Matriks Massa Neutrino Berat dari Model Seesaw

JURNAL FISlKA DAN APLIKASINYA VOLUME 2, NOMOR 2 JULI 2006

Matriks Massa Neutrino Berat dari Model Seesaw

Agus Purwanto·

Laboratorium FISiko Teori dan Pilsa/at Alam (LaF1lFA), Jurusan FISiko, FMIPA, Institut Teknologi Sepuluh Nopember.

Kampus ITS Sukolllo, Surabaya 60111

Intisari

Dengan asumsi simetri lepton-quark dan menggunakan data ekspbrimen osilasi neutrino, struktur matriks Massa neutrino berat dikaji dalam beberapa kasus. Hasilnya adalah dua bentuk dominant Pertama, bentuk diagonal yang terkait dengan skala unifikasi dan di atasnya Kedua, bentuk off-diagonal yang terkait dengan skala antara.

KATA KUNCI: osilasi neutrino, matrik bauran dan model seesaw

1. PENDAHULUAN

Di dalam Model Standar (MS) neutrino tidak bermassa karena neutrino hanya muneul dengan ebiralitas kiri (left- banded) VL sehingga suku massa Dirac tidak dapat dibangun.

Selain itu, suku massa Majorana bagi VL tidak dapat diban- gun hanya dengan satu doublet Higgs QJ setelah perusakan si- metri spontan. Tetapi eksperimen-eksperimen SuperKamio- kande, K2K, SNO dan KamLAND [1] memberi bukti kuat bahwa neutrino bermassa meskipun sangat kecil. Dengan de- mikian perluasan terhadap MS perlu dilakukan untuk menam- pung kehadiran massa neutrino tersebut.

Mekanisme seesaw [2] merupakan mekanisme paling po- puler untuk membangkitkan massa keeil neutrino yakni den- gan menambahkan neutrino singlet ehiralitas kanan (right- handed) mas if VR ke dalam MS sektor lepton. Penambahan neutrino kanan ini memberi massa Dirac M D bagi neutrino dengan mekanisme yang sama dengan sektor quark. Dengan demikian kita harapkan massa MD mempunyai orde yang sa- ma dengan massa fermion lainnya.

Selain itu, penambahan VR juga memungkinkan kita mem- punyai suku massa Majorana, MN yaitu ~iJRMNv'k dan ni- lainya tidak dibatasi oleh grup gauge dari MS. Artinya, kita mempunyai skala massa barn bagi teori diperluas yakni model seesaw ini. Inilah masalah pokok yang perlu difahami apakah skala barn ini terkait dengan fisika barn yakni grup gauge yang lebih besar dan pada energi berapa hal ini terjadi.

Massa masifneutrino kanan MN memberi massa keeil neu- trino Mv melalui mekanisme seesaw

(1)

Massa efektifneutrino Mv ini dapat ditentukan dari data eks- perimen osilasi neutrino. Dengan demikian kita harus menen- tukan MD dan MN.

Massa Dirac dari quark dan lepton bermuatan memperlihat- kan struktur hirarki yang teratur, md « ms « ^mb untuk massa quark-down Md , mu < < me < < mt untuk quark-up

°E-MAIL:purwanto@physics.its.ac.id

Mu dan me < < mp, < < m-r untuk lepton bermuatan MR..

Karena MR. ^R:: Md [3] maka adalah hal yang wajar kita men- duga atau berharap bahwa MD ^R:: Mu' Inilah yang diusulkan oleh GUT dan dikenal sebagai simetri lepton-quark yang akan digunakan untuk analisa di dalam makalah ini.

Simetri lepton-quark mengusulkan

(2)

Bentuk diagonal ini berasal dari kenyataan bahwa bauran da- lam sektor Dirae serupa dengan bauran keeil dalam sektor quark [4], ·dan faktor m-r/mb == k yang merambat (run- ning) dari skala unifikasi yang mana dalam skala ini mb = m-r [5]. Massa Dirae neutrino mempunyai nilai MD ^R::

diag(O,OO1; 0,3; 100)Ge ^{V [6].}

Di dalam artikel ini akan ditentukan matriks massa neutrino berat dan mengestimasi skala barn melalui kebalikan pers.(I)

(3)

dengan menggunakan data eksperimen massa dan bauran (mi- xing) neutrino serta asumsi simetri quark-lepton.

