dua graf lingkaran 𝐶4 dan 𝐶3 dinotasikan dengan 𝐺 = 𝐶4 ⊙ 𝐶3 . Himpunan titik dari graf hasil operasi darab korona tersebut memiliki anggota sebanyak |𝑉 | = 4(1 + 3) = 16 dengan himpunan titiknya adalah 𝑉 ={a, b, c, d, (a,1), (a,2), (a,3), (b,1), (b,2), (b,3), (c,1), (c,2), (c,3), (d,1), (d,2), (d,3)}. Himpunan sisi dari graf hasil operasi darab korona tersebut memiliki jumlah anggota sebanyak |𝐸| = 4 + (4 × 3) + (4 × 3) = 28 dengan himpunan sisinya adalah 𝐸={{a,b}, {a,d}, {b,c}, {c,d}, {a,(a,1)}, {a,(a,2)}, {a,(a,3)}, {(a,1),(a,2)},.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 29. {(a,1),(a,3)},. {(a,2),(a,3)},. {b,(b,1)},. {b,(b,2)},. {b,(b,3)},. {(b,1),(b,2)},. {(b,1),(b,3)},. {(b,2),(b,3)},. {c,(c,1)},. {c,(c,2)},. {c,(c,3)},. {(c,1),(c,2)},. {(c,1),(c,3)}, {(c,2),(c,3)}}. Jika digambarkan, graf hasil operasi darab korona dua graf lingkaran 𝐶4 dan 𝐶3 , yaitu. Gambar 34 Graf 𝐺 = 𝐶4 ⊙ 𝐶3. Contoh 2.4.8 Ditunjukan dua buah graf lintasan yaitu 𝑃3 dan 𝑃4 sebagai berikut,. Gambar 35 Graf 𝑃3 dan 𝑃4 Graf hasil operasi darab korona dua graf lintasan 𝑃3 dan 𝑃4 dinotasikan dengan 𝐺 = 𝑃3 ⊙ 𝑃4 . Himpunan titik dari graf hasil operasi darab korona tersebut memiliki anggota sebanyak |𝑉 | = 3(1 + 4) = 15 dengan himpunan.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 30. titiknya adalah 𝑉 ={a, b, c, (a,1), (a,2), (a,3), (a,4), (b,1), (b,2), (b,3), (b,4), (c,1), (c,2), (c,3), (c,4)}. Himpunan sisi dari graf hasil operasi darab korona tersebut memiliki jumlah. anggota. sebanyak. |𝐸| = 2 + (3 × 3) + (3 × 4) = 23. dengan. himpunan sisinya adalah 𝐸 = {{a,b}, {b,c}, {a,(a,1)}, {a,(a,2)}, {a,(a,3)}, {a,(a,4)}, {(a,1),(a,2)}, {(a,2),(a,3)}, {(a,3),(a,4)}, {b,(b,1)}, {b,(b,2)}, {b,(b,3)}, {b,(b,4)}, {(b,1),(b,2)}, {(b,2),(b,3)}, {(b,3),(b,4)}, {c,(c,1)}, {c,(c,2)}, {c,(c,3)}, {c,(c,4)} {(c,1),(c,2)}, {(c,2),(c,3)}, {(c,3),(c,4)}}. Jika digambarkan, graf hasil operasi darab korona dua graf lintasan 𝑃3 dan 𝑃4 , yaitu. Gambar 36 Graf 𝐺 = 𝑃3 ⊙ 𝑃4. Dari contoh 2.4.2 dan 2.4.3, dapat dilihat bahwa 𝑃3 ⊙ 𝐶3 ≠ 𝐶3 ⊙ 𝑃3 . Dengan kata lain, operasi korona memiliki sifat tidak komutatif, yaitu 𝐺1 ⊙ 𝐺2 ≠ 𝐺2 ⊙ 𝐺1. E. Pewarnaan Titik dan Bilangan Kromatik Masalah pewarnaan pada graf pertama kali tercatat pada 1852. Saat itu, A. De Morgan menulis kepada Sir William Hamilton tentang masalah yang diajukan kepadanya oleh muridnya, Francis Guthrie yang merupakan mahasiswa University.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 31. College London. Francis Guthrie mencoba mewarnai peta wilayah Inggris dan dia melihat bahwa hanya diperlukan empat warna untuk memastikan bahwa untuk setiap provinsi yang bertetangga diberi warna yang berbeda. Pewarnaan pada graf merupakan kasus khusus dari pelabelan graf. Berdasarkan domainnya, pewarnaan graf dibedakan menjadi tiga, yaitu pewarnaan peta, pewarnaan sisi dan pewarnaan titik. Pewarnaan titik adalah penempatan warna pada titik, satu warna pada setiap titik, sehingga titik yang bertetangga memiliki warna yang berbeda. Warna yang digunakan dapat berupa elemen dalam himpunan apapun, seperti himpunan warna sesungguhnya (merah, kuning, hijau, biru, dan lain sebaginya) yang sering digunakan ketika hanya diperlukan sejumlah kecil warna atau himpunan bilangan bulat positif {1, 2, … , 𝑘} yang bisa juga melambangkan warna dalam jumlah banyak. Jumlah minimun warna yang digunakan dalam pewarnaan titik disebut bilangan kromatik, yang dinotasikan dengan 𝜒 (𝐺). Pewarnaan titik dapat dilakukan dengan berbagai macam pendekatan, salah satunya adalah algoritma greedy. Algoritma tersebut dilakukan langkah demi langkah sehingga menghasilkan pewarnaan titik dalam graf secara optimal. Meskipun algoritma greedy mungkin tidak menghasilkan warna minimum, algoritma ini dapat memberikan batas atas untuk bilangan kromatik dari graf tersebut.. Definisi 2.5.1 (Chartrand, Lesniak, & Zhang, 2011) Algoritma pewarnaan greedy. Misalkan titik-titik dalam graf 𝐺 terdaftar dalam urutan 𝑣1 , 𝑣2 , … , 𝑣𝑛 . 1.. Titik 𝑣1 diberi warna 1.. 2.. Setelah titik 𝑣1 , 𝑣2 , … , 𝑣𝑗 telah diberi warna, dimana 1 ≤ 𝑗 < 𝑛, titik 𝑣𝑗+1 diberi warna terkecil yang tidak diberikan pada titik yang bertetangga dengan 𝑣𝑗+1 dalam himpunan {𝑣1 , 𝑣2 , … , 𝑣𝑗 }..

