SUATU TINJAUAN TERHADAP POLINOMIAL SIKLOTOMIK
Euis Hartini
1, Edi Kurniadi
21,2Jurusan Matematika FMIPA Universitas Padjadjaran Jalan Raya Bandung Sumedang KM 21 Jatinangor 45363
1[email protected], 2[email protected]
ABSTRAK
SUATU TINJAUAN TERHADAP POLINOMIAL SIKLOTOMIK. Dalam makalah ini diteliti
polinomial siklotomik dan sifat-sifatnya. Lebih jauh diteliti juga penerapan polinomial siklotomik dalam pembuktikan Teorema Dirichlet dan ring pembagian hingga. Selain melengkapkan bukti yang telah dilakukan oleh Vladimir Dotseno, dalam laporan akhir ini juga diteliti reduksi polinomial dalam polinomial siklotomik. Terakhir diaplikasikan juga polinomial siklotomik dalam pemecahan soal-soal olimpiade matematika.
Kata kunci : nol kompleks, akar pangkat ke n primitive satuan, redusi polinomial, generator grup siklik
ABSTRACT
A REVIEW TO POLYNOMIAL CYCLOTOMIC. In this paper, a research about polynomial cyclotomic and its properties had been done. Further we discussed the applications of cyclotomic polynomial in the proof of the Direchlet’s Theorem and the division ring. Besides give the complete proof that has be done by Vladimir Dotseno, in this final report we did research reducible of in cyclotomic polynomial. Finally, we applied cyclotomic polynomial in problems solving of mathematics olympiad.
Keywords: generator of cyclic group, reducible of polynomial, the primitive nth roof of unity, zeros complex.
1. PENDAHULUAN
Titik kulminasi dari kajian teori grup, ring, lapangan, konstruksi geometri, dan sejarah matematika adalah polinomial siklotomik [Gallian2010]. Polinomial ini berperan dalam teori bilangan dan kombinatorik[Gallian and Rusin1979]. Dua hal utama yang diteliti dalam laporan akhir ini adalah menerapkan polinomial siklotomik untuk membahas Teorema Dirichlet dan ring pembagian hingga. Dalam [Yimin1990] telah diperoleh sifat-sifat dasar dari polinomial siklotomik dan aplikasi polinomial siklotomik dalam pemecahan soal-soal International Mathematics Olympiad
(IMO).
Dalam makalah ini telah diberikan bukti yang lebih detail dalam membutikan Teorema Dirichlet dan ring pembagian melalui polinomial siklotomik dan contoh dalam
problem solving soal IMO.
2. TINJAUAN PUSTAKA
Kompleks nol dari adalah:
1, .
Jadi, splitt field atas adalah . Lapangan ini disebut perluasan siklotomik akar pangkat ke atas dan faktor tak tereduksi dari atas disebut polinomial siklotomik.
Polinomial siklotomik akar pangkat ke didefinisikan sebagai dengan bergerak atas akar pangkat ke dari 1. Dalam [Dotsenko2001] telah didapat bahwa polinomial siklotomik mempunyai koefisien bilangan bulat dan tak tereduksi atas bilangan bulat. Masalah pertama yang muncul adalah memberikan suatu
tinjauan ulang Teorema Dirichlet untuk prim yang menyatakan bahwa untuk setiap bilangan bulat positif senantiasa terdapat tak hingga banyaknya prim
.
Selanjutnya masalah ke dua telah didapat bahwa setiap ring tidak selalu komutatif. Dalam hal suatu ring pembagian hingga maka faktanya suatu lapangan yang tentunya komutatif. Di sini diberikan bukti dua masalah tersebut dari yang telah didapat oleh [Donsetko 2001] dengan lebih detail melalui polinomial siklotomik.
2.1 Splitting Field dan Primitive nth roots of unity
Splitting field dari polinomial atas lapangan
bergantung tidak hanya pada polinomial tetapi juga bergantung pada field. Oleh karena itu,
splitting field dari atas adalah perluasan
field terkecil dari dengan split. Secara formal permasalahan di atas dituangkan dalam definisi berikut
Definisi 1 [Gallian2010] Misalkan E suatu
extension field dari F dan misalkan f(x) F[x]. Kita katakan bahwa split di E jika f(x) dapat difaktorkan sebagai produk faktor linear di E[x]. Kita sebut E splitting field untuk f(x) atas F jika f(x) split atas E tapi tidak di subfield proper dari E.
Ilustrasi 1 Pandang polinomial . Dapat ditunjukkan bahwa split di dengan splitting field-nya atas adalah . Hal yang serupa dapat
dilihat untuk .
