Blaˇzenka Divjak Alen Lovrenˇci´c
Ova je knjiga nastala u ˇzelji da se kolegij Diskretne strukture s teorijom grafova, koji autori predaju na poslijediplomskom studiju informacijskih znanosti na Fakultetu organizacije i informatike Sveuˇciliˇsta u Zagrebu od 2002. godine, opermi prikladnom literaturom. Stoga je ova knjiga prilago-dena studentima kojima je glavno podruˇcje izuˇcavanja informatika, i to ne samo onima koji studiraju na Fakultetu organizacije i informatike.
Grada ove knjige birana je tako da daje skup matematiˇckih formalizama koji imaju ˇsiroku primjenu u informatici i raˇcunalstvu. Stoga ova knjiga moˇze biti od pomo´ci i inˇzenjerima koji se profesionalno bave raˇcunarstvom i informatikom. Zbog toga autorima nije bio glavni cilj da uvijek, pod svaku cijenu gradivo predoˇce u svoj matematiˇckoj strogosti i sa svim matematiˇckim aspektima koji se mogu razmatrati. Odrˇzavˇsi dovoljno matematiˇcke egzak-tnosti, autori su pokuˇsali gradivo izloˇziti tako da ga bude ˇsto lakˇse primijeniti na konkretne probleme, koji se u informatici i raˇcunalstvu susre´cu.
Sadrˇ
zaj knjige
Prvo poglavlje ove knjige je naslovljeno Uvod, i predstavlja skup osnovnih pojmova koje je nuˇzno definirati da bi sljede´ca poglavlja mogla biti korektno predstavljena. Ona sadrˇzi opis metoda koje se koriste u matematici, modela te op´cenite tehnike koje matematiˇcari koriste u dokazivanju. Uvodno je poglavlje napisala Blaˇzenka Divjak.
Sljede´ce poglavlje predstavlja produˇzetak prvog, uvodnog poglavlja i donosi opis matematiˇcke logike, a isto tako dva formalna dedukcijska susta-va - F-sustav i rezolucijsku proceduru. F-sustav predstavlja formalizaciju pravila dokazivanja opisanih u poglavlju 1.2. S druge strane, rezolucijska procedura predstavlja deduktivni sustav, koji je posebno pogodan za dokazi-vanje teorema pomo´cu raˇcunala. Poglavlje o matematiˇckoj logici napisao je Alen Lovrenˇci´c.
U tre´cem poglavlju se uvode pojmovi koji pripadaju diskretnoj mate-matici - relacije, funkcije, skupove, pojam rekurzivne jednadˇzbe, rjeˇsavanje rekurzivnih jednadˇzbi, te na kraju, diskretnu teoriju vjerojatnosti. Ovo je poglavlje napisala Blaˇzenka Divjak, osim dijelova o rekurzijama i diskretne
ii
teorije vjerojatnosti, koje je napisao Alen Lovrenˇci´c. Ovo je ujedno i poglav-lje koje sadrˇzi raznolike sadrˇzaje - sve ono iz podruˇcja diskretne matematike ˇsto se intenzivno koristi u informatici i raˇcunalstvu.
U ˇcetvrtom se poglavlju obraduje vrlo vaˇzan pojam, kako u matematici, tako i u raˇcunalstvu i informatici - pojam algoritma. Poglavlje se sastoji od tri dijela. U prvom se dijelu uvodi i objaˇsnjava pojam algoritma. Drugi dio daje pregled teorije sloˇzenosti algoritama, dok je tre´ci dio primjeran i daje algoritme iz jednog vrlo vaˇznog podruˇcja - podruˇcja pretraˇzivanja i sortiranja niza elemenata. Ovo je poglavlje napisao Alen Lovrenˇci´c.
Peto poglavlje daje teoriju grafova, koja je iznimno vaˇzna i koriˇstena matematiˇcka teorija u raˇcunarstvu i informatici, ali i u mnogim drugim znanstvenim i struˇcnim granama. Poglavlje sadrˇzi niz vrlo vaˇznih proble-ma, kako u informatici i raˇcunarstvu, tako i u drugim srodnim granaproble-ma, od problema pronalaˇzenja puteva, ˇsetnji i ciklusa te razapinju´cih stabala, pa do protoka i rezova te bojenja vrhova i bridova grafa. Autor ovog poglavlja je Blaˇzenka Divjak.
ˇ
Sesto poglavlje daje opis osnovnih algebarskih struktura. One su znaˇcaj-ne u teoriji raˇcunalstva, optimizaciji, teoriji algoritama, teoriji inteligentnih agenata itd. Algebarske strukture su matematiˇcki okvir u koji se, zbog njihovih dobro definiranih svojstava uklapaju mnogi problemi, koji na taj naˇcin dobijaju novi kut glediˇsta pa se tako ˇcesto dobijaju novi rezultati vezani uz problem. Ovo je poglavlje napisala Blaˇzenka Divjak.
Posljednje poglavlje je zamiˇsljeno, na neki naˇcin, kao poanta cijele knjige. Ono sadrˇzi matematiˇcki sadrˇzaj, koji je nastao tijekom godina iz pokuˇsaja da se matematiˇcki opiˇse intuitivni pojam algoritma. Tako je nastala cijela teorija automata i jezika, ˇcije su osnove opisane u ovom poglavlju. No, ovo poglavlje ima joˇs jednu vaˇznost za ovu knjigu - ono na neki naˇcin opravdava izbor sadrˇzaja cijele knjige, koriste´ci mnogo od prije opisanog sadrˇzaja. Ovo zavrˇsno poglavlje napisao je Alen Lovrenˇci´c.
Kako koristiti knjigu
Ova knjiga sadrˇzi zaista razliˇcite matematiˇcke sadrˇzaje, koji se mogu zasebno prouˇcavati. Pri tome ne ˇzelimo re´ci da su poglavlja u potpunosti nezavisna i da se ni u jednom od njih ne koriste rezultati iz prethodnih poglavlja, no ta veza nije toliko snaˇzna da bi zahtjevala slijedno prouˇcavanje sadrˇzaja.
ˇ
Stoviˇse, tre´ce poglavlje napisano je tako da se njegova podpoglavlja mogu i sama izuˇcavati zasebno. ˇSto se tiˇce ostalih poglavlja, ona, uglavnom, za-htjevaju slijedno prouˇcavanje.
podruˇcja.
Pri izlaganju teksta su neki dijelovi izostavljeni i ostavljeni za samostalan rad ˇcitatelja, bilo kao zadaci unutar teksta, bilo kao izostavljeni dokazi ili problemi. U svakom sluˇcaju, izostavljeni dijelovi su paˇzljivo odabrani, tako da bi ih ˇcitatelj tijekom ˇcitanja morao mo´ci bez ve´cih problema i priprema samostalno izraditi. Autori preporuˇcuju da se zadaci unutar teksta, kao i dokazi za koje je napomenuto da su ostavljeni za samostalan rad ˇcitatelju, svakako tijekom ˇcitanja izrade, jer na taj naˇcin ˇcitatelj ve´c tijekom samog ˇcitanja poˇcinje baratati pojmovima koje prouˇcava, ˇsto znatno pove´cava nji-hovu razumljivost.
Na kraju svakog poglavlja nalaze se zadaci. Zadaci pokrivaju sadrˇzaj poglavlja uz koje su vezani i svakako se preporuˇcuje da se zadani zadaci rijeˇse. Oni ne sluˇze samo za ponavljanje gradiva poglavlja, ve´c djelomiˇcno i nadograduju sadrˇzaj. Zadaci mogu ˇcitatelju pokazati koliko je zaista shvatio ono ˇsto je proˇcitao, ali mu mogu i dodatno objasniti neke detalje koji iz samog teksta nisu bili jasni.
Osim toga, svako je poglavlje opskrbljeno i problemima. Od ˇcitatelja se ne oˇcekuje da izradi rjeˇsenje svakog problema u knjizi, jer su problemi zamiˇsljeni kao studijski zadaci, koji zahtjevaju duˇzi rad detaljnije prouˇca-vanje literature i dublje upoznaprouˇca-vanje podruˇcja na koje se odnose. Svakako, ovi problemi su pogodni za izradu seminarskih radova studenata koji sluˇsaju kolegije koji pokrivaju podruˇcje opisano u ovoj knjizi, ali oni predstavljaju i ideje za daljnji samostalan rad svim ˇcitateljima zainteresiranim za nado-gradnju znanja iz danog podruˇcja.
Svako poglavlje ima i literaturu koja je koriˇstena pri izradi sadrˇzaja, ali koja isto tako predstavlja smjernice za daljnji rad ˇcitateljima koji su posebno zainteresirani za sadrˇzaj dotiˇcnog poglavlja.
Zahvale i pokude
Uobiˇcajeno je da se u predgovoru popiˇsu ljudi koji su autorima pomogli u izdavanju knjige te da se pokude autori ˇsto je u knjizi ostalo joˇs pogreˇsaka i ˇsto su neki sadrˇzaji moˇzda ostali nedovoljno pokriveni, pa ´cemo se i mi drˇzati tog obiˇcaja.
No, uprkos naˇsem pristajanju na obiˇcaj, napravit ´cemo, matematiˇcki reˇceno, inverziju, pa ´cemo na poˇcetku zahvaliti naˇsim obiteljima. Oni su nas podupirali pri pisanju ove knjige, ˇcesto i ne znaju´ci toˇcno o ˇcemu se radi, imaju´ci puno povjerenje u nas i ono ˇsto radimo, odriˇcu´ci se onoga ˇsto im pripada - naˇse paˇznje.
iv
potporu projekta TEMPUS ”Aspects of Information and Organization Sys-tems: Curriculum Development” (CD-JEP-16086-2001), na kojem su oba autora predano radila.
Zahvaljujujemo naˇsim izdavaˇcima: Fakultetu organizacije i informatike i TIVA-i. Posebno zahvaljujemo Mireli Ostroˇski, na ˇcitenju teksta i na izradi nekih zadataka, te Renati Horvatek, koja je napravila lekturu teksta.
Na kraju, sve pokude za pogreˇske koje su ”opstale” nakon svih isˇcitavanja knjige, nedostatke teksta, nejasno´ce i bilo koje probleme na koje ´ce ˇcitatelj nai´ci zadrˇzavamo iskljuˇcivo za sebe.
Svim ˇcitateljima ˇzelimo ugodan i plodonosan rad uz ovu knjigu.