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 32. Contoh 2.5.1 Diketahui himpunan warna 𝑤 = {𝑚𝑒𝑟𝑎ℎ, ℎ𝑖𝑗𝑎𝑢}. Dari contoh 2.3.1 diketahui graf hasil operasi darab tensor dari graf lintasan 𝑃3 dan graf lingkaran 𝐶3 dengan himpunan titiknya adalah 𝑉 ={(a,1), (a,2), (a,3), (b,1), (b,2), (b,3), (c,1), (c,2), (c,3)}, sebagai berikut. Gambar 37 Graf 𝐺 = 𝑃3 ⨂ 𝐶3. Akan dilakukan pewarnaan titik pada graf hasil operasi darab tensor diatas. Pertama-tama dipilih titik pertama yaitu (𝑎, 1) dan diberi warna pertama, yaitu merah. Selanjutnya dipilih titik kedua yaitu (𝑎, 2) dan diberi warna dengan urutan terkecil dalam himpunan warna yang belum diberikan pada titik lain yang bertetangga. Karena titik (𝑎, 1) dan titik (𝑎, 2) tidak bertetangga, titik (𝑎, 2) diberi warna merah. Begitu juga dengan titik (𝑎, 3) yang tidak bertetangga dengan titik (𝑎, 1) dan titik (𝑎, 2) sehingga diberi warna merah. Titik (𝑏, 1) adalah titik yang bertetangga dengan titik (𝑎, 2) dan titik (𝑎, 3) sehingga tidak bisa diberi warna merah, maka titik (𝑏, 1) diberi warna kedua yaitu hijau. Begitu seterusnya hingga (𝑏, 2) dan (𝑏, 3) diberi warna hijau dan (𝑐, 1), (𝑐, 2) dan (𝑐, 3) diberi warna merah. Dapat disimpulkan bahwa pewarnaan graf hasil operasi darab tensor tersebut hanya menggunakan 2 warna..

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 33. Gambar 38 Pewarnaan titik pada graf 𝐺 = 𝑃3 ⨂ 𝐶3. Contoh 2.5.2 Diketahui himpunan warna 𝑤 = {𝑚𝑒𝑟𝑎ℎ, 𝑘𝑢𝑛𝑖𝑛𝑔, ℎ𝑖𝑗𝑎𝑢}. Dari contoh 2.4.3 diketahui graf hasil operasi korona dari graf lingkaran 𝐶3 dan graf lintasan 𝑃3 dengan himpunan titiknya adalah 𝑉 ={a, b, c, (a,1), (a,2), (a,3), (b,1), (b,2), (b,3), (c,1), (c,2), (c,3)}, sebagai berikut. Gambar 39 Graf 𝐺 = 𝐶3 ⊙ 𝑃3.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 34. Akan dilakukan pewarnaan titik pada graf hasil operasi korona diatas. Pertamatama dipilih titik pertama yaitu 𝑎 dan diberi warna pertama, yaitu merah. Selanjutnya dipilih titik kedua yaitu 𝑏 dan diberi warna dengan urutan terkecil dalam himpunan warna yang belum diberikan pada titik lain yang bertetangga. Karena titik 𝑎 dan titik 𝑏 bertetangga, titik 𝑏 diberi warna kuning. Karena titik 𝑐 bertetangga dengan titik 𝑎 dan titik 𝑏 sehingga titik 𝑐 diberi warna hijau. Karena 𝑎 diberi warna merah, maka titik (𝑎, 1) diberi warna kuning. Sedangkan titik (𝑎, 2) yang bertetangga dengan titik 𝑎 dan titik (𝑎, 1) diberi warna hijau. Titik (𝑎, 3) yang bertetangga dengan titik 𝑎 dan titik (𝑎, 2) diberi warna kuning. Begitu seterusnya hingga titik (𝑏, 1), (𝑏, 3), (𝑐, 1) dan (𝑐, 3) diberi warna merah, titik (𝑏, 2) diberi warna hijau dan titik (𝑐, 2) diberi warna kuning. Jadi pewarnaan graf hasil operasi korona tersebut hanya menggunakan 3 warna, sebagai berikut. Gambar 40 Pewarnaan titik pada graf 𝐺 = 𝐶3 ⊙ 𝑃3.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI. BAB III BILANGAN KROMATIK GRAF HASIL OPERASI DAN PERMAINAN PEWARNAAN GRAF. Pembahasan mengenai jenis-jenis graf, operasi graf dan bilangan kromatik telah dibahas dalam bab II. Ketiga pembahasan tersebut akan dibahas menjadi satu pembahasan dalam bab ini, yaitu bilangan kromatik graf hasil operasi darab tensor dan darab korona dari graf lingkaran dengan graf lintasan. Selain itu, akan dicari bilangan kromatik permainan dari salah satu graf hasil operasi darab korona.. A. Bilangan Kromatik Graf Hasil Operasi Darab Tensor dari Graf Lintasan dengan Graf Lingkaran Operasi darab tensor yang akan dilakukan antara graf lingkaran dengan graf lintasan, yaitu (𝑃𝑛 ⊗ 𝐶𝑚 ), (𝐶𝑛 ⊗ 𝐶𝑚 ) dan (𝑃𝑛 ⊗ 𝑃𝑚 ). Dari ketiga pengoperasian tersebut, akan dicari bilangan kromatik dari masing-masing hasil operasi.. Teorema 3.1.1 Misal G adalah graf hasil operasi darab tensor dari graf lintasan 𝑃𝑛 dengan graf lingkaran 𝐶𝑚 . Bilangan kromatik dari graf 𝐺 = (𝑃𝑛 ⊗ 𝐶𝑚 ), untuk 𝑛 ≥ 2 dan 𝑚 ≥ 3 adalah 𝜒 (𝑃𝑛 ⊗ 𝐶𝑚 ) = 2 Bukti Graf 𝐺 = (𝑃𝑛 ⊗ 𝐶𝑚 ) merupakan graf yang memiliki himpunan titik 𝑉 = {𝑥𝑖,𝑗 ; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚}. dengan. |𝑉 | = 𝑛𝑚 dan. himpunan. sisi. 