Analisis Real
Johan Matheus Tuwankotta
1December 3, 2010
1
Departemen Matematika, FMIPA, Institut Teknologi Bandung, jl. Ganesha no. 10, Bandung, In-donesia. mailto:[email protected]
Daftar Isi
1 Sistem Bilangan Real: Pendahuluan 5
1.1 Himpunan . . . 5
1.2 Struktur aljabar . . . 7
1.3 Himpunan Terurut . . . 10
1.4 Perluasan lapangan . . . 11
1.5 Konstruksi Bilangan Real . . . 13
Bab 1
Topologi
Mathematics is not only real, but it is the only reality. That is that entire universe is made of matter, obviously. And matter is made of particles. It’s made of electrons and neutrons and protons. So the entire universe is made out of particles. Now what are the particles made out of? They’re not made out of anything. The only thing you can say about the reality of an electron is to cite its mathematical properties. So there’s a sense in which matter has completely dissolved and what is left is just a mathematical structure.
(Martin Gardner)
Konsep fungsi kontinu telah diperkenalkan melalui perkuliahan Kalkulus. Untuk mengingat lagi, suatu fungsi: f :R−→Rdikatakan kontinu dix=ajika berlaku:
∀ε >0,∃δ >0 sehingga|x−a|< δ=⇒ |f(x)−f(a)|< ε.
Definisi ini melibatkan | | yang terdefinisi dengan baik jika kita bekerja di R. Pertanyaannya
adalah, dapatkah kita memperumum definisi ini untuk fungsi dari ruang yang lain selainR. Jika Rdiganti dengan ruang Banach B (ruang Banach adalah ruang linear yang memiliki norm, dan lengkap). Konsep ini masih dapat bekerja dengan baik, bahkan jika B tidak lengkap. Hal ini dapat terjadi karena konsep kelengkapan tidak digunakan dalam definisi tersebut. Bagaimana jika kita tidak memiliki norm? Jika ruang kita masih memiliki metrik maka konsep kekontinuan fungsi masih dapat diperumum.
Bagaimana jika kita tidak memiliki metrik? Secara gampang, metrik mengukur jarak antara satu titik ke titik lain. Dengan demikian, kita dapat memiliki konsep ”lingkungan buka” (open neighborhood). Jika kita diberikan sebuah koleksi himpunan buka, sifat -sifat apa yang harus dipenuhi oleh koleksi tersebut? Ruang yang dilengkapi dengan koleksi ini disebut Ruang Topologi.
1.1
Himpunan dan fungsi
Definisi 1.1. Misalkan A dan B adalah dua buah himpunan sebarang. Pandang pengaitan:
f ⊂A×B, sedemikian sehingga anggota-anggota Amemiliki tepat satu pasangan di B. Secara matematis:
f ={(a, b)| jikaa1, a2∈A, f(a1) =f(a2)∈B}.
Himpunan
Df ={a∈A| adab∈B sehinggab=f(a)},
disebutdomain(daerah definisi) dari f. Himpunan
Rf ={b∈B|f(a) =b, untuk suatua∈A},
disebutrange (daerah nilai) darif.
6 BAB 1. TOPOLOGI
Secara umum, domain dari f tidak harus meliputi keseluruhan A, cukup hanya subset dari A. Contohnya adalah, fungsif(x) = 1
x. Meskipun daerah definisi darif tidak memuatx= 0, tetapi
kita tetap mengatakanf adalah fungsi dariRkeR.
Seringkali kita menuliskan sebuah fungsi sebagai pemetaan (sedangkan definisi kita fungsi lebih dipandang sebagai subset dariA×B), dan dituliskan sebagai:
f : A −→ B a 7−→ b=f(a).
Dalam keadaan lain, kita juga akan memandangf sebagai suatu unsur di ruang tertentu. Maka kita akan lebih melihatf sebagai vektor.
Definisi 1.2. Misalkan f :A−→B, danE⊂A. Maka:
f(E) ={y=f(x)|x∈A} ⊂B.
Misalkan pulaF ⊂B, maka
f−1(F) ={a∈A|f(a)∈F} ⊂A.
Perhatikan bahwaf−1 di sini bukanlah pemetaan invers, yaitu merupakan invers terhadap
kom-posisi fungsi:
f◦f−1(x) =f−1◦f(x) =x.
