KETIADAAN RUANG FOCK BAGI NEUTRINO FLAVOR

KETIADAAN RUANG FOCK BAGI NEUTRINO

FLAVOR

Erika Rani1

Abstrak : Telah dikaji bahwa tidak ada kemungkinan untuk membangun ruang Fock bagi keadaan flavor. Suatu ruang Fock tak berhingga dari neutrino flavor bergantung pada parameter massa yang tidak fisis. Ini menunjukkan konstruksi matematis yang cerdas tanpa relevansi fisis apapun.

Kata Kunci : Ruang Fock, Keadaan Flavor

PENDAHULUAN

Neutrino merupakan salah satu topik yang paling menarik dalam fisika partikel. Dalam kajian model standar (MS), neutrino hadir diantara unsur-unsur fundamental bersamaan dengan lepton bermuatan dan kuark. Oleh karena massanya belum terukur secara langsung, neutrino dalam MS hadir sebagai fermion tak bermassa yang dideskripsikan dengan spinor Weyl. Kajian MS ini tidak sesuai dengan hasil eksperimen yang menyatakan bahwa neutrino memiliki massa yang sangat kecil dan memiliki muatan yang netral.

Dilain hal bauran Kobayasi-Maskawa tiga flavor merupakan komponen penting dalam model standar (MS)yang mana telah menunjukkan bahwa neutrino memiliki massa. Keberadaan bauran neutrino memberikan implikasi bahwa medan neutrino flavor (ν_αL) merupakan kobinasi linier dari neutrino masif (ν_kL) dan memungkinkan neutrino mengalami transisi dari satu keadaan ke keadaan lain

) , , = ( = 3 1 = τ µ α ν να Uαk kL e k L

∑

(1)

dimana U adalah matrik bauran dan k adalah indek massa k =1,2,3. Keadaan neutrino flavor digambarkan dengan

) , , = ( = * 3 1 = τ µ α ν να Uαk k e k

∑

(2)

dimana

ν

_k merupakan keadaan neutrino dengan massa m_k yang memiliki ruang Fock dari kuantisasi medan neutrino masif. Transformasi bauran neutrino ini diyakini merupakan perangkat dasar untuk memahami lebih lanjut fenomena neutrino. Akan tetapi muncul ketidaksesuaian antara neutrino flavor dan masif dalam formulasi ini apabila ditelisik secara langsung.

1

Fisika UIN Maulana Malik Ibrahim Malang

Formulasi Umum Ruang Fock

Ruang Fock adalah sistem aljabar yang digunakan dalam mekanika kuantum untuk menggambarkan suatu keadaan kuantum dengan satu variabel atau sejumlah partikel yang tak dikenal.

Secara teknik, Ruang Fock merupakan ruang Hilbert yang dibangkitkan dari penjumlahan langsung tensor produk.

Dengan adalah operator simetri atau antisimetri, υ = + untuk partikel yang memenuhi statistik boson dan υ = - untuk partikel yang memenuhi statistik fermion. H adalah ruang Hilbert.

Suatu keadaan fermion didefinisikan dengan ≡ ± i i iN S ₁, ₂,L, N P P i i i P N! ( 1) , , , 1 2 1 L ±

∑

(3) dimana P adalah operator permutasi. Pers(3) dapat juga direpresentasikan dalam bentuk determinan = , , , ₂ 1 i iN i S L − N N N N N i i i i i i N L M O M M L 2 1 1 2 1 1 1 ! 1 (4)

Bentuk determinan ini dikenal dengan determinan Slater. Jika beberapa keadaan partikel tunggal adalah sama, harga determinannya nol. Apabila semua i_α berbeda, keadaan antisimetri akan ternormalisasi.