𝐸=. {𝑥𝑖,1 𝑥𝑖−1,𝑚; 2 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚} ∪ {𝑥𝑖,𝑚 𝑥𝑖−1,1 ; 2 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚 } ∪ {𝑥𝑖,𝑗 𝑥𝑖+1,𝑗+1 ; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 1; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚 − 1} ∪ {𝑥𝑖,𝑗 𝑥𝑖−1,𝑗+1 ; 2 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛; 1 ≤ 𝑗 ≤ 35.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 36. 𝑚 − 1} dengan |𝐸| = 2𝑛𝑚 − 2𝑚. Fungsi pewarnaan titik pada graf 𝐺 = (𝑃𝑛 ⊗ 𝐶𝑚 ), yaitu 1, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚,. 𝑖 ganjil. 2, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚,. 𝑖 genap. 𝑓(𝑥𝑖,𝑗 ) = {. Terbukti bahwa graf 𝐺 = (𝑃𝑛 ⊗ 𝐶𝑚 ) mempunyai bilangan kromatik 𝜒 (𝑃𝑛 ⊗ 𝐶𝑚 ) = 2.. ∎. Akan ditunjukkan contoh pewarnaan titik graf hasil operasi darab tensor dari graf lintasan 𝑃𝑛 dan graf lingkaran 𝐶𝑚 dengan jumlah warna yang sesuai dengan bilangan kromatiknya.. Contoh 3.1.1 Dalam contoh 2.3.1 diketahui graf hasil operasi darab tensor dari graf lintasan 𝑃3 dan graf lingkaran 𝐶3 , sebagai berikut. Gambar 41 Graf 𝑃3 ⊗ 𝐶3.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 37. Menurut teorema 3.1.1, graf tersebut memiliki bilangan kromatik 2. Oleh sebab itu, akan dilakukan pewarnaan titik dengan himpunan warna w={merah, hijau}. Titik (a,1), (a,2), (a,3), (b,1), (b,2) dan (b,3) diberi warna merah. Sedangkan titik (b,1), (b,2) dan (b,3) diberi warna hijau. Jadi pewarnaan titik dari graf hasil operasi darab tensor dari graf lintasan 𝑃3 dan graf lingkaran 𝐶3 dapat dilakukan hanya dengan 2 warna. Pewarnaan graf hasil operasi darab tensor tersebut dapat ditunjukkan dalam graf sebagai berikut. Gambar 42 Pewarnaan titik pada graf 𝑃3 ⊗ 𝐶3 Teorema 3.1.2 Misal G adalah graf hasil operasi darab tensor dari dua buah graf lingkaran 𝐶𝑛 dengan 𝐶𝑚 . Bilangan kromatik dari graf 𝐺 = (𝐶𝑛 ⊗ 𝐶𝑚 ), untuk 𝑛, 𝑚 ≥ 3 adalah 3 untuk 𝑛 dan 𝑚 ganjil 𝜒 (𝐶𝑛 ⊗ 𝐶𝑚 ) = { 2 untuk lainnya. Bukti Graf 𝐺 = (𝐶𝑛 ⊗ 𝐶𝑚 ) merupakan graf yang memiliki himpunan titik 𝑉 = {𝑥𝑖,𝑗 ; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚}. dengan. |𝑉 | = 𝑛𝑚 dan. himpunan. sisi. 𝐸=.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 38. {𝑥𝑖,𝑗 𝑥𝑖+1,𝑗+1 ; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 1; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚 − 1} ∪ {𝑥1,𝑗 𝑥𝑛,𝑗+1 ; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛; 2 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚 } ∪ {𝑥1,𝑗 𝑥𝑛,𝑗−1 ; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚 − 1 } ∪ {𝑥𝑖,𝑗 𝑥𝑖+1,𝑗−1 ; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 1; 2 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚} ∪ {𝑥𝑖,1 𝑥𝑖+1,𝑚 ; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 1} ∪ {𝑥𝑖,1 𝑥𝑖−1,𝑚 ; 2 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛} ∪ {𝑥1,1 𝑥𝑛,𝑚 ; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚} ∪ {𝑥𝑛,1 𝑥1,𝑚; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚}. dengan. |𝐸| = 2𝑛𝑚.. Fungsi pewarnaan titik pada graf 𝐺 = (𝐶𝑛 ⊗ 𝐶𝑚 ), yaitu 1. Untuk 𝑛 dan 𝑚 genap. 1, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚,. 𝑖 ganjil. 2, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚,. 𝑖 genap. 𝑓(𝑥𝑖,𝑗 ) = {. Terbukti bahwa graf 𝐺 = (𝐶𝑛 ⊗ 𝐶𝑚 ) dengan 𝑛 dan 𝑚 genap mempunyai bilangan kromatik 𝜒 (𝐶𝑛 ⊗ 𝐶𝑚 ) = 2. 2. Untuk 𝑛 ganjil dan 𝑚 genap. 1, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚,. 𝑗 ganjil. 𝑓(𝑥𝑖,𝑗 ) = { 2, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚,. 𝑗 genap. Terbukti bahwa graf 𝐺 = (𝐶𝑛 ⊗ 𝐶𝑚 ) dengan 𝑛 ganjil dan 𝑚 genap mempunyai bilangan kromatik 𝜒 (𝐶𝑛 ⊗ 𝐶𝑚 ) = 2. 3. Untuk 𝑛 genap dan 𝑚 ganjil. 1, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚,. 𝑖 ganjil. 2, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚,. 𝑖 genap. 𝑓(𝑥𝑖,𝑗 ) = {. Terbukti bahwa graf 𝐺 = (𝐶𝑛 ⊗ 𝐶𝑚 ) dengan 𝑛 genap dan 𝑚 ganjil mempunyai bilangan kromatik 𝜒 (𝐶𝑛 ⊗ 𝐶𝑚 ) = 2..