Predgovor i
1 Uvod 1
1.1 Matematiˇcke metode i modeli . . . 1
1.1.1 Znanstvena metoda . . . 1
1.1.2 Matematiˇcki model . . . 2
1.1.3 Struktura matematike . . . 3
1.2 Tehnike dokazivanja u matematici . . . 5
1.2.1 Sudovi i matematiˇcka logika kao okvir za matematiˇcke tvrdnje . . . 5
1.2.2 Dokazivanje matematiˇckih tvrdnji . . . 7
1.2.3 Matematiˇcka indukcija i skup prirodnih brojeva . . . . 8
1.2.4 Princip dobrog uredaja u skupu N . . . 11
1.3 Zadaci . . . 12
2 Matematiˇcka logika 17 2.1 Raˇcun sudova . . . 18
2.1.1 Sintaksa . . . 18
2.1.2 Semantika . . . 19
2.2 Predikatni raˇcun . . . 29
2.2.1 Sintaksa . . . 29
2.2.2 Semantika . . . 31
2.2.3 Formalni sustavi . . . 33
2.3 Zadaci . . . 40
2.4 Projekti . . . 41
3 Diskretna matematika 45 3.1 Skupovi . . . 46
3.1.1 Zadavanje skupa . . . 46
3.1.2 Relacije medu skupovima . . . 46
3.1.3 Partitivni skup . . . 47
3.1.4 Operacije na skupovima . . . 47
3.1.5 Kartezijev produkt skupova . . . 48
vi SADR ˇZAJ
3.2 Binarne relacije . . . 49
3.2.1 Binarne relacije na diskretnim skupovima . . . 49
3.2.2 Obrat relacije, komplement relacije i dualna relacija . 51 3.3 Relacija ekvivalencije . . . 51
3.3.1 Definicija i svojstva relacija ekvivalencije . . . 51
3.3.2 Kongruencije . . . 54
3.3.3 Aritmetika uZk . . . 60
3.3.4 Joˇs neka svojstva binarnih relacija . . . 62
3.4 Uredajne binarne relacije . . . 63
3.4.1 Relacija parcijalnog uredaja . . . 63
3.4.2 Relacija djeljivosti na skupu cijelih brojeva . . . 67
3.5 Funkcije . . . 69
3.5.1 Kompozicija funkcija . . . 70
3.5.2 Bijekcija. Inverzna funkcija . . . 71
3.5.3 Funkcije kao relacije . . . 71
3.5.4 Realne funkcije realne varijable . . . 72
3.6 Graf funkcije . . . 73
3.6.1 Neka svojstva realnih funkcija realne varijable . . . . 73
3.6.2 Konaˇcni i beskonaˇcni skupovi . . . 78
3.7 Rekurzivne relacije . . . 79
3.7.1 Uvod . . . 79
3.7.2 Rjeˇsavanje rekurzija - karakteristiˇcna jednadˇzba . . . 82
3.7.3 Rjeˇsavanje rekurzivnih jednadˇzbi - funkcije izvodnice . 91 3.8 Diskretna teorija vjerojatnosti . . . 93
3.8.1 Osnove kombinatorike . . . 93
3.8.2 Osnovne definicije i teoremi diskretne teorije vjerojat-nosti . . . 97
3.8.3 Uvjetna vjerojatnost . . . 104
3.8.4 Sluˇcajne varijable . . . 107
3.9 Zadaci . . . 115
3.10 Projekti . . . 121
4 Algoritmi 125 4.1 Pojam algoritma . . . 125
4.2 Sloˇzenost algoritama . . . 130
4.3 Pretraˇzivanje i sortiranje . . . 139
4.3.1 Pretraˇzivanje . . . 139
4.3.2 Sortiranje . . . 145
4.3.3 Donja meda sloˇzenosti algoritama usporedivanja i sor-tiranja temeljenih na usporedivanju . . . 176
4.3.4 Sortiranje u vremenuO(n) . . . 179
4.4 Zadaci . . . 186
5 Teorija grafova 191
5.1 Definicija grafa i osnovna svojstva . . . 192
5.2 Izomorfizam grafova . . . 197
5.3 Regularni grafovi . . . 199
5.4 Setnje i ciklusi u grafu . . . .ˇ 200 5.4.1 Eulerova staza . . . 201
5.5 Matrica incidencije i matrica susjedstva . . . 204
5.6 Hamiltonovi ciklusi . . . 208
5.7 Teˇzinski grafovi. Algoritmi najkra´ceg puta . . . 209
5.7.1 Dijkstrin algoritam . . . 210
5.7.2 Problem kineskog poˇstara . . . 212
5.8 Stabla . . . 214
5.8.1 Osnovno o stablima . . . 215
5.8.2 Binarno stablo . . . 217
5.8.3 Minimalno razapinju´ce stablo . . . 222
5.8.4 Pretraˇzivanje stabla . . . 224
5.9 Usmjereni grafovi i mreˇze . . . 226
5.9.1 Usmjereni graf . . . 226
5.9.2 Turnir . . . 227
5.9.3 Mreˇze i kritiˇcni putevi . . . 228
5.9.4 Problem rasporeda . . . 228
5.9.5 Protoci i rezovi . . . 231
5.9.6 Max-flow min-cut teorem . . . 233
5.10 Bojenje grafova . . . 236
5.10.1 Problem ˇcetiri boje . . . 236
5.10.2 Bojenje vrhova grafa . . . 237
5.10.3 Bojenje bridova grafa . . . 240
5.11 Sparivanje u grafovima . . . 242
5.12 Zadaci . . . 242
5.13 Projekti . . . 248
6 Algebarske strukture 253 6.1 Definicija i primjeri algebarskih struktura . . . 254
6.2 Grupe . . . 255
6.2.1 Definicija grupe . . . 255
6.2.2 Konaˇcne i cikliˇcke grupe . . . 257
6.2.3 Primjeri grupa . . . 259
6.2.4 Podgrupe . . . 260
6.3 Izomorfizam grupa . . . 263
6.4 Primjena grupa u kodiranju . . . 265
6.4.1 Teorija kodiranja kao grana matematike . . . 265
6.4.2 Problemi prijenosa informacija . . . 267
6.4.3 Metrika na kodnim rijeˇcima . . . 267
viii SADR ˇZAJ
6.4.5 Matrica izvodnica kodiraju´ce funkcije . . . 272
6.5 Prsteni i polja . . . 275
6.5.1 Prsten . . . 276
6.5.2 Primjeri prstena . . . 276
6.5.3 Polje . . . 278
6.5.4 Primjeri polja . . . 279
6.6 Vektorski prostor . . . 281
6.7 Primjeri vektorskog prostora . . . 283
6.8 Algebarske strukture polinoma . . . 284
6.8.1 Prsten polinoma . . . 284
6.8.2 Vektorski prostor polinoma . . . 285
6.9 Zadaci . . . 286
6.10 Projekti . . . 288
7 Matematiˇcka teorija raˇcunalstva 293 7.1 Jezici . . . 294
7.1.1 Regularni izrazi . . . 295
7.1.2 Kontekstno slobodne gramatike . . . 298
7.2 Konaˇcni automati . . . 299
7.3 Potisni automati . . . 307
7.4 Turingovi strojevi . . . 313
7.5 Zadaci . . . 324
Uvod
Matematika je vrata, ali i kljuˇc ulaznih vrata u znanost.
Roger Bacon
1.1
Matematiˇ
cke metode i modeli
U ovom uvodnom poglavlju iznijet ´cemo kratki uvod u znanstvenu metodu, te njezine moderne inaˇcice. Nadalje, pokuˇsat ´cemo predstaviti vaˇznost ma-tematike u znanstvenim problemima i svakodnevnom ˇzivotu i radu. Medu-tim, da bismo pravilno koristili matematiˇcke metode, treba poznavati osnove njezine strukture kao i metode dokazivanja hipoteza u matematici. Posebno ´cemo izdvojiti princip matematiˇcke indukcije kao metodu kojom dokazu-jemo tvrdnje koje ovise o prirodnim brojevima, te koju ˇcesto koristimo kod rekurzivnih definicija.
1.1.1 Znanstvena metoda
Znanost moˇzemo definirati kao metodiˇcki (sistematski) pristup prikupljanju znanja. U znanosti se za istraˇzivanje sluˇzimo znanstvenom metodom. Znan-stvena metoda se temelji na ˇcinjenicama, a ne na uvjerenjima, a u op´cem smislu ukljuˇcuje nekoliko koraka. Koraci znanstvene metode su sljede´ci: promatranje, postavljanje pitanja, postavljanje hipoteze, testiranje hipoteze, eksperiment, analiza podataka i rezultata i zakljuˇcak. Hipoteza ne mora uvijek biti toˇcna, ali treba biti mjerljiva. Naˇcin na koji se testira hipoteza ovisi o podruˇcju znanosti u kojem se istraˇzuje.
Medutim, danas je znanost kompleksnija nego ikad, bavi se sve teˇzim i teˇzim problemima koje nuˇzno treba rjeˇsavati multidisciplinarnim pristupom. U tom procesu potrebno je pametno kombinirati individualne ekspertize i kompetencije. Stoga je nuˇzan projektni pristup rjeˇsavanju problema i nji-hovom istraˇzivanju. Prema tradicionalnoj znanstvenoj metodi koja
2 1.1. MATEMATI ˇCKE METODE I MODELI
strofira objektivnost, a eksperimente pojednostavljuje tako da bi se moglo razmatrati samo jedno pitanje, problemi moderne znanosti ne mogu se viˇse uspjeˇsno rjeˇsavati. Istovremeno, jaˇca uloga raˇcunalnog modeliranja i simboliˇckih matematiˇckih eksperimenata, kao i uloga matematiˇckih i sta-tistiˇckih metoda op´cenito. U tom svjetlu mnogi znanstvenici predlaˇzu da treba mijenjati i klasiˇcnu znanstvenu metodu [7]. Prema [7], alternativni izgled znanstvenog procesa ukljuˇcivao bi i razvoj novih metodologija koje bi odgovarale postavljenom problemu, te razvoj teorija, koje bi objaˇsnjavale rezultate. Nove tehnologije mogu iza´ci kao dodatni rezultat razvoja meto-dologije i alata, kao i konaˇcni rezultat istraˇzivanja. Primjerice, Kopernik je pri reviziji Ptolomejeve kozmologije, razvio matematiˇcku metodologiju koja ga je dovela do rezultata, koji su oznaˇcili preokret, ne samo u astronomiji, nego u ˇcovjekovu cjelokupnom poimanju svijeta.
Jednom kad se pojavi problem, zada´ca je znanosti da nade metodologiju pomo´cu koje ´ce ga rijeˇsiti. Ali ne samo to. Znanstvenici trebaju razmotriti teorijsko znaˇcenje i vaˇznost problema kojeg obraduju te mogu´cnosti primjene njegovih direktnih i indirektnih rezultata.
1.1.2 Matematiˇcki model
Osnova za razumijevanje svijeta je promatranje. Promatranjem prikuplja-mo informacije. Znanstvenik prikuplja informacije sistematski, u skladu sa znanstvenom metodologijom. Pri tome se sluˇzi mjerenjem da bi kvantifi-cirao podatke. Na temelju pojedinaˇcnih informacija rade se generalizacije, najprije jednostavne, pa sve sloˇzenije. Konaˇcno, dolazimo do razumijevanja materije na temelju principa. Op´cenito, princip je poop´cenje ili apstraktna tvrdnja.
