IR în raport cu variabila y, g(x) = x

Capitolul 3

TRANSFORM

Ã

_{RI PUNCTUALE}

Exemplul 1. Funcþia f : (0, ) 





 

 





  

 

 0, 0,

2 ,

0 , f(,)



   



 cos , sin care realizeazã _{trecerea de la coordonatele polare} _,  _la coordonatele carteziene x cos,y sin este o transformare punctualã bijectivã _{de clas}ã _C1 _{(deci o schimbare de coordonate), iar inversa sa definit}ã _prin

   



_{   }

 

x y arctg ,

y x )

y , x (

f 1 2 2 _{este de asemenea de clasã C}1_{, realizând}

trecerea de la coordonatele carteziene x, y la coordonatele polare , . Prin urmare f

ºi f1 sunt transformã_{ri regulate.}

Exemplul 2. Funcþia f : A = (0, )  (0, 2)  (0, )  IR3, definitã _prin: f(r, , ) = (x, y, z), cu x rcossin,y rsinsin,zrcos are

determinantul funcþional r sin 0

) , , r ( D

) z , y , x (

D _ 2 _{ }



 pe A; prin urmare, conform

teoremei de inversiune localã_{, f este o schimbare de coordonate; în particular f(A)} este o mulþime deschisã _{din IR}3_.

Exemplul 3_. Coordonatele cilindrice , , z introduse prin x cos , 



 sin

y , z = z definesc un sistem ortogonal pentru care parametrii Lamé sunt H=Hz = 1 ºi H =  ; de asemenea coordonatele sferice r, ,  introduse prin

  rcos sin

x , yrsinsin, zrcos definesc un triedru ortogonal, iar parametrii Lamé sunt H_r 1, H_ rsin, H_ r.

Exemplul 4. Sã _calculã_{m div v , grad div v , rot grad div v si rot v , unde} 

  



re re sin e

v _r este dat în coordonate sferice.









r cos 2 3 sin

r sin

r r sin r

1 v

div ₂ 3 2 _   

  

 

 

    

 

 ,



   



     



 

  

     



 

 



 cos e sin e

r 2 r

cos 2 3 r 1 e r cos 2 3 r v div

grad _{r 2 r} ,

r 2

2 r

2 __

e cos r

sin r sin

r r

r

e r e

sin r e

sin r

1 v

rot  

 



 

 

  





 

 



  



rsin2 e 2r2sin e ,

iar

__ 0 v div grad

Exemplul 5. Ecuaþia f(x,y)=0, unde f : IR  IR  IR, f(x,y) = x3y1 defineºte unic funcþia implicitã _{g : IR}  _{IR în raport cu variabila y, g(x) = x}3_{1 în orice} vecinã_{tate a lui (a,b)} _IR2 _{pentru care f(a,b)=0; aici f}_C_(IR2_{) ºi g}_C_{(IR). De} asemenea, funcþia _h(y) 3 _y_{1, h : IR}  _{IR este o funcþie definitã implicit de ecuaþia} f(x,y)=0 în raport cu variabila x pe IR2; în schimb h este doar de clasã _C0_{, nefiind} derivabilã _{în y=1. În fine, luând de exemplu (a,b)=(1,2), restricþia funcþiei h la} mulþimea (1,) este o funcþie implicitã _definitã _{de ecuaþia f(x,y)=0 în raport cu} variabila x pe (1,)  IR de clasã _C

.

Exemplul 6. Fie f : E=(-1, 1)  (-1, 1)  IR, f(x,y)=x2y21. Atunci ecuaþia f(x,y)=0 defineºte implicit o infinitate de funcþii în raport cu variabila y; de exemplu funcþiile g1(x) 1x2ºi

2 2(x) 1 x

g   , g1,g2 : (-1, 1)  IR sunt de clasã C



ºi f(x,g1(x)) = f(x,g2(x))=0, pentru orice x(-1, 1), deci ele sunt funcþii implicite definite

ecuaþia f(x,y)=0 în raport cu variabila y în orice vecinã_{tate inclus}ã _{în E a unui punct} (a1, b1)  E (respectiv (a2, b2)  E) pentru care g1(a1) = b1 (respectiv g2(a2) = b2

).