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 39. 4. Untuk 𝑛 dan 𝑚 ganjil. 𝑓(𝑥𝑖,𝑗 ) =. 1, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚,. 𝑗 ganjil. 2, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚,. 𝑗 genap. { 3, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚,. 𝑗=𝑚. Terbukti bahwa graf 𝐺 = (𝐶𝑛 ⊗ 𝐶𝑚 ) dengan 𝑛 dan 𝑚 ganjil mempunyai bilangan kromatik 𝜒 (𝐶𝑛 ⊗ 𝐶𝑚 ) = 3.. ∎. Akan ditunjukkan beberapa contoh pewarnaan titik graf hasil operasi darab tensor dari dua buah graf lingkaran 𝐶𝑛 dan 𝐶𝑚 dengan jumlah warna yang sesuai dengan bilangan kromatiknya. Contoh 3.1.2 merupakan graf hasil operasi dua buah graf lingkaran dengan 𝑛 dan 𝑚 genap.. Contoh 3.1.2 Dalam contoh 2.3.2 diketahui graf hasil operasi darab tensor dari dua buah graf lingkaran 𝐶4 dan 𝐶6 , sebagai berikut. Gambar 43 Graf 𝐶4 ⊗ 𝐶6.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 40. Menurut teorema 3.1.2, graf tersebut memiliki bilangan kromatik 2. Oleh sebab itu, akan dilakukan pewarnaan titik dengan himpunan warna w={merah, hijau}. Titik A, B, C, D, E, F, M, N, O, P, Q dan R diberi warna merah. Sedangkan titik G, H, I, J, K, L, S, T, U, V, W dan X diberi warna hijau. Jadi pewarnaan titik dari graf hasil operasi darab tensor dua buah graf lingkaran 𝐶4 dan 𝐶6 dapat dilakukan hanya dengan 2 warna. Pewarnaan graf hasil operasi darab tensor tersebut dapat ditunjukkan dalam graf sebagai berikut. Gambar 44 Pewarnaan titik pada graf 𝐶4 ⊗ 𝐶6. Contoh 3.1.3 merupakan graf hasil operasi darab tensor dua buah graf lingkaran dengan 𝑛 ganjil dan 𝑚 genap.. Contoh 3.1.3 Dalam contoh 2.3.3 diketahui graf hasil darab operasi tensor dari dua buah graf lingkaran 𝐶3 dan 𝐶4 yang ditunjukkan pada Gambar 45..

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 41. Gambar 45 Graf 𝐶3 ⊗ 𝐶4. Menurut teorema 3.1.2, graf tersebut memiliki bilangan kromatik 2. Oleh sebab itu, akan dilakukan pewarnaan titik dengan himpunan warna w={merah, hijau}. Titik (a,1), (b,1), (c,1), (a,3), (b,3) dan (c,3) diberi warna merah. Sedangkan titik (a,2), (b,2), (c,2), (a,4), (b,4) dan (c,4) diberi warna hijau. Jadi pewarnaan titik dari graf hasil operasi darab tensor dua buah graf lingkaran 𝐶3 dan 𝐶4 dapat dilakukan hanya dengan 2 warna. Pewarnaan graf hasil operasi darab tensor tersebut dapat ditunjukkan dalam graf sebagai berikut. Gambar 46 Pewarnaan titik pada graf 𝐶3 ⊗ 𝐶4.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 42. Contoh 3.1.4 Dalam contoh 2.3.4 diketahui graf hasil operasi darab tensor dari dua buah graf lingkaran 𝐶4 dan 𝐶3 , sebagai berikut. Gambar 47 Graf 𝐶4 ⊗ 𝐶3 Menurut teorema 3.1.2, graf tersebut memiliki bilangan kromatik 2. Misalkan dengan himpunan warna w={merah, hijau}. Titik (a,1), (b,1), (c,1), (a,3), (b,3) dan (c,3) diberi warna merah, sedangkan titik (a,2), (b,2), (c,2), (a,4), (b,4) dan (c,4) diberi warna hijau. Jadi pewarnaan titik dari graf hasil operasi darab tensor dua buah graf lingkaran 𝐶3 dan 𝐶4 dapat dilakukan hanya dengan 2 warna. Pewarnaan graf tersebut dapat ditunjukkan dalam graf sebagai berikut. Gambar 48 Pewarnaan titik pada graf 𝐶4 ⊗ 𝐶3.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 43. Contoh 3.1.5 Dalam contoh 2.3.5 diketahui graf hasil operasi darab tensor dari dua buah graf lingkaran 𝐶3 dan 𝐶5 , sebagai berikut. Gambar 49 Graf 𝐶3 ⊗ 𝐶5. Menurut teorema 3.1.2, graf tersebut memiliki bilangan kromatik 3. Oleh sebab itu, akan dilakukan pewarnaan titik dengan himpunan warna w={merah, kuning, hijau}. Titik (a,1), (b,1), (c,1), (a,3), (b,3) dan (c,3) diberi warna merah. Titik (a,2), (b,2), (c,2), (a,4), (b,4). dan (c,4) diberi warna kuning. Sedangkan titik. (𝑎, 5), (𝑏, 5) dan (𝑐, 5) diberi warna hijau. Jadi pewarnaan titik dari graf hasil operasi darab tensor dua buah graf lingkaran 𝐶3 dan 𝐶5 dapat dilakukan hanya dengan 3 warna. Pewarnaan graf hasil operasi darab tensor tersebut dapat ditunjukkan dalam graf sebagai berikut. Gambar 50 Pewarnaan titik pada graf 𝐶3 ⊗ 𝐶5.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 44. Contoh 3.1.4 diatas merupakan graf hasil operasi darab tensor dengan 𝑛 genap dan 𝑚 ganjil, sedangkan contoh 3.1.5 dengan 𝑛 dan 𝑚 ganjil.. Teorema 3.1.3 Misal G adalah graf hasil operasi darab tensor dari graf lintasan 𝑃𝑛 dengan graf lintasan 𝑃𝑚 . Bilangan kromatik dari graf 𝐺 = (𝑃𝑛 ⊗ 𝑃𝑚 ), untuk 𝑛, 𝑚 ≥ 2 adalah 𝜒 (𝑃𝑛 ⊗ 𝑃𝑚 ) = 2. Bukti Graf 𝐺 = (𝑃𝑛 ⊗ 𝑃𝑚 ) merupakan graf yang memiliki himpunan titik 𝑉 = {𝑥𝑖,𝑗 ; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚} dengan |𝑉 | = 𝑛𝑚. dan himpunan sisi 𝐸 =. {𝑥𝑖,𝑗 𝑥𝑖+1,𝑗+1 ; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 1; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚 − 1} ∪ {𝑥𝑖,𝑗 𝑥𝑖+1,𝑗−1 ; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 1; 2 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚 } dengan |𝐸| = 2𝑛𝑚. Fungsi pewarnaan titik pada graf 𝐺 = (𝑃𝑛 ⊗ 𝑃𝑚 ), yaitu. 1, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚,. 𝑖 ganjil. 2, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚,. 𝑖 genap. 𝑓(𝑥𝑖,𝑗 ) = {. Terbukti bahwa graf 𝐺 = (𝑃𝑛 ⊗ 𝑃𝑚 ) mempunyai bilangan kromatik 𝜒 (𝑃𝑛 ⊗ 𝑃𝑚 ) = 2.. ∎. Akan ditunjukkan contoh pewarnaan titik graf hasil operasi darab tensor dari graf lintasan 𝑃𝑛 dengan graf lintasan 𝑃𝑚 dengan jumlah warna yang sesuai dengan bilangan kromatiknya..