U procesu istraˇzivanja, ali i u svakodnevnom rjeˇsavanju problema, upo-trebljavamo modele. Model je analogija s nekim objektom ili konceptom, ili drugim interesantnim modelom, a koristi se kao objaˇsnjenje nekog procesa ili predvidanje dogadaja. O modelu moˇzemo razmiˇsljati kao o ”imaginarnoj, pojednostavljenoj verziji dijela svijeta kojeg promatramo.” ([5])
Iskustvo pokazuje da je matematika dobro sredstvo (jezik) za izraˇzavanje principa. Matematiˇcki modeli su modeli bazirani na matematiˇcki postavlje-nim principima. Dakle, oni predstavljaju matematiˇcku karakterizaciju ili opis nekog fenomena ili procesa. Matematiˇcki model sadrˇzi sljede´ce bitne komponente; pojavu ili proces iz realnog svijeta koji se ˇzeli modelirati, ap-straktnu matematiˇcku strukturu i korespondenciju izmedu elemenata prve i druge komponente.
Svrha matematiˇckog modela je:
• prezentacija informacija u lako prihvatljivom obliku,
• olakˇsavanje istraˇzivanja i predvidanja.
Matematiˇcki modeli op´cenito sadrˇze tri razliˇcite vrste kvantitativnih veliˇcina: izlazne varijable (output), ulazne varijable (input) i parametre (konstante). Viˇse o matematiˇckom modeliranju moˇzete na´ci u [4].
Jedan od poznatih modela u fizici je model plina u kinetiˇckoj teoriji plina. Molekule plina zamiˇsljamo kao vrlo male kuglice smjeˇstene u nekoj kocki. Kuglice se gibaju konstantnom brzinom, nezavisno jedna od druge, a njihove medusobne sudare, kao i sudare sa stjenkama kocke, smatramo elastiˇcnima. Smjerove brzina molekula smatramo nasumiˇcnima, tj. njihova rezultanta je nul-vektor. Na temelju ovog priliˇcno grubog modela, punog pretpostavki, dobivene su formule koje dobro opisuju realnu situaciju.
Dakle, matematika je izuzetno korisna i to se moˇze dobro argumenti-rati. Ali na matematiku se moˇze gledati i drugaˇcije. O matematici se govori i kao o logiˇckoj igri ili o sredstvu za razvijanje logiˇckog i sistemat-skog razmiˇsljanja. Nadalje, matematiku se ponekad opisuje kao znanost o uzorcima (vidi [3]), jer matematiˇcari prouˇcavaju uzorke: numeriˇcke uzorke, uzorke oblika, uzorke gibanja, uzorke ponaˇsanja, izborne uzorke, uzorke sluˇcajnih dogadaja itd.
Matematiˇcka
struktura
Proces u
realnom
svijetu
Slika 1.1
1.1.3 Struktura matematike
4 1.1. MATEMATI ˇCKE METODE I MODELI
matematika treba izgraditi na predikatnoj logici. U posljednjem desetlje´cu 19. st. Guiseppe Peano je napravio aksiomatski okvir koji je ukljuˇcivao logiku i teoriju skupova. Taj su rad poˇcetkom 20. st. nastavili Alfred Whitehead i Bertrand Russell.
Ponovimo vaˇzne ˇcinjenice o matematiˇckim strukturama. Pojaˇsnjenja se mogu na´ci u [4], (str.7-9).
Pojmovi u matematici se dijele na osnovne i izvedene pojmove. Osnovni pojmovi se ne definiraju, a izvedeni se pojmovi definiraju pomo´cu osnovnih. Definicija je sud pomo´cu kojeg se odreduje sadrˇzaj nekog pojma. Isti se pojam moˇze definirati na viˇse ekvivalentnih naˇcina.
Osnovni matematiˇcki pojmovi su generalizacija objekata iz stvarnog svi-jeta (npr. pravac je generalizacija zrake svjetlosti).
Prilikom formiranja tvrdnji koristimo se zakljuˇcivanjem. Zakljuˇcivanje je naˇcin miˇsljenja kojim se viˇse sudova (premisa) dovodi u vezu i izvodi novi sud (zakljuˇcak, rezultat). Razlikujemo
induktiv-no i deduktivinduktiv-no zakljuˇcivanje te zakljuˇcivanje po analogiji. Matematiˇcki oblici zakljuˇcivanja su in-duktivno i dein-duktivno zakljuˇcivanje.
Indukcija moˇze biti potpuna (matematiˇcka) i ne-potpuna. Pri dokazivanju u matematici sluˇzimo se potpunom ili matematiˇckom indukcijom. No i u ostalim ljudskim djelatnostima, gdje se vaˇznost pridaje ispravnom zakljuˇcivanju, ne smijemo se sluˇziti nepotpunom indukcijom. O tome ´ce biti viˇse govora u nastavku knjige.
Deduktivna metoda karakterizira viˇsi nivo razvoja neke znanosti, jer ona podrazumijeva postojanje
Slika 1.2: Gottfried Wil-helm von Leibniz
principa.
Euklid (365. p. K.) je bio prvi poznati znanstvenik u povijesti koji je sus-tavno primijenio deduktivne metode, i to u geometriji. Geometrija je na taj naˇcin aksiomatizirana (vidi: [9], [2]), tj. utemeljena na sustavu aksio-ma, koji predstavljuju tvrdnje za koje postoji uvjerenje da su istinite. Tako dobivenu geometriju nazivamo euklidskom geometrijom. Aritmetika je aksi-omatizirana znatno kasnije, u drugoj polovici 19. st. (vidi: [10]).
Istaknimo bitne elemente matematiˇcke teorije deduktivnog pristupa. To su:
1. nabrajanje osnovnih pojmova, 2. definiranje sloˇzenih pojmova, 3. postavljanje aksioma,
Aksiomi i teoremi (pouˇcci, stavci) izriˇcu ekvivalentne tvrdnje i iznose zakljuˇcke o matematiˇckim pojmovima i njihovim medusobnim odnosima i vezama.
Aksiomi su tvrdnje koje smatramo istinitima bez posebnog dokaza, dok su teoremi tvrdnje koje logiˇcki izviru iz aksioma.
Svaki teorem treba izvesti (deducirati, dokazati) iz jednog ili viˇse aksioma u konaˇcno mnogo koraka.
Dokaz je zakljuˇcivanje kojim se pokazuje da je neki teorem logiˇcka po-sljedica nekih aksioma ili ve´c dokazanih teorema. Dokaz moˇze biti direktan i indirektan.
1.2
Tehnike dokazivanja u matematici
1.2.1 Sudovi i matematiˇcka logika kao okvir za matematiˇcke tvrdnje
U matematici, kao i drugim znanostima, susre´cemo tvrdnje koje izraˇzavaju odredene znanstvene spoznaje. Tvrdnje u znanosti se trebaju dokazati. Po-jedine znanstvene discipline raspolaˇzu skupom metoda kojima se tvrdnje u tom podruˇcju dokazuju. Tehnike dokazivanja u druˇstvenim znanostima bitno se razlikuju od onih u prirodnim znanostima, a posebno matematici.
Slika 1.3: Pierre de Fermat
U svakom je znanstvenom istraˇzivanju u po-ˇcetku potrebna istraˇzivaˇcka intuicija, koja je ˇcesto temeljena na ranijim spoznajama i iskustvu. Me-dutim, nakon ˇsto su formulirane odredene znan-stvene hipoteze, potrebno je egzaktno dokazati nji-hovu toˇcnost. U tom smislu hipoteze trebaju biti
pozna-6 1.2. TEHNIKE DOKAZIVANJA U MATEMATICI
ti problem rjeˇsivosti svakog algoritamski rjeˇsivog problema u polinomnom vremenu, odnosnoP =N P problem.
Medutim, da bi netko uspjeˇsno rjeˇsavao probleme u matematici, ali i s razumijevanjem prihva´cao matematiˇcke teorije koje ´ce koristiti u drugim po-druˇcjima istraˇzivanja i rada, nuˇzno je da se upozna s tehnikama dokazivanja u matematici. Dokazivanje u matematici temelji se na matematiˇckoj logici. Osnove matematiˇcke logike mogu se prona´ci primjerice u [4], ali i u drugom poglavlju ove knjige.
Nabrojimo osnovne tipove tvrdnji koje susre´cemo u matematici. Tvrdnja ”20 je viˇsekratnik od 5” je jednostavni sud. Budu´ci da je 20 = 4×5 znamo da je ovaj sud istinit.
Mnoge tvrdnje u matematici jesusloˇzeni sudovi jer se sastoje od dva ili viˇse sudova povezanih logiˇckim operacijama.
Osnovne operacije matematiˇcke logike su konjunkcija (veznik i), disjun-kcija (veznik ili) i negacija. Ponovimo njihove vrijednosti istinitosti.
Sloˇzeni suda∧b(aib) je istinit ako i samo ako su oba sudaaibistinita. Sloˇzeni sud a∨b (a ili b) je istinit ako je barem jedan od sudova a i b
istinit.
Negacija¬asuda aje istinita ako i samo ako je sudalaˇzan.
Mnoge matematiˇcke tvrdnje su implikacije, odnosno oblika ako-onda. Sloˇzeni sud a⇒b(akoa ondab;aimplicirab) je laˇzan samo ako je sud
aistinit, sudblaˇzan. Primjer implikacije je sljede´ca tvrdnja.
Primjer 1.1 Ako je prirodan broj n djeljiv brojem 6, onda je n djeljiv i brojem 3.
Uoˇcite da implikacija nije komutativna operacija tj. ako je istinita im-plikacijaa⇒b, tada obratna implikacijab⇒anije nuˇzno istinita.
Zadatak 1.1 Izrecite obrat implikacije iz prethodnog primjera i utvrdite je li to istinita tvrdnja.
Ako je istovremeno istinito a ⇒ b i b ⇒ a kaˇzemo da su tvrdnje a i b
ekvivalentne i piˇsemoa⇔b.Evo primjera ekvivalencije.
Primjer 1.2 Prirodan brojnje paran ako i samo ako je n2 paran. Dakle, znak ⇔ obiˇcno ˇcitamo ”ako i samo ako” ili ”ekvivalentno”. Pokazuje se da je istinita implikacija a ⇒ b ako i samo ako je istinit obrat suprotne tvrdnje tzv. kontrapozicija. Dakle, tvrdnjea⇒bi¬b⇒ ¬a
Primjer 1.3 Uvijek postoji rjeˇsenje homogenog sustava linearnih jedna-dˇzbi.
U iskazivanju tvrdnji o postojanju koristimo se kvantifikatorom egzisten-cije∃,kojeg ˇcitamo ”za neki” ili ”postoji”.
Nasuprot tvrdnjama o egzistenciji nalaze seuniverzalne tvrdnje, tj. tvrd-nje koje se odnose na sve elemente odredenog skupa. Za njihovo izricatvrd-nje koristimo univerzalni kvantifikator ∀, kojeg ˇcitamo ”za svaki” ili ”za sve”. Evo primjera univerzalne tvrdnje.
Primjer 1.4 Za svaki prirodan broj n, broj 3n−1 je prosti broj. Ova tvrdnja nije istinita. Istinita je, na primjer, tvrdnja: Za svaki prirodan broj
n, brojn(n+ 1)(n+ 2) je djeljiv sa 6.