Dacã _fixã_{m (a,b)=}    

 

2 1 , 2 1

E atunci ecuaþia defineºte o unicã _{funcþie implicit}ã _de clasã _C _{în raport cu variabila y pe E} 

V

_{(a,b)ºi anume funcþia g1. Funcþia}

 



_



_

  

  

1,0 -x ), x ( g

1 , 0 x ), x ( g x g

2 1

este, de asemenea, definitã _{implicit de ecuaþia dat}ã_, în raport cu y pe E, dar ea nu este nici mã_{car continu}ã_.

Exemplul 7. Ecuaþia x2  y2  0 defineºte pe IR2 o infinitate de funcþii implicite în raport cu y; în schimb pentru (a,b)=(0,0) singurele asemenea funcþii

continue pe IR sunt g1(x)=x, g2(x)=x, g3(x)=|x| ºi g4(x)= |x|; dintre acestea doar g1ºi

g2 sunt de clasã C pe IR.

Exemplul 8. Ecuaþiile x2  y2  z2 1=0 ºi x2  y2  z2=0 nu definesc nici o funcþie implicitã_.

Exemplul 9. Dacã _f(x,y)=|x|_{|y| iar (a,b)=(0,0), ecuaþia f(x,y)=0 defineºte o} infinitate de funcþii implicite în raport cu cu variabila y, printre care g1(x)=x, g2(x)=x,

g3(x)=|x|, g4(x)= |x|, gk : IR IR, k 1 ,4; g1 ºi g2 sunt derivabile iar g3 ºi g4 nu sunt

derivabile (în a=0).

Exemplul 10. Sã _considerã_{m ecuaþia arctg(x+y)=ln(x}2_+y2_{+1) ºi s}ã _examinã_m în ce condiþii defineºte ea o funcþie implicitã _{y=y(x). Fie f(x,y)=arctg(x+y)} _ln(x2_+y2_+1). Desigur fC

(

IR2

)

º

i

1 y x

y 2 )

y x ( 1

1 )

y , x ( '

f_{y 2 2 2}

    



.

Conform teoremei funcþiilor

implicite, dacã _(a,b)  _IR2_ºi

arctg(a+b)=ln(a2+b2+1), iar f'_y(a,b) 0

,

Dacã_{, de exemplu a=b=0, aceste condiþii sunt verificate ºi y(0)=0, iar} arctg(x+y(x))=ln(x2+y2(x)+1), xU; de aici, prin derivare, obþinem:

] ) y x ( 1 )[ ' yy x ( 2 ) 1 y x )( ' y 1

( _ 2_ 2 _{    } 2 _{, xU}

de unde, pentru x=0 avem y'(0)1; derivând încã _odatã_{ºi þinând cont de faptul c}ã )

x ( y

y  , y' y'(x)obþinem

) ' y 1 )( y x ( 2 ) ' yy x ( 2 ] ) y x ( 1 )[ y y ' y 1 ( 2 ) ' yy x )( ' y 1 ( 2 ) 1 y x (

y_ 2 _ 2 _{     } 2_{   } 2 _{     ;}

cum y(0)=0 ºi y'(0)1, punând x=0 rezultã _cã _y₍₀₎ _{4. Deci curba de ecuaþie} y=y(x), xU admite în origine o tangentã _{de pant}ã _m_y'(0)_{1 ºi de ecuaþie}

x

y  ; în plus, cum y''(0)_ 4_0_{, rezultã cã existã o vecinãtate a punctului (0,0) în} în care graficul este o curbã _convexã_.

Observaþie. Sã _{presupunem c}ã _{sunt îndeplinite condiþiile din teorema} funcþiilor implicite astfel ca într-o vecinã_{tate a punctului (a,b) ecuaþia f(x,y)=0 s}ã defineascã _{o funcþie y=y(x) care admite un extrem local în x=a. Atunci, conform} teoremei lui Fermat, y'(a)0 ºi, conform formulei (1), cuplul (a,b) trebuie sã _{fie o} soluþie a sistemului:

  

 

0 ) y , x ( ' f

0 ) y , x ( f

x

Dacã_{, în plus, k}_{2, din (2) rezult}ã _cã )

b , a ( ' f f ) a ( y

y '' x

'' 2

 ,

deci dacã _y''_(a)_{0, funcþia y=y(x) are un maxim local în a ºi ymax}_{y(a)=b; analog,} dacã _y''_(a)_{0, atunci y are un minim local în x=a.}

Exemplul 11. Sã _determinã_{m extremele funcþiilor implicite y=y(x) de clas}ã _C2

definite de ecuaþia f(x,y)=ln(x2+y2)+2 arctg x y

=0.