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 45. Contoh 3.1.6 Dalam contoh 2.3.6 diketahui graf hasil operasi darab tensor dari dua buah graf lintasan 𝑃3 dan 𝑃4 , sebagai berikut. Gambar 51 Graf 𝑃3 ⊗ 𝑃4. Menurut teorema 3.1.3, graf tersebut memiliki bilangan kromatik 2. Oleh sebab itu, akan dilakukan pewarnaan titik dengan himpunan warna w={merah, hijau}. Titik (a,1), (a,2), (a,3), (a,4), (c,1), (c,2), (c,3) dan (c,4) diberi warna merah. Sedangkan titik (b,1), (b,2), (b,3) dan (b,4) diberi warna hijau. Jadi pewarnaan titik dari graf hasil operasi darab tensor dua buah graf l graf lintasan 𝑃3 dan 𝑃4 dapat dilakukan hanya dengan 2 warna. Pewarnaan graf hasil operasi darab tensor tersebut dapat ditunjukkan dalam graf sebagai berikut. Gambar 52 Pewarnaan titik pada graf 𝑃3 ⊗ 𝑃4.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 46. B. Bilangan Kromatik Graf Hasil Operasi Darab Korona dari Graf Lingkaran dengan Graf Lintasan Operasi darab korona yang akan dilakukan antara graf lingkaran dengan graf lintasan, yaitu (𝑃𝑛 ⊙ 𝐶𝑚 ), (𝐶𝑛 ⊙ 𝑃𝑚 ), (𝐶𝑛 ⊙ 𝐶𝑚 ) dan (𝑃𝑛 ⊙ 𝑃𝑚 ). Dari keempat pengoperasian tersebut, akan dicari bilangan kromatik dari masing-masing hasil operasi.. Teorema 3.2.1 Misal G adalah graf hasil operasi darab korona dari graf lintasan 𝑃𝑛 dan graf lingkaran 𝐶𝑚 . Bilangan kromatik dari graf 𝐺 = (𝑃𝑛 ⊙ 𝐶𝑚 ), untuk 𝑛 ≥ 2 dan 𝑚 ≥ 3 adalah 3 untuk 𝑚 genap 𝜒 (𝑃𝑛 ⊙ 𝐶𝑚 ) = { 4 untuk 𝑚 ganjil. Bukti Graf (𝑃𝑛 ⨀ 𝐶𝑚 ) adalah graf yang memiliki himpunan titik titik 𝑉 = {𝑥𝑖 ; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛} ∪ {𝑦𝑖,𝑗 ; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚}. dan. himpunan. sisi. 𝐸=. {𝑥𝑖 𝑥𝑖+1 ; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 1} ∪ {𝑦𝑖,𝑗 𝑦𝑖,𝑗+1 ; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚 − 1} ∪ {𝑦𝑖,1 𝑦𝑖,𝑚 ; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚} ∪ {𝑥𝑖 𝑦𝑖,𝑗 ; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚} serta |𝑉 | = 𝑛𝑚 + 𝑛 dan |𝐸| = 2𝑛𝑚 + 𝑛 − 1. Fungsi pewarnaan titik pada graf (𝑃𝑛 ⨀ 𝐶𝑚 ), yaitu 1.. Untuk 𝑚 genap. 1, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛, 𝑖 ganjil 𝑓 (𝑥𝑖 ) = { 2, 2 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛, 𝑖 genap. a.. Untuk 𝑖 ganjil 2, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚 − 1, 𝑗 ganjil 𝑓(𝑦𝑖,𝑗 ) = { 3, 2 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚, 𝑗 genap.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 47. b.. Untuk 𝑖 genap. 1, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚 − 1,. 𝑗 ganjil. 𝑓(𝑦𝑖,𝑗 ) = { 3, 2 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚,. 𝑗 genap. Terbukti bahwa graf 𝐺 = (𝑃𝑛 ⊙ 𝐶𝑚 ) dengan 𝑚 genap mempunyai bilangan kromatik 𝜒 (𝑃𝑛 ⊙ 𝐶𝑚 ) = 3.. 2.. Untuk 𝑚 ganjil. 1, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛,. 𝑖 ganjil. 2, 2 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛,. 𝑖 genap. 𝑓 (𝑥𝑖 ) = {. a.. Untuk 𝑖 ganjil 2, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚 − 2 𝑗 ganjil 𝑓(𝑦𝑖,𝑗 ) =. 3, 2 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚 − 1, 𝑗 genap {. b.. 4, 𝑗 = 𝑚. Untuk 𝑖 genap 1, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚 − 2 𝑗 ganjil 𝑓(𝑦𝑖,𝑗 ) =. 3, 2 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚 − 1, 𝑗 genap {. 4, 𝑗 = 𝑚. Pewarnaan titik graf hasil operasi tersebut tidak dapat dilakukan dengan kurang dari 4 warna karena untuk 𝐶𝑚 dengan 𝑚 ganjil pasti.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 48. memiliki satu titik dengan dua titik bertetangga yang memiliki warna berbeda, sehingga diperlukan sebuah warna lagi untuk mewarnai titik tersebut, dengan kata lain salinan 𝐶𝑚 memerlukan 3 warna. Jika salinan ke-𝑖 dari 𝐶𝑚 memerlukan paling sedikit 3 warna dan titik ke-𝑖 dari 𝑃𝑛 memerlukan satu warna lagi yang berbeda, maka 𝜒 (𝑃𝑛 ⊙ 𝐶𝑚 ) = 4.. ∎. Akan ditunjukkan contoh pewarnaan titik graf hasil operasi darab korona dari graf lintasan 𝑃𝑛 dengan graf lingkaran 𝐶𝑚 dengan jumlah warna yang sesuai dengan bilangan kromatiknya. Contoh 3.2.1 merupakan graf hasil operasi graf lintasan dan graf lingkaran dengan 𝑚 genap.. Contoh 3.2.1 Dalam contoh 2.4.1, diketahui graf hasil operasi darab korona dari graf lintasan 𝑃3 dan graf lingkaran 𝐶4 , sebagai berikut. Gambar 53 Graf 𝑃3 ⊙ 𝐶4.