Pemetaan invers seperti ini tidak senantiasa terdefinisi dengan baik. f−1(F) adalah himpunan
prapeta dariF, yaitu himpunan yang memuat semua elemen diAyang dipetakan ke dalamF. Misalkan A dan B adalah dua buah himpunan. Pandang f : A −→ B dengan domain dari
f adalah seluruh A. Jika f(A) = B maka f dikatakan surjektif (pada). Jika a1 6= a2 di A,
mengakibatkan: f(a1)6=f(a2) makaf dikatakaninjektif (satu ke satu). f dikatakanbijektif
jikaf injektif dan surjektif.
Teorema 1.3. Misalkanf :A−→B,A◦⊂A, danB◦⊂B. Maka
1. f−1(f(A
◦))⊃A◦ dan kesamaan berlaku jika f injektif.
2. f f−1(B
◦)⊂B◦ dan kesamaan berlaku jika f surjektif.
Bukti. (1) Menurut definisi:
f−1(f(A◦)) ={a∈A|f(a)∈f(A◦)}.
Jadif−1(f(A
◦))⊃A◦. Di tahap ini kita tidak memerlukanf injektif.
Untuk membuktikan kebalikannya, ambila∈f−1(f(A
◦)). Maka adabdif(A◦) sehinggaf(a) = b. Tetapib∈f(A◦) berarti adaa◦∈A◦ sehinggaf(a◦) =b. Karenaf injektif makaa=a◦∈A◦.
Jadif−1(f(A
◦)) =A◦.
(2) Ambilb∈f f−1(B
◦). Maka adaa∈f−1(B◦) sehnggaf(a) =b. Karenaa∈f−1(B◦) maka f(a)∈B◦. Tetapif(a) =b. Jadi b∈B◦. Di tahap ini kita tidak memerlukanf surjektif.
Sebaliknya, ambil b ∈ B◦. Karena f surjektif, ada a ∈ f−1(B◦) sehingga f(a) = b. Tetapi a∈f−1(B
◦) berartif(a)∈f f−1(B◦).
MisalkanAdanB adalah dua buah himpunan sedemikian sehingga terdapatf :A−→Byang bijektif. MakaA danB dikatakan ”memiliki banyak anggota sama”. Dengan perkataan lain. A
danB memiliki Cardinalitas sama.
Definisi 1.4. MisalkanAadalah sebuah himpunan, danJn ={1,2, . . . , n} ⊂N. Jika kita dapat membuat bijeksi (pemetaan satu ke satu, dan pada) dariAkeJn, maka kita katakanAmemiliki Cardinalitasn.
1.1. HIMPUNAN DAN FUNGSI 7 Dalam hal A dan B memiliki Cardinalitas sama, kita katakan A ∼B. Dapat diperlihatkan bahwa∼mendefinisikan suatu relasi ekivalen:
1. A∼A.
2. A∼B makaB∼A, dan 3. A∼B danB∼Cmaka A∼C.
Definisi 1.5. Misalkan Aadalah sebuah himpunan.
1. A dikatakanberhinggajika CardinalitasAadalahn∈N.
2. Adikatakanterhitung jikaA∼N. Dalam hal ini himpunanAdikatakan memiliki
Cardi-nalitas ℵ◦.
3. A dikatakan tak tehitung jika A tidak hingga, dan A tidak terhitung. Dalam hal ini Cardinalitas dariAdikatakan ¸c.
1.1.1
Himpunan terhitung
Beberapa sifat dari himpunan terhitung adalah sebagai berikut.
Teorema 1.6. Setiap subset tak hinggaA dari himpunan terhitungB, terhitung. Bukti. KarenaB terhitung, maka ada g:N−→B yang bijektif. Definisikan pengaitan :
n1 = min{n∈N|g(n)∈A}.
n2 = min{n∈N|n > n1, g(n)∈A}.
.. .
nk = min{n∈N|n > nk−1, g(n)∈A}.
Pengaitanf(k) =g(nk) mendefinisikan bijeksif :N−→A.
Teorema 1.7. MisalkanEn,n= 1,2, . . .adalah himpunan-himpunan terhitung. Maka
E= ∞ [ 1 En, terhitung.
Bukti. Misalkan, untukk∈Ntetap, pandang bijeksi: fk :N−→Ek. Melalui bijeksi iniEk dapat
dipandang sebagai himpunan:
Ek ={fk(1), fk(2), . . . , fk(n), . . .}.