Posebnu paˇznju treba obratiti na ˇcinjenicu kako se operacija negacije odnosi prema kvatifikatorima. Negiramo li univerzalni kvantifikator umje-sto njega moˇzemo pisati kvantifikator egzistencije i obrnuto, negacijom kvan-tifikatora egzistencije dobijemo univerzalni kvantifikator. Objaˇsnjenje mo-ˇzete na´ci u poglavlju ove knjige koje se bavi matematiˇckom logikom, ali i u [4], str. 37.
1.2.2 Dokazivanje matematiˇckih tvrdnji
Dokaz predstavlja demonstraciju istinitosti zadane tvrdnje. U matematici ˇcesto treba dokazivati teoreme, propozicije, leme i korolare koji su dani u obliku implikacije A ⇒ B. Ovdje tvrdnju A nazivamo pretpostavka, a tvrdnju B zakljuˇcak. Te su dvije tvrdnje u teoremima i drugim suvislim matematiˇckim tvrdnjama medusobno povezane. Da bismo dokazali istini-tost implikacije dovoljno je ispitati ne pojavljuje li se sluˇcaj da istinita pret-postavka vodi do laˇznog zakljuˇcka. Tvrdnja je trivijalno istinita ako je zakljuˇcak istinit.
Direktni dokaz implikacije se stoga provodi tako da se uzima da je pret-postavka istinita i temeljem toga pokaˇze da tada i zakljuˇcak mora biti istinit. Ponekad je jednostavnije koristitidokaz po kontrapoziciji (indirektni do-kaz), koji umjesto tvrdnjeA⇒B dokazuje tvrdnju¬B ⇒ ¬A.
Tvrdnje koje imaju jednake tablice istinitosti su ekvivalentne. Budu´ci se ekvivalencija sastoji od dvije implikacije, kod dokazivanja ekvivalencije provode se dokazi dviju implikacija i ukoliko su obje implikacije istinite, zakljuˇcuje se da je ekvivalencija istinita. U ekvivalentnim tvrdnjama koris-timo formulaciju”A ako i samo ako B”, koja oznaˇcava da ”A povlaˇci B” i ”B povlaˇci A”.
Primjer 1.5 Dokaˇzimo direktno tvrdnju iz Primjera 1.2.
Prvo dokazujemo implikaciju ”Ako jenparan prirodan broj tada je in2
8 1.2. TEHNIKE DOKAZIVANJA U MATEMATICI
pri ˇcemu je kneki prirodan broj. Kvadriranjem te jednakosti dobivamo da jen2 = 4k2,ˇsto znaˇci da jen2 paran broj.
Druga implikacija glasi: ”Ako je n2 paran prirodan broj tada je i n
paran.”
Ova tvrdnja lagano se dokazuje obratom po kontrapoziciji. Kontrapozi-cija glasi: ”Ako jen neparan tada je i n2 neparan.” Dokaˇzite za vjeˇzbu tu
tvrdnju.
U nekim dokazima koristimo dokaz kontradikcijom kao varijaciju dokaza po kontrapoziciji. Pretpostavimo naime da je negacija poˇcetne tvrdnje is-tinita. Ta pretpostavka zatim vodi do tvrdnje koja je oˇcigledno laˇzna ili je u suprotnosti (kontradikciji) s nekom pretpostavkom. Klasiˇcan primjer dokaza kontradikcijom je dokaz da je√2 iracionalan broj.
Tvrdnje oegzistenciji nekog objekta dokazuju se tako da se pronade prim-jer definiranog objekta. Primprim-jer koji pokazuje da vrijedi tvrdnja o postoja-nju rjeˇsenja homogenog sustava linearnih jednadˇzbi je tzv. trivijalno rjeˇsenje (rjeˇsenje ˇcije su sve komponente rjeˇsenja jednake nuli). Traˇzenje primjera egzistencije nije uvijek jednostavan posao jer postoje matematiˇcke slutnje o postojanju odredenih objekata koje nikada nisu dokazane. Takva je na primjer slutnja da postoje brojevia, b, c, d takvi da jea4+b4+c4 =d4.
Univerzalna tvrdnja se opovrgava tako da se nadeprotuprimjer, odnosno primjer za koji tvrdnja ne vrijedi. Pronadimo protuprimjer za Primjer 1.4. Zan= 3 broj 3n−1 je sloˇzeni broj.
Poneke tvrdnje se dokazuju provjeravanjem konaˇcnog broja sluˇcajeva (Primjer: Postoji prosti broj izmedu 100 i 115).
1.2.3 Matematiˇcka indukcija i skup prirodnih brojeva
Matematiˇcka se teorija gradi tako da se prvo utvrdi skup aksioma koji su op´ce prihva´ceni kao istiniti pa se pomo´cu njih dokazuju sloˇzenije tvrd-nje. Cilj ovog poglavlja knjige je dati jedan jednostavni primjer izgradnje matematiˇcke teorije.
Svima je poznato da su prirodni brojevi oni koje koristimo za prebro-javanje u svakodnevnom ˇzivotu, da je najmanji prirodni broj 1. Ipak ove tvrdnje nisu dovoljne za aksiomatsku definiciju prirodnih brojeva.
Tako u aritmetici postoje tzv. Peanovi aksimi, koji postuliraju posto-janje prirodnih brojeva tj. skupaN. Evo tih aksioma.
Peanovi aksiomi:
1. 1∈N.(Dakle, Nnije prazan skup, ve´c sadrˇzi najmanje jedan element.) 2. Za svakix∈Npostoji prirodni brojx′ kojeg zovemo sljedbenikom od
x.
4. x′ = y′ povlaˇci x = y. ( Razliˇciti prirodni brojevi imaju razliˇcite sljedbenike.)
5. Aksiom indukcije. Neka je M ⊆Nsa sljede´cim svojstvima: 1) 1∈M,
2) x∈M povlaˇci x′∈M.
Tada jeM =N.
Aksiom matematiˇcke indukcije, odnosno princip matematiˇcke indukci-je vaˇzno indukci-je orude u matematiˇckom dokazivanju. Taj se princip ne smiindukci-je mijeˇsati s induktivnom metodom u znanosti. Induktivna metoda u znanosti sluˇzi samo za izvodenje op´cih principa iz pojedinaˇcnih sluˇcajeva. Prin-cip matematiˇcke indukcije sluˇzi za dokazivanje tvrdnji koje vrijede za sve prirodne brojeve (osim moˇzda za konaˇcno mnogo njih). Tvrdnje koje se dokazuju matematiˇckom indukcijom ovise o cijelom (prirodnom) brojun.
Prikladno je tvrdnju koju dokazujemo oznaˇciti saP(n).
Princip matematiˇcke indukcije provodi se u dva koraka:
1. Baza indukcije. Treba dokazati da tvrdnja vrijedi za n = 1, tj. da vrijediP(1).
2. Korak indukcije. Pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. Treba dokazati da tvrdnja vrijedi zan=k+1.Odnosno,P(k) =⇒P(k+ 1).
Uvijek treba provjeriti oba koraka, jer u suprotnom moˇzemo pogrijeˇsiti i ”dokazati” tvrdnju koja zapravo ne vrijedi (Eulerov primjer, Goldbachova hipoteza).
Primjer 1.6 Za sve prirodne brojeve nvrijedi n
X
i=1
i(i+ 3) = 1
3n(n+ 1) (n+ 5).
Dokaz. Provjerimo prvo bazu indukcije tj. da tvrdnja vrijedi zan= 1.
Imamo 1 (1 + 3) = 131 (1 + 1) (1 + 5),pa baza indukcije vrijedi. Pretpostavimo sada da tvrdnja vrijedi zan=k,tj. da vrijedi
Xk
i=1i(i+ 3) = 1
3k(k+ 1) (k+ 5).
Upotrebom te pretpostavke treba dokazati da tvrdnja vrijedi za n =
k+ 1,tj. da vrijedi
Xk+1
i=1 i(i+ 3) = 1
3(k+ 1) (k+ 2) (k+ 6).
Raspisivanjem znaka sumacije na lijevoj strani dobivamo
Xk
10 1.2. TEHNIKE DOKAZIVANJA U MATEMATICI
Iskoristimo pretpostavku za sumu na lijevoj strani i imamo
1
3k(k+ 1) (k+ 5) + (k+ 1) (k+ 4) = 13(k+ 1) (k+ 2) (k+ 6),
ˇcime je tvrdnja dokazana.
U brojnim situacijama u matematici, ali ne samo u matematici, mogu´ce je na temelju eksperimentiranja na pojedinaˇcnim primjerima do´ci do do-bre slutnje, a nakon toga je dokazati upotrebom matematiˇcke indukcije. Medutim, bez ovog drugog koraka, tj. bez matematiˇckog dokaza, ostajemo samo na slutnji, dakle ne znamo da li ona vrijedi za sve sluˇcajeve ili ne. Preporuˇcamo da viˇse o tome, kako slutnja moˇze postati teorem, proˇcitate u [1], str. 35.
Istaknimo dvije od mogu´cih modifikacija principa matematiˇcke indukcije. Postoje tvrdnje koje ukljuˇcuju prirodne brojeve, ali ne vrijede za sve njih, nego vrijede za one koji su ve´ci od nekog prirodnog broja n0. Primjerice,
nejednakost n! > 2n je ispunjena za svaki n ≥ 4. Dokaz ove tvrdnje moˇze se provesti pomo´cu matematiˇcke indukcije, samo ˇsto u bazi ispitujemo da li tvrdnja vrijedi zan= 4. Op´cenito se svaka tvrdnjaP(n) koja vrijedi za
n≥n0, moˇze podvesti pod princip matematiˇcke indukcije tako da se tvrdnja
modificira u tvrdnjuP(n+n0−1).
Zadatak 1.2 Dokaˇzite da vrijedi nejednakost n!>2n,za svaki n≥4. Matematiˇcku indukciju upotrebljavamo i za rekurzivne definicije razli-ˇcitih matematiˇckih objekata. Taj oblik matematiˇcke indukcije zovemojaka matematiˇcka indukcija, iako je ona ekvivalentna ”obiˇcnoj” matematiˇckoj indukciji. Izrecimo je:
Neka je P tvrdnja koja ovisi o prirodnom brojuni vrijedi:
1. TvrdnjaP je istinita za neki prirodni broj n0.
2. Ako je k > n0 prirodni broj i P je istinita za sve prirodne brojeve
x, n0 ≤x≤k tada jeP istinita i zak+ 1.
Tada jeP istinita za sve prirodne brojeven≥n0.
Dakle, u jakom obliku matematiˇcke indukcije pretpostavljamo da je tvrd-nja istinita za sve prirodne brojeve manje od promatranog prirodnog broja i dokazujemo da je onda tvrdnja istinita za promatrani prirodni broj. Nadalje, jaku matematiˇcku indukciju koristimo i kod rekurzivnih definicija, o ˇcemu ´ce biti govora u posebnom poglavlju ove knjige.