Sã _remarcã_{m mai întâi c}ã _f _C2_{(E), unde E = IR}* _{IR ºi} 2

2 y

y x

) y x ( 2 ) y , x ( ' f

 

 .

Prin urmare pentru orice (a,b)E cu ba ºi f(a,b)=0 existã _U

V

_{aºi V}

V

_{b ºi o unic}ã funcþie y : UV, y C2(U) definitã _{implicit de ecuaþia dat}ã _{pentru care y(a)=b. Cum} teorema funcþiilor implicite dã _{doar condiþii suficiente de existenþ}ã _{a acestor funcþii} trebuie sã _examinã_{m dou}ã _{cazuri: b}_{a ºi b}_a.

Cazul b _a. Presupunem cã _{f(a,b)=0 ºi c}ã _{funcþia y=y(x) definit}ã _{de ecuaþia} datã _{pe U admite un extrem în x=a; atunci y}_(a)_{0, deci (a,b) verific}ã _ecuaþiile f(x,y)=0 ºi f'_x (x,y)0. Dar _{x 2 2}

y x

) y x ( 2 ) y , x ( ' f

 

 ; prin urmare _e 4

2 2 b

a

   

 ºi

a 2

1 ) a , a ( ' f f ) a (

y x2

  

 

 Analog, derivând în raport cu y avem:

de unde pentru x  y z 1:

 

2 3 1 , 1 , 1

u_y  ºi v_y

 

1,1,1  2 (2) Derivând în raport cu z ºi punând xyz1 obþinem:

 

1,1,1 3

u_z  ºi v_z

 

1,1,1 4 (3) Din (1), (2) ºi (3) rezultã _cã_:

  dy 3dz

2 3 dx 2 3 u

d_1,1,1    ºi d_1,1,1v  dx2dy4dz.

Problema dependenþei funcþionale: În ce condiþii existã _{o funcþie de clas}ã _C1 F : E  IRq _→ IR pentru care



f₁

 

x,...,f_q

 

x



E, xU, astfel încât ecuaþia

0 ) y ,..., y (

F _{1 q}  sã _defineascã _{implicit funcþiile y y(y ,...,y )} r 1 i

i  ºi fi

 

x  yi



f1

 

x,...,fr

 

x



, U

x , pentru ir1,q?

Exemplul 15. Fie funcþiile f1, f2, f3 : IR3 IR, f1



x,y,z



 xyz,





2 2 2

2 x,y,z x y z

f    , f₃



x,y,z



xyyzzx; considerând F



u,v,w



_u2_v_2w_, F: IR3 IR, atunci F



f₁



x,y,z

 

,f₂ x,y,z

 

,f₃ x,y,z





0, pentru (x,y,z)  IR3. Deci ecuaþia



u,v,w



0

F  , pentru care F_v  1 ºi F_w  2, defineºte v  v

 

u,w , respectiv

 

u,v w

w  ; de fapt: 2 ₃

1 2 f 2f

f   (respectiv



2 ₂



1

3 f f

2 1

f   ) pe IR3.

Exemplul 16. Fie









  p

1 j

j ij p

1

i x ,...,x a x,i 1,q

f . Aplicaþiile liniare f₁,...,f_q sunt elemente ale spaþiului dual al IR-spaþiului liniar IRp. Cum



dx₁,...,dx_p



este baza dualã bazei canonice a spaþiului euclidian IRp putem scrie





  p

1 j

j ij

i a dx,i 1,q

f . Sã

presupunem cã _p _{q, r este rangul matricii}

 

p , 1 j

q , 1 i ij a J

 

 ºi

 

r , 1 j , i ij a det

d _ este un minor principal al matricii J.

