SIMULASI PROSES POISSON NONHOMOGEN PADA PELAYANAN PERMINTAAN DARAH DI BANK DARAH RSUP DR. HASAN SADIKIN BANDUNG.

(1)

SKRIPSI

Diajukan untuk Memenuhi Sebagian dari Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains Program Studi Matematika Konsentrasi Statistika

Oleh Ghea Novani

1002514

JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA

FAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA

(2)

2014

SIMULASI PROSES POISSON NONHOMOGEN PADA PELAYANAN PERMINTAAN DARAH DI BANK DARAH RSUP DR. HASAN SADIKIN

BANDUNG

Oleh Ghea Novani

Sebuah skripsi yang diajukan untuk memenuhi salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada

Fakultas Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Agustus 2014

Hak Cipta dilindungi undang-undang.

(3)

PERMINTAAN DARAH DI BANK DARAH RSUP DR. HASAN SADIKIN BANDUNG

DISETUJUI DAN DISAHKAN OLEH PEMBIMBING:

Pembimbing I

Hj. Dewi Rachmatin, S.Si, M.Si. NIP : 196909291994122001

Pembimbing II

Fitriani Agustina, S.Si, M.Si. NIP : 198108142005012001

Mengetahui,

Ketua Jurusan Pendidikan Matematika

(4)

Ghea Novani, 2014

Simulasi Proses Poisson Nonhomogen Pada Pelayanan Permintaan Darah Di Bank Darah RSUP Dr. Hasan Sadikin Bandung

Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu

DAFTAR ISI

2.3 Beberapa Distribusi Khusus Diskrit ... 6

2.4 Beberapa Distribusi Khusus Kontinu ... 8

2.5 Uji Kecocokan Distribusi ... 10

2.6 Proses Stokastik ... 14

2.7 Proses Poisson ... 14

2.8 Proses Poisson Nonhomogen ... 16

2.9 Sistem ... 17

BAB III METODE SIMULASI ... 22

3.1 Metode Simulasi ... 22

(5)

Simulasi Proses Poisson Nonhomogen Pada Pelayanan Permintaan Darah Di Bank Darah RSUP Dr. Hasan Sadikin Bandung

BAB IV PEMBAHASAN ... 44

4.1 Bank Darah RSUP Dr. Hasan Sadikin Bandung ... 44

4.2 Penelitian ... 49

4.3 Pengolahan Data ... 50

4.4 Simulasi ... 53

BAB V PENUTUP ... 63

5.1 Kesimpulan ... 63

5.2 Saran ... 63

DAFTAR PUSTAKA ... 64

(6)

Simulasi Proses Poisson Nonhomogen Pada Pelayanan Permintaan Darah Di Bank Darah RSUP Dr. Hasan Sadikin Bandung

ABSTRAK

Metode Simulasi merupakan salah satu bagian dari metode kuantitatif yang seringkali digunakan dalam pemodelan. Metode Simulasi mempunyai kelebihan yaitu dapat meniru sistem nyata yang kompleks sekalipun. Pelayanan permintaan darah di Bank Darah RSUP Dr. Hasan Sadikin Bandung telah mampu dimodelkan dengan simulasi. Di mana model permintaan komponen darah merupakan Proses Poisson Nonhomogen dengan fungsi intensitasnya didasarkan pada interval kedatangan permintaan per 2 jam. Output simulasi yang diperoleh dari program Matlab menunjukkan bahwa tidak ada perbedaan yang cukup signifikan dari data hasil simulasi dengan data asli pada tanggal 12 sampai 21 Juni 2014. Dengan demikian, Bank Darah Rumah Sakit dapat mempertimbangkan hasil simulasi sebagai salah satu referensi untuk menentukan tingkat permintaan darah tertinggi pada masa yang akan datang.

(7)

imitate behavior of a system within a supply chain environment. Using simulation in Matlab Program, a nonhomogeneous Poisson process (NHPP) is approved as an appropriate model for blood demand daily arrival service in Bank Darah RSUP Dr. Hasan Sadikin Bandung, where the intensity function aka is based on demand arrival per 2 hour. When it comes to comparing the results, there’s only a slight differences between the actual data set from 12th-21st June 2014 with simulation output. Therefore, Bank Darah RSUP Dr. Hasan Sadikin Bandung might be consider this simulation output as decision making of determining highest blood demand arrival rates.

(8)

BAB I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Secara teoritis, proses Poisson telah banyak digunakan sebagai model

kedatangan entitas dalam pemodelan sebuah sistem, di mana asumsi adalah

banyaknya kejadian tercacah antara selang waktu yang panjangnya t, yang tidak

saling tumpang tindih (overlapping) akan mempunyai distribusi yang sarna.

Sehingga laju kejadian pada selang waktu berapapun, yang dinotasikan dengan ,

dianggap konstan/homogen. Proses poisson seperti ini disebut proses poisson

homogen (Ross, 2009: 30).