Di bagian n diuraikan matriks bauran sektor lepton, data massa dan sudut bauran dari osilasi neutrino matahari dan at- mosfer. Bagian ill membahas matriks massa neutrino berat dalam kasus hirarki normal,hirarki terbalik bagi massa Dirac neutrino dengan sudut bauran maksimal tunggal maupun bi- maksimal. Akhirnya diberikan diskusi dan kesimpulan pada bagianN.

J. FIS. DAN APL., VOL. 2, No.2, JUNI 2006

ll. MASSA NEUTRINO DAN MATRIKS BAURAN LEPTONIK

Keadaan eigen flavor vi dan keadaan eigen massa Vi dihu- bungkan oleh matriks bauran (mixing matrix) uniter U

(4)

Matriks bauran sektor lepton ini dikenal sebagai matriks bau- ran Ponteeorvo-Maki-Nakagawa-Sakata (PMNS)[7].

Hasil eksperimen osilasi neutrino matahari memberi tiga solusi bagi masalah neutrino matahari yakni sudut bauran ke- eil (small mixing angle, SMA) MSW (Mikheyev-Smirnov- Wolfstein), sudut bauran besar (large mixing angle, LMA) MSW dan osilasi vakum (VO). Orde besaran bagi neutrino matahari ~mfu [8]

~m~ ~ 1O-6eV² (SMA)

~m~ ~ 1O-5eV² (LMA)

~m~ ~ 1O-IOeV² (VO) Sedangkan osilasi atmosferik memberikan

(5) (6) (7)

~m!tm ~ 1O-aeV2 ₍₈₎ Data-data di atas jelas memberikan ~mfu < < ~m;tm. Se- eam teoritis basil pengamatan massa kuadrat di atas terkait dengan selisih massa eigen kuadrat

~m~ = m~ - m~ (9)

~m!tm = m~ -~, ~ - m~ (10) Karena itu, dengan mengambil ma . > 0 data di atas memberi hirarki massa normal

Imil < Im21« ma (11) atau hirarki

Imll ~ Im21 »ma (12)

yang disebut hirarki terbalik.

Matriks bauran di dalam pers.(4) terdiri dari tiga ma- triks rotasi terhadap masing-masing sumbu, yakni sumbu satu U (23), dua U (13) dan sumbu tiga U (12),

COO )

U(23) = o cos 82a sin 82a

o -^{sin (}23} cos 82a ( 006913 0 sffi913 )

U(13) = o ^{1 0 (13)}

- sin 8la 0 cos (}la ( 0069" sin 812

n

U(12) = sin 812 cos (}l2

0 0

AGUSPURWANTO

Matriks bauran PMNS diberikan oleh [9]

U = U (23) U (13) U (12) (14) Lebih lanjut, eksperimen reaktor CHOOZ [10] memberikan sudut (ha keeil sekali, misalkan (ha - f maka

U (13) = (

~ ~ ~)

- f 0 1

(IS)

Sedangkan kolaborasi SuperKamiokande memberikan bauran maksimai bagi neutrino atmosferik, (}2a ~ ^{1r /} 4 [11],

U (23) =

(~ ~ ~)

o ^{-72 72}

(16)

Tuliskan (}12 sebagai () maka matriks PMNS menjadi

U _ -

(_SinC~~COS8 cos~~~in8

2 Jii 7a

i)

sin8-£cos8 cost9~sin8 1

J2 - ² 'J2

(17)

m. MATRIKS MASSA NEUTRINO

Perhatikan kembali pers.(I) dan (3), karena MN simetrik maka Mv juga. Karena itu, Mv dapat didiagonalisasi menurut hubungan,

u+ ^{M.U' =}

(1' ^~ 1)

⁽¹⁸⁾

Dengan demikian, matriks massa neutrino diberikan oieh

(m'

⁰

_~

) u^T

Mv = ^{U 0 m2} o 0 ma

C+t,

^{(3 2 + 7 £2Q ) (19)}

= ^{p+ L!!} _~ ^{a -}

p' + £~Q

a+ £2^Q dengan

a = ^{cos2 8ml} + sin2 8m2 a' = ^{sin2 8ml} + ^{cos2 8m2}

f (ma - a) + ^{sin8cos8 (m2 - md}

(3 = v'2

f (ma - a) - sin 8 cos () (m2 - ml)

'Y = v'2

ma-a'

a = ₂ ⁽²⁰⁾

ma + a' - 2fsin8cos8(m2 - mt}

p = ₂

ma + a' + 2fSin()COS() (m2 - ml)