Vratimo se sada strukturi skupa prirodnih brojeva. Nabrojimo aksiome koji opisuju operacije zbrajanja (oznaka: a+b) i mnoˇzenja prirodnih brojeva (oznaka: a·b ili ab), te odnos relacije < i prirodnih brojeva. Za prirodne brojevea, b, c vrijedi:
2. a·b∈N (zatvorenost)
3. a+b=b+a (komutativnost)
4. (a+b) +c=a+ (b+c) (asocijativnost)
5. a·b=b·a (komutativnost)
6. (a·b)·c=a·(b·c) (asocijativnost)
7. Postoji element 1∈N,takav da je n·1 =n.
8. Ako je m·x=n·xza neki x∈N,tada jem=n.
9. a·(b+c) = (a·b) + (a·c)
10. Za dane prirodne brojeve x, y, z uvijek je istinita samo jedna od slje-de´cih tvrdnjix < y, x=y, y < x.
Viˇse o relacijama i operacijama na razliˇcitim skupovima saznat ´cete u nastavku ove knjige. U tom kontekstu bit ´ce jasnija i uloga gornjih aksioma koji govore o dvije najvaˇznije operacije na skupu prirodnih brojeva.
1.2.4 Princip dobrog uredaja u skupu N
Na kraju spomenimo da za prirodne brojeve vrijedi tzv. princip dobrog uredaja.
Tvrdnja 1.1 Svaki neprazni podskup skupa prirodnih brojeva ima naj-manji element.
Dokaz. Ova se tvrdnja moˇze dokazati upotrebom principa matematiˇcke indukcije po broju elemenata skupa ˇciji najmanji element traˇzimo. Jasno je da vrijedi baza indukcije jer u skupu, koji se sastoji samo od jednog elementa, taj je element ujedno i najmanji. Nadalje, pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za sve skupove od k elementa, tj. da postoji najmanji element u svakom od tih skupova. U koraku indukcije promatramo skupove koji imaju k+ 1 elemenata. Pretpostavimo da smo skupu B od k+ 1 elemenata odstanili jedan elementai tako dobili skup odkelementa za koji po pretpostavci in-dukcije znamo da ima najmanji elementb.Manji od brojevaaibje najmanji element skupaB.
Dakle, iz principa matematiˇcke indukcije slijedi princip dobrog uredaja. Medutim, vrijedi i obrnuto, tj. upotrebom principa dobrog uredaja moˇzemo dokazati da vrijedi princip matematiˇcke indukcije. Evo dokaza.
Pretpostavimo:
12 1.3. ZADACI
2. Ako jek > n0 prirodni broj i P je istinita prirodni broj k,tada je P
istinita i zak+ 1.
Principom dobrog uredaja treba dokazati da je tadaP istinita tvrdnja za sve prirodne brojeven≥n0.Pretpostavimo daP nije istinita za sven≥n0
(tj. postoje prirodni brojevi za koje dana tvrdnja ne vrijedi) i taj skup oznaˇcimo sa A. Tada taj neprazni skup A prirodnih brojeva, po principu dobrog uredaja, ima najmanji element a. Znamo po pretpostavci 1 da je
a6=n0,pa jea−1≥n0,odnosnok=a−1.Po pretpostavci 2,P je istinita
tvrdnja zak+ 1,odnosno zaa,pa smo ovu tvrdnju dokazali kontradikcijom. Dakle, zakljuˇcujemo da je poˇcetna pretpostavka pogreˇsna ˇsto znaˇci da jeP
istinita tvrdnja za sve prirodne brojeven≥n0.
Zakljuˇcujemo, princip dobrog uredaja i princip matematiˇcke indukcije suekvivalentne tvrdnje.
1.3
Zadaci
1. Dokaˇzite sljede´ce tvrdnje:
(a) Svaki od brojeva 111, 366, 723 i 1341 djeljiv s 3.
(b) Ako je anemaran prirodan broj i ako je b paran prirodan broj, onda jea−bneparan broj.
(c) Ako jea2 neparan onda je ianeparan broj.
(d) Brojnje paran ako i samo ako je nn−2·n+ 1 neparan. (e) Ako 2 dijeli 5nonda je nparan broj.
2. Pokaˇzite da je suda⇒(p⇒q) tautologija.
3. Pokaˇzite da je sud (a∧b)∧(¬a∨ ¬b) kontradikcija. 4. Pojednostavite sljede´ce izraze:
(a) (1 : 0 =∧(1<10), (b) (π <8)∧(π <6), (c) (e <4)∧(e2 <9)
5. Odredite istinitost sljede´cih tvrdnji: (a) (π2>2)⇒(π >1,4),
(b) (e2≥0)⇒(e <0),
(c) ¬(6 je cijeli broj⇒(62≥1)),
6. Neka sum, n∈N. Dokaˇzite da jemn neparan ako i samo ako sum i
nneparni.
7. Napiˇsite sljede´ce izjave pomo´cu kvantifikatora i standardnih oznaka za skupove brojeva.
(a) Jednadˇzbax2+a= 0 ima realni korijen za svaki realni broja. (b) Svaki realni broj je racionalni broj.
(c) Postoji barem jedan iracionalan broj, (d) Postoji najmanji prirodan broj. Koje su od gornjih izjava istinite?
8. Napiˇsite negacije izjava iz prethodnog zadatka.
9. Koje su tvrdnje istinite? Univerzum razmatranja je zapisan u zagra-dama.
(a) ∀x(x−1≤x) (R). (b) ∃x(x+ 3 = 2x−1) (N).
(c) ∃!x(x2 = 2) (R). (d) ∀x∃!y(y=x2) (R).
(e) ∀x∃!y(y=x2) (N).
10. Dokaˇzite da je√3 iracionalan broj.
11. Dokaˇzite da ako jen∈Ntada je barem jedan od brojevan, n+2, n+ 4 djeljiv s 3.
12. Zadana je tvrdnjaT.
T := ”Ako jenkvadrat parnog prirodnog broja tada jen
suma dva uzastopna neparna prirodna broja.”
(a) Pokaˇzite da je T istinita tvrdnja upotrebljavaju´ci konstrukciju temeljenu na sljede´cim primjerima: 42 = 7 + 9,62 = 17 + 19,82 = 31 + 33,102 = 49 + 51.
(b) Napiˇsite¬T.
(c) Napiˇsite kotrapozitivnu tvrdnju tvrdnjiT. Je li ona istinita? 13. Upotrebom matematiˇcke indukcije dokaˇzite sljede´ce tvrdnje:
(a) n3−2nje djeljiv s 3.
(b) an−bn je djeljiv sa−bza svea, b∈Z ia−b6= 0. (c) Pn
k=1
14 1.3. ZADACI
(d) Za svakix∈R,x6=±1 i n≥1 vrijedi n
Q
k=1
(1 +x2k) = 1−x2
k+1
1−x2 .
14. Pomo´cu matematiˇcke indukcije pokaˇzite da ako je a1 = 1, a2 = 5 i
an+1= 5an−6an−1 za n≥2 tada je an= 3n−2n za svaki n∈N. 15. Za svaki od sljede´cih skupova nadite najmanji i najve´ci element,
uko-liko oni postoje:
(a) A={n∈N:n2 ≤52} (b) B={n∈N:n2≤100n}
(c) C={n∈N:nje viˇsekratnik broja 4}
(d) D={n∈N:nje prost broj}
16. Neka su S1 i S2 podskupovi skupa N. Nadalje, neka je m1, odnosno
m2 najmanji element u S1, odnosno S2, te neka je M1, odnosno M2
najve´ci element uS1, odnosno S2. ˇSto znamo o najmanjem, odnosno
[1] Biggs, N. L.: Discrete Mathematics, Oxford University Press Inc., New York, 2002.
[2] Dadi´c, ˇZ.: Povijest ideja i metoda u matematici i fizici, ˇSkolska knjiga, Zagreb, 1992.
[3] Devlin, K.: Language of Mathematics, W. H. Freeman and Co., New York, 2000
[4] Divjak, B.; Hunjak, T.: Matematika za informatiˇcare, TIVA-FOI, Varaˇzdin, 2004.
[5] Gowers, T.: Mathematics, A Very short Introduction, Oxford Univer-sity Press, Oxford, 2002.
[6] Hoffmann, L. D.; Bradley, G. L.: Finite mathematics with Calculus, McGraw-Hill, Inc., New York, 1995.
[7] Keller, S.-McNulty; Wilson, A. G.; Wilson, G.: The Impact of Technol-ogy on the Scientific Method, submitted to: Science Compass, LA-UR-01-5739
[8] Kerzner, H.: Project Management, a Systems Approach to Planning, Scheduling and Controlling, John Wiley and Sons Inc., New York, 2003. [9] Mintakovi´c, S.: Neeuklidska geometrija Lobaˇcevskog,ˇSkolska knjiga,
Za-greb, 1972.
[10] ˇSiki´c, Z.: Kako je stvarana novovijekovna matematimka, ˇSkolska knjiga, Zagreb, 1989.
Matematiˇ
cka logika
Pretpostavimo da je pronadena kontradikcija u aksiomima teorije skupova. Da li ozbiljno vjerujete da bi se most mogao sruˇsiti?
Frank Ramsey
Logika je jedna od najstarijih, sustavno prouˇcavanih znanstvenih di-sciplina. Ona predstavlja formalizaciju znanstvenog razmiˇsljanja i osigu-rava njegovu valjanost. Njeni poˇceci seˇzu do
Ari-stotela i drugih grˇckih filozofa. Upravo se radovi Aristotela u 4 st. p. K. smatraju temeljima logike kao znanstvene discipline. On je napisao knjigu o logici koju je nazvao Organon (Oργανoν), ˇsto znaˇci orude. Dakle, ve´c je Aristotel gledao na logiku kao na glavno orude znanstvenika, na alat koji znanstveniku omogu´cuje njegov rad, odnosno pronalaˇzenje znanstvenih spoznaja. Uz tu se knji-gu veˇze prvo javljanje pojmova hipoteze, aksioma, teorema i dokaza, kao osnovnih gradevnih
eleme-nata logike. Takoder, Aristotel uvodi tehnike in- Slika 2.1: Aristotel
duktivnog i deduktivnog dokazivanja, te tzv. Aristotelove forme, koje pokri-vaju sve elementarne logiˇcke izjave.