Akan tetapi, pada kenyataannya, sering dijumpai bahwa asumsi laju yang

homogen sebenarnya kurang tepat. Pada kasus sistem antrian dan sistem

pelayanan, laju atau intensitas kedatangan entitas pada interval waktu yang

ditetapkan, tidaklah konstan/homogen. Hal tersebut disebabkan karena

kedatangan entitas pada sistem nyata tidak dapat ditentukan secara pasti. Laju

kedatangan entitas biasanya tergantung pada waktu. Sebagai contohnya adalah

kedatangan pasien ke rumah sakit dan pelanggan ke bank yang biasanya lebih

banyak pada jam pagi dan siang dibandingkan dengan jam sore. Secara matematis,

laju kedatangan entitas pada sistem yang tergantung pada waktu ini adalah fungsi

yang dari waktu t, yaitu Proses Poisson dengan tidaklah lain

merupakan proses Poisson Nonhomogen. Menurut Leemis (1991:886), proses

Poisson Nonhomogen ini sangatlah tepat digunakan dalam sistem yang memiliki

kedatangan entitas yang bergantung pada waktu.

Pada pemodelan sistem nyata yang bersifat stokastik, yang berarti terdapat

satu atau lebih penginputan variabel acak, metode yang digunakan adalah metode

simulasi. Proses Poisson nonhomogen ini dijadikan sebuah input dengan metode

(9)

tingkat kedatangan permintaan atau antrian suatu sistem pada masa datang dapat

diketahui. Asumsi model ini dapat valid jika memenuhi sifat yang dimiliki oleh

proses poisson nonhomogen dan validitas asumsi yang dikenalkan oleh Ross yaitu

dengan menggunakan multiple sample rank test.

Metode simulasi itu sendiri mempunyai pengertian sebagai berikut : yakni

merupakan salah satu dari sekian banyak metode dalam penelitian kuantitatif

(seperti survei, eksperimen dan penelitian) yang tidak diragukan sebagai teknik

paling powerful untuk diterapkan sebagai decision support system (sistem

pendukung pengambilan keputusan) dalam lingkungan supply chain yang bersifat

stokastik. Dengan kata lain, simulasi mempunyai kelebihan diantara metode

kuantitatif lainnya yakni bisa digunakan dalam pengambilan keputusan dalam

sistem dengan tingkat permintaan yang tidak diketahui secara pasti. (Terzi dan

Cavalieri, 2004:4).

Thompson (2000:1) menuturkan bahwa metode simulasi adalah metode

untuk meniru sistem nyata dengan kunci utama adalah keacakan dan algoritma.

Sedangkan menurut Harrel dkk (2004:48), cara kerja metode simulasi ini adalah

membuat tiruan dari sistem dengan menggunakan model komputer untuk

mengevaluasi dan meningkatkan kemampuan sebuah sistem

Adapun prosedur dalam melakukan simulasi adalah sebagai berikut, (1)

pengambilan data dari sistem riil, (2) penentuan hipotesis distribusi probabilitas,

(3) pemilihan parameter untuk distribusi Goodness of fit test – seberapa baik

distribusi memodelkan data yang tersedia, (4) pembuatan asumsi, (5)

mensimulasikan proses kedatangan dengan menggunakan algoritma sederhana,

dan (6) membuat kesimpulan (Law dan Kelton, 2000: 46).

Berdasarkan penjelasan di atas, penulis tertarik untuk mengangkat skripsi

berjudul “Simulasi Proses Poisson Nonhomogen pada Pelayanan Permintaan

Darah di Bank Darah RSUP Dr. Hasan Sadikin Bandung”.

(10)

3

Berdasarkan latar belakang tersebut, penulis merumuskan masalah yang

akan dibahas dalam skripsi ini adalah sebagai berikut:

1. Bagaimana model sistem permintaan darah di BDRS?

2. Bagaimana hasil analisis pelayanan permintaan darah dengan menggunakan

metode simulasi di BDRS?

1.3 Batasan Masalah

Batasan-batasan dalam skripsi ini, antara lain:

1. Sistem permintaan darah di BDRS merupakan sistem stokastik

2. Objek penelitian adalah komponen-komponen darah yang terdiri dari packed

red cells, washed red cells, trombosit concentrate dan fresh frozen plasma

dari masing-masing golongan darah A, B, AB, O

3. Produk darah rhesus negatif tidak menjadi bahan penelitian karena jumlah

permintaan dan ketersediaan yang sangat rendah.

1.4 Tujuan Penulisan

Berdasarkan rumusan masalah tersebut, maka tujuan penulisan skripsi ini

adalah sebagai berikut:

1. Mengetahui model sistem pelayanan permintaan darah di BDRS

2. Mengetahui hasil analisis sistem pelayanan darah dengan menggunakan

metode simulasi di BDRS

1.5 Manfaat Penulisan 1. Manfaat Teoritis

Manfaat penulisan skripsi ini, secara teoritis adalah menambah wawasan

keilmuan matematika mengenai simulasi khususnya simulasi proses Poisson

Nonhomogen untuk menganalisis pelayanan permintaan darah di Bank Darah

RSUP Dr. Hasan Sadikin Bandung.

(11)

Dengan adanya pembahasan tentang analisis pelayanan permintaan darah di

Bank Darah Rumah Sakit Umum Pusat (RSUP) Dr. Hasan Sadikin Bandung

dengan simulasi Proses Nonhomogen, diharapkan dapat membantu instansi yang

terkait dalam mengantisipasi dan memprediksi banyaknya permintaan darah yang

datang pada interval waktu yang ditentukan sehingga pelayanan permintaan darah

(12)