Definisi 2 [Yimin1990] Misalkan
bilangan bulat positif. Suatu bilangan kompleks disebut nth root of unity jika
Definisi 3 [Yimin1990] Misalkan
bilangan bulat positif dan nth roof of unity. Maka bilangan bulat positif terkecil k yang memenuhi disebut order dari dan dinotasikan dengan ord( )
Lema 1 [Yimin1990] Misalkan bilangan
bulat positif dan nth roof of unity. Maka untuk setiap bilangan bulat , jika dan hanya jika ord( )|
Definisi 4 [Yimin1990] Misalkan
bilangan bulat positif dan nth roof of unity. Maka disebut primitive nth roof of unity jika ord(
Lema 2 [Arnold2007] Misalkan bilangan
bulat positif dan primitive nth root of unity, maka primitive nth roof of unity jika dan
hanya jika gcd(
Ilustrasi 2 Pandang polinomial . Nol kompleksnya adalah 1 dan -1. Dapat ditunjukkan bahwa -1 hanya stu-satunya
primitive 2th roof of unity
2.2 Polinomial Siklotomik dan Sifat-Sifatnya
Perhatikan bahwa
adalah pembangun dari grup siklik yang berorder di bawah operasi perkalian. Dari Lema 2 diperoleh bahwa pembangun berbentuk dengan dan gcd( .Polinomiall yang
semua nolnya adalah fungsi Euler’s Totient
[Yves2000] primitive nth roof of unity
mempunyai nama sendiri yang disebut dengan polinomial siklotomik.
Definisi 5 [Gallian2010] Untuk sembarang
bilangan bulat positif , misalkan
menotasikan primitive nth roof of unity. Polinomial siklotomik akar pangkat ke
adalah polinomial berbentuk
Ilustrasi 2 Tabel 2.2.1 Polinomial Siklotomik untuk
Tabel 2.2.1 Polinomial Siklotomik untuk
1 2 3 4 5 6 7
Untuk mempermudah proses perhitungan polinomial siklotomik, ada beberapa sifat
polinomial siklotomik sebagai berikut
Teorema 1 [Gallian2010] Untuk setiap
bilangan bulat positif ,
dengan produk bergerak untuk yang membagi .
Ilustrasi 3 memberikan penjelasan terhadap Teorema 1 di atas
, dst
BUKTI Perhatikan bahwa kedua polinomial tersebut monik. Cukup ditunjukkan bahwa kedua polinomial tersebut mempunyai nol yang sama dan multiplisitasnya sama dengan
1. Misalkan . Maka
grup siklik dengan ord dan memuat semua nth roots of unity. subgrup dari dan oleh karenanya subgrup siklik dari . Menurut Teorema Dasar Grup Siklik maka membagi . Oleh karena itu, muncul sebagai faktor . Di sisi lain jika
faktor linear dari untuk suatu pembagi dari , maka , oleh karenanya, . Jadi, faktor dari
.
Lema 3 [Yimin1990] Misalkan dan polinomial dengan koefisien rasional. Jika semua koefisien polinomial bilangan bulat, maka demikian halnya dengan koefisien dan
BUKTI Misalkan dan bilangan bulat positif terkecil sedemikian sehingga dan
polinomial dengan koefisien bilangan bulat.
Misalkan dengan
dan dengan
dan .
Maka
Karena maka semua
koefisien dapat dibagii oleh . Andaikan dan misalkan pembagi prim dari . Maka ada bilangan bulat sedemikian sehingga . Oleh karenanya, jika maka dan jika
maka untuk semua
yang mengakibatkan .
Hal yang terakhir ini kontradiksi dengan
minimalitas .
Hal yang serupa, terdapat
sedemikian sehingga . Misalkan dan bilangan bulat terbesar antara dan . Maka koefisien dari di adalah
Dengan bilangan bulat. Koefisien dapat dibagi oleh . Hal ini kontradiksi dengan koefisien
dapat dibagi oleh .
3. HASIL DAN PEMBAHASAN 3.1 Aplikasi Polinomial Siklotomik Dalam
Pembuktian Teorema Dirichlet
Sebelum membahas aplikasi polinomial siklotomik, berikut suatu teorema yang cukup membantu dalam proses pembuktian Teorema Dirichlet.Sifat-sifat teori bilangan dalam [Shanks1973] digunakan untuk membantu proses pembuktian.
Teorema 2 [Yimin1990] Misalkan
bilangan bulat positif dan sembarang bilangan bulat. Maka setiap pembagi prim dari
memenuhi salah satu berikut
atau BUKTI
Misalkan pembagi prim dari .
karena . Misalkan
. Karena maka
. Jadi, .
Selanjutnya jika maka ,
yaitu, karena
.
