Perhitungan Premi dengan Asumsi Waktu Antar Klaim Berdistribusi Eksponensial

(1)

15

Perhitungan Premi dengan Asumsi Waktu Antar Klaim Berdistribusi Eksponensial Faihatuz Zuhairoh

Jurusan Pendidikan Matematika, STKIP, YPUP Makassar

Info:

Jurnal MSA Vol. 2 No. 1 Edisi: Januari – Juni 2014 Artikel No.: 3

Halaman: 15 - 22 ISSN: 2355-083X

Prodi Matematika UINAM

ABSTRAK

In this paper, will searched how the insurance premium calculation equations assuming exponential distribution of time between the claim and the amount of claims Beta distribution. To obtain or seek the distribution of sum claims, first known form of the distribution of Ti. Because Ti

valuable and continuous positive, meaning it can be assumed that the distribution of Ti is continuous and non-negative. In this paper, it is

assumed that the Ti distribution is exponential. The function of the amount of the premium that is obtained by assuming an exponential and the amount

of the claim is the Beta distribution is



1 



 t

 

 

  _ 

 

Key words: exponential distribution, Beta distribution, damn premi

1. PENDAHULUAN

Dalam suatu perusahaan asuransi dikenal fungsi klaim yang merupakan alat untuk memenuhi perjanjian kontrak untuk memberikan perlindungan finansial pada saat peserta asuransi mengalami kerugian/loss. Administrasi klaim adalah proses dari: mengumpulkan bukti atau fakta yang berkaitan dengan kesakitan atau cidera, membandingkan fakta-fakta itu dengan kontrak asuransi, menentukan keuntungan yang dibayarkan kepada peserta asuransi.

Tujuan pertama dari administrasi klaim adalah untuk membayar semua klaim yang valid dan sesuai dengan segera, bijaksana dan sesuai polis. Tujuan kedua adalah untuk mengampulkan data dan membuat data dari klaim yang ada untuk perhitungan keuangan, statistik, analisis dan tujuan-tujuan penelitian (Nadjib, 2000).

Suatu perusahaan asuransi harus mampu menghitung perkiraan klaim yang akan terjadi, sehingga dapat menentukan berapa besarnya premi yang harus dibayarkan oleh peserta asuransi. Untuk mengetahui proses jumlahan klaim ada beberapa distribusi yang dapat digunakan sebagai asumsi awal, yaitu eksponensial, gamma, chi-square dan lain-lain.

Dalam penelitian ini, akan dicari bagaimana persamaan perhitungan premi asuransi dengan asumsi waktu antar klaim berdistribusi Eksponensial dan jumlah besaran klaim berdistribusi Beta.

Untuk memperoleh atau mencari distribusi dari jumlahan klaim, terlebih dahulu diketahui bentuk distribusi dari Ti. Karena Ti berharga positif dan

kontinu, berarti dapat diasumsikan bahwa Ti

berdistribusi kontinu dan non-negatif. Ada beberapa distribusi kontinu non-negatif yaitu, exponensial, gamma, double-exponential, weibull, pareto, log-normal, chi-square, beta, rayleigh, dan lain-lain. Namun pada bagian ini, diasumsikan bahwa Ti berdistribusi

Eksponensial.

Misalkan c_i adalah waktu klaim ke-i, dengan

0 0

c  . Variabel random T_i adalah waktu antar peristiwa di antara klaim yang sukses. Dengan demikian T_i merupakan interval waktu antara klaim ke-(i–1) dan ke-i, yang dinyatakan dengan

1.

i i i

T  c c

Rangkaian kedatangan klaim asuransi dapat diilustrasikan seperti gambar berikut ini

(2)

16

1.

Proses Jumlah Klaim (Claim Number Processes) Jumlah klaim bergantung waktu t dinotasikan dengan N t

 

, di mana N t( )sup{ :n c_k t}. Proses jumlah klaim adalah himpunan semua jumlah klaim berdasarkan waktu klaim, dinotasikan dengan



N t

 

,t0



dimana

 



N t







ck  t ck1



, (Rolski, T., 1999: 2).

Proses jumlah klaim



N t

 

,t0



sering disebut juga sebagai proses counting, artinya untuk setiap t dan h0,



N t

 

,t0



memenuhi 3 sifat yaituN t

 

0, N t

 

N, dan

 





N t N th dengan N t



 h



N t

 

sama dengan jumlah kejadian yang terjadi pada interval



t t, h



(Rolski, T., 1999: 2).

