Sesi 3: Probability Density Function (PDF) dan Teorema Bayes. Dr. Nurul Huriah Astuti, SKM., MKM

Sesi 3: Probability Density Function (PDF) dan Teorema

Bayes

Dr. Nurul Huriah Astuti, SKM., MKM

Variabel Acak

• Suatu variabel disebut variabel acak jika variabel tersebut menghasilkan nilai yang bisa berbeda pada setiap peristiwa/trial/eksperimen dan

perubahan hasil di setiap peristiwa tidak dapat diperkirakan (Budiarto, 2012)

REMINDER

Dua Jenis Variabel Acak

1. Variabel Acak Diskrit

o Variabel acak yang nilainya berupa bilangan cacah, dapat dihitung dan terhingga.

o Contoh: Jumlah penderita Penyakit Jantung Koroner (PJK) yang

berobat ke poli Penyakit Jantung RSJ Harapan Kita adalah 54 orang  Variabel PJK adalah variabel acak diskrit

o Jumlah ODHA yang telah mendapatkan obat ARV di RS Infeksi

Sulianti Suroso adalah 123 orang  Variabel ODHA yang telah

mendapatkan ARV adalah variabel acak diskrit

Dua Jenis Variabel Acak

2. Variabel Acak Kontinu

• Variabel acak yang nilainya berupa selang bilangan, tidak dapat dihitung, dan tidak terhingga.

• Biasanya untuk hal-hal yang diukur.

• Contoh: Di Kantor pemadam kebakaran berlaku aturan bahwa petugas pemadam kebakaran harus memiliki berat badan antara 60 sampai 90 Kg  Variabel BB petugas pemadam kebakaran tersebut adalah variabel acak kontinu karena nilainya

berselang antara 60 – 90 Kg

Kejadian dalam Statistik

Kejadian Kontinu VS Diskrit

• Fungsi-fungsi di dalam statistik berdasarkan sifat

kejadiannya dibedakan menjadi dua macam yaitu kontinu dan diskrit

1. Kejadian Kontinu

 Kejadian yang mungkin terjadi

 Jumlah tak berhingga

 Operasionalnya dilakukan dalam kalkulus

 Perhitungan jumlah peluang semua kejadian

Kejadian dalam Statistik

Kejadian Kontinu VS Diskrit

• Fungsi-fungsi di dalam statistik berdasarkan sifat kejadiannya dibedakan menjadi dua macam yaitu kontinu dan diskrit

2. Kejadian Diskrit

 Kejadian yang mungkin terjadi

 Jumlah berhingga

 Dapat dilakukan secara berkala

 Operasionalnya dilakukan dengan operasional fungsi diskrit

 Perhitungan jumlah peluang semua kejadian

Probability Density Function (PDF)

o Dalam teori probabilitas, probability Density Function atau Fungsi kepadatan probabilitas merupakan segolongan fungsi yang sering digunakan dalam teori statistik untuk menjelaskan perilaku suatu distribusi

probabilitas teoretis.

o Suatu fungsi memenuhi kriteria sebagai PDF apabila nilainya selalu positif.

o Selain disebut sebagai fungsi kepekatan probabilitas, pustaka-pustaka juga

menyebutnya sebagai fungsi kepekatan peluang atau fungsi kerapatan

probabilitas.

Probability Density Function (PDF)

o Probability density function (PDF) menggambarkan probabilitas nilai dari variabel acak kontinu yang berada dalam suatu nilai rentang.

o Dengan kata lain, PDF menghasilkan sebuah likelihood (kemungkinan) dari nilai variabel random kontinu.

o Kadang-kadang disebut juga sebagai Probability Distribution Function (Fungsi distribusi probabilitas) atau hanya Probability Function (Fungsi Probabilitas).

o PDF dilambangkan dengan f(x).

Probability Density Function (PDF)

o

Variabel acak kontinu adalah nilai-nilai yang menghubungkan titik-titik dalam sebuah garis

o

Distribusi probabilitas dari sebuah variabel acak kontinu X harus memenuhi kondisi sebagai berikut :

1. f(x) ≥ 0 untuk semua nilai X.