Pandang Es = {fk(n) | n, k ∈
N}, dimana fk(n) kita pandang sebagai simbol. Misalkan ada
x= fk(n) ∈ Ek dan x ∈ fl(m) ∈ El. Sebagai elemen dari E, tentu saja fk(n) = fl(m) tetapi sebagai simbol diEs,fk(n)6=fl(m). Definisikan pengaitan:
g: N −→ Es
1 7−→ f1(1)
(n−1)n
2 +k 7−→ fk(n−k+ 1), k= 1,2, . . . , n,1< n∈N. Sebagai ilustrasi: jikan= 2, maka
8 BAB 1. TOPOLOGI Jikan= 10, maka g 9·10 2 + 1 = g(45 + 1) = f1(10−1 + 1) = f1(10), g 9·10 2 + 2 = g(45 + 2) = f2(10−2 + 1) = f2(9), g 9 ·10 2 + 2 = g(45 + 3) = f3(10−3 + 1) = f3(8), .. . g 9·10 2 + 9 = g(45 + 9) = f9(10−9 + 1) = f9(2), g 9·10 2 + 10 = g(45 + 10) = f10(10−10 + 1) = f10(1),
Pengaitan ini adalah sebuah bijeksi dari N −→ Es. Karena E ⊂ Es (dalam arti E memiliki
Cardinalitas yang sama dengan suatu subset dariEs) makaE terhitung.
Teorema Akibat berikut dibuktikan dengan menggunakan induksi matematika pada n dan menerapkan Teorema??.
Teorema Akibat 1.8. MisalkanAterhitung. Produk Cartesius: A×A×. . .×A=An terhitung.
Contoh Himpunan Terhitung
Mari kita lihat beberapa contoh himpunan-himpunan yang terhitung. Teorema 1.9. Bilangan bulatZ terhitung.
Bukti. Definisikan fungsi: f :N−→Zsebagai berikut.
f(n) = n 2 jika ngenap −n−1 2 jika ngenap
f adalah sebuah bijeksi.
Teorema 1.10. Himpunan bilangan rasional Qterhitung. Bukti. Perhatikan bahwa
Q= p q p∈Z, q∈N, dengan (p, q) = 1 . Q⊂Z×N. JadiQterhitung. Bilangan Aljabar
Di Bab I kita telah mendiskusikan lapanganQ∗yang didapat dengan perluasan lapangan. Sekarang
kita ingin memberikan definisi yang lebih komputasional dari lapangan tersebut. Kita menuliskan
Q∗= ( x◦ n X 0 akx◦k = 0, untuk suatuak∈Q.k= 0,1, . . . , n ) .
Eksistensi dari polinomPn
0akx k ∈
1.1. HIMPUNAN DAN FUNGSI 9 Teorema 1.11. Polinom Minimal.
PandangQ∗/
Qsebagai perluasan lapangan danκ∈Q∗ adalah bilangan aljabar terhadapQ. Poli-nom minimal bagiκadalah polinom monik m(x)∈Q(x)sehingga m(κ) = 0. Syarat bahwam(x) polinom monik (polinom dengan koefisien pangkat tertinggi1, menjamin ketunggalan dari polinom tersebut. Ketunggalannya berarti: jika f(x) ∈ Q(x) dengan f(κ) = 0, maka ada q(x) ∈ Q(x), sehingga:
f(x) =m(x)q(x).
Teorema 1.12. Himpunan semua bilangan aljabar atasQterhitung.
Ambilx◦∈Q∗sebarang. Maka ada m(x)∈Q(x) sehingga:
m(x◦) =q0+q1x◦+q2x◦2+. . .+qn−1x◦n−1+x◦n,
denganqk ∈Q, k= 0,1,2, . . . , n−1. Maka, ada an∈Z(secara tunggal) sehingga:
anm(x) =a0+a1x+a2x2+. . .+anxn =p(x),
tetapi p(x) ∈ Z(x). Jelas, p(x) tak tereduksi (karena m(x) minimal di Q(x)). Tanpa mengu-rangi keumuman bukti, kita dapat memilih: a0 >0. Perhatikan bahwa setiap bilangan aljabar
memenuhi tepat satu polinom seperti itu.