1. Dacã _r _{q, sau, echivalent}









0

x ,..., x D

f ,..., f D

q 1

q 1

 , atunci aplicaþiile f₁,...,f_q sunt liniar independente în spaþiul dual L al spaþiului IRp. Funcþiile f₁,...,f_q sunt independente ºi în sens funcþional; într-adevã_{r, dac}ã _{ele nu ar fi independente} funcþional ar exista aIRp

,

U

V

_{aºi o funcþie F : E}



_IRp_{ IR, F C}1_{(E) nenulã astfel}

ca F



f₁

 

x,...,f_q

 

x



0,xU; derivând în raport cu x_i obþinem sistemul liniar omogen: p

, 1 i , 0 F a ... F a F a

q 2

1 2i y qi y

y i

1        

care are doar soluþia banalã _{F ... F 0}

q

1 y

2. Fie r q. Atunci







x ,...,x



0

D

f ,..., f D d

r 1

r

1 _

 iar



f₁,...,f_r



este o bazã _{a spaþiului} generat de f₁,...,f_q; prin urmare existã _{constantele unice}  

ij IR astfel ca



   r

1 j

j ij

i f

f pe IRp , ir1,q

relaþii explicite care exprimã _{dependenþa(liniar}ã _{ºi funcþional}ã_{) a funcþiilor}

q 1 r ,...,f f_ de funcþiile f₁,...,f_r; cu ajutorul minorilor caracteristici(teorema lui Rouché) relaþiile

0 f a ... a

f a ... a

... ... ... ...

f a ... a

i ir 1

i

r rr 1

r

1 r 1 11

 pe IRp

,

ir1,q

reprezintã _{relaþii de dependenþ}ã _funcþionalã _{implicite (care definesc unic funcþiile} q

1 r ,...,f f_ ).

Exemplul 17. Fie uf



xyz



,y g



x2yz



,w h



xyz



unde funcþiile f,g,hC1(IR) ºi sunt strict crescã_{toare. S}ã _{se determine á}  _{IR astfel încât}

w , v ,

u sã _{fie dependente funcþional pe IR}3_{ºi s}ã _{se g}ã_seascã _{o relaþie de dependenþ}ã funcþionalã_.

Conform teoremei dependenþei funcþionale trebuie sã _{impunem ca matricea} jacobianã _sã _aibã _{rangul r} _{3. Determinantul funcþional în punctul curent}



_x,y,z



 IR3 este









3



1



f g h

1 1

1 2 1

1 1 1 h g f z , y , x D

w , v , u

D _

         

     

 .

Dar f

     

t gt h t 0, t IR; prin urmare pentru á  IR\

 

1 funcþiile sunt independente funcþional iar pentru  1 sunt dependente. Fie  1; sã _alegem, de exemplu minorul principal

 

 

x,y 0 D

v , u D

 ; cum f, g, h sunt inversabile (ca funcþii între IR ºi imaginea lui IR) putem scrie sistemul:

 

 

 

    

   

  

  

  

w h z y x

v g z y 2 x

u f z y x

1 1 1

,

sistem care este compatibil nedeterminat; atunci, conform teoremei lui Rouché minorul caracteristic este nul, deci:

 

 

 

w 0 h

1 1

v g 2 1

u f 1 1

1 1 1

 

 

 

Exemplul 18. Ce devine ecuaþia x3y_x2y_xy_y _lnx

în urma schimbã_{rii de variabil}ã _x _et_?

Pentru a rã_{spunde la aceast}ã _{întrebare construim operatorul de derivare} dx

d folosind, cu observaþia precedentã_{, schema:}

 

x y

 

t

 

x

y  (1) unde t reprezintã _{inversa funcþiei x}  _x

 

_{t (în cazul nostru t}

 

_x _{lnx). Derivând (în} raport cu x) ambii membri din (1), obþinem:

y e dt dy e dt dy x

1 dt dy dt dx 1 dx

dt dt dy dx dy

y _ t _ t_

  

  

 (2)

de unde:

dt d e dx

d _ t _{. (3)}

Atunci:

    _dt

 

e y e



y y



d

e dt

y d e dx

y d

y t t 2t

2 t 3

  

  

  

 

     _{. (4)} Analog:

    _dt



e



y y





e



y y 2



y y





e



y 3y 2y



d

e dt

y d e dx

y d

y t 2t 3t 3t

4 t 3

      

       



 _{       }

  

 

      _{. (5)}

Din (2), (4) ºi (5) (prin înmulþire cu x=et,x2=e2t, respectiv x=e3t) ecuaþia datã devine: y3y2yyy y y  t_{, deci} _y_2y_2y _{y t, adic}ã _{o ecuaþie care} defineºte noua funcþie y=y(t).