BAB III

METODE SIMULASI

3.1 Metode Simulasi 3.1.1 Pengertian

Untuk merumuskan model stokastik pada sebuah sistem yang kompleks,

perlu adanya pertimbangan yang baik dalam menentukan model tiruan sistem

nyata dan analisis matematika mana yang dapat dikerjakan. Oleh karena itu, tidak

akan ada hasil apapun yang diperoleh dalam memilih model yang sangat sesuai

dengan sistem yang diteliti jika model tersebut tidak dapat dianalisis secara

matematis. Dewasa ini, metode yang digunakan dalam memilih model yang

bersesuian dengan sistem nyata dengan teknik analisis matematis yang mumpuni

adalah simulasi. Dalam kacamata statistikawan, simulasi merupakan metode

kuantitatif dengan kunci utamanya adalah keacakan, di mana dalam menganalisis

suatu sistem, pendekatannya menggunakan sebuah algoritma. (Thomposon,

2000:1)

Selain itu, Harrel dkk (2004:5) mengatakan bahwa simulasi didefinisikan

sebagai sebuah sistem dinamik yang menggunakan model komputer dengan

tujuan untuk mengevaluasi dan meningkatkan kinerja sistem.

Selanjutnya, Harrel (2004:6) mengutip dari Schriber (1987) dengan

mengungkapkan bahwa simulasi adalah pemodelan sebuah proses atau sistem

sedemikian rupa model yang dibentuk dapat menyerupai bentuk sistem nyata

berdasarkan kejadian-kejadian yang berlangsung dari waktu ke waktu.

Simulasi hampir selalu dilakukan sebagai bagian dari proses yang lebih

besar dari desain sistem atau pengembangannya. Simulasi pada dasarnya

merupakan sebuah alat eksperimen di mana model komputer dari sistem baru atau

(13)

Prosedur melakukan simulasi mengikuti tahapan-tahapan dari metode

ilmiah, antara lain : (1) susun sebuah hipotesis (2) atur sebuah penelitian (3) uji

hipotesisnya dan (4) ambil kesimpulan tentang validitas hipotesis.

Dalam simulasi, sebuah hipotesis disusun untuk menentukan desain atau

aturan operasi manakah yang paling bagus. Kemudian sebuah penelitian

dilakukan dalam bentuk model simulasi untuk menguji hipotesis. Dan pada tahap

akhir, hasil simulasi dianalisis dan selanjutnya kesimpulan dibuat berdasarkan

kepada penelitian yang sudah dilakukan. Jika hipotesis benar maka desain sistem

dapat dilanjutkan untuk membuat desain perubahan operasi. Proses melakukan

peneltian dengan simulasi dapat dilihat pada gambar berikut ini:

Gambar 3.1 Proses Penelitian dengan Metode Simulasi

3.1.2 Karakteristik Simulasi

Sudah Mulai

Jalankan simulasi

Apakah hipotesis benar

Selesai

Kembangkan Model Simulasi Buat Hipotesis

(14)

24

Simulasi merupakan metode dengan menghindari teknik trial dan proses

mahal yang memakan waktu. Dengan menggunakan bantuan komputer untuk

memodelkan, maka model imitasi dapat menyerupai sistem nyata.

Kekuatan simulasi terletak dalam hal menyediakan metode analisis yang

tidak hanya bersifat formal dan prediktif, tapi juga dapat memprediksi secara

akurat bagaimana kinerja sebuah sistem yang kompleks sekalipun.

Adapun karakteristik simulasi yang menjadikannya sebagai alat pembuat

keputusan yang kuat dapat dijelaskan di bawah ini:

1. Mengidentifikasi ketergantungan dalam sistem

2. Bersifat fleksibel untuk jenis sistem manapun

3. Menunjukkan perilaku terhadap waktu

4. Tidak memakan banyak biaya, banyak waktu dan error yang lebih

besar dibandingkan dengan metode kuantitatif lain

5. Menghasilkan informasi pada pengukuran beberapa kinerja sistem

6. Menghasilkan analisis yang mudah dipahami dan dijelaskan

3.2 Langkah-Langkah Simulasi

Berdasarkan Harrel (2004), tahapan-tahapan simulasi yang harus

dilakukan adalah sebagai berikut:

dikumpulkan. Adapun jenis-jenis data dapat dikategorikan sebagai berikut:

a. Data Struktural

Data struktural terdiri dari semua elemen sistem yang dimodelkan.

Termasuk ke dalamnya yaitu entitas, sumber daya dan lokasi. Pada

(15)

Bandung entitas, sumber daya dan lokasi masing-masing adalah

komponen darah, UTD PMI dan bank darah itu sendiri.

b. Data Operasional

Adapun data operasional menjelaskan tentang bagaimana sebuah

sistem bekerja. Seperti kapan, di mana dan bagaimana kegiatan dapat

berlangsung. Data operasional mengandung semua informasi tentang

sistem seperti routings (urutan perencanaan), penjadwalan,

penghentian waktu kerja serta alokasi sumber daya.

c. Data Numerik

Data numerik ini memberikan informasi kuantitatif mengenai

sistem. Yang termasuk ke dalam data numerik diantaranya:

1. Data banyaknya persediaan packed red cells, fresh frozem plasma,

whole blood dan trombosit concentrate dari masing-masing

golongan darah

2. Data banyaknya permintaan packed red cells dan trombosit

concentrate dari masing-masing golongan darah Data waktu

kadatangan permintaan dari dokter untuk masing-masing

komponen darah

3. Data banyaknya komponen darah yang kadaluarsa dari

masing-masing golongan darah

4. Data banyaknya komponen darah dari masing-masing golongan

darah yang diuji crossmatch

5. Data banyaknya komponen darah dari masing-masing golongan

darah yang diuji crossmatch tetapi tidak dipakai dalam kegiatan

transfusi bulan pada tahun 2014

4. Identifikasi sumber data

Data yang baik dapat diperoleh dari sumber-sumber seperti berikut ini:

a. Data historis Bank Darah RSUP Dr. Hasan Sadikin Bandung

(16)

26

Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu c. Observasi personal;

d. Perbandingan dengan sistem yang serupa;

e. Estimasi desain seperti waktu proses;

f. Studi pustaka.