2. Probabilitas bahwa X akan terletak di antara nilai-nilai a dan b sama dengan luas area f(x) antara a dan b.

3. Total area di bawah kurva f(x) adalah sama dengan 1.

Probability Density Function (PDF)

• Probability Density Function (PDF) menyatakan nilai probabilitas dari setiap kejadian X

• PDF dituliskan dengan p(X)

• Karena p(X) menyatakan nilai probabilitas maka nilainya adalah 0≤p(X)≤1

• Untuk semua kejadian maka jumlah nilai probabilitasnya

adalah satu atau dituliskan dengan

Probability Density Function (PDF)

•

Misalkan X = variable acak kontinu, maka distribusi probabilitas atau Probability Density Function of X adalah fungsi f(x) untuk nilai a dan b dimana a ≤ b :

•

Maka probabilitas X berada pada nilai interval {a,b} adalah area di atas interval dan di bawah grafik density function (fungsi kerapatan)

Formula Probability Density Function

(PDF)

Formula dari PDF, sbb:

Karena X adalah variabel kontinu maka, kita dapat mengabaikan nilai akhir dari interval ketika kita mencari probabilitas dari variabel acak kontinu. Hal ini

berarti, untuk nilai a dan b yang konstanv maka formula PDF menjadi:

Atau

Grafik Probability Density Function (PDF)

• Grafik yang menyatakan nilai

kemungkinan dari setiap kejadian.

• Absis (sumbu X) menyatakan kejadian yang mungkin.

• Ordinat (sumbu Y) menyatakan

nilai kemungkinan p(xi )

Grafik Probability Density Function (PDF)

• Grafik PDF biasanya menyerupai lonceng, dengan probabilitas

berada di bawah kurva

• Di samping ini adalah bentuk grafik dari PDF untuk variabel

acak kontinu x debgab fungsi f(x)

Ciri –Ciri Probability Density Function

(PDF)

• X = {x1 , x2 , x3 , …, xn } menyatakan semua kejadian yang mungkin

• Nilai probabilitas  0 ≤ p(X) ≤ 1

• Nilai probabilitas untuk semua kejadian:

Teorema Bayes

• Teorema adalah sebuah pernyataan, yang dapat dibuktikan atas dasar asumsi yang dinyatakan secara eksplisit ataupun yang sebelumnya disetujui.

• Dalam teori probabilitas dan statistika, Teorema Bayes adalah sebuah teorema dengan dua penafsiran berbeda.

• Diambil dari nama Thomas Bayes (1701 – 1761), seorang

Statistician, yang mengembangkan teorema ini.

Definisi

• Teorema Bayes menggambarkan probabilitas suatu peristiwa

berdasarkan pengetahuan sebelumnya tentang kondisi yang mungkin terkait dengan peristiwa tersebut.

• Dalam kesehatan, misalnya, jika diketahui bahwa risiko suatu penyakit meningkat berdasarkan usia, maka dengan pendekatan

Teorema Bayes memungkinkan individu yang memiliki usia tertentu dapat diperkirakan risikonya secara lebih akurat (dengan

mengkondisikan pada usia tersebut), daripada hanya mengasumsikan

individu tersebut sebagai populasi secara keseluruhan.

Definisi

•

Teorema Bayes adalah suatu formula yang menjelaskan bagaimana caranya memperbarui sebuah probabilitas dari suatu hipotesis saat kita sudah

menemukan suatu bukti atau petunjuk baru.”

•

Teorema bayes merupakan teori kondisi kemungkinan yang

memperhitungkan kemungkinan suatu kejadian (hipotesis) bergantung pada kejadian lain (bukti). Kejadian akan datang dapat diprediksi jika kejadian

sebelumnya telah terjadi.

•

Teori Bayes menyatakan seberapa jauh suatu derajat kepercayaan subjektif harus berubah secara rasional ketika ada bukti baru.

Dasar Teorema Bayes

• Dasar Teorema Bayes adalah conditional probability (peluang bersyarat).

• Conditional probability adalah perhitungan peluang suatu kejadian Y bila diketahui kejadian X telah terjadi, dinotasikan dengan P(Y|X).

• Conditional probability, bisa dikatakan sebagai probabilitas seseorang

dengan keadaan tertentu untuk menderita suatu penyakit/keluaran

tertentu

Contoh Conditional Probability

Probabilitas bayi BBLR pada ibu anemia = 30/100 = 0,30

Probabilitas bayi BBLR pada ibu tidak anemia = 20/200 = 0,10 Probabilitas bayi tidak BBLR pada ibu anemia = 70/100 = 0,70 Probabilitas bayi tidak BBLR pada ibu tidak anemia = 180/200 = 0,80

Probabilitas ibu anemia pada bayi BBLR = 30/50 = 0,60

Probabilitas ibu anemia pada bayi tidak BBLR = 70/250 = 0,28 Probabilitas ibu tidak anemia pada bayi BBLR = 20/50 = 0,40 Probabilitas ibu tidak anemia pada bayi tidak BBLR = 180/250

= 0,72

Formula Teorema Bayes

P(A|B) = Probabilitas/peluang kejadian A ketika mengalami kejadian B P(B|A) = Probabilitas/peluang kejadian B ketika mengalami kejadian A P(A) = Probabilitas kejadian A

P(B) = Probabilitas kejadian B

Atau

Contoh Penerapan Teorema Bayes

(http://majalah1000guru.net/2019/07/teori-bayes/)

Jika ada orang yang punya bintik-bintik dan gatal-gatal, seberapa besar kemungkinan orang itu punya cacar air?