Observaþie. Uneori, îndeosebi pentru rezolvarea unor ecuaþii diferenþiale, se schimbã _{rolul variabilei independente x cu cel al funcþiei y (adic}ã _{se consider}ã _cã soluþia ecuaþiei y y

 

x este o schimbare de coordonate, deci existã _{inversa funcþiei}

 

y x x :

y  ). Atunci Y

 

y  x, t y ºi:

x 1 dy dx 1 dx dy y



  

 ,

iar operatorul de derivare

dt d 1 dx

d 

 devine:

dy d x 1 dx

d



 ,

operator care serveºte la calculul derivatelor y,y,y,... în funcþie de x,x,x,...

Exemplul 19. Ce devine ecuaþia _{yy3y}2 _{schimbând rolul variabilei} independente x cu cel al funcþiei y?

derivare; deci ₃

 , iar operatorul de derivare devine: _dt

d generalizare a schimbã_{rii de variabil}ã_.

Remarcã_{m, de asemenea, c}ã _{ºi în acest caz derivata}

dx dy

y ºi operatorul de derivare



  







     



  



 genereazã _legã_{tura dintre noile derivate}



Exemplul 21. Ce devine ecuaþia coardei vibrante ₂ 2 ₂ 2 deci conform teoremei lui Schwarz:



2 2



prin trecere la coordonate polare.

+z_



_sin4₂_sin2 _cos2_cos4 _cos2 _sin2



_=0. În consecinþã _{ecuaþia dat}ã _{are, în coordonate polare, forma:}

2 2_z   

=0.

Exemplul 23. Sã _{se transforme ecuaþia cu derivate parþiale de ordinul al} doilea

2 2 2

2 2

y z y x

z 2 x

z

    

   

=0

luînd ca variabile independente u=x+y, v= x y

ºi ca nouã _{funcþia w=} x z

, unde w=w(u,v). Rezolvare. Ca de obicei, presupunem cã _{ecuaþia dat}ã _{defineºte funcþia} z=z(x,y), de clasã _C2_{. Cum u=u(x,y) ºi v=v(x,y) folosim schema} _**_:

z(x,y)=xw(x+y, x y

) Atunci:

v u

v 2 u

x w

x y w x w w x

y w x w

z     

  



 _{  }

 

 ;

x w w x

y w

z _{v u}

2 u 2

x        _  

 



 _{  }

v 2 uv 2 2

u _x w

y w

x y w

x y

 

  



 _{  }

2 v 2 vu _x w

y

w = ₂

v 3 2

uv 2

u

u w

x y w x y 2 w x w

2        ;

xy

z = u _u2 uv ₂ w_v2

x y w ) x y (1 w x

w        ;

y

z =



_u w_v



xw_u w_v x

1 w

x        ºi z_y2= 2

v uv

2

u _x w

1 w 2 w

x      .

Înlocuind în ecuaþie obþinem ₂ 2

v w  

=0.

EXERCI

Þ

II

PROPUSE

Exerciþiul 1. Sã _{se arate c}ã _{funcþiile definite la exemplele 4 ºi 5, cap. 2, sunt} schimbã_{ri de coordonate.}

Exerciþiul 2. Sã _{se arate c}ã _urmã_{toarele funcþii sunt schimb}ã_{ri de} coordonate:

(a) f

 

x,y _



excosy,exsiny



, f _{: IR}2_IR2

Exerciþiul 3. Fie v r2e_r e_ 2cose_{ un câmp vectorial în coordonate} sferice. Sã _{se arate c}ã_:

(a)   sin, rotvr



cose sin2e_ sine_



r

2 r 4 v

div _r ,

(b) graddivv 





2r sin



e cose_



r

2

r 2

2 , rot graddivv 0 ºi divrotv 0. Exerciþiul 4. Sã _{se arate c}ã _{în coordonate sferice}

(a) câmpul v 3r e r2e_ r

2 _{este irota}

þional ºi divv 12rrctg; (b) câmpul v 2e_r re_ este biscalar;

(c) câmpul v  f

 

r e_r este irotaþional, unde f  C1IR;

(d) câmpul f(r, , ) =eèlnrC este potenþialul scalar al câmpului

vectorial 

  



 _{ }



  _

è r

è

e r ln e

sinè èlnr e

e 1

v .