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 49. Menurut teorema 3.2.1, graf hasil operasi darab korona tersebut memiliki bilangan kromatik 3. Oleh sebab itu, akan dilakukan pewarnaan titik dengan himpunan warna w={merah, kuning, hijau}. Titik a, c, (b,1) dan (b,3) diberi warna merah. Titik b, (a,1), (a,3), (c,1) dan (c,3) diberi warna kuning. Sedangkan titik (a,2), (a,4), (b,2), (b,4), (c,2) dan (c,4) diberi warna hijau. Jadi pewarnaan titik dari graf hasil operasi darab korona dua buah graf lintasan 𝑃3 dan 𝑃4 dapat dilakukan hanya dengan 3 warna. Pewarnaan graf hasil operasi darab korona tersebut dapat ditunjukkan dalam graf sebagai berikut. Gambar 54 Pewarnaan titik pada graf 𝑃3 ⊙ 𝐶4. Contoh 3.2.2 merupakan graf hasil operasi darab korona dari graf lintasan 𝑃𝑛 dan graf lingkaran 𝐶𝑚 dengan 𝑚 ganjil.. Contoh 3.2.2 Dalam contoh 2.4.2, diketahui graf hasil operasi korona graf lintasan 𝑃3 dan graf lingkaran 𝐶3 yang ditunjukkan pada Gambar 55..

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 50. Gambar 55 Graf 𝑃3 ⊙ 𝐶3 Menurut teorema 3.2.1, graf hasil operasi darab korona tersebut memiliki bilangan kromatik 4. Dengan himpunan warna w={merah, kuning, biru, hijau}, titik a, c dan (b,1) diberi warna merah, titik b, (a,1),sdan (c,1) diberi warna kuning, titik (a,2), (b,2), dan (c,2) diberi warna biru dan titik (a,3), (b,3), dan (c,3) diberi warna hijau. Jadi pewarnaan titik dari graf 𝑃3 ⊙ 𝐶3 dapat dilakukan hanya dengan 4 warna, dengan pewarnaan graf sebagai berikut. Gambar 56 Pewarnaan titik pada graf 𝑃3 ⊙ 𝐶3.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 51. Teorema 3.2.2 Misal G adalah graf hasil operasi darab korona dari graf lingkaran 𝐶𝑚 dan graf lintasan 𝑃𝑛 . Bilangan kromatik dari graf 𝐺 = (𝐶𝑛 ⊙ 𝑃𝑚 ), untuk 𝑛 ≥ 3 dan 𝑚 ≥ 2 adalah 𝜒 (𝐶𝑛 ⊙ 𝑃𝑚 ) = 3. Bukti Graf (𝐶𝑛 ⊙ 𝑃𝑚 ) adalah graf yang memiliki himpunan titik titik 𝑉 = {𝑥𝑖 ; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛} ∪ {𝑦𝑖,𝑗 ; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚}. dan. himpunan. sisi. 𝐸=. {𝑥𝑖 𝑥𝑖+1 ; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 1} ∪ {𝑥1 𝑥𝑛 ; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛} ∪ {𝑦𝑖,𝑗 𝑦𝑖,𝑗+1 ; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚 − 1} ∪ {𝑥𝑖 𝑦𝑖,𝑗 ; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚} serta |𝑉 | = 𝑛𝑚 + 𝑛 dan |𝐸| = 2𝑛𝑚. Fungsi pewarnaan titik pada graf (𝐶𝑛 ⊙ 𝑃𝑚 ), yaitu 1.. Untuk 𝑛 genap. 1, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛, 𝑖 ganjil 𝑓 (𝑥𝑖 ) = { 2, 2 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛, 𝑖 genap. a.. Untuk 𝑖 ganjil 2, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚, 𝑗 ganjil 𝑓(𝑦𝑖,𝑗 ) = { 3, 2 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚, 𝑗 genap. b.. Untuk 𝑖 genap 1, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚, 𝑗 ganjil 𝑓(𝑦𝑖,𝑗 ) = { 3, 2 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚, 𝑗 genap. Terbukti bahwa graf 𝐺 = (𝐶𝑛 ⊙ 𝑃𝑚 ) dengan 𝑛 genap mempunyai bilangan kromatik 𝜒 (𝐶𝑛 ⊙ 𝑃𝑚 ) = 3..

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 52. 2.. Untuk 𝑛 ganjil 1, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛, 𝑖 ganjil 𝑓 (𝑥𝑖 ) = 2, 2 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛, 𝑖 genap {. a.. 3,. 𝑖=𝑛. Untuk 𝑖 ganjil 2, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚, 𝑗 ganjil 𝑓(𝑦𝑖,𝑗 ) = { 3, 2 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚1, 𝑗 genap. b.. Untuk 𝑖 genap 1, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚, 𝑗 ganjil (𝑦𝑖,𝑗 ) = { 3, 2 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚, 𝑗 genap. c. Untik 𝑖 = 𝑛 1, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚, 𝑗 ganjil 𝑓(𝑦𝑖,𝑗 ) = { 2, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚, 𝑗 genap. Terbukti bahwa graf 𝐺 = (𝐶𝑛 ⊙ 𝑃𝑚 ) dengan 𝑛 ganjil mempunyai bilangan kromatik 𝜒 (𝐶𝑛 ⊙ 𝑃𝑚 ) = 3.. ∎. Akan ditunjukkan contoh pewarnaan titik graf hasil operasi darab korona dari dua buah graf lingkaran 𝐶𝑚 dan graf lintasan 𝑃𝑛 dengan jumlah warna yang sesuai dengan bilangan kromatiknya..