Matematiˇcka logika predstavlja formalizaciju logike te se posebno bavi matematiˇckim razmiˇsljanjem i dokazivanjem. Poˇceci razvoja matematiˇcke logike seˇzu u 18. st. do dublinskog biskupa Richarda Whatleya, koji se sma-tra zaˇcetnikom matematiˇcke logike. Prve znaˇcajne rezultate u matematiˇckoj logici objavili su u 19. stolje´cu George Boole, Augustus De Morgan i Ernst Schr¨oder. Veliki interes za matematiˇcku logiku izazvao je 20-tih godina 20. st. Bertrand Russel (1872-1970) objavljivanjem svojih poznatih paradoksa regularnog svojstva, do kojih je dovelo egzistencijalistiˇcko, nekonstruktivno
18 2.1. RA ˇCUN SUDOVA
definiranje kakvo se koristilo prije toga u matematici. Otkrivanje paradoksa u mnogim matematiˇckim aksiomatikama dovelo je do revizije pojmova u tim matematiˇckim disciplinama. Tako su revidirane matematiˇcke teorije kao ˇsto su teorija skupova, algebra itd. U 20. st. vaˇznije su rezultate dali Albert Thorlaf Skolem, Bertrand Russel, Alfred North Whitehead, a za in-formatiˇcare su posebno interesantni rezultati koje je dao Alan Turing, koji se intenzivno bavio definiranjem intuitivnog pojma algoritma, te dao jedan od najpoznatijih logiˇckih modela algoritma - Turingov stroj. O tome ´cemo viˇse govoriti u posljednjem poglavlju ove knjige.
2.1
Raˇ
cun sudova
Raˇcun sudova ili propozicijska logika je jednostavan logiˇcki jezik koji se sastoji od sudova koji su povezani pomo´cu logiˇckih veznika¬,∨,∧,→,↔.
2.1.1 Sintaksa
Definicija 2.1 (Jezik) JezikL raˇcuna sudova sastoji se od:
1. najviˇse prebrojivog skupa1 A propozicijskih varijabli ili atoma A, B,
C,. . .,
2. veznika¬,∨,∧,→,↔, 3. zagrada},{,],[,),(. Definicija 2.2 (Sud)
1. Svaka propozicijska varijabla je sud. 2. Ako jeF sud, onda je i¬F sud.
3. Ako suF iGsudovi, onda je i (FΘG), Θ∈ {∨,∧,→,↔}takoder sud. 4. Sudovi su samo oni izrazi koji se mogu dobiti konaˇcnim brojem
uza-stopnih primjena pravila 1-3.
Primjer 2.1 Neka suA, B, Cpropozicijske varijable. Tada su sljede´ci izrazi sudovi:
• (A∨(B∧ ¬C)),
• ((A→B)↔(¬A∨B)),
• (C↔(A∧ ¬B)).
Na kraju ovog podpoglavlja treba re´ci nekoliko rijeˇci o zagradama. Za-grade se u logici smatraju pomo´cnim simbolima koji osiguravaju jednoznaˇc-nost formula. U klasiˇcnom su naˇcinu zapisivanja formula zagrade nuˇzne, jer bez njih sudovi ne bi bili jednoznaˇcni. ˇCak i ako se uvede prioritet logiˇckih operatora, kao ˇsto to neki logiˇcari ˇcine, zagrade se ne mogu u pot-punosti izbaciti. Postoje, s druge strane, notacije koje osiguravaju jedno-znaˇcnost formula bez upotrijebe zagrada i bez definiranja prioriteta logiˇckih veznika. Jedna je takva notacija postfiksna notacija ili obrnuta poljska no-tacija. Naˇzalost, iako su takve notacije bolje sa stajaliˇsta jedinstvenosti formula, one su neuobiˇcajene za ljude nenaviknute na njih, pa se rijetko ko-riste. Ipak, u prethodnoj definiciji formule se zadaju tako da je svaki izraz okruˇzen zagradama. No, sve te zagrade nisu potrebne. Postoje sluˇcajevi kada zagrade ne doprinose jednoznaˇcnosti formule i kada se neke njene za-grade izostave. U tom se sluˇcaju zaza-grade, koje ne doprinose jednoznaˇcnosti suda, tj. zagrade koje nisu potrebne i bez kojih sud ostaje jednako jasan, izostaviti. Tako se npr. uvijek izostavljaju zagrade koje okruˇzuju cijeli sud.
2.1.2 Semantika
U proˇslom smo poglavlju objasnili kako se tvore jeziˇcni konstrukti jezika raˇcuna sudova. Ovdje ´cemo opisati njihovo znaˇcenje, odnosno semantiku.
Definicija 2.3 Neka je definirano proizvoljno preslikavanjei:A → {⊥,⊤}.
Interpretacija je proˇsirenje preslikavanjaina skup svih sudovaS definirano na sljede´ci naˇcin:
Neka su F, G∈ S sudovi. Tada vrijede sljede´ce tvrdnje:
• i(¬F) =⊤ako i samo ako jei(F) =⊥,
• i(F∨G) =⊥ako i samo ako je i(F) =⊥ii(G) =⊥,
• i(F∧G) =⊤ako i samo ako je i(F) =⊤ii(G) =⊤,
• i(F →G) =⊥ako i samo ako je i(F) =⊤ii(G) =⊥,
• i(F ↔G) =⊤ako i samo ako je i(F) =i(G).
Primjer 2.2 Neka je zadana interpretacija si(A) =⊥, i(B) =⊥, i(C) =⊥. Treba izraˇcunati istinosnu vrijednost za sudove iz primjera 2.1.
• i(¬C) =⊤, pa je i(B∧ ¬C) =⊥, i na krajui(A∨(B∧ ¬C)) =⊥
• i(A→B) =⊤. Isti tako jei(¬A) =⊤, pa je ui(¬A∨B) =⊤. Dakle
i((A→B)↔(¬A∨B)) =⊤.
20 2.1. RA ˇCUN SUDOVA
Definicija 2.4 SudGjelogiˇcka posljedica skupa sudovaF={F1, . . . , Fn}, ˇsto se piˇse F |= G ili F ⇒ G ako za svaku interpretaciju za koju vrijedi
i(Fi) =⊤ za svakiFi ∈ F vrijedi ii(G) =⊤.
Primjer 2.3 Pokaˇzimo da je sud B logiˇcka posljedica skupa sudova {A→ B, A}.
Pretpostavimo da vrijedi i(A → B) = ⊤ i i(A) = ⊤. Kada bi bilo
i(B) = ⊥, onda bi, zbog i(A → B) = ⊤, iz definicije 2.3 slijedilo da je
i(A) =⊥, a to je u suprotnosti s pretpostavkom da jei(A) =⊤. Dakle, zakljuˇcujemo da jei(B) =⊤.
Uz pojam logiˇcke posljedice usko je vezan joˇs jedan semantiˇcki pojam – pojam logiˇcke ekvivalencije.
Definicija 2.5 SudoviF iGsulogiˇcki ekvivalentni, ˇsto zapisujemoF ≡G
iliF ⇔G, ako za svaku interpretacijuivrijedi da je i(F) =i(G).
Iz definicije pojma logiˇcke ekvivalencije proizlazi sljede´ca karakterizacija logiˇcke ekvivalencije:
Propozicija 2.1 F ≡G ako i samo ako vrijedi da jeF |=G iG|=F. Dokaz. Napravite sami za vjeˇzbu.
Nadalje, iz definicije 2.3 lako se vidi da su operacije∨,∧i↔komutativne. Takoder se vidi da za∨i∧vrijedi svojstvo asocijativnosti. Nadalje, lagano se vidi da vrijede svojstva distributivnosti veznika ∨ prema vezniku ∧ i obrnuto, distributivnosti veznika ∧ prema vezniku ∨. Sve to i joˇs neke ˇcinjenice koje slijede iz definicije 2.3 sadrˇzane su u sljede´coj propoziciji:
Propozicija 2.2 Za proizvoljne sudoveF, GiH vrijedi
1. F∨F ≡F (idempotentnost)
2. F∧F ≡F (idempotentnost)
3. F∨G≡G∨F (komutativnost)
4. F∧G≡G∧F (komutativnost)
5. F∨(G∨H)≡(F ∨G)∨H (asocijativnost)
6. F∧(G∧H)≡(F ∧G)∧H (asocijativnost)
10. F∧ ¬F ≡ ⊥
11. F∨ ⊤ ≡ ⊤
12. F∨ ⊥ ≡F
13. F∧ ⊤ ≡F
14. F∧ ⊥ ≡ ⊥
15. ¬¬F ≡F (dvostruka negacija)
16. ¬(F∨G)≡ ¬F∧ ¬G (de Morganov zakon)
17. ¬(F∧G)≡ ¬F∨ ¬G (de Morganov zakon)
18. F∧(G∨H)≡(F∧G)∨(F ∧H) (distributivnost) 19. F∨(G∧H)≡(F∨G)∧(F ∨H) (distributivnost) 20. F →G≡ ¬G∨F
21. F ↔G≡(F ∧G)∨(¬F∧ ¬G) 22. F ↔G≡(¬F∨G)∧(F∨ ¬G) Dokaz. Napravite sami.
Definirali smo pojam logiˇcke posljedice, no koriste´ci samo tu definiciju, ponekad nije lako odrediti je li neka formula logiˇcka posljedica nekog skupa formula ili nije. Sre´com, postoje tzv. karakterizacije logiˇcke posljedice koje nam omogu´cuju da problem logiˇcke posljedice svedemo na problem tautologiˇcnosti, odnosno antitautologiˇcnosti logiˇcke formule, ˇsto predstavlja problem koji je mnogo lakˇse rijeˇsiti. No, prije no ˇsto to izvedemo, treba definirati joˇs nekoliko pojmova.
Sud F je tautologija ako je i(F) = ⊤ za svaku interpretaciju i. Ako je sudF laˇzan u svakoj interpretacijii, onda se on naziva antitautologija. Za sud koji nije antitautologija, tj. za koji postoji bar jedna interpretacija i
takva da je i(F) = ⊤, kaˇze se da je ispunjiv. Za sud koji nije tautologija, odnosno za koji postoji interpretacija i u kojoj je i(F) = ⊥ kaˇze se da je
otklonjiv ili da nije ispunjiv.
Teorem 2.1 (1. karakterizacija pojma logiˇcke posljedice)
Sud Gje logiˇcka posljedica skupa sudova F ={F1, . . . , Fn} ako i samo ako je sud (F1∧. . .∧Fn)∧ ¬Gantitautololgija.
Dokaz. Neka jeF |=G. Ako u interpretacijiine vrijedi da jei(Fk) =⊤za nekiFk∈ F, onda tvrdnja trivijalno vrijedi. Naime, u svakoj je interpretaciji
i koja ne zadovoljava gore napisani uvjet i(F1 ∧. . . ∧Fn) = ⊥, pa je i
22 2.1. RA ˇCUN SUDOVA
Pretpostavimo stoga da jeiinterpretacija takva da jei(Fk) =⊤za svaki
Fk ∈ F. No, prema definiciji 2.4 onda mora biti i i(G) = ⊤. Ali, onda je prema definiciji 2.3i(¬G) =⊥, pa je ii((F1∧. . .∧Fn)∧ ¬G) =⊥.
Prema tome, u svakoj je interpretaciji i((F1 ∧. . .∧Fn) ∧ ¬G) = ⊥,
odnosno (F1∧. . .∧Fn)∧ ¬Gje antitautologija.