Untuk setiap bilangan asliN= 2,3,4, . . ., hanya ada berhingga polinomP(x) yang memenuhi:
n+a0+|a1|+|a2|+. . .+|an|=N, n≥1.
Contohnya, jikaN = 4, kombinasi yang mungkin adalah:
n a0 a1 a2 a3 a4 −→ p(x) 1 2 1 0 0 0 −→ 2 +x 1 2 −1 0 0 0 −→ 2−x 1 1 2 0 0 0 −→ 1 + 2x 1 1 −2 0 0 0 −→ 1−2x 2 1 0 1 0 0 −→ 1 +x2 2 1 0 −1 0 0 −→ 1−x2
Seperti teknik pada pembuktian Teorema??, dapat dibuat bijeksi dariZ(x) keN. Hanya sebagian
dari polinom diZ(x) yang berkorespondensi satu ke satu dengan bilangan aljabar diQ∗. Misalkan
polinom 1−x2 tidak terkait dengan bilangan aljabar manapun karena tidak minimal.
Jadi, bijeksi yang kita definisikan telah membuat himpunan semua bilangan yang merupakan akar dari polinom monikP(x) =a0+a1x+. . .+anxn, dengan:
n+a0+|a1|+|a2|+. . .+|an|=N, n≥1,
untukN = 2,3,4, . . .. Jadi himpunan semua bilangan aljabar terhitung.
1.1.2
Himpunan Tak Terhitung
Definisikan: {0,1}ω sebagai himpunan yang memuat semua elemen-elemen yang berbentuk:
(x1, x2, . . . , xn, . . .), dengan xk ∈ {0,1}.
Jadi contoh elemen dari{0,1}ω adalah:
(0,1,0,0,0,1,1,0,1,0,1,0,0, . . .).
Misalkan: S adalah subset terhitung dari{0,1}ω, dan kita menyatakan elemen-elemen S ={s1, s2, s3, . . .}.
10 BAB 1. TOPOLOGI
Perhatikan bahwa elemen ke-n dari sk, kita tulis sebagai: sk(n). Kita akan membentuk suatu barisan baru yaitus∈ {0,1}ω dengan cara sebagai berikut.
s(i) =
( 1, jikas
i(i) = 0
0, jikasi(i) = 1
, untuki= 1,2,3, . . . .
Makas∈/ S, karena sekurang-kurangnya: untuk sebarangk∈N,sk(k)6=s(k). KarenaS adalah
sebarang subset yang terhitung dari{0,1}ω, maka{0,1}ωtidak mungkin terhitung.
Proses ini disebut diagonalisasi Cantor. Hasil ini memiliki konsekuensi yang luar biasa. Mis-alkans∈ {0,1}ω sebagai berikut:
s= (s(1), s(2), s(3), s(4), s(5), s(6), . . . , s(n), . . .).
Kita memadankansdengan bilangan:
s7−→ ∞ X 1 s(n) 1 2n. Misalkan s= (1,0,1,0, . . .)7−→1·1 2+ 0· 1 4 + 1· 1 8 = 5 8. Maka{0,1}ω disebut himpunan bilangan pecahan diadik.
{0,1}ω tidak mungkin subset dari
Q sebab Q terhitung, sedangkan {0,1}ω tidak terhitung.
Jelas{0,1}ω ⊂
R. Jadi,himpunan bilangan real R tidak terhitung. Karena R=Q∪Qc,
maka himpunan semua bilangan irasionalQc tidak terhitung.
Sekarang, perhatikan fungsi tangen: tan : −π 2, π 2 −→ R x 7−→ tanx ,
yang adalah fungsi satu ke satu. Maka interval −π 2,
π 2
juga tidak terhitung. Misalkan a danb
adalah dua bilangan real sebarang, dengana < b. Pandang fungsi:
f(x) = b−a
π x+ a+b
2 . Maka f adalah fungsi satu ke satu dari: −π
2, π 2
ke (a, b). Jadi, sebarang interval (a, b) ⊂ R,
tidak terhitung.
1.2
Topologi Metrik dan topologi urutan
Definisi 1.13. MisalkanX adalah sebuah himpunan yang elemen-elemennya disebut titik. Suatu fungsi: d: X×X −→ R (x, y) 7−→ d(x, y) sedemikian sehingga: 1. d(x, y)>0, jikax6=y dand(x, x) = 0. 2. d(x, y) =d(y, x), untuk setiap x, y∈X.