5. Definisikanaliran entitas

Mendefinisikan aliran ensitas di sini adalah menggambarkan diagram

aliran entitas pada sebuah sistem. Diagram aliran entitas sebagaimana yang

dikemukakan Harrel, dkk (2004:131) sedikit berbeda dengan flowchart

pada umumnya. Flowchart lebih menekankan apa yang terjadi pada entitas

dengan menunjukkan logika what if yang paling sesuai dengan entitas itu

sendiri. Sedangkan diagram aliran entitas ini hanya menjelaskan di mana

entitas singgah dari tempat satu ke tempat lainnya pada sebuah sistem.

Akan tetapi untuk sistem yang lebih kompleks, aliran entitas akan lebih

menyerupai flowchart.

6. Kembangkan deskripsi operasi

Setelah menggambarkan diagram aliran entitas pada sebuah sistem,

akan lebih baik jika ditambahkan dengan penjelasan lebih lanjut mengenai

waktu kedatangan entitas, waktu pendistribusian entitas dan sebagainya.

7. Buat asumsi

Peneliti membuat asumsi sebagai salah satu langkah dalam simulasi

dengan tujuan agar model yang terbentuk bisa lebih valid dibandingkan

dengan metode lain. Katsaliaki,dkk (2007) menyebutkan bahwa

banyaknya permintaan darah yang datang dari dokter mempunyai model

yang berbentuk Proses Poisson Nonhomogen. Oleh karena itu, penulis

mengasumsikan bahwa kedatangan permintaan darah di Bank Darah

RSUP Dr. Hasan Sadikin Bandung merupakan proses Poisson

(17)

Asumsi yang telah dibuat ini selanjutnya akan divalidasi dengan

menggunakan metode selain metode Goodness-of-it dan

Kolmogorov-Smirnov. Karena menurut Ross (2004:237), metode pendekatan ini lebih

efektif dibandingkan dengan dua metode lainnya. Metode pendekatan ini

didasarkan pada fakta bahwa rerata dan varians dari distribusi Poisson

sama ( .

Misalkan menotasikan banyaknya permintaan darah

yang datang di Bank Darah RSUP dr. Hasan Sadikin Bandung pada hari

ke- dan jika proses permintaan darah merupakan Proses Poisson

Non-Homogen maka jumlah banyaknya permintaan darah merupakan

variabel-variabel acak berdistribusi Poisson dengan rerata yang sama. Oleh sebab

itu, jika merupakan sebuah sampel dari distribusi Poisson, rerata

haruslah sama. Untuk itu, hipotesis yang diuji adalah

adalah variabel-variabel acak berdistribusi Poisson yang independen dengan rerata yang sama pada uji

̅

nilai -value untuk akan menjadi,

( { })

Hal tersebut dikarenakan nilai yang sangat kecil maupun sangat besar

akan tidak konsisten dengan

Di sini tidak memberikan gambaran jelas mengenai rerata dari

distribusi Poisson, oleh karenanya persamaan (3.4) tidak dapat langsung

(18)

28

yang diobservasi. Dengan menggunakan estimator ̅, dan jika nilai

̅ terobservasi adalah ̅ , nilai -value dapat dihampiri dengan

{ } { }

di mana didefinisikan oleh (3.3) dengan adalah

variabel-variabel acak berdistribusi Poisson dengan rerata . { } dan

{ } dapat dihampiri dengan simulasi. Maka, variabel-variabel acak berdistribusi Poisson dan rerata akan dibangkitkan dan nilai akan

dihitung. Dengan merupakan estimasi dari { } dan { } merupakan estimasi dari { }

Jika nilai -value nya kecil, maka akan ditolak. Sedangkan jika

sebaliknya, maka diterima yang berarti banyaknya permintaan darah

berdistribusi Poisson dan asumsi yang telah dibuat merupakan asumsi

yang dapat digunakan. Agar asumsi yang dibuat lebih valid, misalkan

waktu kedatangan permintaan darah pada hari adalah

Jika benar waktu kedatangan permintaan darah merupakan

proses Poisson Nonhomogen, maka hal tersebut dapat ditunjukkan dari

masing-masing himpunan waktu kedatangan permintaan darah yang

mana merupakan sampel dari distribusi yang sama. Dengan diterima,

maka semua himpunan dari merupakan variabel-variabel

acak berdistribusi identik dan independen.

Penjelasan di atas, dapat juga diuji dengan multisample rank test.

(19)

{ } { }

di mana merupakan variabel acak berdistribusi Chi kuadrat dengan

derajat kebebasan . Jika nilai -value nya tidak terlalu kecil, maka

asumsi dipenuhi.

8. Membangkitkan Bilangan Acak dengan Pembangkit Bilangan Acak

Misalkan adalah sebuah vektor acak yang

memiliki fungsi kepadatan peluang dan misalkan akan dihitung,

[ ] ∬ ∫

dengan adalah fungsi -dimensional.