Pada bagian ini akan ditunjukkan bentuk distribusi dari N t

 

.

 



 



1 1 1 P P k k k i i i i p t N t k T t T         _   _ 



 (Rolski, T., 1999: 3)

Untuk memperoleh atau mencari distribusi dari

 

N t , terlebih dahulu diketahui bentuk distribusi dari Ti. Karena Ti berharga positif dan kontinu,

berarti dapat diasumsikan bahwa Ti berdistribusi

kontinu dan non-negatif. Pada bagian ini, diasumsikan bahwa Ti berdistribusi

Eksponensial.

Distribusi Eksponensial

Didefinisikan bahwa :

( ) sup{ : _k }

N t  n c t , yaitu banyaknya klaim yang masuk sampai waktu ke t.

1 2 1 ... k k i k i W T T T T  



    , yaitu waktu penantian sampai dengan klaim ke n terjadi. Misal Ti independen dan berdistribusi identik

yang berbentuk eksponensial dengan parameter , yaitu T_i ~EXP

 



Misalkan T_i x

maka PDF (Probability Density Function) dari Ti

adalah f x

 

ex(Ross, S. M., 2007: 36). Mencari MGF (Moment Generating Function) dari Distrbusi Eksponensial.

 

0 0 x f x dx e  dx    



Sehingga dihasilkan

 

_

_













0 0 0 0 ; mis 1 1 ; 1 tx tx x x x t u u M t E e e e dx e dx u x t du t dx e du dx du t t e du t                     _{ }            



= 0 T1 T2 T3 T4 T k-1 Tk … Wk c0 c1 c2 c3 c4 … c7 c8 c9 … …

(3)

17









 

0 0 0 1 1 u e e e t t t t t            _    _{ }             Jadi diperoleh

 

1 1 1 x M t t _t       _

Karena Ti x maka diperoleh MGF dari

distribusi eksponensial adalah

  1 1 1 i T M t t   

Berikut ini akan ditunjukkan distribusi dari N t

 

Misal 1 k k i i W T 





adalah rangkaian waktu klaim sampai pada saat ke-k.

Sifat terpenting dari fungsi pembangkit momen yaitu bahwa fungsi pembangkit momen dengan jumlahan variabel random bebas merupakan hasil kali dari setiap fungsi pembangkit momennya, (Ross, S. M., 2007: 68).

Untuk membuktikannya, andaikan bahwa X dan Y saling bebas dan mempunyai fungsi pembangkit momen berturut-turut _X

 

t dan

 

Y t

 . Maka fungsi pembangkit momen dari

 

X Y t  _ adalah

 

   

t X Y tX tY X Y tX tY X Y t E e E e E e E e t t                     

Akan dicari distribusi Wk dengan menggunakan

MGF dari Ti, dimana Ti saling bebas.

 

1 1 k i i k k i i t T W T M t M t E e    _         _ _

 

1 1 i i k k tT tT i i E e E e     _ _  _ _ _ _ 







1 1 1 1 1 1 1 k k i _t _t             _ _{ } _          



Dengan demikian Wk berdistribusi Gamma, yaitu

1 ~ GAM , k W k       

Distribusi Gamma dengan parameter



 ,



 

1 1 , 0 0, 0 0 0 x x e x g x x    _ _            _  Dimana

 

1 0 y y e dy      



(Roussas, G. G., 1997: 67).

Sehingga Wk yang berdistribusi Gamma dengan

parameter k,1        mempunyai PDF

 

1 1 1 , 0 1 x k k g x x e x k          _{ }   . Sehingga

CDF dari distribusi tersebut adalah

 





 

0 1 1 0 1 1 k t W k x t k k F t P W t g x dx x e dx k            _{ }  



Dengan demikian kejadian



N t

 

k



sama dengan kejadian



W_k t



. Karena F fungsi _N distribusi untuk N t dan

 

k

W

F t fungsi distribusi untuk W , sehingga terdapat hubungan k

antara kedua fungsi distribusi tersebut.