3. d(x, y) +d(y, z)≥d(x, z) untuk setiapx, y,danz∈X.
disebut fungsi jarak atau metrik di X. Himpunan X yang dilengkapi dengan metrik d, (x, d) disebut ruang metrik.
1.2. TOPOLOGI METRIK DAN TOPOLOGI URUTAN 11 Metrik pada bilangan real, Radalah:
d(x, y) =|x−y|.
JikaX =R2dengan koordinatx= (x1, x2), kita dapat memiliki metrik:
1. d1(x,y) =|x1−y1|+|x2−y2|, atau 2. d2(x,y) = p (x1−y1)2+ (x2−y2)2, atau 3. d∞(x,y) = max{|x1−y1|,|x2−y2|}, atau 4. dp(x,y) = (|x1−y1|p+|x2−y2|p) 1 p 0.4 1.0 −0.6 −0.4 x 0.5 0.0 0.8 0.6 −0.8 −1.0 −0.2 0.2 0.0 −1.0 1.0 −0.5 y
Gbr. 1.1: Contoh fungsi jarak di R2. Grafik dengan garis tegas adalah: d
1(x,0) = 1. Grafik
dengan garis putus-putus adalahd2(x,0) = 1, sedangkan dengan titik-titik adalah: d∞(x,0) = 1.
Garis tegas tipis menggambarkan: d1
2(x,0) = 1
Definisi 1.14. Misalkan x◦ sebarang titik di ruang metrik (X, d). Lingkungan buka dari x◦
berjari-jariεadalah:
Nε(x◦) ={x∈X |d(x, x◦)< ε}.
Perhatikan jikaX =R, dand(x, y) =|x−y|, maka
Nε(x◦) ={x∈R|x◦−ε < x < x◦+ε}= (x◦−ε, x◦+ε).
Jadi, lingkungan buka di sekitar titik x◦ dapat didefinisikan dengan baik, dengan metrik atau
tanpa metrik asalkan kita memiliki X yang terurut total. Jika Nε(x◦) terdefinisi dengan baik,
maka konsep-konsep berikut dapat didefinisikan dengan baik.
Definisi 1.15. Misalkan X suatu himpunan dengan pengertian Nε(x◦), untuk sebarang ε dan
12 BAB 1. TOPOLOGI
1. x◦ di sebut titik limit dariA ⊂X, jika untuk setiap ε >0, Nε(x◦)\{x◦} ∩A 6=∅. Jika
x◦∈Abukan titik limit, makax◦ adalah titik terisolasi.
2. x◦ disebut titik interior dariA⊂X jika ada ε >0 sedemikan sehinggaNε(x◦)⊂A.
3. x◦ disebut titik batas jika untuk setiapε >0,Nε(x◦)∩Ac 6=∅ danNε(x◦)∩A6=∅.
Definisi 1.16. MisalkanAadalah suatu himpunan bagian dari X.
1. A dikatakan himpunan buka jika setiap elemennya adalah titik dalam. 2. A◦dikatakan interior dariA, adalah himpunan titik-titik dalam dariA. 3. A dikatakan himpunan tutup jikaAc buka.
4. Aadalah pembuat tutup dari himpunanA, yaitu himpunan tutup terkecil yang memuatA. Secara matematis: misalkan B={B tutup|B ⊃A},
A= \
B∈B B.
5. A0 adalah himpunan semua titik limit dariA.
6. A dikatakan himpunan sempurna jika Atutup dan semua elemenA adalah titik limit dari
A.
7. A⊂X dikatakan padat diX jika, A=X.
Teorema 1.17. Misalkan A⊂X. A tutup jika dan hanya jikaA0⊂A.
Bukti. (=⇒) MisalkanAtutup. JikaA0=∅ makaA0⊂A. Jika A06=∅, misalkanx
◦∈A0. Maka
untuk setiapε >0,Nε(x◦)\{x◦} ∩A6=∅. Maka x◦∈/ Ac sebabAc buka. Jadix◦∈A.