Exerciþiul 5. Sã _{se arate c}ã_{, în coordonate cilindrice :}

(a) grad









_{  }

  

 

 

  

     

  

2 2 cos ezsin 2 cos e 2sin 1ezcos e 

z z_{sin e}

e 

 ;

(b) grad



2





2



2 _z

e sin e

sin sin

z 1 e cos sin

z

cos    

     



 _{ } ;

(c) grad



 





 





  

 

 

  

cos z zsin cos z e_ 1 zcos cos e_

+



sin



e_z.

Exerciþiul 6. Sã _{se verifice condiþiile din teorema funcþiilor implicite pentru} funcþiile definite la exemplele 5, 6, 7, 8 ºi 9.

Exerciþiul 7. Sã _{se arate c}ã _{ecuaþia x}5_3x2_ey _arctgy _{0 defineºte o} funcþie:

(a) y = y(x) care admite un minim local în x =0; (b) x = x(y) care admite un maxim local xmax = _

     

3 3

x =0;

(c) x = x(y) , xmin = _

     

3 3

x =0.

Exerciþiul 8. Sã _{se arate c}ã _{ecuaþia e}xy1 _2ch

 

_{xy defineºte o funcþie} y=y(x) care verificã _{ecuaþia diferenþial}ã _2y _{+ xy} _{= 0.}

Exerciþiul 9. Sã _{se arate c}ã _{funcþia y=y(x) definit}ã _{de ecuaþia}



_x2_y2



3 _13



_x2_y2



_verificã

Exerciþiul 10. Arã_{taþi c}ã_{, într-o vecin}ã_{tate a punctului (1, 1, -2), funcþiile} y=y(x), z = z(x) definite implicit de sistemul

  

  

   

1 z y x

0 3 z y x

2 2

2

verificã _relaþiile:

2 2

1 2 2

1 1

1 dx

5 4 z d

ºi dx 5 2 y d , 0 z d , dx y

d      .

Exerciþiul 11. Sã _{se verifice condiþiile de aplicabilitate a teoremei funcþiilor} implicite pentru:

(a) f : IR x IR3 IR3 , f



x,y₁,y₂,y₃





=



x2 y₁3y3₃, xy₁2 y2₂y₃23, y₁y₂



, pentru a = 0, b = (-1, 1, 1);

(b) f : IR2 x IR2 IR2,







2



2 3 1 3 1 2 2 3 1 2 2 2 1 2 1 2

1,x ,y ,y x x y y , x y y x

f       .

Exerciþiul 12. Sã _{se arate c}ã_:

(a) existã _{z=z(x,y) definit}ã _{implicit de ecuaþia x}2 _2y2_xy_3z2_z₉₌₀ pentru care: _{ } dy

5 7 z

d_1,2  ;

(b) ecuaþia x3_y3_z2 _xz_1_{=0 define}

ºte o funcþie implicitã _{z=z(x,y) pentru} care d2 1,0z 9dx2;

(c) sistemul xyzuvv2=0, xyu3 v3=0 defineºte implicit funcþiile u=u(x,y,z), v=v(x,y,z) pentru care:

  dz

4 1 dy 3 1 dx 6 1 u

d_1,1,1    , _{ } dz

4 1 dx 2 1 v

d_1,1,1   ºi

16 1 ) 1 , 1 , 1 (

u_z2  .

(d) ecuaþia ez _x2 _2x_y2 _z_{=0 define}

ºte funcþia z=z(x,y) pentru care  z 0

d_1,0  .

Exerciþiul 13. Arã_{taþi c}ã _{nu exist}ã _{f : IR}2 _{IR, injectiv}ã_{, de clas}ã _C1_.