 









1 k W k k F t P W t P W t     

 





1 P N t k   

(4)

18

 





1 P N t k 1    





1 F_N k 1   

Secara ekuivalen, dapat dibuat

 

1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 k N W x t k k x x t k k k k x k k t x k k t F k F t x e dx k x e dx x e dx k k x e dx k x e dx k                                  _{ }        _{ }  _{ }          _{ }      _{ }



Dimana

 

1 0 k y k y e dy     

_

 

1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 x k k x k k f x dx x e dx k x e dx k                 _{ }       _{ }  







1 misal , , , 0, 1 x y y x dx dy y       _ _ _ _ _     

 

1 0 1 1 1 k y k y e dy k          _{ }      _{ }  



 

1 1 0 1 1 1 k k y k y e dy k                  _{ }  



 

_{ }

 

1 0 1 1 1 k k y k k k y e dy k k           _          _{ }  



Jadi diperoleh





 

1 1 1 1 1 x k N k t F k x e dx k           _{ }  



misal 1 x y dy dx    

denga batas x  t y t dan x    y Untuk 

  

k  k1 !



Sehingga diperoleh





 









1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ! 1 1 ! k y N k t k k y k t k y t y F k e dy k y e dy k y e dy k                        _{ }      _{ }             _{ }    



Terlebih dahulu diselesaikan k 1 y

t y e dy    



Hasil pengintegralan akan dimasukkan ke dalam persamaan F_N



n1



sebagai berikut.

(5)

19



_{  }





 



 





 

1 1 2 3 1 1 1 ! 1 1 1 ! 1 2 ... 1 k y N t k k t k F k y e dy k t k t e k k k t                 _ _     _ _  _ _ _ _{ }    



 







 



 





 









1 2 3 0 1 0 1 ! 2 ! 3 ! 0! ! dengan , 1 , 2 ,..., 1 k k t t k t t m t k m e t e t k k e t e t k e t m m k k k k k k k                                    



Sehingga

 



 



























1 1 1 1 1 1 1 k k k k k i i i i k k k k k k P t P N t k P c t c P T t T P W t W P t W P t W P W t P W t                _   _             























 











 



 





1 1 1 1 1 1 1 1 1 k k k k k k W W N N N N P W t P W t P W t P W t F t F t F k F k F k F k                       

 

1

 

0 ! 0 ! m m t t k k m m e t e t m m  _  _  _    







 





 





 





 





 

1 1 1 1 1 1 1 1 1! 1 ! ! 1! 1 ! ! 1! 1 ! 1! 1 ! 0,1, 2,... ! k k t t t k t t k k t t t k t t k t e t e t e t k k e t e t k e t e t e t k k e t e t k e t k k                                        _    _      _   _       _   _      _   _     

Jadi N t

 

berdistribusi Poisson, ditulis sebagai berikut

 

~

 

N t POI t

Jumlah Besaran Klaim (The Aggregate Claim Amount)

Untuk menentukan kumpulan jumlahan klaim dalam waktu t digunakan persamaan

 

1 N t

i i

X t 



_ U yang mempunyai fungsi distribusi  

 



 



  1 P P N t i X t i F x X t x U x       __  __ 



 (Rolski, T., 1999: 8). Akan ditentukan nilai

( ) 1 ( ) N t i i X t U  



, jika , i

U U i dengan Distribusi Beta.

Akan dicari distribusi dari jumlah besaran klaim kumulatif



X t

 



atau Distribution of Aggregate Claim Amount, sampai dengan waktu t. Akan digunakan Distribusi Beta dengan PDF

 

   









1 1 1 0 1 0 lainnya >0, >0 x x x f x                   _    (Roussas, G. G., 1997: 70).

(6)

20

Jika Ui berdistribusi Beta, maka PDF nya adalah

 

_{   }





₁





1 1 0 1 f u   u u  u             ,

Dengan MGF dari Distribusi Beta adalah

 

1 1 0 1 ! i k k U k r r t M t r k             _ _    

 

.

Cara mendapatkan MGF (Moment Generating Function) nya sebagai berikut.