(⇐=) MisalkanA0 ⊂A. Misalkanx◦∈Ac. Jika setiapε >0,Nε(x◦)\{x◦}∩A=6 ∅makax◦∈A0⊂ A: kontradiksi denganx◦∈Ac. Jadi haruslah berlaku adaε◦>0 sehinggaNε◦(x◦)\{x◦} ∩A=∅. MakaNε◦(x◦)∩A=∅. JadiNε◦(x◦)⊂A
c. Ini berartiAc buka. JadiAtutup.
Teorema 1.18. Misalkan A danB himpunan bagian dariX. Maka: (A∪B)0 =A0∪B0. Bukti. Misalkanx◦∈(A∪B)0. Maka untuk setiapε >0,Nε(x◦)\{x◦} ∩(A∪B)6=∅. Jadi
(Nε(x◦)\{x◦} ∩A)∪(Nε(x◦)\{x◦} ∩B)6=∅.
Jadix◦∈A0∪B0.
Misalkanx◦∈A0∪B0, makax◦∈A0ataux◦∈B0. Maka untuk setiapε >0,Nε(x◦)\{x◦}∩A6=∅ atauε >0,Nε(x◦)\{x◦} ∩B 6=∅. Jadiε >0,Nε(x◦)\{x◦} ∩(A∪B)6=∅.
Teorema Akibat 1.19. Misalkan A⊂X. MakaA=A0∪A.
Bukti. A0∪A tutup (sebab (A0∪A)0 ⊂A0∪A). Maka A⊂A0∪A. Kebalikannya, jelasA⊂A. KarenaA0adalah himpunan titik limit dariA, maka jikaBtutup danB⊃A, makaB⊂A0. Jadi
A0 ⊂A. JadiA∪A0⊂A.
Teorema 1.20. Himpunan A ⊂ X dikatakan padat di X jika untuk setiap elemen b ∈ X dan
ε >0 terdapata∈A sehinggad(a, b)< ε.
Bukti. Ambilb∈X sebarang danε >0 sebarang. KarenaA=X maka untuk setiapNε(b)\{b} ∩ A6=∅. Piliha∈Nε(b)\{b} ∩A, makad(a, b)< ε.
1.3. RUANG TOPOLOGI 13
1.3
Ruang Topologi
MisalkanX adalah ruang metrik (atau ruang terurut total) sehingga pengertianNε(x) terdefinisi dengan baik, untuk sebarangε >0 dan sebarangx∈X. Maka
X ={A⊂X|Abuka}
disebut topologi bagiX. (X,X) disebutruang Topologi. Teorema 1.21. Sifat-sifat berikut dipenuhi olehX.
1. ∅ ∈ X danX ∈ X.
2. MisalkanA ⊂ X. Maka:
[
A∈A A∈ X.
3. Untuk setiapn∈N tetap,
n
\
1
Ak ∈ X, jikaAk ∈ X.
Bukti. (1) JelasX memuat semua titik limitnya. Jadi X tutup. Maka∅ =Xc buka. Karena ∅
tidak memiliki titik limit, maka∅memuat semua titik limitnya. Jadi∅tutup. MakaX =∅cbuka.
Jadi baik∅ maupunX ada diX. (2) MisalkanA ⊂ X. Ambil
x∈ [
A∈A A.
Makax∈Auntuk suatuA◦∈ A. KarenaA◦ buka, maka pilihε >0 sehingga: Nε(x)⊂A◦. Jadi
Nε(x)∈ [ A∈A A. Jadi: [ A∈A A∈ X. (3) Misalkan{A1, A2, . . . , An} ⊂ X. Ambil: x∈ n \ 1 Ak,
maka x∈ Ak, k= 1,2, . . . , n. Pilih εk >0 sedemikian sehingga: Nεk(x)⊂Ak, k= 1,2, . . . , n.
Definisikan: ε= min{εk|k= 1,2, . . . , n}. Maka Nε(x)⊂Nεk⊂Ak, k= 1,2, . . . , n. Jadi n \ 1 Ak ∈ X.
Perhatikan bahwa dalam bukti Teorema??tidak digunakan metrik ataupun urutan. Jadi sifat-sifat di atas dipenuhi secara umum oleh topologi yang dibangun oleh metrik maupun topologi yang dibangun oleh relasi urutan.
14 BAB 1. TOPOLOGI
Definisi 1.22. Ruang Topologi Umum.
Misalkan X adalah sebuah himpunan dan X adalah koleksi subset dariX yang memenuhi sifat berikut.
1. ∅ ∈ X danX ∈ X.