Sekarang misalkan . Karena
Maka terdapat pembagi dari sedemikian sehingga . Tetapi
dan . Akibatnya
Teorema 3 (Dirichlet) [Yimin1990] Untuk
setiap bilangan bulat positif , terdapat tak hingga banyaknya bilangan prim yang
memenuhi
BUKTI Untuk bukti trivial. Sekarang pandang untuk . Andaikan ada sebanyak hingga bilangan prim yang
memenuh . Misalkan produk dari prim-prim tersebut dan semua prim tersebut adalah bentuk penguraian dari . Diperoleh . Misalkan suatu bilangan positif yang cukup besar sedemikian sehingga
dan misalkan pembagi prim dari . Karena membagai , tidak membagi , sehingga dan . Hal ini kontradiksi dengan Teorema 2.
3.2 Aplikasi Polinomial Siklotomik Dalam Pembuktian Ring Pembagian Hingga Masalah berikutnya adalah aplikasi polinomial siklotomik dalam ring pembagian hingga yang dituangkan dalam teorema berikut
Teorema 4 [Dotsenko2001] Setiap division
ring hingga komutatif
BUKTI Tujuan kita harus membuktikan
bahwa . Misalkan . Karena
ruang vektor atas maka
dengan dimensi dari ruang vektor ini. Karena division ring maka grup. Kita peroleh
Setiap Centraliser seperti conjugacy class, dengan nol di dalamnya membentuk
subring yang memuat , yaitu ruang vektor atas .
Misalkan dimensi ruang vektor tersebut dengan . Kita punya
Dapat ditunjukkan bahwa bilangan bulat jika dan hanya jika membagi .
Polinomial dan koprim.
Demikian juga dengan dapat dibagi oleh produknya. Jadi persamaan di atas semua sukunya kecuali dapat dibagi oleh . Jadi, dapat dibagi oleh . Tetapi yang terakhir tidak mungkin terjadi untuk : untuk semua root of unity
. Demikian juga,
. Yang
menunjukkan bahwa .
3.3 Aplikasi Polinomial Siklotomik dalam
Problem Solving Olimpiade Matematika
Aplikasi lain dari polinomial siklotomik adalah problem solving dalam soal-soal IMO. Berikut beberapa contoh aplikasi polinomial siklotomik dalam problem solving soal IMO
Problem (IMO Shortlist 2006) Temukan
semua bilangan bulat yang merupakan solusi
SOLUSI Persamaan di atas ekuivalen dengan
Dari Teorema 4, diperoleh bahwa setiap pembagi prim memenuhi atau . Hal ini mengakibatkan setiap pembagi dari
salahsatunya dapat dibagi oleh atau kongruen terhadap 1 modulo 7. Jadi, atau , yaitu atau . Jika maka demikian juga maka . Hal ini kontradiksi. Selanjutnya jika
maka
, juga suatu kontradiksi. Oleh karena itu, persamaan tersebut tidak mempunyai solusi bilangan bulat.
4. KESIMPULAN
Polinomial siklotomik dapat diaplikasikan untuk membuktikan Teorema Dirichlet dan ring pembagian hingga. Selain itu, sifat-sifat polinomial siklotomik dapat diaplikasikan untuk
problem solving IMO. Kajian lebih jauh dapat
diteliti tentang aplikasi polinomial siklotomik dalam konstruksi regular dalam Teorema Gauss.
5. UCAPAN TERIMAKASIH
Kami mengucapkan terima kasih kepada Jurusan Matematika FMIPA Unpad yang telah mendanai penelitian swadana ini tahun anggran 2012.
6. DAFTAR PUSTAKA
1. ARNOLD, ANDEW. 2007. Algorithms for
Computing Cyclotomic Polynomials..
University of British Columbia. (Online), (www.cecm.sfu.ca/CAG/theses/arnold.pdf, diakses 1 Desember 2012).
2. DOTSENKO, VLADIMIR. 2001. Two
Application of Cyclotomic polynomials, Mathematics Magazine.
3. GALLIAN. 2010. Contemporery Abstract
Algebra, Seventh ed.
4. GALLIAN and RUSIN. 1979 Cyclotomic
Polynomials and Nonstandard Dice,
Discrete mathematics 27 (hlm. 245-259).
5. Mathlinks, IMO Shortlist 2006, N5. (Online), (http://www.mathlinks.ro/Forum/viewtopic.php?
p=780855, diakses 1 Desember 2012). 6. SHANKS. 1993. Solved and Unsolved
Problems in Number Theory, 4th ed.
Chelsea, New York.
7. YIMIN GE. 1990. Elementary Properties
of Cyclotomic Polynomials, Mathematics Magazine.
8. YVES. 2000. Cyclotomic polynomials and