P' = ₂

060202-2

J. FIS. DAN APL., VOL. 2, No.2, JUNI AGUS PURWANTO

Tampak suku f2 di dalam pers.(19) dapat diabaikan dan ma- dan matriks massa Mv (21)menjadi triks massa Mv menjadi [12]

Mv

= (p ~ ~)

"'I 0' P'

(21)

lovers matriks massa ini diberikan oleh

M;;l

= -

^{{3p' -} 0''''1 "'12 - Otp' OtO' - {3'Y (22) 1

(0'2 -

^{PP' {3p' - 0''''1 P'Y - (30' )}

E 'YP - {30' OtO' - {3'Y (32 - Otp dengan

E

=

2 ^{1[2{ 2} f 2mlm2 + ma ² (m2 + md - 4mlm2ma

+ (ml - m2) (mlm2 - ~)} - 2mlm2ma]

~ -mlm2ma (23)

Hubungan di atas kita gunakan untuk menentukan bentuk do- minan (leading form) matriks neutrino dan skala baru massa Majorana terbesar MN33.

A. Hirarki Normal

Menggunakan himrki (11) maka kuantitas-kuantitas (20) menjadi

Ot = cos20ml + sin2 Om2 Ot' = sin20ml + cos2 Om2

{3 = ^fma + sin 0 cos 0 (m2 - mIl

\12

"'I = fma - sin o cos 0 (m2 - ml)

(24)

J2

0' ma

= 2

p = ma

p ' = - 2

1. Bauran Maksimal1imggal

Pertam.a ambil kasus 0 ~ 0 maka besaran-besaran (24) menjadi

Ot = ml

Ot' = m2 (29)

{3= " ' 1 = -fma

J2

(25)

Pers.(24) memperlihatkan bahwa Ot, {3, dan "'I merupakan be- saran massa yang jauh lebih keeil dibanding ma. Karena itu, bentuk dominan matriks Mv berbentuk

Mv

~ (~ ~ ~)

011

(26)

Selanjutnya, kita tentukan invers M;;l. Semua elemen ma- triks (22) dapat disubtitusi dengan kuantitas-kuantitas (24) dan didapatkan komponen (M;; l) 11 adalah nol. Komponen ini memang sangat keeil tetapi tidak perlu nol dan hal ini dapat diperoleh jika digunakan

ma -Ot 0' =

2

P' = ma +Ot'

(27) P =

2

Kuantitas (27) dan (24) mereduksi invers matriks (22) menjadi

(28)

sehingga

0

~$

⁾

M-^l _{~ -}¹

(m,m,

_{0 x (30)}

v -E 0 -x

J. FIS. DAN APL., VOL. 2, No.2, JUNI 2006

dengan k = ~. Bentuk matriks massa ini memberi kompo- nen terbesar

M ^k2m~ (ml - e2m3) N33 ~

2 mlm2 ⁽³²⁾

Pengandaian e2m3 < < ml memberikan

AOUSPURWANTO

Lebih Ian jut didapatkan

(39) Untuk sudut baur besar LMA,

m2 =

J

^{6.m~ ~ 1O-5eV2 ~ 1O-3eV» ml (40)}

Misalkan, ambil orde ml lebih keeil tetapi paling dekat den- ganm2

(41) maka

(42) yakni skala GUT atau skala unifikasi. Sedangkan untuk osilasi vakum(VO)

k²m²

MN33 ~ - _ 7 " (33) m2 =~ 1O-⁵eV » ml

2m2 (43)

Sudut 0 ~ 0 merupakan kasus sudut baur keeil (SMA) den- Ambil ml :5 10-⁶ e V maka gan massa terkait

(34) sehingga

100² 15

MN33 ~ 2 X 10-₁₂ GeV ~ 10 GeV (35) dan bentuk matriks dominan MN

MN

~ (~ ~ ~)

001

(36)

2. Bauran Bimaksimal

Jika sinO ~ 1/../2 maka kita mempunyai dua bauran mak- simal yaitu U(23) dan U(12). Untuk kasus ini kita dapat membagi dalam tiga subkasus yaitu 1m2 I > > Imll, m2 ~ ml danm2 ~ -mI.

1. Untuk kasus Im21 » Imll, kita dapatkan or = or'=-m2

2 {3 = em3 + m2/2

../2 em3 -m2/2 'Y =

../2

(37)

Dengan demikian invers matriks massa dengan 2em3 < <

1m2 I didapatkan

(38)

yaitu skala Planck.