 

_{   }





1





1 0 0 1 f u du   u u  du            



Alasan menuliskan fungsi kepadatan peluang adalah karena fungsi kepadatan peluang digunakan pada semua momen dari suatu distribusi. Ekspansi barisan dari tX

e adalah 2 2 3 3 1 ... 2! 3! tX t X t X e  tX    Sehingga

 

2 2 3 3 1 1 ... 2! 3! tX X t m t m M t E e  tm    Dimana m adalah momen ke i. ₁

Sehingga dihasilkan

 

i tu U M t   E e 





     





     





     

1 1 0 2 2 3 3 1 1 0 2 3 1 1 2 3 1 0 1 1 1 ... 1 2! 3! 1 ... 1 2! 3! tu e u u du t u t u tu u u du t m t m tm u u du                                        _     _{  }         _    _{  }   



2 3 2 3 1 1 ... 2! 3! t m t m tm    _    _   1 1 0 1 1 0 1 dimana ! 1 ! k k k k k r k k k r t r m m k r r t r k                     _ _ _ _                _{ }      





 

dimana 1 0 k k r r m r           _{ }  



 Diketahui X t

 





_iN t_ ₁ U_i, sehingga  

 

( ) 1 1 ( ) 1 1 1 1 1 0 1 ! N t k i i k i i i i i X t N t k U t U k tU i k tU i k U i k k k k r M t M t E e E e E e M t r t r k                  _            _ _    _ _        _ _ _ _      



 

Distribusi X t tidak diketahui.

 

Mixed Poisson Processes

Pada distribusi jumlah klaim akan dicari distribusi N t

 

sedangkan pada mixed poisson processse akan dicari distribusi dari

 



 



 

0 P ! k t k e t p t N t k dF k  _       

_

dimana F_

 

 P



 



adalah fungsi distribusi dari mixed random variable (Rolski, T., 1999: 4).

Dengan F_( ) P( ) adalah fungsi distribusi dari mixed random variable.

(7)

21 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) F P f d dF f d                



( Ross, S., M., 2007: 34)

Akan digunakan Distribusi Gamma seperti yang telah di kerjakan oleh Ammeter (1948).

Jika F_ berdistribusi Gamma dengan parameter m dan  maka diperoleh.

 

1

_{ }

0 e f            _  (Ross, S., M., 2007: 343) Dengan m dan  

 

_{ }

  



 





1 1 1 ! 0 1 ! m m F e m e m                        Maka diperoleh

 



 



 

_{ }

 

_{ }

 





   

 









1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 P ! 1 ! ! 1 ! ! 1 ! 1 ! 1 ! ! 1 ! k m t k k m t m m k t k m k m m k t k m e t p t N t k e d k m e t e d k m t e d k m t t k m t e d k m k m t                  _ _                                            



Karena





 









1 1 ! k m t t t e k m              adalah

fungsi densitas dari Distribusi Gamma dengan parameter



km t, 



dimana hasil pengintegralannya sama dengan 1.

Sehingga dihasilkan

 



 









 









 



P 1 ! ! 1 ! 1 ! ! 1 ! 1 k m k k m m k k m m k p t N t k t k m k m t k m t k m t k m t k t t                               _ _  _{ } _ _  

Fungsi Besar Premi

Dari hasil persamaan di atas, diketahui bahwa

 

N t berdistribusi Poisson N t

 

POI

 

t Untuk Distribusi Poisson f x

 

exdengan parameter

 

 maka diperoleh E x

 

 (Roussas, G. G., 1997: 115).

Sehingga untuk N t yang berdistribusi

 

Poisson dengan parameter

 

t maka

 





E N t t

DiketahuiU berdistribusi Beta maka diperoleh i

 

E U      , dan

 

2

_

_



1



_

1 E U            ,

Fungsi besar premi dapat dicari dengan persamaan



  

t  1 



E N t



 



E U

 

(Rolski, T., 1999: 11)

Jadi Fungsi Besar Premi yang diperoleh adalah

  





 



 



 





1 1 1 t E N t E U t t                  _ _         _   



(8)

22

2. Daftar Pustaka

Anonim. 2010. Beta Distribution. http://en.wikipedia.org/wiki/Beta_distributi on. Tanggal Akses 23 Maret 2010.

Anonim. 2010. Moment-generating Function. http://en.wikipedia.org/wiki/Moment-generating Function . Tanggal Akses 23 Maret 2010.

Nadjib, M. 2000. Dasar-dasar Asuransi Kesehatan (Bagian B). Pusat Kajian Ekonomi Kesehatan FKM UI dan PT (Persero) Asuransi Kesehatan Indonesia.

Roussas, G., G. 1997. A Course in Mathematical Statistics, 2nd Edition. Academic Press. Rolski, T. dkk. 1999. Stochastic Processes for

Insurance and Finance. John Wiley & Sons Ltd.

Ross, S., M. 2007. Introduction to Probability Model, 9th_{Edition, Elsevier Inc}