(20)

30

Jelasnya, terdapat beberapa masalah tentang bagaiman membangkitkan

vektor-vktor acak yang mempunyai distribusi gabungan tertentu. Metode

simulasi memiliki kelebihan diantara metode kuantitatif lainnya seperti

survey, eksperimen yang mana memungkinkan untuk meniru perilaku acak

yang merupakan karakteristik sistem stokastik (Terzi dan Cavalieri, 2004:

4). Sebagai contohnya perilaku acak dalam sistem yang bersifat stokastik

adalah waktu kedatangan entitas ke dalam sistem, banyaknya entitas yang

diproses oleh sistem dan rerata waktu yang dibutuhkan untuk mengolah

entitas dalam sistem.

Adapun cara untuk meniru perilaku acak adalah dengan menggunakan

bilangan acak. Bilangan acak seperti yang dituturkan oleh Munir (2010)

yakni suatu bilangan yang tidak dapat diprediksi.

Bilangan acak ini merupakan bilangan unik, berdistribusi seragam

dengan nilai dan dibangkitkan oleh pembangkit bilangan acaknya (Harrel, dkk, 2004: 51).

Akan tetapi, perlu ditegaskan bahwa sebenarnya tidak ada komputasi

yang benar-benar menghasilkan deret bilangan acak secara sempurna.

Karena bisa saja, bilangan acak yang dibangkitkan merupakan

pengulangan dari yang sebelumnya. Oleh karena itu, pembangkit bilangan

acak yang demikian disebut dengan Pseudo-random number generator

(PRNG).

Adapun salah satu jenis pembangkit bilangan acak dalam metode

simulasi lain adalah Linear Congruential Generator (LCG). Pembangkit

bilangan acak kongruen linier (linear congruential generator atau LCG )

adalah PRNG yang berbentuk:

di mana,

= bilangan bulat acak ke-i dari deretnya

= bilangan acak sebelumnya

(21)

Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu = increment

diantara 0 dengan 1 yang dinotasikan dengan . Oleh karena itu, nilai

diperoleh dengan membagi oleh .

Contoh: Misalkan , , dan . Dengan demikian,

Sebuah bilangan bulat dipilih secara sebarang dengan interval

, . Bilangan bulat yang terpilih yakni

. Adapun bilangan-bilangan acak yang berhasil dibangkitkan dengan menggunakan metode LCG dapat dilihat pada tabel berikut ini:

Tabel 3.1

Bilangan Acak yang dibangkitkan dengan LCG

(22)

32

Dengan memperhatikan tabel 3.1, dapat dilihat bahwa bilangan acak

yang dihasilkan dengan menggunakan metode LCG, berulang pada . Hal tersebut dikarenakan adanya kendala komputasi. Tabel 3.1

menunjukkan bahwa metode LCG hanya akan membangkitkan deret

bilangan acak sebanyak 16 bilangan dan nilai bilangan acak berulang

kembali pada deret ke-17. Menurut Harrel, dkk (2004:53), disebutkan

bahwa nilai bilangan acak ke-16 ini merupakan panjang siklus pembangkit

bilangan acak. Yang untuk kasus di atas, panjang siklusnya dapat

dikatakan pendek. Hal tersebut dikarenakan nilai yang dihasilkan

pembangkit bilangan acak berulang pada deret ke-17. Sebagai contoh,

untuk menjalankan sebuah simulasi dengan satu kali percobaan ulangan,

setidaknya membutuhkan 1000 buah bilangan acak yang dibangkitkan.

Dan jika ingin melakukan lima buah percobaan ulangan tentu saja,

dibutuhkan 5000 bilangan acak yang dibangkitkan. Oleh karena itu, Harrel,

dkk (2004:53) menambahkan bahwa panjang maksimum siklus metode

(23)

LCG yang dapat dicapai adalah m. Oleh karena itu harus dipilih

secara baik dan benar. Adapun langkah-langkahnya adalah sebagai berikut:

1. Tetapkan , di mana merupakan bilangan bulat nonnegatif yang didasarkan pada banyaknya bit yang digunakan

komputer. Komputer biasanya menggunakan 32 bit per kata. Oleh

karena itu, .

2. dan harus memiliki faktor persekutuan terbesarnya 1.

3. , di mana merupakan sebuah bilangan bulat.

Pada dasarnya, terdapat dua macam LCG. Antara lain Mixed

Congruential Generator dan Mulplicative Congruential Generator. Mixed

Congruential Generator menggunakan . Sedangkan Multiplicative

Congruential Generator menggunakan . Dan pada umumnya, software komputer menggunakan Multiplicative Congruential Generator

dengan

.

Sebelumnya telah dijelaskan mengenai proses pembangkitan bilangan

acak yang berdistribusi seragam. Sedangkan metode untuk

membangkitkan random variates yang berasal dari distribusi selain

distribusi seragam akan dijelaskan seperti berikut ini.

Sebagai contohnya, waktu kedatangan mobil ke restauran yang

memiliki drive-thru diasumsikan berdistribusi eksponensial dan waktu

yang diperlukan pengendara untuk sampai di jendela drive thru dapat

diasumsikan berdistribusi log-normal. Nilai-nilai (random variates) dari

ditribusi-distribusi seperti ini biasanya diperoleh dengan cara

mentransformasikan random variates, yang terlebih dahulu dibangkitkan

dengan pembangkit bilangan acak yang sesuai dengan distribusi. Salah

satu metode umum yang digunakan dalam hal ini adalah metode invers.