Obrnuto, neka je (F1∧. . .∧Fn)∧ ¬G antitautologija. Pretpostavimo
da je i interpretacija takva da je i(Fk) = ⊤ za svaki Fk ∈ F. Ako takva interpretacija ne postoji, onda je tvrdnja da je G logiˇcka posljedica od F
trivijalno ispunjena. Dakle, neka je i takva interpretacija. Tada je i(F1 ∧
. . .∧Fn) = ⊤. No, kako je (F1 ∧. . .∧Fn) ∧ ¬G, antitautologija, onda, prema definiciji 2.3i(¬G) mora biti ⊥. No, onda je, opet prema definiciji 2.3i(G) =⊤. Kako to vrijedi za svaku interpretaciju za koju je i(Fk) =⊤ za svaki Fk∈ F, zakljuˇcujemo da jeG logiˇcka posljedica odF.
Teorem 2.2 (2. karakterizacija pojma logiˇcke posljedice) Sud G je logiˇcka posljedica skupa sudova F = {F1, . . . , Fn} ako i samo ako je sud (F1∧. . .∧Fn)→Gtautololgija.
Dokaz. Neka jeF |=G. Ako jeiinterpretacija takva da ne vrijedii(Fk) =
⊤za svakiFk ∈ F, onda za svaku intepretacijuivrijedii(F1∧. . .∧Fn) =⊥, pa onda, prema definiciji 2.3, vrijedii((F1∧. . .∧Fn)→G) =⊤.
Neka vrijedii(Fk) =⊤za svakiFk∈ F. Tada, zbog pretpostavke da je
Glogiˇcka posljedica odF mora bitii(G) =⊤. No, onda je, prema definiciji 2.3i((F1∧. . .∧Fn)→G) =⊤.
Dakle, u svakom sluˇcaju jei((F1∧. . .∧Fn)→G) =⊤, pa je (F1∧. . .∧
Fn)→G tautologija.
Obrnuto, neka je (F1∧. . .∧Fn) → G tautologija. Ako ne postoji in-tepretacija u kojoj jei(Fk) =⊤za svakiFk∈ F, onda trivijalno slijedi da je
Glogiˇcka posljedica od F. Neka je, stoga,i takva interpretacija. U njoj je, prema definiciji 2.3i(F1∧. . .∧Fn) =⊤. Kako je sud (F1∧. . .∧Fn)→G) po
pretpostavci tautologija, onda prema definiciji 2.3i(G) mora biti⊤. Dakle,
Gje logiˇcka posljedica odF.
Sliˇcno se moˇze postaviti i karakterizacija pojma logiˇcke ekvivalencije:
Teorem 2.3 (Karakterizacija pojma logiˇcke ekvivalencije)
Dva suda F i G su logiˇcki ekvivalentni ako i samo ako je sud F ↔ G
tautologija.
Dokaz. Izvedite sami.
Formalni sustavi
Ovdje ´cemo prikazati dva sustava: jedan koji se temelji na klasiˇcnom ma-tematiˇckom izvodenju, i drugi koji je posebno pogodan za dedukciju pomo´cu raˇcunala.
Prvi sustav, koji se naziva F-sustav, sastoji se od osam pravila izvoda -po dva pravila za svaki veznik. Za svaki veznik se definira pravilo uvodenja i eliminacije. Ovaj se sustav joˇs naziva i sustav prirodne dedukcije jer se njegovi aksiomi temelje na standardnim logiˇckim pravilima zakljuˇcivanja. Takoder, ovaj je sustav ponekad referiran kao Fitchov sustav, prema ame-riˇckom logiˇcaru Frederichu Fitchu, koji je prvi formalizirao ovaj sustav, povode´ci se za prirodnim pravilima dedukcije, koje matematiˇcari koriste u svojoj praksi. Pravila izvoda se u F-sustavu mogu prikazati grafiˇcki.
Prva dva pravila se odnose na konjunkciju. Prvo od njih je pravilo uvodenja konjunkcije (∧ Intro).
F1 ⇓
Fn .. .
⇒ F1∧. . .∧Fn
Drugo je pravilo eliminacije konjunkcije (∧Elim)
F1∧. . .∧Fn ..
.
⇒ Fi
Oba ova pravila su jasna i jednostavna.
Sljede´ca dva pravila bit ´ce pravila vezana uz disjunkciju. No, prije nego ih iskaˇzemo, moramo uvesti pojam poddokaza. Poddokaz je segment unutar dokaza, koji uz dodatne uvjete dokazuje odredenu tvrdnju. Treba joˇs jed-nom naglasiti da se tvrdnje unutar poddokaza izvode uz dodatne uvjete, koji op´cenito ne moraju vrijediti. Stoga tvrdnje koje su dokazane unutar pod-dokaza takoder ne moraju vrijediti op´cenito. Zbog toga koriˇstenje tvrdnji dokazanih u poddokazu izvan poddokaza nije dozvoljeno, osim ako to pravi-lo izvoda izriˇcito ne nalaˇze. Jedno takvo pravipravi-lo koje omogu´cuje koriˇstenje tvrdnje dokazane u poddokazu izvan samog poddokaza jest pravilo elimi-nacije disjunkcije.
Uvodenje disjunkcije (∨ Intro)
Fi .. .
⇒ F1∨. . .∨Fn
24 2.1. RA ˇCUN SUDOVA
F1∨. . .∨Fn
F1
.. .
S
⇓
Fn .. .
S
⇒ S
Pravilo eliminacije disjunkcije zahtjeva dodatno objaˇsnjenje. Naime, kao ˇsto je ve´c reˇceno, F sustav slijedi standardne matematiˇcke tehnike dokazi-vanja. Neka pravila su samo koraci u direktnom dokazivanju. Takva su pravila uvodenje i eliminacija konjunkcije te uvodenje disjunkcije. Druga opet pravila predstavljaju strategije dokazivanja. Takvo je pravilo elimi-nacija disjunkcije. Pravila koja predstavljaju strategije dokazivanja imaju u matematici i druge nazive, koji su ve´c spomenuti u poglavlju 1.2, gdje se ono zove dokaz podjelom na sluˇcajeve.
Sada ´cemo uvesti dva pravila koja se odnose na negaciju. Uvodenje negacije (¬ Intro)
F
.. .
G∧ ¬G
⇒ ¬F
Eliminacija negacije (¬Elim)
¬¬F1
.. .
⇒ F
Elimincija negacije je joˇs jedno pravilo koje predstavlja jednostavan ko-rak direktnog dokaza. S druge strane, uvodenje negacije je joˇs jedna, moˇzda ˇcak i najˇceˇs´ce koriˇstena, strategija dokazivanja - dokazivanje obaranjem suprotnog ili dokazivanje svodenjem na kontradikciju, ili pak na latinskom
reductio ab absurdum.
Na kraju, ostali su nam kondicional i bikondicional. Uvodenje kondicionala (→ Intro)
F
.. .
G
⇒ F →G
F →G F
.. .
⇒ G
Uvodenje kondicionala je osnovna strategija dokazivanja sudova koji imaju kauzalnu formu, tj. koje sadrˇze kondicional. S druge strane, elimi-nacija kondicionala je samo korak u dokazivanju. Pravilo eliminacije kondi-cionala ima, medutim, znaˇcajnu ulogu u mnogim logiˇckim sustavima, posebno sustavima koji se koriste u klasiˇcnoj logici. Zato ima i poposebno ime
-modus ponens, ˇsto u prijevodu znaˇci ”metoda potvrdivanja”. Uvodenje bikondicionala (↔Intro)
F
.. .
G G
.. .
F
⇒ F ↔G
Eliminacija bikondicionala (↔ Elim)
F ↔G F
.. .
⇒ G
Sliˇcno kao ˇsto je reˇceno za uvodenje kondicionala, uvodenje bikondi-cionala je osnovna strategija dokazivanja reˇcenica koje sadrˇze bikondicional.
Definicija 2.6 Neka jeF skup sudova i neka jeGsud. Tada se niz sudova
G1, . . . , Gn : G naziva izvod suda G iz skupa sudova F pomo´cu formalnog sustavaS ako za svaki i= 1, . . . , n vrijedi jedna od sljede´cih tvrdnji
• Gi∈ F,
• postojej1, . . . , jk≤itakvi da jeGidobiveno primjenom nekog pravila izvoda iz sustavaS na sudoveGj1, . . . , Gjk.
Sud G je izvediv izF pomo´cu sustava S ako postoji izvod sudaG izF pomo´cu formalnog sustava S. To se oznaˇcava saF ⊢S G
Za izvodenje svakog formalnog sustava bitne su dvije stvari. Prva je da je sustav korektan. To znaˇci da sve ˇsto se pomo´cu sustava moˇze izvesti jest logiˇcka posljedica onoga iz ˇcega je izvedeno. Drugim rijeˇcima, da izF ⊢S G
26 2.1. RA ˇCUN SUDOVA
Teorem 2.4 Neka jeF skup sudova i neka jeGsud. Tada vrijedi:
• Ako jeF ⊢F G onda jeF |=G.
• Ako jeF |=G onda jeF ⊢F G.
Dakle, F sustav je korektan i potpun. Dokaz ovog teorema je priliˇcno dugaˇcak, pa ´cemo ga preskoˇciti. U projektima vezanim uz ovo poglavlje postoji i projekt dokazivanja ovog teorema.
Dajmo sada nekoliko primjera dokazivanja pomo´cu ovog sustava.
Primjer 2.4 Dokaˇzimo da izA i¬A slijedi B.
Primjer 2.5 Dokaˇzimo pravilo modus tollens (metoda opovrgavanja), o-dnosno da izA→B i¬B slijedi ¬A.
Drugi sustav za dokazivanje koji ´cemo ovdje obraditi, a koji je posebno pogodan za automatsku dedukciju, naziva se rezolucijski postupak. On je posebno pogodan za automatsku dedukciju jer se sastoji od jednog jedinog pravila izvoda – pravila rezolucije.
F ∨A G∨ ¬A
.. .
⇒ F ∨G
Da bi se koristio rezolucijski izvod, prvo je potrebno pretpostavke zami-jeniti ekvivalentnim sudovima u konjunktivnoj normalnoj formi.
Definicija 2.7 Neka je A atom. Tada se sudovi A i ¬A nazivaju literali. Pri tome jeA pozitivni, a ¬A negativni literal.
Neka su L1, . . . , Lk literali. Tada se sud L1∨. . .∨Lk nazivadisjunkt. Neka su D1, . . . , Dn disjunkti. Tada se za sudD1∧. . .∧Dn kaˇze da je ukonjunktivnoj normalnoj formi.
Teorem 2.5 Za svaki sud raˇcuna sudova postoji logiˇcki ekvivalentan sud u konjunktivnoj normalnoj formi.
Umjesto dokaza ovdje ´cemo opisati kako se za zadanu formulu konstruira ekvivalentan sud u konjunktivnoj normalnoj formi. U propoziciji 2.2 dane su ekvivalencije ˇcijim se koriˇstenjem svaki sud raˇcuna sudova moˇze prevesti u ekvivalentan sud u konjunktivnoj normalnoj formi. Uz opis koraka dat ´cemo i primjer kako se pojedini koraci konkretno provode.