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 53. Contoh 3.2.3 Dalam contoh 2.4.3, diketahui graf hasil operasi darab korona dari graf lingkaran 𝐶3 dan graf lintasan 𝑃3 , sebagai berikut. Gambar 57 Graf 𝐶3 ⊙ 𝑃3. Menurut teorema 3.2.2, graf hasil operasi korona tersebut memiliki bilangan kromatik 3. Pewarnaan graf hasil operasi korona tersebut, yaitu. Gambar 58 Pewarnaan titik pada graf 𝐶3 ⊙ 𝑃3.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 54. Dilakukan. pewarnaan. titik. dengan. himpunan. warna. 𝑤=. {𝑚𝑒𝑟𝑎ℎ, 𝑘𝑢𝑛𝑖𝑛𝑔, ℎ𝑖𝑗𝑎𝑢}. Titik 𝑎, (𝑏, 1), (𝑏, 3), (𝑐, 1) dan (𝑐, 3) diberi warna merah. Titik 𝑏, (𝑎, 1), (𝑎, 3) dan (𝑐, 2) diberi warna kuning. Sedangkan titik 𝑐, (𝑎, 2) dan (𝑏, 2) diberi warna hijau. Jadi pewarnaan titik graf hasil operasi korona dari graf lingkaran 𝐶3 dan graf lintasan 𝑃3 dapat dilakukan hanya dengan 3 warna.. Teorema 3.2.3 Misal G adalah graf hasil operasi darab korona dari graf lingkaran 𝐶𝑛 dan graf lingkaran 𝐶𝑚 . Bilangan kromatik dari graf 𝐺 = (𝐶𝑛 ⊙ 𝐶𝑚 ), untuk 𝑛 ≥ 3 dan 𝑚 ≥ 3 adalah 3 untuk 𝑚 genap 𝜒 (𝐶𝑛 ⊙ 𝐶𝑚 ) = { 4 untuk 𝑚 ganjil. Bukti Graf graf 𝐺 = (𝐶𝑛 ⊙ 𝐶𝑚 ) merupakan graf yang memiliki himpunan titik 𝑉 = {𝑥𝑖 ; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛} ∪ {𝑦𝑖,𝑗 ; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚}. dengan. |𝑉 | = 𝑛𝑚 + 𝑛. dan. himpunan sisi 𝐸 = {𝑥𝑖 𝑥𝑖+1 ; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 1} ∪ {𝑥1 𝑥𝑛 ; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛} ∪ {𝑦𝑖,𝑗 𝑦𝑖,𝑗+1 ; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚 − 1} ∪ {𝑥𝑖 𝑦𝑖,𝑗 ; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚} dengan |𝐸| = 2𝑛𝑚 + 𝑛. Fungsi pewarnaan titik pada graf 𝐺 = (𝐶𝑛 ⊙ 𝐶𝑚 ), yaitu 1.. Untuk 𝑛 ganjil dan 𝑚 genap 1, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛, 𝑖 ganjil 𝑓 (𝑥𝑖 ) =. 2, 2 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛, 𝑖 genap {. a.. 3,. 𝑖=𝑛. Untuk 𝑖 ganjil 2, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚 − 1, 𝑗 ganjil 𝑓(𝑦𝑖,𝑗 ) = { 3, 2 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚, 𝑗 genap.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 55. b.. Untuk 𝑖 genap 1, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚 − 1,. 𝑗 ganjil. 𝑓(𝑦𝑖,𝑗 ) = { 3, 2 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚,. c.. 𝑗 genap. Untuk 𝑖 = 𝑛 1, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚 − 1, 𝑗 ganjil 𝑓(𝑦𝑖,𝑗 ) = { 2, 2 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚, 𝑗 genap. Terbukti bahwa graf 𝐺 = (𝐶𝑛 ⊙ 𝐶𝑚 ) dengan 𝑛 ganjil dan 𝑚 genap mempunyai bilangan kromatik 𝜒 (𝐶𝑛 ⊙ 𝐶𝑚 ) = 3. 2.. Untuk 𝑛 dan 𝑚 genap. 1, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚,. 𝑖 ganjil. 2, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚,. 𝑖 genap. 𝑓(𝑥𝑖,𝑗 ) = {. a.. Untuk 𝑖 ganjil 2, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚 − 1, 𝑗 ganjil 𝑓(𝑦𝑖,𝑗 ) = { 3, 2 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚, 𝑗 genap. b.. Untuk 𝑖 genap 1, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚 − 1, 𝑗 ganjil 𝑓(𝑦𝑖,𝑗 ) = { 3, 2 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚, 𝑗 genap. Terbukti bahwa graf 𝐺 = (𝐶𝑛 ⊙ 𝐶𝑚 ) dengan 𝑛 dan 𝑚 genap mempunyai bilangan kromatik 𝜒 (𝐶𝑛 ⊙ 𝐶𝑚 ) = 3..

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 56. 3.. Untuk 𝑛 dan 𝑚 ganjil 1, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛, 𝑖 ganjil 𝑓 (𝑥𝑖 ) =. 2, 2 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛, 𝑖 genap {. a.. 3,. 𝑖=𝑛. Untuk 𝑖 ganjil 2, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚 − 2 𝑗 ganjil 𝑓(𝑦𝑖,𝑗 ) =. 3, 2 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚 − 1, 𝑗 genap {. b.. 4, 𝑗 = 𝑚. Untuk 𝑖 genap 1, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚 − 2 𝑗 ganjil 𝑓(𝑦𝑖,𝑗 ) =. 3, 2 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚 − 1, 𝑗 genap {. c.. 4, 𝑗 = 𝑚. Untuk 𝑖 = 𝑛 1, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚 − 1, 𝑗 ganjil 2, 2 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚, 𝑗 genap. 𝑓(𝑦𝑖,𝑗 ) = {. 4, 𝑗 = 𝑚. Terbukti bahwa graf 𝐺 = (𝐶𝑛 ⊙ 𝐶𝑚 ) dengan 𝑛 dan 𝑚 ganjil mempunyai bilangan kromatik 𝜒 (𝐶𝑛 ⊙ 𝐶𝑚 ) = 4..