(24)

34

Maka variabel acak akan memiliki disrribusi Dengan

didefinisikan sama dengan nilai untuk setiap (Ross, 2009:672).

Bukti 3.1:

Karena merupakan fungsi monoton, berlaku jika dan

hanya jika . Persamaan (3.3) menjadi:

a. Membangkitkan Bilangan Acak Distribusi Diskrit (Distribusi Poisson)

Pada bagian ini, akan dijelaskan langkah-langkah untuk

membangkitkan random variates yang diasumsikan mempunyai distribusi

Poisson. Adapun langkah-langkah tersebut adalah sebuah algoritma

sederhana yang mana algoritma ini digunakan juga oleh sebagian besar

software simulasi.

Langkah 1: bangkitkan bilangan acak �

Langkah 2: � , � � �, � �

Langkah 3: Jika � <�, tetapkan � � dan berhenti

Langkah 4: � ��

�+ � � � � �

(25)

b. Pembangkit Bilangan Acak Distribusi Kontinu (Distribusi Eksponensial)

Berikut akan dijelaskan mengenai metode untuk membangkitkan

random variates yang berasal dari distribusi selain distribusi seragam

. Sebagai contohnya, waktu kedatangan mobil ke restauran yang memiliki drive-thru diasumsikan berdistribusi eksponensial dan waktu

yang diperlukan pengendara untuk sampai di jendela drive thru dapat

diasumsikan berdistribusi log-normal. Nilai-nilai (random variates) dari

ditribusi-distribusi seperti ini biasanya diperoleh dengan cara

mentransformasikan random variates, yang terlebih dahulu dibangkitkan

dengan pembangkit bilangan acak yang sesuai dengan distribusi. Salah

satu metode umum yang digunakan dalam hal ini adalah metode invers.

(26)

36

Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu misalkan

( )

Random variates yang dihasilkan dari metode invers,

berdistribusi eksponensial dengan rerata (Harrel dkk, 2004:56).

Contoh 2: Misalkan ada tiga buah observasi dengan variabel-variabel acaknya berdistribusi Eksponensial dan memiliki rerata . Tiga buah

bilangan acak yang dibangkitkan antara lain , , dan

. Kemudian bilangan-bilangan acak tersebut ditransformasikan ke dalam bentuk random variates . Dengan demikian diperoleh:

,

Gambar 3.2 Grafik Penerapan Metode Invers untuk random variates dengan distribusi kontinu

(27)

Contoh 3: Pembangkit Bilangan Acak Distribusi Diskrit

Misalkan,

{

Dengan demikian, random variate memiliki tiga nilai

kemungkinan, antara lain ; ; dan

. Dengan diketahui nilai-nilai dan masing-masing diberikan dan Grafik fungsi distribusi

kumulatif nya dapat dilihat pada gambar 3.3 berikut ini:

Gambar 3.3 Grafik Penerapan Metode Invers untuk random variates dengan distribusi diskrit

(28)

38

Bilangan acak yang dibangkitkan haruslah independen, berdistribusi

seragam dengan nilai berdistribusi seragam dengan nilai Agar pembangkit bilangan acak dapat menghasilkan(membangkitkan) bilangan

dengan kriteria di atas, maka langkah-langkah yang harus dilakukan

adalah sebagai berikut:

a. membangkitkan barisan bilangan acak dengan

pembangkit bilangan acak

b. kemudian uji hipotesis, di mana:

nilai-nilai yang dihasilkan dari pembangkit bilangan acak bersifat independen

dengan uji-uji statistik yang digunakan adalah scatter plot, runs test.

c. uji hipotesis selanjutnya yang dilakukan adalah

nilai-nilai berdistribusi seragam (0,1)

nilai-nilai tidak berdistribusi seragam (0,1)

Uji statistik yang digunakan dalam hal ini adalah Kolmogorov-Smirnov

test, uji Chi-kuadrat.

c. Mensimulasikan Proses Poisson

Perhatikan sebuah proses Poisson dengan intensitas , di mana

dengan banyaknya kedatangan dalam interval-interval (tidak tumpang

tindih) adalah independen dan distribusi dari banyaknya kedatangan dalam

(29)

Misalkan jika waktu antar-kedatangan ke- yakni didefinisikan

sebagai interval di antara kedatangan ke- dan ke- dari proses

Poisson maka dapat dikatakan bahwa ini akan berdistribusi

.

Dari sini, sebuah Proses Poisson dapat disimulasikan hanya dengan

membangkitkan waktu-waktu antar kedatangan , yang mana .

Jika bilangan-bilangan acak dibangkitkan dan

ditetapkannya maka adalah interval di antara

kedatangan ke- dan ke- dari proses Poisson. Karena waktu

sebenarnya dari peristiwa ke- akan sama dengan penjumlahan j

waktu-waktu antar kedatangan yang pertama, maka nilai-nilai yang dibangkitkan

dari n waktu kejadian adalah

∑ Proses mensimulasikan unit-unit T waktu pertama dari Proses Poisson

sama halnya dengan membangkitkan waktu antar kedatangan, hanya saja

proses pembangkitan proses Poisson akan berhenti ketika waktu

kedatangan pertama dari proses Poisson yakni (3.4) melebihi T.