2. Untuk kasus m2 ~ ml maka or' = m2, {3 = 'Y = 2 em3

dan invers matriks massa neutrino

(44)

(45)

(46)

dengan y =

T

(m2 - e2m3). Matriks massa neutrino ini dengan m2 > > e²m3 memberi suku MN33 Majorana masif

(47)

dan MN33 ~ 10¹⁵GeV baik untuk LMA maupun VO. Ma- triks MN juga hirarkis dengan bentuk dominan sebagaimana bentuk (36).

3. Kasus m2 ~ -ml memberi or = or' =0

{3 em3+m2

(48)

= ../2 em3 -m2

'Y ../2

Selanjutnya, asumsi em3 < < m2 memberikan

(49)

060202-4

J. Fls. DAN APL., VOL. 2, No.2, JUNI

sebingga

(

0

-~~)

M-I _ _ 1_ _m~wa _~ _!!!i

v - -E 2 22 22

m~3 _ ~ _!?!2.

2 2 2

(SO)

Invers matriks MaSSa neutrino tersebut memberikan elemen matriks MaSsa neutrino efektif

(SI) Jika m2/ma ::::: mu/mt maka MN1a ::::: MNaa dan dekat den- gan skala unifikasi.

Kasus menarik 0 ::::: 0 yang mungkin terjadi jika m2 < 0 dan Im21 ::::: ema sehingga'Y::::: -v'2m2' maka

M;;1 ::::: _1 _ m';3 2em2ma 0 (

0

-~~)

E m$3 0 0

(S2)

Matriks invers ini dan hubungan (3) memberikan matriks mas- sa neutrino Majomna

7)

_m~G

2em~ _c

o

(S3)

yang memberi bentuk dominan

(54)

Massa terberat

(SS)

M N1a _ > (0,001)(100) 10-₁₂ G V> e _ 1011G e V (S6)

yakni skala antara (intermediate scale) sebagaimana diperoleh sebelumnya [13].

Untuk 'Y ::::: 0 dan {3 ::::: v'2m2 ::::: v'2ema diperoleh

M-_v ^{1 ::::: _1 -E}

(_m ^mm k

³

7F

_m~3

o o

M -v ¹ :::::

(S7)

AOUSPURWANTO

dan

(S8)

Jika e ::::: mu/mt maka MN1a ::::: MNaa dan dekat dengan skala unifikasi.

B. IDrarki TerbaUk

Sekamng kita tinjau bila Imil ::::: Im21 » ma. Dalam kasus ini berlaku

Am2 - m 2 m 2 - m 2

L.l. atm- 2 - a- 2

Kondisi ini membuat elemen (20) menjadi

o = cos2 Om1 + sin2 Om2

0' = sin2 Om1 + eos2 Om2

(3 = -m+sinOeosO(m2-m1) v'2

'Y = -m - sinOeosO (m2 - ml) v'2

P = P' = -u:::::-0'

2

(S9)

(60)

Dengan demikian matriks MaSsa neutrino efektif diberikan oleh

(61)

Menggunakan elemen-elemen (60) diperoleh (M;1) 1 = O. Elemen ini memang sangat keeil tetapi tidak perlu not dan dipenuhi bila digunakan

ma-O '

u 2

P' = ma+o '

(62)

P = ₂

dan didapatkan (M;1)1l = m!~·. Secara lengkap, (M;1) diberikan oleh

(63)

J. FIS. DAN APL., VOL. 2, No.2, JUNI 2006

Selanjutnya kita selidiki untuk kasus demi kasus.

1. Bauran MaksimaJ TunggaJ

Pertama ambil kasus () :::::: 0 maka besaran-besaran (60) menjadi

a = ml a'=m2 {3 = " ' ( = - -^-eml

v'2 ⁽⁶⁴⁾

Matriks Massa neutrino efektif diberikan oleh

(65)

Bentuk dominannya diberikan oleh

Mv ::::::

(~ ~ ~)

011

(66)

Matriks inversnya diberikan oleh

T t)

⁽⁶⁷⁾

Matriks invers ini memberi bentuk dominan bagi MN seba- gaimana bentuk (36) dengan massa terbesar

M N33::::::--^2~m~

2m3 dan pada skala unifikasi atau di atasnya.

2. Bauran Bimaksimal

(68)

Untuk sudut () :::::: 7r/4 terdapat dua subkasus yaitu

m2 :::::: ml dan m2 :::::: -ml.