Indicaþie. Presupunem cã _existã _{o asemenea funcþie; aplicând teorema} inversiunii locale pentru g(x,y)=(f(x,y),y) se constatã _{o contradicþie.}

Exerciþiul 14. Fie _

  

 

        

        

  

z y

y x h w , y x

x z g v , x z

z y f

u , unde

f,g,h C1

(

IR

)

, f ºi g sunt strict crescã_{toare ºi h strict descresc}ã_{toare. S}ã _{se arate c}ã u,v,w sunt dependente funcþional ºi sã _{se determine o relaþie de dependenþ}ã funcþionalã_.

Exerciþiul 15. Fie f,g,h : IR  IRp schimbã_{ri de coordonate. S}ã _{se arate c}ã funcþiile:

u = f ( x + 2y - z), v = g (-x - y + 2z), w = h (x + 3y - 2z). sunt dependente funcþional dacã _{ºi numai dac}ã

4 5 

Exerciþiul 16.

Fie

z m y m x m

z a y a x a u

3 2 1

3 2 1

 

 

 ,

z n y n x n

z b y b x b v

3 2 1

3 2 1

 

 

 ,

z p y p x p

z c y c x c w

3 2 1

3 2 1

 

 

 definite pe

domeniul maximal comun A. Sã _{se arate c}ã _{u,v,w sunt dependente funcþional pe A ºi} sã _{se determine o relaþie de dependenþ}ã _funcþionalã_.

Indicaþie. Funcþiile u,v,w sunt omogene în sens Euler, iar sistemul obþinut prin permutã_{ri circulare din ecuaþia}



 

 



3 3 2

2 1

1u a ym u a zm u a m

x      =0 este

compatibil nedeterminat; pentru generalizare se considerã

    

  

  

p p 1

1

p p 1 1 k k

x m ... x m

x a ... x a f

u ,

k= n1 unde func, þiilefksunt transformãri regulate.

Exerciþiul 17. Fie uk : A  IRp  IR, ukC1

 

A ,k 1,n, n p ºi

 

u ,k 1,n ,f F



u,...,u



,i 1,m, F

f_k  _{k k}  _ni  _{ni 1 n}  unde F_k,k1,n sunt transformã_ri regulate, iar F_ C1

 

E, E

i

n IR

n

, i1,m. Sã _{se arate c}ã _funcþiile

m n 1,...,f

f _ sunt dependente funcþional ºi sã _{se determine relaþii de dependenþ}ã _funcþionalã_.

Exerciþiul 18. Sã _{se determine o funcþie f : IR}  _{IR de clas}ã _C1 _{astfel ca} funcþiile g = f (x + y), h=f(x)f(y) sã _{fie dependente funcþional.}

Exerciþiul 19. Fie f, g, h, k : IR IR schimbã_{ri de coordonate ºi s = f(x - 2y+} + z - t), u = g( 2x _– y + 3z - 3t), v = h( x + y + z + t), w = k( 2x + (a-1)y + 2z + at). Sã se arate cã _{funcþiile s,u,v,w sunt dependente funcþional dac}ã _{ºi numai dac}ã _{a=0; în} acest caz sã _{se determine o relaþie de dependenþ}ã _funcþionalã_.

Exerciþiul 20. Fie f, g, h, k : IR IR schimbã_{ri de coordonate, s=f(x), u=g(y),} v=f(z), w=k(t), unde x  arcossin, ybrsinsin, zcrcos, t=dr, a,b,c,d  IR*, iar



r,,

   

 0,  0,2

  

 0, . Sã _{se determine condiþii suficiente pentru ca} s,u,v,w sã _{fie dependente funcþional ºi s}ã _{se indice, în acest caz, o relaþie de} dependenþã _funcþionalã_.

Exerciþiul 21. Ce devine ecuaþia



x1



3y3



x1



2y



x1



y0 dacã _se face schimbarea de variabilã _x₁_et_?

Rã_spuns. ..._{y =0.}

Exerciþiul 22. Sã _{se arate c}ã _ecuaþia



₁_x2



_y_2x



₁_x2



_y_y _{0 se} transformã _{prin schimbarea de variabil}ã _{x = tg t în ecuaþia} .._{y +y = 0.}

Exerciþiul 23. Sã _{se arate c}ã _{prin schimbarea rolului variabilei x cu cel al} funcþiei y:

(a) ecuaþia y_2yy_2 _0 devine _x_{ = 2y x}

(c) dacã _y2_y 4 _10y_y_y _15y3 _{0 atunci exist}ã _{a, b, c, d}  _IR astfel ca x(y) = ay3 _by2 _cy_d_.