Algoritma berikut ini akan digunakan untuk membangkitkan semua

waktu-waktu dari peristiwa yang terjadi di pada proses Poisson yang mempunyai laju .

waktu

= banyaknya peristiwa yang terjadi pada

waktu peristiwa yang terakhir terjadi Langkah 1: ,

Langkah 2: bangkitkan bilangan acak

Langkah 3: , jika maka algoritma dihentikan

Langkah 4:

Langkah 5: kembali ke langkah 2

(30)

40

d. Mensimulasikan Proses Poisson Non Homogen

Langkah-langkah untuk membangkitkan proses Poisson

non-Homogen hampir sama dengan proses Poisson pada umumnya.

Misalkan, unit waktu dari Proses Poisson Non homogen yang

mempunyai fungsi laju/intensitas akan dibangkitkan. Hal pertama

yang dilakukan adalah dengan memilih nilai laju sehingga

untuk semua

Seperti yang telah dijelaskan sebelumnya, proses Poisson Non

Homogen bisa dibangkitkan dengan pemilihan waktu kejadian secara acak

yang memiliki laju

Dengan demikian, jika sebuah peristiwa dari Proses Poisson dengan

laju terjadi pada saat terhitung dan memiliki peluang , maka proses

dari peristiwa-peristiwa yang terhitung adalah proses Poisson nonhomogen

dengan laju . Singkatnya, proses Poisson nonhomogen

dapat dibangkitkan dengan terlebih dahulu membangkitkan proses Poisson

dan kemudian menghitung secara acak berapa banyak peristiwa yang

terjadi.

Langkah 4: bangkitkan kembali bilangan acak

Langkah 5: Jika maka Langkah 6: kembali ke langkah 2

Ross (2009:84).

(31)

Sampel data numerik yang telah dikumpulkan berupa waktu kegiatan,

interval kedatangan, jumlah batch, dan sebagainya dapat diwakili dalam

model simulasi dengan satu dari dua cara. Pertama, distribusi empiris

dapat digunakan yang mencirikan data. Metode kedua yang digunakan

adalah dengan memilih distribusi teoritis yang paling sesuai dengan data.

Uji kecocokan distribusi ini adalah proses trial (mencoba-coba) dan

error. Prosedur dasarnya terdiri dari tiga tahapan yaitu (1) satu atau lebih

distribusi dipilih sebagai salah satu kandidat untuk dijadikan distribusi

yang paling sesuai dengan data sampel, (2) hitung estimasi

parameter-parameter untuk setiap distribusi dan (3) kemudian, pengujian

goodness-of-fit dilakukan untuk mengetahui dengan pasti sejauh mana kesesuaian

distribusi dengan data yang ada.

Goodness-of-fit test dilakukan untuk menentukan kesesuaian distribusi

dengan data, Tes ini dilakukan jika sebuah distribusi beserta

parameter-parameternya telah didefiniskan. Harrel, dkk (2004:154) mengatakan

bahwa:

A goodness-of-fit test measures the deviation of the sample distribution from the inferred theoretical distribution.

Uji goodness-of-it akan memberikan gambaran tentang deviasi atau

penyimpangan data sampel dari distribusi teoritis yang ddduga. Uji

Goodness-of-fit yang sering digunakan adalah Uji Chi Kuadrat dan

Kolmogorov-Smirnov (see Breiman 1973; Banks et al. 2001; Law and

Kelton 2000; Stuart and Ord 1991).

10. Pengujian Hasil Simulasi

3.3 Model Simulasi

Model simulasi merupakan representasi dari output yang dihasilkan oleh

komputer tentang bagaimana perilaku dan interaksi elemen-elemen dalam sistem.

(32)

42

Verifikasi merupakan proses penentuan apakah model tersebut beroperasi

seperti yang dimaksudkan atau tidak (Harrel dkk, 2004:206). Selama proses

verifikasi, pembuat model mencoba untuk mendeteksi kesalahan atau error dalam

model data dan logikanya dan kemudian menghapusnya. Model yang telah

diverifikasi disebut dengan model bug-free. Kesalahan dalam pemodelan simulasi

dibagi menjadi dua macam, yakni:

1. Syntac error

Kesalahan jenis ini merupakan kesalahan yang disebabkan oleh penambahan

yang tidak disengaja, kesalahan atau penempatan lokasi yang menyebabkan

model tidak berjalan dengan baik.

2. Semantic error

Kesalahan ini merupakan jenis kesalahan yang berhubungan dengan maksud

atau tujuan dari si pembuat model.

Teknik verifikasi model telah banyak dikembangkan oleh para peneliti.

Berdasarkan kepada Law dan Kelton (2000), salah satunya adalah dengan

membandingkan rerata dan varians hasil simulasi dengan data historisnya.

3.5 Validitas model

Validitas merupakan proses dalam menentukan apakah model dapat

direpresentasikan seperti sistem nyata atau tidak (Hoover dan Perry, 1990).

Sedangkan menurut Law dan Kelton (2000) validitas merupakan proses dalam

menentukan apakah model simualsi merepresentasikan sistem secara akurat untuk

tujuan tertentu atau tidak. Model dikatakan valid jika model tersebut dibangun

berdasarkan informasi yang akurat dan diverifikasi seperti yang diharapkan

(Harrel dkk, 2000). Adapun beberapa teknik yang dapat digunakan dalam

validitas model adalah sebagai berikut:

1. Melihat animasi model

Animasi tentang bagaimana visual model bekerja dapat dibandingkan dengan

bagaimana sistem nyata berjalan dengan bantuan dari ahlinya.

(33)

Validitas dilakukan dengan membandingkan model simulasi dengan sistem

nyata dengan cara memberi input dan kondisi yang sama.