2. Gabungan himpunan-himpunan dari sebarang subkoleksi dariX berada di dalamX. 3. Gabungan berhingga dari himpunan-himpunan diX berada diX.
Maka pasangan (X,X) disebut Ruang Topologidan anggota-anggotaX disebut: himpunan buka.
1.4
Himpunan Kompak
Definisi 1.23. Misalkan X adalah ruang metrik (atau ruang topologi umum). Maka G = {Gα|Gαbuka}disebutselimut (cover)bagi A⊂X jika
A⊂[
α Gα.
Definisi 1.24. Suatu subset A dari ruang metrik X dikatakan kompak jika setiap selimut G senantiasa dapat direduksi menjadi berhingga. Ini berarti: misalkanG={Gα|Gα buka}adalah selimut bagiA maka ada: αj, j= 1,2, . . . , nsehingga:
A⊂Gα1∪Gα2∪. . .∪Gαn.
Setiap himpunan hingga kompak. Hal ini dapat diperlihatkan dengan mudah. Misalkan himpunan tersebut adalah: A={x1, x2, x3, . . . , xn}dan ambilG={Gα|Gαbuka}adalah sebarang selimut
bagiA. Pilih: αj, j= 1,2, . . . , nsedemikian sehingga: xj ∈Gαj. Maka
A⊂Gα1∪Gα2∪. . .∪Gαn.
JadiAhimpunan kompak.
Misalkan A ⊂ X ⊂ Y. Jika A adalah himpunan buka relatif terhadap X, maka secara umum
Atidak harus buka secara relatif terhadapY. Contohnya adalah:
A= (0,1], X= (−1,1], danY = (0,2).
A buka secara relatif terhadap X tetapi terhadap Y, A tidak buka. Hal ini tidak dapat terjadi dalam himpunan kompak.
Teorema 1.25. Misalkan A⊂X ⊂Y. Maka A kompak relatif terhadapX jika dan hanya jika
A kompak relatif terhadapY.
Bukti. Misalkan A kompak relatif terhadap X. Ambil H={Hα | Hαbuka relatif terhadapY}
sebarang selimut buka bagi A. MakaG ={Gα=Hα∩X} adalah selimut buka relatif terhadap X bagiA. KarenaAkompak, relatif terhadapX maka ada:
αj, j= 1,2, . . . , nsehinggaGα1∩. . .∩Gαn⊃A.
Karena: Hαj ⊃Gαj untuk j= 1,2, . . . , nmaka
1.4. HIMPUNAN KOMPAK 15 JadiAkompak relatif terhadapY.
Sebaliknya, misalkanAkompak relatif terhadapY. AmbilG={Gα|Gα buka relatif terhadapX}
sebarang selimut buka bagi A. Pilih: Hα himpunan buka di Y sehingga: Gα =Hα∩X untuk
sebarangα. Maka
H={Hα},
adalah sebuah selimut buka bagiAdiY. KarenaAkompak relatif terhadapY maka adaαj, j= 1,2, . . . , nsehingga
A⊂Hα1∪. . .∪Hαn= (Gα1∪. . .∪Gαn)∩X.
KarenaA⊂X maka
A⊂Gα1∪. . .∪Gαn.
JadiAkompak relatif terhadapX. Teorema 1.26. (Heine-Borel)
Daftar Pustaka
[1] Rudin, W., Principles of Mathematical Analysis, McGraw-Hill Book co., Singapore, 1976. [2] Herstein, I.N., Topics in Algebra, 2nd ed., John Wiley & Sons, 1975, New York etc.
[3] Hilbert, DavidUber die Transcendenz der Zahlen e und¨ π, Mathematische Annalen 43:216219 (1893).
[4] Kempner, Aubrey J. ,On Transcendental Numbers. Transactions of the American Mathemat-ical Society (American MathematMathemat-ical Society) 17 (4): 476482, (October 1916).
[5] J. Liouville, Sur des classes tr`es ´etendues de quantit´es dont la valeur n’est ni alg´ebrique, ni m˙eme r˙eductible ˆa des irrationnelles alg˙ebriques, J. Math. Pures et Appl. 18, 883-885, and 910-911, (1844).
[6] Niven, I., A simple proof of the irrationality of π, Bulletin of the American Mathematical Society, vol. 53 (1947), pp. 509.