1) Untuk m2 :::::: ml maka

... '/~.'

·to •••• It . '. 't

(69) dan matriks Massa neutrino efektif

(

m2

-7f -7f)

M ~ _~ ~2 _~

v~ " ; 2 2 2

-~ -~ ~

";2 2 2

(70)

Tampak memberi basil yang sarna dengan kasus sudut keeil () :::::: 0 untuk hirarki terbalik.

2) Untuk m2 :::::: -ml diperoleh

Karena itu, matriks Massa neutrino efektif

dan ~entuk dominannya

Matriks invers

( 0 0 M;;l :::::: _1_ 0 1 - 2m3 0 1 yang memberi massa terbesar

dengan skala unifikasi atau di atasnya.

AGUSPURWANTO

(71)

(72)

(73)

(74)

(75)

Iv. DISKUSI DAN SIMPULAN

Pada pembahasan ini hanya ditinjau matriks bauran riel atau tanpa sudut fasa. Sudut fasa ini dapat menjadi sumber infor- masi bagi terjadinya alam semesta taksimetri saat ini, sebagai contoh [14]. Tanda dari Tni terkait dengan paritas CP dari neutrino sedangkan Massa fisis Imil[15].

Analisa memberikan dua bentuk dominan MN yaitu bentuk diagonal (36) dan off-diagonal (54). Bentuk diagonal umumn- ya berskala unifikasi kecuali pada kasus osilasi vakum yang berskala di atas unifikasi menuju skala Planck. Sedangkan bentuk off-diagonal pada skala antara.

Ucapao Terima Kasih

Penulis sampaikan terlmakasih kepada Anwari Fundamen- tal Science Foundation (AFSiF) yang mendukung penelitian ini.

060202-6

J. Fls. DANAPL., VOL. 2, No.2, JUNI

[1] Y. Fukuda dkk., Phys.Rev.Lett. 81, 1158(1998); M.H. Ahn dkk.,Phys.Rev.Lett. 90, 041801(2003); Q.R. Ahmad dkk., Phys.Rev.Lett 89, 011301; 011302(2002); K.Eguchi dkk., Phys.Rev.Lett 90, 021802(2003).

[2] M. Oell-Mann, P.Ramond and R. Siansky, in Supergravlty, eds.

P. van Nieuwenhuizen and D. Freedman (North Hollad, Ams- terdam, 1979); T.Yanagida, in Proceedings of the Workshop on Unified Theories and Baryon Number in the Universe, eds.

O.Sawada and A. Sugamoto (KEK, Tsukuba, 1979).

[3] H. Nishiura, K.Matsuda and· T. Fukuyama, Phys. Rev. D60 013006 (1999); H. Fritzsch and Z. Xing, NucI. Phys. B556 49 (1999).

[4] P. Ramond, R.O.Roberts and 0.0. Ross, Nucl.Phys. B406 19 (1993).

[5] H. Arason, D.l. Castano, E.J. Piard and P. Ramond, Phys.Rev.

D47 232 (1993).

[6] H. Fusaoka and Y. Koide, Phys. Rev. D57, 3986 (1998).

AOUSPURWANTO

[7] B. Pontecorvo, Zh. Eksp. Tear. Fiz. 33 549 (1957); Z. Maki, M.

Nakagawa, and S. Sakata, Prog. Theor. Phys.18, 870 (1962).

[8] J.N. Bahcal, P.I. Krastev and A. Yu. Smirnov, Phys. Rev. D58, 096016 (1998); D60, 093001 (1999).

[9] E. Kh. Akbmedov, Phys. Lett 8467, 95 (1999).

[10] M.Appolonio dkk. [CHOOZ Collab.], Phys.Lett.

B410,397(1998).

[II] Y. Fukuda dkk., Phys.Rev.Lett 81, 1562(1998).

[12] D. Falcone, hep-phlOO02242.

[13] M. Jezabek and Y. sumino, Phys.Lett. B440, 327 (1998); B.

Stech, Phys.Lett 8465,219 (1999).

[14] T. Endoh, T. Morozumi, T. Onogi, and A. Purwanto, Phys. Rev.

D64, (200 1)013006; T. Endoh, T. Morozumi, and A. Purwanto, NucI.Phys.Proc.SuppI. Bill, 299(2001).

[15] S.M.Bilenky, C. Giunti and W. Grimus, Prog. Part. Nucl. Phys.

43 I (1999).