Primjer 2.7 Kao primjer uzet ´cemo sud (A↔B)∧ ¬(A→(B∧ ¬C)). 1. Prvo se pomo´cu posljednja tri pravila opisana u propoziciji 2.2
eli-miniraju svi kondicionali i bikondicionali koji se pojavljuju u sudu i zamijenjuju se konjunkcijama, disjunkcijama i negacijama.
(A↔B)∨¬(A→(B∧¬C))≡((A∨¬B)∧(¬A∨B))∧¬(¬A∨(B∧¬C)) 2. Nakon toga se koriste de Morganovi zakoni i pravilo dvostruke ne-gacije kako bi se eliminirale nene-gacije koje djeluju na sloˇzenim sudovima. Naime, u konjunktivnoj normalnoj formi negacije djeluju samo na atomima.
((A∨ ¬B)∧(¬A∨B))∨ ¬(¬A∨(B∧ ¬C))
≡ ((A∨ ¬B)∧(¬A∨B))∨(¬¬A∧ ¬(B∧ ¬C))
≡ ((A∨ ¬B)∧(¬A∨B))∨(A∧ ¬(B∧ ¬C))
≡ ((A∨ ¬B)∨(¬A∨B))∧(A∧(¬B∨ ¬¬C))
28 2.1. RA ˇCUN SUDOVA
3. Na kraju se primjenom pravila distributivnosti i asocijativnosti sud prevodi u konjunktivnu normalnu formu.
((A∨ ¬B)∧(¬A∨B))∨(A∧(¬B∨C))
≡ ((A∨ ¬B)∨(A∧(¬B∨C)))∧((¬A∨B)∨(A∧(¬B∨C)))
≡ (((A∨ ¬B)∨A)∧((A∨ ¬B)∨(¬B∨C)))
∧(((¬A∨B)∨A)∧((¬A∨B)∨(¬B∨C)))
≡ (A∨ ¬B∨A)∧(A∨ ¬B∨ ¬B∨C)∧
(¬A∨B∨A)∧(¬A∨B∨ ¬B∨C)
Nakon ˇsto se prevede u konjunktivnu normalnu formu, sud se moˇze, pri-mjenom pravila idempotencije, komutativnosti te pravila 9-14 iz propozicije 2.2 dodatno urediti.
Tako se, npr., u drugom disjunktu suda iz primjera nalazi fragment¬B∨
¬B, ˇsto se prema idempotenciji mijenja s¬B, a u ˇcetvrtom disjunktu seB∨ ¬B prema pravilu 9 mijenja s ⊤, zbog ˇcega se cijeli ˇcetvrti disjunkt, prema pravilu 11, mijenja s ⊤, a onda se, prema pravilu 13, moˇze u potpunosti ukloniti iz suda. Takoder, primjenom pravila komutativnosti i idempotencije prvi disjunkt se pretvara uA∨B, dok se primjenom pravila komutativnosti te pravila 9 i 11 tre´ci disjunkt pretvara u⊤, nakon ˇcega se zbog pravila 14 moˇze ukloniti iz suda.
Nakon toga ´ce formula izgledati ovako:
(A∨ ¬B)∧(A∨ ¬B∨C).
Sada, kad smo iznijeli naˇcin pretvaranja suda u konjunktivnu normalnu formu, moˇzemo opisati postupak dokazivanja pomo´cu rezolucijskog pravi-la. Prije nego ˇsto se krene u sam izvod, potrebno je urediti pretpostavke i zakljuˇcak koji ˇzelimo dokazati. Kod rezolucijskog postupka nikada se za-kljuˇcak ne dokazuje izravno, ve´c se uvijek obara njegova negacija. Stoga je, prije svega, potrebno negirati zakljuˇcak koji ˇzelimo dokazati. Nakon toga se sve pretpostavke i zakljuˇcak pretvaraju u konjunktivnu normalnu formu. Time se dobija skup sudova u konjunktivnoj normalnoj formi, koji se sastoji od pretpostavki i negacije zakljuˇcka. Lako je dokazati da vrijedi
{A, B} ≡ {A∧B}. Stoga se svaki sud u konjunktivnoj normalnoj formi u skupu moˇze zamijeniti s jednim ili viˇse sudova, koji su po svom obliku di-sjunkti. Na tako dobiven skup disjunkata se primijenjuje pravilo rezolucije, u ˇzelji da se iz skupa izvede prazan disjunkt. Prazan disjunkt ilirefutacija
oznaˇcava se s⊥i predstavlja antitautologiju. Dobije li se refutacija, negacija je zakljuˇcka oborena, a zakljuˇcak je dokazan.
Primjer 2.8 Dokaˇzimo rezolucijom da iz A i ¬A slijedi B. Zakljuˇcak se negira i dobije se ¬B. Svi su sudovi ve´c u konjunktivnoj normalnoj formi, pa moˇzemo krenuti na rezolucijski izvod:
1. A
2. ¬A
3. ¬B
4. ⊥ (Res: 1,2)
Primjer 2.9 Dokaˇzimo pravilo modus tollens, odnosno da iz A→ B i ¬B
slijedi ¬A.
Negacija zakljuˇcka je ¬¬A, odnosnoA. Prvi se sud pretvara u ¬A∨B, te imamo
1. ¬A∨B
2. ¬B
3. A
4. ¬A
5. ⊥
(Res: 1,2) (Res: 3,4)
Detaljnim razmatranjem rezolucijskog postupka i njegovom implementa-cijom na raˇcunalu do´ci ´ce se do dedukcijskog algoritma temeljenog na metodi pretraˇzivanja s vra´canjem (backtracking). Problem je u tome ˇsto je taj algo-ritam u najgorem sluˇcaju sloˇzenostiO(2n). Naˇzalost, poboljˇsanje sloˇzenosti najgoreg sluˇcaja ovog algoritma nije mogu´ce. No, mogu´ce je poboljˇsati njegovu prosjeˇcnu sloˇzenost. S tom su idejom smiˇsljena poboljˇsanja rezolu-cijskog postupka nazvana semantiˇcka rezolucija, a posebno njen specijalni sluˇcaj hiperrezolucija, te na krajulinearna rezolucija, koja se koristi u pro-gramskom jeziku Prolog. Viˇse o tim rezolucijskim postupcima ˇcitatelj moˇze na´ci u [3].
2.2
Predikatni raˇ
cun
Za opis nekih sloˇzenijih sustava nije dovoljan raˇcun sudova. Tako se npr, nijedna matematiˇcka teorija ne moˇze opisati samo raˇcunom sudova. Za to je potreban neˇsto sloˇzeniji logiˇcki jezik - raˇcun predikata. U ovom ´cemo poglavlju uvesti taj sloˇzeniji i bogatiji logiˇcki jezik koji ´ce omogu´citi formalni prikaz mnogih, ali joˇs uvijek ne svih matematiˇckih teorija.
2.2.1 Sintaksa
Definicija 2.8 Jezik raˇcuna predikata imaabecedu koja se sastoji od:
• najviˇse prebrojivog skupaP predikatnih simbola,
• najviˇse prebrojivog skupaF funkcijskih simbola,
30 2.2. PREDIKATNI RA ˇCUN
• najviˇse prebrojivog skupaV varijabli,
• logiˇckih veznika¬,∨,∧,→,↔,
• kvantifikatora∀,∃,
• zagrada ),(,],[,},{,.
pri ˇcemu su skupovi C iV disjunktni.
Svakom predikatnom simbolup∈ P, kao i svakom funkcijskom simbolu
f ∈ F pridruˇzena je jedinstvena kratnost ili arnost. Definicija 2.9 (Term)
• Svaka konstanta je term.
• Svaka varijabla je term.
• Ako jef ∈ F n-arni funkcijski simbol i neka su t1, . . . , tn termi. Tada je if(t1, . . . , tn) term.
Definicija 2.10 Neka jep∈ P n-arni predikatni simbol i neka sut1, . . . , tn termi. Tada jep(t1, . . . , tn) atomarna formula iliatom.
Definicija 2.11 (Formula)
• Atomi su formule.
• Ako jeF formula, onda je i¬F formula.
• Ako suF iGformule i ako je Θ∈ {∨,∧,→,↔}, onda jeFΘGformula.
• Ako jeF formula,x∈ V varijabla, aK ∈ {∀,∃}, onda jeKxF formula. Ako jeF formula oblikaKxG, pri ˇcemu jeK ∈ {∀,∃}, ax∈ V varijabla, onda za svaki nastup varijablexu formuliGkaˇzemo da jevezan kvantifika-toromKx. Za istu stvar joˇs kaˇzemo da je svaka takva varijablax u dosegu
kvantifikatoraKx.
Za varijablu koja nije u dosegu nijednog kvantifikatora kaˇzemo da je
slobodna.
Formula koja nema slobodnih varijabli zove se zatvorena formula ili
reˇcenica.
Primjer 2.10 Dajmo nekoliko primjera formula raˇcuna predikata:
• ∃x(P(x)→ ∀yP(y)),
• P(c)∨ ∀x(Q(x, f(x, s))∧p(f(x, x))).
Ako jeF formula onda ´cemo sF(x) oznaˇcavati ˇcinjenicu da uF nastupa varijablax.
2.2.2 Semantika
Definicija 2.12 Svako preslikavanje µ:V → C naziva se ograniˇcenje vari-jabli.
Semantiˇcka struktura predikatnog raˇcuna M je par M =< I, U >, pri ˇcemu je I interpretacija, aU domena. InterpretacijaI =< ϕ, ψ >, pri ˇcemu je ϕ pridruˇzivanje koje svakom n-arnom funkcijskom simbolu pridruˇzuje totalnu funkciju Un → U, a svakoj konstanti pridruˇzuje nularnu funkciju. Funkcijaψsvakomn-arnom predikatnom simbolu pridruˇzujen-arnu relaciju nad U.
Kada se ovako definira semantiˇcka struktura predikatnog raˇcuna, dom-ena je u potpunosti odreddom-ena interpretacijom i moˇze se izostaviti.
Semantiˇcka struktura definira istinitost svakog pojedinog atoma. Istinitost se definira na sljede´ci naˇcin:
Definicija 2.13 Neka je µograniˇcenje varijabli. Proˇsireno ograniˇcenje va-rijabli je proˇsirenje preslikavanjaµ na skup svih terma:
• µ(x)∈ C za x∈ V,
• µ(c) =c za c∈ C,
• µ(f(t1, . . . , tn)) =ϕ(f)(µ(t1), . . . , µ(tn)).
Definicija 2.14 Neka jeM semantiˇcka struktura i neka jeµproˇsireno ogra-niˇcenje varijabli. Tada kaˇzemo da je:
• Ako je P(t1, . . . , tn) atomarna formula, onda je M |=µ A ako i samo
ako je (v(t1), . . . , v(tn))∈ψ(P).
• M |=µ¬F ako i samo ako ne vrijediM |=µF.
• M |=µF ∧G ako i samo ako vrijedi M |=µF iM |=µG.
• M |=µF ∨G ako i samo ako vrijedi M |=µF iliM |=µG.
• M |=µ F → G ako i samo ako ne vrijedi M |=µ F ili pak vrijedi
M |=µG.