Di masa lalu ketika teknologi belum memungkinkan untuk melakukan tes darah atau tes

biologis lainnya para ahli medis atau kesehatan masyarakat tidak bisa menyimpulkan apakah gejala yang terjadi pada manusia itu berhubungan dengan penyakit yang dideritanya?

Sementara, penduduk di kota harus dikarantina jika ada penyakit menular agar tidak tertular.

Kalau kemungkinan penularannya sangat kecil, kita tidak perlu takut, tetapi kalau

kemungkinannya besar, kita harus segera mengimbau mereka agar tidak keluar rumah dulu.

Di sinilah sebuah teori statistika yang dirumuskan oleh Thomas Bayes bisa menjadi alternatif yang digunakan untuk menghitung probabilitasnya/peluangnya

Contoh Penerapan Teorema Bayes

• Ada empat kuadran dari diagram.

• Variabel B dan negasinya ¬B adalah orang terkena bintik-bintik dan sebaliknya.

• Variabel C dan negasinya ¬C melambangkan orang-orang yang terkena cacar dan sebaliknya.

• Jika semua digabungkan, akan membentuk suatu set atau himpunan yang dilambangkan dengan S.

• Di sini yang perlu kita perhatikan adalah dua variabel yang belum disebut, yaitu x dan c (huruf kecil). Variabel x adalah

probabilitas (peluang) untuk orang yang terkena bintik-bintik dan juga mengidap penyakit cacar, sementara variabel c adalah peluang orang mendapat penyakit cacar.

Contoh Penerapan Teorema Bayes

•

Dengan demikian, probabilitas untuk terinfeksi cacar ketika mengalami bintik-bintik/gatal-gatal adalah:

Prob(C|B)= probabilitas orang terinfeksi cacar ketika dia mempunyai bintik-bintik, Prob(C) = probabilitas orang yang terinfeksi cacar di suatu himpunan/populasi

Prob(B|C) = probabilitas orang yang mengalami bintik-bintik ketika dia terinfeksi cacar

Prob(B|¬C) = probabilitas orang yang terkena bintik-bintik ketika dia tidak terinfeksi cacar.

Contoh Penerapan Teorema Bayes

• Jika Prob(C) atau Probabilitas terkena cacar adalah 0,2  artinya kemungkinan anggota masyarakat di suatu populasi desa terinfeksi cacar adalah 20%

• Jika Prob(B|C) atau Probabilitas orang mengalami bintik-bintik ketika dia terinfeksi cacar adalah 0,9  berarti kemungkinan orang mendapat bintik-bintik ketika dia mendapat cacar adalah 90%

• Jika Prob(B|¬C) atau yang Probabilitas orang yang mengalami bintik-bintik ketika dia tidak terinfeksi cacar adalah 0,15  kemungkinan orang mendapat bintik-bintik ketika dia tidak mendapat cacar adalah 15%.

• Maka Prob(B) atau Probabilitas terkena bintik-bintik=

Prob(B|C) x prob(C) + prob(B|¬C) x prob(¬C)

= (0,9 x 0,2) + (0,15 x 0,8) = 0,3

Contoh Penerapan Teorema Bayes

o Maka dapat dihitung pula Prob (C|B) atau Probabilitas orang terinfeksi cacar ketika mengalami binti-bintik:

o Dengan demikian, kemungkinan/probabilitas orang terinfeksi cacar ketika ia mengalami bintik- bintik adalah 60%, dan sisanya, yaitu 40% adalah probabilitas orang yang tidak terinfeksi cacar ketika mengalami bintik-bintik

o Perlu diingat: data di atas menunjukkan bahwa probabilitas orang yang mendapat bintik-bintik ketika ia terinfeksi cacar adalah 90%.

o Ini dikarenakan ada kemungkinan yang cukup signifikan untuk orang mengalami bintik-bintik dan tidak terinfeksi cacar sebesar prob(B|¬C) (15%), dan untuk orang terinfeksi cacar

sebesar prob(B|C) (10%), sehingga masih masih ada celah 10%.

Contoh Publikasi Kesehatan dengan Teorema Bayes

•

file:///C:/Users/HP/Downloads/284-Article%20Text-717-1-10- 20180301.pdf

•

Studi tentang “Sistem pakar mendiagnosa penyakit Herpes Zoster dengan menggunakan metode Teorema Bayes”

•

Didapatkan hasil berdasarkan perhitungan dengan menggunakan metode Teorema Bayes, yaitu orang yang mengalami gejala awal Herpes Zoster memiliki probabilitas terkena penyakit Herpes Zoster sebesar 43,5%

Contoh Publikasi Kesehatan dengan

Teorema Bayes

TERIMA KASIH