Exerciþiul 24. Fie expresia E

 

x _



x2 _13



y_

 

x _



x2 _2



y_

 

x _{, unde x=x(t)} este definitã _{implicit de ecuaþia:}





t x arctg 2 1 x

ln 2_{  .}

ªtiind cã _{x(1)=0 ºi c}ã .._y

 

₁ _{1, unde} .._{y este derivata a doua a funcþiei y(t) = y(x(t)) s}ã se arate cã _{E(0) = 13.}

Exerciþiul 25. Sã _{se transforme ecuaþia 2y}



_x_y



₁_y



3 _{0 schimbând} variabila ºi funcþia prin relaþiile x - y = u , x + y = v, unde v = v(u).

Rã_{spuns. v} _2v.

Exerciþiul 26. Ce devine ecuaþia diferenþialã _{de ordinul al doilea}



x y





1 y



0

y   3  dacã _{x = u + v, y = v – u, iar v = v(u) ?} Rã_{spuns. v}_8vv3 _0.

Exerciþiul 27. Sã _{se transforme ecuaþia cu derivate parþiale de ordinul întâi}

x y yz z

x    în coordonate polare. Rã_{spuns. z} ₀

 .

Exerciþiul 28. Ce devine ecuaþia :

0 y z y y z x 2 y

z x y x

z xy x

z y

2 ₂

2 2 2

2 2

2 _

          

   

în noile variabile independente _ux2_2y2_{, v x}2_y2_?

Rã_spuns.











v uv 2u v z z

u v v 2 u

2       .

Exerciþiul 29. Sã _{se arate c}ã _{ecuaþia lui Laplace 0} y

z x

z 2 2

2 2

     

are, în coordonate polare, forma:

0 z z

z 2 2

2 2

2 _

 

         

 .

Exerciþiul 30. Sã _{se transforme ecuaþiile:}

(a) ₂

2 2 2 2 2

y z y x

z x

    

, u=xy, v= y x

;

(b) 0

x z x 6 y

z y y x

z xy 4 x

z x

4 ₂

2 2 2

2 2

2 _

       

 

 

, u=x_{y , v=y,} 2 unde u,v sunt noile variabile independente.

Rã_spuns.

Exerciþiul 31. Sã _{se determine laplaceanul unei funcþii f}_C2

(

_IR3

)

_în coordonate sferice.

Rã_spuns.

    

       

      

 ctg F

r 1 r F r 2 F sin

r 1 F

r 1 r

F

f _{2 2}

2

2 2 2 2

2 2 2

.

Exerciþiul 32. Sã _{se determine a,b} _{IR astfel ca ecuaþia cu derivate parþiale} de ordinul al doilea z_x2 3zxy 2z_y2 =0 sã aibã forma zuv 0, dacã u = x + ay, v = x + by sunt noile variabile independente.

Exerciþiul 33. Sã _{se transforme ecuaþiile:}

(a) 2xz xyz ₂ 2 y y   

 , uy = x, v = x, w = xz-y ;

(b) 2

y 2 x

2_{z y z z}

x     , u = x, y= uv 1

u

 , z =1 uw u

 ;

(c) z_x2 2zxy z_y2 =0, u = x+y, v = x - y, w = xy - z,

unde u,v sunt noile variabile independente, iar w = w(u,v).

Rã_{spuns. (a)}

2 u

w =0; (b) w_u=0; (c)

2 1 w ₂

u  .

Exerciþiul 34. Sã _{se arate c}ã _{funcþia z = z(x,y) definit}ã _{implicit de ecuaþia}



_x2 _y2_,ze x y



f    =0, unde fC2

(

IR2

)

verificã _{ecuaþia yz xz}



_y-x

  

_{z *} y

x   

 ;

sã _{se arate apoi c}ã _{luînd u=x}2_y2_,

y 1 x 1

v   ca noi variabile independente ºi w=lnzxy, unde w=w(u,v), ecuaþia cu derivate parþiale * se transformã _în ecuaþia

v w  