Berikut ini kita akan mengkarakterisasi suatu keadaan dengan mengklasifikasikan bilangan penempatannya, misalnya kita mengambil harga 0 dan 1. Suatu keadaan dengan partikel n₁ pada keadaan 1 dan partikel n₂ pada keadaan 2 dan seterusnya adalah L , , ₂ 1 n n (5) Suatu keadaan dimana tidak ada partikel dalam vakum di representasikan dengan

L

0,0, =

0 (6)

Kita mengkombinasikan keadaan vakum, keadaan partikel tunggal, dan keadaan lainnya untuk membangun suatu ruang. Untuk fermion, ruang ini dikenal dengan ruang Fock. Produk skalar dari keadaan ini dinyatakan sebagai berikut

L L L 2 2 1 1 2 1 2 1,n , |n′,n′, = nn_′ n n_′ n δ δ (7)

Untuk keadaan dengan jumlah partikelnya sama (dari subruang tunggal), produk skalarnya identik dengan produk skalar pada umumnya. Sedangkan keadaan dari subruang yang berbeda produk skalarnya selalu nol. Oleh karena itu kita memiliki hubungan kelengkapan

. = , , , , _{2 1 2} 1 1 0 = 1 0 = 1 1 L L L n n n n n n

∑

∑

(8)

Selanjutnya kita mendefinisikan operator kreasi dengan 0 = , , † † 1 † 2 2 1 i iN ai ai ai_N i S L L − (9)

Karena keadaan di atas adalah sama kecuali hanya dibedakan dengan indeksnya, antikomutatornya adalah

{

†, †

}

=0

j

i a

a (10) Untuk itu keadaan partikel direpresentasikan dengan

0,1 = , 0 ) ( ) ( = , , † 2 2 1 † 1 2 1 i n n n a a n n L L ₍₁₁₎

Efek dari operator † i a adalah = , , †_{L L} i i n a (1− )(−1) < L, +1,L

∑

i j n i j i n n (12)

Sedangkan untuk operator anihilasi a_i

= , , L L _i i n a (−1) < L, −1,L

∑

i j n i j i n n (13)

Operator a_i dan a†i berturut-turut dioperasikan dari sebelah kiri ke pers. (12) dan (13) diperoleh = , , †_{L L} i i ia n a (1 )( 1) < ( 1)L, ,L 2 i i j n i j i n n n − + −

∑

_{=(1 )}L_{, ,}L i i n n − (14) = , , † _{L L} i i ia n a _{( 1)} < _{(1 1)}L_{, ,}L 2 i i j n i j i n n n − − +

∑

₌ L_{, ,}L i i n n (15)

Karena n_i∈0,1 maka n_i2 =n_i dan ( 1) < =1 2 n_j

i j

∑

− . Pers. (14)-(15) dijumlahkan dan

didapatkan hubungan antikomutasi

{

a_i,a_i†

}

=1. (16)

Dalam antikomutator

{

†

}

, j i a

a dengan i≠ j, faktor fase dua suku adalah berbeda. Dengan demikian Kaidah antikomutasi untuk fermion adalah

{

a_i,a†_j

}

=δ_ij,

{

a_i,a_j†

}

=

{

a_i†,a†_j

}

=0 (18)

Ruang Fock Untuk Medan Flavor

Hubungan bauran neutrino yang menggambarkan medan neutrino flavor ν_α relatif terhadap medan neutrino masif ν_k diberikan

) ( = ) (x kU _k

ν

_k x

ν

α

∑

α (19)

dimana α =e,µ,τ adalah indek flavor sedangkan k = 1, 2, 3 adalah indek massa dan U adalah matrik bauran 3×3.

Didefinisikan medan neutrino masif

3/2 ) (2 = ) ( π ν_k x

∫

dp   × − + ±

∑

px k k k p p i t iE h e h u h a_ν ( , ) _ν ( , ) ν 1 =   + k−px k k p p i t iE e h v h b_ν† ( , ) _ν ( , ) ν (20) dengan = 2 2 k k ν ν p m E + , h adalah helisitas, u (p,h) k

ν dan vν_k(p,h) adalah spinor-4 dalam ruang momentum. Medan neutrino masif ini memenuhi hubungan antikomutasi kanonik bergantung waktu berikut

ξη η ξ

ν

δ

δ

δ

ν

(t, ), (t, )}= ( ) kj { _x † _{x x y} j k − (21)

dimana ξ dan η adalah indek Dirac (_ξ,_η =1,L,4) dan

)} , ( ), , ( {ν_kξ t x ν_jη t x ={

ν

_k†_ξ(t,x),

ν

†_jη(t,x)}=0. (22)