3. Membandingkan dengan model lain

Jika model valid lain telah dibentuk dari proses seperti dari teknik analytics

models, dan model simulasi valid lainnya, hasil simulasi dapat dibandingkan.

4. Memeriksa validitas

5. Menguji dengan data historis

Jika terdapat data historis operasi dan kinerja sistem, maka model dapat diuji

dengan menggunakan data historis kinerja sistem.

belum Mulai

Pengelompokan Data dengan Ms. Excel

Pengujian model dengan SPSS

Uji Verifikasi Model

(34)

44

Gambar 3.4 Skema Alur Penelitian dengan Simulasi untuk Analisis Sistem

(35)

5.1 Kesimpulan

1. Pelayanan Permintaan Darah selama sembilan hari di Bank Darah RSUP

Dr. Hasan Sadikin Bandung telah mampu dimodelkan dengan

menggunakan Matlab, di mana model permintaan darah merupakan proses

Poisson Nonhomogen. Selain itu, ukuran banyaknya permintaan darah

mengikuti distribusi Lognormal dengan rerata 4,5 unit kantong darah

untuk keperluan operasi (ICU, Bedah) dan 2 unit kantong darah untuk

keperluan rawat inap dan rawat jalan.

2. Dengan membandingkan hasil simulasi dengan data historis, dapat

dikatakan bahwa data permintaan darah hasil simulasi cukup

merepresentasikan data historis permintaan darah minggu kedua di Bulan

Juni 2014. Dengan demikian, Bank Darah RSUP Dr. Hasan Sadikin

Bandung dapat menggunakan hasil simulasi yaitu tingkat permintaan darah

tertinggi yang diperoleh sebagai salah satu referensi dalam hal

mengantisipasi banyaknya permintaan darah yang datang.

5.2 Saran

1. Bank Darah RSUP Dr. Hasan Sadikin dapat menggunakan hasil simulasi

sebagai salah satu referensi untuk mengantisipasi tingkat permintaan darah

sehingga pelayanan yang terbaik bisa terpenuhi.

2. Saran yang dapat penulis berikan untuk penelitian selanjutnya adalah

mempunyai kemampuan dalam menganalisis sistem dengan baik dan dapat

mengimplementasikannya dalam sebuah algortitma pemrograman di

(36)

mencari estimasi fungsi intensitas dari Proses Poisson Nonhomogen

(37)

Cohen, M.A., dan Pierskalla, W.P. (1974). Perishable Inventory Theory and Its Application to Blood Bank Management, National Center for Health Services Research and Development.

Cohen, M.A., dan Pierskalla, W.P. (1979). Simulation of Blood bank System, National Center for HealthServices Research and Development.

Cohen, M.A., dan Pierskalla, W.P. (1979). Target Inventory for a Hospital Blood Bank or Decentralized Regional Blood Banking System, Transfusion 9(4).

Depkes RI, 2008a. Pelatihan Cash Program Petugas Teknis Transfusi Darah Bagi Petugas UTDRS Modul 1.Jakarta: Departemen Kesehatan RI.

Depkes RI, 2008b. Pelatihan Cash Program Petugas Teknis Transfusi Darah Bagi Petugas UTDRS Modul 2.Jakarta: Departemen Kesehatan RI.

Harrel, C. Ghosh, B.K., dan Bowden, R.O. (2004). Simulation Using Promodel Second Edition. New York: McGraw-Hill.

Hoog, V. R dan Craig, A. T. (1978). Introduction to Mathematical Statistics. New York: Macmillan Publishing Co., Inc.

Hoog, V. R dan Craig, A. T. (2004). Introduction to Mathematical Statistics. China: Pearson Education Asia.

Herryanto, Nar. dan Gantini, Tuti. (2009). Pengantar Statistika Matematis.

Bandung: Yrama Widya.

Hoover, S. dan Perry, R. (1990). Simulation: A Problem Solving Approach. Reading-MA: Addison-Wesley.

Katsaliaki, K. dan Brailsford, S.C. (2007). Using simulation to improve the blood supply chain, Journal of Operational Research Society (2007) 5, hlm. 219-227.

Kurniawan, D (2008). Regresi Linear [Online]. Tersedia:

(38)

65

Law, M.A dan Kelton, D.W. (2004). Simulation Modeling and Analysis Third Edition. New York: McGraw-Hill.

Leemis, M.L. (1991). Nonparametric Estimation of the Cumulative Intensity Function for a Nonhomogeneous Poisson Process. Management Science, Vol. 37, No. 7. (Jul., 1991), hlm. 886-900.

Munir, Rinaldi. (2010) . Pembangkit Bilangan Acak Semu [Online]. Tersedia:

http://informatika.stei.itb.ac.id/~rinaldi.munir/Kriptografi/2010-2011/Pembangkit%20Bilangan%20Acak.ppt [26 Maret 2014]

Lelono Djati, Bonett Satya. (2007). Simulasi: Teori dan Aplikasinya. Yogjakarta: Penerbit Andi.

Pierskalla, W.P. (2004). Supply Chain Management Of Blood Banks. Operations Research And Health Care, hlm. 104-145.

Ross, M.S. (2004). Simulation: Fourth Edition. New York: Elsevier Academic Press.

Ross, M.S. (2009). Introduction to Probability Models. Massachusetts: Academic Press.

Terzi, S., dan Cavalieri, S. 2004, Simulation in the supply chain context: A survey, Compt Ind 53, hlm: 3-16.