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 57. 4.. Untuk 𝑛 genap dan 𝑚 ganjil 1, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚,. 𝑖 ganjil. 2, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚,. 𝑖 genap. 𝑓(𝑥𝑖,𝑗 ) = { a.. Untuk 𝑖 ganjil 2, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚 − 2 𝑗 ganjil 𝑓(𝑦𝑖,𝑗 ) =. 3, 2 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚 − 1, 𝑗 genap {. b.. 4, 𝑗 = 𝑚. Untuk 𝑖 genap 1, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚 − 2 𝑗 ganjil 𝑓(𝑦𝑖,𝑗 ) =. 3, 2 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚 − 1, 𝑗 genap {. 4, 𝑗 = 𝑚. Terbukti bahwa graf 𝐺 = (𝐶𝑛 ⊙ 𝐶𝑚 ) dengan 𝑛 genap dan 𝑚 ganjil mempunyai bilangan kromatik 𝜒 (𝐶𝑛 ⊙ 𝐶𝑚 ) = 4.. ∎. Akan ditunjukkan contoh pewarnaan titik graf hasil operasi darab korona dari dua buah graf lingkaran 𝐶𝑛 dan 𝐶𝑚 dengan jumlah warna yang sesuai dengan bilangan kromatiknya. Contoh 3.2.4 merupakan graf hasil operasi korona dua buah graf lingkaran dengan 𝑛 ganjil dan 𝑚 genap.. Contoh 3.2.4 Dalam contoh 2.4.4, diketahui graf hasil operasi darab korona dari dua graf lingkaran 𝐶3 dan 𝐶4 yang ditunjukkan pada Gambar 59..

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 58. Gambar 59 Graf 𝐶3 ⊙ 𝐶4 Menurut teorema 3.2.3, graf hasil operasi darab korona tersebut memiliki bilangan kromatik 3. Pewarnaan graf hasil operasi korona tersebut dapat ditunjukkan dalam graf sebagai berikut. Gambar 60 Pewarnaan titik pada graf 𝐶3 ⊙ 𝐶4 Dilakukan pewarnaan titik dengan himpunan warna 𝑤={merah, kuning, hijau}. Titik a, (b,1), (b,3), (c,1) dan (c,3) diberi warna merah. Titik b, (a,1), (a,3), (c,2) dan.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 59. (c,4) diberi warna kuning. Sedangkan titik c, (a,2), (a,4), (b,2) dan (b,4) diberi warna hijau. Jadi pewarnaan titik graf hasil operasi darab korona dari graf lingkaran 𝐶3 dan 𝐶4 dapat dilakukan hanya dengan 3 warna.. Contoh 3.2.5 merupakan graf hasil operasi korona dua buah graf lingkaran dengan 𝑛 dan 𝑚 genap.. Contoh 3.2.5 Dalam contoh 2.4.5, diketahui graf hasil operasi korona dari dua graf lingkaran 𝐶4 dan 𝐶6 , sebagai berikut. Gambar 61 Graf 𝐶4 ⊙ 𝐶6 Menurut teorema 3.2.3, graf hasil operasi darab korona tersebut memiliki bilangan kromatik 3. Oleh sebab itu, akan dilakukan pewarnaan titik dengan himpunan warna w={merah, kuning, hijau}. Titik a, c, (b,1), (b,3), (b,5), (d,1), (d,3) dan (d,5) diberi warna merah. Titik b, d, (a,1), (a,3), (a,5), (c,1), (c,3) dan (c,5).

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 60. diberi warna kuning. Sedangkan titik (a,2), (a,4), (a,6), (b,2), (b,4), (b,6), (c,2), (c,4), (c,6), (d,2), (d,4) dan (d,6) diberi warna hijau. Jadi pewarnaan titik graf hasil operasi darab korona dari graf lingkaran 𝐶4 dan 𝐶6 dapat dilakukan hanya dengan 3 warna. Pewarnaan graf hasil operasi darab korona tersebut dapat ditunjukkan dalam graf sebagai berikut. Gambar 62 Pewarnaan titik pada graf 𝐶4 ⊙ 𝐶6. Contoh 3.2.6 merupakan graf hasil operasi korona dua buah graf lingkaran dengan 𝑛 dan 𝑚 ganjil.. Contoh 3.2.6 Dalam contoh 2.4.6, diketahui graf hasil operasi darab korona dari dua graf lingkaran 𝐶3 dan 𝐶5 yang ditunjukkan pada Gambar 63..

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 61. Gambar 63 Graf 𝐶3 ⊙ 𝐶5. Menurut teorema 3.2.3, graf hasil operasi darab korona tersebut memiliki bilangan kromatik 4. Pewarnaan graf hasil operasi darab korona tersebut dapat ditunjukkan dalam graf sebagai berikut. Gambar 64 Pewarnaan titik pada graf 𝐶3 ⊙ 𝐶5.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 62. Dilakukan pewarnaan titik dengan himpunan warna w={merah, kuning, biru, hijau}. Titik a, (b,1), (b,3), (c,1) dan (c,3) diberi warna merah. Titik b, (a,1), (a,3), (c,2) dan (c,4) diberi warna kuning. Titik c, (a,2), (a,4) dan (b,5) diberi warna biru. Sedangkan titik (a,5) , (b,2), (b,4) dan (c,5) diberi warna hijau. Jadi pewarnaan titik graf hasil operasi darab korona dari graf lingkaran 𝐶3 dan 𝐶5 dapat dilakukan hanya dengan 4 warna.. Contoh 3.2.7 merupakan graf hasil operasi korona dua buah graf lingkaran dengan 𝑛 genap dan 𝑚 ganjil.. Contoh 3.2.7 Dalam contoh 2.4.7, diketahui graf hasil operasi darab korona dari dua graf lingkaran 𝐶4 dan 𝐶3 , sebagai berikut. Gambar 65 Graf 𝐶4 ⊙ 𝐶3 Menurut teorema 3.2.3, graf hasil operasi darab korona tersebut memiliki bilangan kromatik 4. Oleh sebab itu, akan dilakukan pewarnaan titik dengan.