Dengan menggunakan normalsasi Blasone-Vitello (BV) , = ) , ( ) , ( = ) , ( ) , ( † † h h h v h v h u h u_ν p _ν p ′ _ν p _ν p ′ δ _′ k k k k (23)

dan hubungan ortogonalitas dan kelengkapan 0 = ) , ( ) , ( † h v h u p −p ′ k k ν ν (24)

(

u ( ,h)u† ( ,h) h p p k k ν ν

∑

_v ( _p,_h)_v† ( _p,_h)

)

=1, k k − − + _{ν ν} (25)

maka operator pada pers. (20) dapat diekspresikan dengan 3/2 3 ) (2 = ) , (

π

ν x d h a p

∫

k ipx t iE e x h u − × k k k p ν ν ( , )ν ( ) † ₍₂₆₎ 3/2 3 ) (2 = ) , (

π

ν x d h b p

∫

k px k k p i iE k h e V x + ×ν ( ) ν ( , ) ν † ₍₂₇₎

Hubungan antikomutasi kanonik medan neutrino masif dari operator (26) dan (27) diperoleh

{

a ( ,h),a† ( ,h)

}

= j k p ν p ν ′ ′

{

bν_k( ′,h′),bν_j( ,h)

}

=

δ

( ′− )

δ

kj

δ

hh′ † p p p p (28)

dan selain hubungan antikomutasi di atas berharga nol. Oleh karena operator ini memenuhi hubungan antikomutasi maka operator a† ( ,h)

k p ν dan ( , ) † h b k p ν secara

berurutan dapat dintepretasikan sebagai operator kreasi partikel dan antipartikel. Operator kreasi mengijinkan kita untuk membangun ruang Fock untuk keadaan neutrino masif dari keadaan vakum 0 .

Selanjutnya akan dikaji medan flavor

ν

_α. Untuk membangkitkan ruang Fock keadaan flavor, ekspansi Fourier-nya harus dinyatakan dengan

3/2 ) (2 =

π

ν

α p d

∫

× _ − + ⋅ ±

∑

px p p i t iE h e h u h a να α ν α ν ( , ) ( , ) 1 =   + p p −p⋅x i t iE e h v h b να α ν α ν ( , ) ( , ) † (29) dimana 2 2 ~ = α ν ν m E k p + (30)

dengan parameter massa sembarang ~2 α ν

m dan spinor u (p,h) α

ν dan vν_α(p,h) dalam ruang momentum. Spinor-spinor ini memenuhi hubungan ortonormalitas dan kelengkapan = ) , ( ) , ( † h u h u p p ′ α ν α ν vν_α( ,h)vν_α( ,h′)=δhh′ † p p (31) 0 = ) , ( ) , ( † h v h u p −p ′ α ν α ν (32)

(

u ( ,h)u† ( ,h) h ′

∑

p p α ν α ν ( , ) ( , )

)

=1 † h v h v − − ′ + p p α ν α ν (33)

Dengan menggunakan hubungan bauran (19), medan flavor (29) dapat diekspresikan dengan

(34)

Diasumsikan bahwa yang menjadi operator anihilasi (kreasi) dari keadaan flavor hanya merupakan kombinasi linier operator anihilasi (kreasi) keadaan masif. Untuk menyikapi hal ini, pers. (29) dibandingkan dengan pers. (34) dan diperoleh

t iE e h u h a να α ν α ν − ) , ( ) , (p p t k iE k k k k e h u a U α ν α ν α −

∑

( , ) = p (35)

Dengan menggunakan (31), operator anihilasi keadaan flavor diperoleh

(

( , ) ( , )

)

) , ( = _{U a h u}† _{h u h} a k k k k p p p _α α ν ν α α ν

∑

′ t k E E i e−( να− ν ) ₍₃₆₎

Hubungan ortonormalitas dan kelengkapan (31) membantu untuk menentukan hubungan antikomutasi operator (35)

(37) Pemunculan suku terakhir (37) menunjukkan bahwa operator (31) tidak memenuhi hubungan antikomutasi secara umum. Hasil yang sama akan diperoleh untuk operator

). , ( h b p α ν

Oleh karena tidak memenuhi hubungan antikomutasi secara umum, operator )

, ( h

a p

α

ν dan bν_α(p,h) tidak memiliki sifat-sifat operator tangga. Implikasi lebih lanjut adalah operator tersebut tidak mungkin untuk membangun ruang Fock.

  +   − + ⋅ + ⋅ ±

∑

∑

∫

p p p px p p px i t k iE k k i t k iE k k k k h e h V h b e h U h a U d x _{α ν ν} ν _{ν ν} ν α π ν ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ) (2 = ) ( † 1 = 3/2

{

}

iE E t j k j k k h h U U u h u h u h u h e h a h a ) ( † † * † ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) ( = ) , ( ), , ( να νβ β ν ν ν α ν β α β ν α ν δ δ − ′ ′ ′ ′ ′ ′ − ′ ′ p p

∑

p p p p p p

3/2 ) (2 = ) , ( π α ν x p h d a

∫

_eiE t i _u† ( ,_h) (_x) α α ν α ν ν p x p⋅ − × (38) 3/2 ) (2 = ) , ( π α ν x p h d b

∫

x p p ⋅ − × x v heiEναt i α ν α ν†( ) † ( , )

Dengan menggunakan hubungan bauran (19) dan ekspansi Fourier (22) didapatkan k k U h a _α α ν (p, )=

∑

  − −E t k E i k k hu hu he a ) ( † ) , ( ) , ( ) , ( α ν ν ν α ν ν p p p + − iE k+E t_ k k h u h v he b ) ( † † ) , ( ) , ( ) , ( α ν ν ν α ν ν p p p (39) * = ) , ( _k k t iE U e h b να _α α ν p

∑



(

)

 _{− −} t k iE k k h u h v h e a ν α ν ν ν ( , ) ( , ) ( , ) † † p p p

(

)

_ + −iEkt k k h v h v h e b ν α ν ν ν ( , ) ( , ) ( , ) † p p p (40)

dan hubungan antikomutasinya

{

a (p,h),a† (p,h)

}

= β ν α ν

{

bν_α( ,h),bν_β( ,h)

}

=δ( − ′)δhh′δαβ † p p p p (41) Selain operator di atas bernilai nol. Operator _a† (_p,_h)

α ν dan ( , ) † _h b p α ν diintepretasikan

secara berturut-turut sebagai operator kreasi partikel dan antipartikel. Melalui operator kreasi ini ruang Fock neutrino flavor dapat dibangun dari keadaan dasarnya. Apabila operator anihilasi (40) dan (41) dioperasikan terhadap vakum 0 diperoleh

k iE U e h a να _α α ν

∑

k p, )0 = (

(

_u† ( ,_h)_v ( ,_h)

)

_e ( ,_h) k k iE k p p p − − × ν_α ν ν ν (42) * = 0 ) , ( _k iE U e h b να _α α ν

∑

k p

(

u† ( ,h)v ( ,h)

)

eiEk _k( ,h) k p p p − − × ν_α ν ν ν

Hasil ini memperlihatkan bahwa operator a (p,h) α

ν dan bν_α(p,h) tidak teranihilasi oleh 0 , ini sekaligus menggambarkan bahwa ruang Fock keadaan vakum dari neutrino flavor berbeda dengan ruang Fock keadaan dasar neutrino masif. Dilain hal muncul suku dimana ruang Fock tak berhingga untuk neutrino flavor bergantung terhadap parameter massa sembarang

α ν

m~ .

KESIMPULAN

Kalkulasi secara langsung terhadap keadaan neutrino telah menunjukkan bahwa kemungkinan untuk mengkonstruksi ruang Fock bagi neutrino flavor adalah tidak mungkin. Sedangkan hipotesis terhadap neutrino flavor real telah digambarkan oleh keadaan ruang Fock dengan munculnya fase parameter massa sembarang

α ν

DAFTAR PUSTAKA

[1] C. Giunti, Eur. Phys. J, C 39 (2005).

[2] C.Giunti, C.W. Kim Fundamental Of Neutrino Physics And Astrophysics, Oxford University Press. Inc, New York, 2007.

[3] R.N. Mohapatra, P.B.Pal Massive Neutrino In Physics And Astrophysics, World Scientific, Singapore, 2004.