Bab II Tinjauan Pustaka
II.1 Amplitudo Variation with Offset (AVO)
Amplitudo Variation with Offset (AVO) merupakan konsep yang didasari oleh perubahan amplitudo refleksi pada jejak seismik seiring bertambahnya sudut datang. Besar amplitudo yang mencerminkan nilai reflektivitas pada sudut lebih kecil akan berbeda dengan reflektivitas pada sudut datang lebih besar. Pada data seismik, anomali AVO bisa diamati pada data CDP/CMP gather (pre-stack). Jarak sumber ke penerima (offset) berhubungan langsung dengan sudut datang gelombang (angle of incident). Semakin besarnya atau semakin kecilnya amplitudo merefleksikan sifat fisis dari reflektor gelombang seismik. Hal tersebut diilustrasikan dalam Gambar II.1.
Gambar II.1. a). Geometri AVO b). Perubahan respon amplitudo yang ditimbulkan, modifikasi dari Russell (2008).
Gambar II.1 a, menggambarkan geometri AVO pada akusisi data seismik dengan gelombang datang adalah gelombang seismik yang menjalar pada lapisan shale
dan sebagai reflektornya adalah batupasir yang tersaturasi gas. Gambar II.1 b, mencerminkan hasil rekaman amplitudo pada data seismik yang mana menggambarkan respon amplitudo atau nilai kuat refleksi yang semakin besar.
II.1.1 Persamaan Zoeppritz dan Aki-Richards
Persamaan Zoeppritz memperlihatkan hubungan antara amplitudo gelombang P dan S baik yang ditransimisikan maupun yang direfleksikan yang nilainya tergantung pada besarnya sudut datang dan refleksi seperti yang diilustrasikan pada Gambar II.2.
Gambar II.2. Gelombang datang yang direfleksikan dan dintransmisikan pada bidang batas lapisan.
Pada Gambar II.2, gelombang datang merupakan gelombang P dengan 0. Gelombang tersebut akan direfleksikan dan ditransmisikan pada bidang batas lapisan menjadi refleksi gelombang P dan S serta transmisi gelombang P dan S. Secara matematis digambarkan oleh Zoeppritz dalam persamaan matematika sebagai berikut (Persamaan 2.1):
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (2.1)
dengan reflektivitas gelombang P, reflektivitas gelombang S,
dan adalah transmisi gelombang P dan gelombang S, dan adalah sudut datang dan sudut transmisi gelombang P, dan adalah sudut refleksi dan sudut transmisi gelombang S , dan adalah kecepatan gelombang P yang direfleksikan dan yang ditransmisikan, dan adalah kecepatan gelombang S yang direfleksikan dan yang ditransmisikan.
Persamaan Zoeppritz memperlihatkan hubungan antara amplitudo gelombang P dan S baik yang ditransimisikan maupun yang direfleksikan dengan besarnya sudut datang dan refleksi. Persamaan Zoeppritz tidak memperlihatkan pemahaman yang mudah hubungan antara amplitudo dengan offset dan sifat batuanya, sehingga untuk modeling dan analisa AVO biasanya digunakan persamaan linearisasi, yaitu pendekatan dari persamaan Zoeppritz yang diturunkan oleh Richard dan Frasier serta Aki dan Richards (1980). Persamaan tersebut memisahkan kecepatan dengan densitas, gelombang P dan gelombang S nya.
Δ Δ Δ (2.2) dengan 1 2 0.5 2
4 2 , Δ 2 , Δ 2 , Δ 2 (2.3)
Dari persamaan Aki-Richards (Persamaan ABC) di atas, Wiggins menurunkan persamaan tersebut kedalam tiga bentuk sebagai berikut (Russel, 2008):
(2.4) dengan: 1 2 Δ Δ 1 2 Δ 4 Δ 2 Δ 1 2 Δ (2.5) Persamaan 2.4 sering diebut persamaan Three Term Aki-Richards, karena melibatkan variable A,B,C. Dalam seismik inversi EEI yang digunakan adalah persamaan Two Term Aki-Richards yang tidak melibatkan variabel C nya. A
disebut sebagai intercept, B disebut gradien dan C adalah curvature. Konsep intercept (A) dan gradien (B) diilustrasikan pada gambar III.3. Intercept merupakan nilai amplitudo pada normal offset yang berhubungan langsung dengan koefisein refleksi batuan di atas dan di bawah bidang refleksi sebagai fungsi dari akustik impedansi. Harga intercept positif menunjukkan bahwa lapisan penutup memiliki nilai impedansi lebih rendah dibandingkan dengan lapisan di bawahnya dan sebagian konsekuensinya batas antara kedua bidang tersebut ditandai dengan koefisien refleksi berharga positif. Sebaliknya jika intercept negatif menunjukkan bahwa lapisan penutup memiliki nilai impedansi lebih tinggi dibandingkan dengan lapisan di bawahnya yang ditandai dengan koefisien refleksi berharga negatif. Harga intercept ini lebih menunjukkan perubahan litologi. Gradien menunjukkan perubahan amplitudo yang bergantung pada perubahan sudut datang atau offset. Perubahan amplitudo ini mengandung informasi perubahan kecepatan kompresi, kecepatan gelombang geser, densitas dan poison ratio yang mengindikasikan sebagai perubahan karena fluida pengisi pori batuan. Gabungan antara intercept dan gradien (A B) disebut atribut volume AVO.
Gambar III.3. Intercept (A) dan gradien (B) dari atribut AVO.
II.1.2 Transformasi dari Offset ke Sudut (Offset Gather to Angle Gather) Persamaan Zoeppritz dan Aki-Richards menggunakan domain sudut (angle) dalam penyelesaianya, sedangkan pada data rekam seismik menggunakan domain offset. Perlu adanya transformasi dari offset ke sudut. Proses transformasi domain
sudut, angle gather, dilakukan untuk membawa tiap-tiap trace dalam kawasan offset ke kawasan sudut (angle). Proses ini dilakukan dengan ray tracing menggunakan fungsi kecepatan. Persamaan yang digunakan adalah:
2
(2.6) Dimana = sudut datang, x = offset, d= kedalaman.
dengan diketahui kecepatan rata-rata dari gelombang seismik maka persamaan di atas menjadi:
2
(2.7) Dengan v = kecepatan rata-rata, = waktu tempuh zero offset gelombang seismik dari sumber ke penerima. Dengan mensubtitusikan persamaan 2.6 dan 2.7 menjadi:
(2.8) II.1.3 Kelas AVO
Ostrander (1984) merupakan salah satu orang yang pertama mengemukakan tentang efek AVO dalam gas-batupasir dan memberikan contoh sederhana model dua lapisan. Kasus yang dijumpai Ostrander pada saat itu adalah lapisan shale-gas batupasir dengan sifat batupasir yang mempunyai nilai impedansi rendah jika dibandingkan shale/lempung. Efek AVO yang dikemukakan oleh Ostrander merupakan salah satu bentuk onomali AVO yang selanjutnya diketahui terdiri dari beberapa bentuk anomali.
Rutherford dan William (1989) membagi AVO dalam kasus shale – gas batupasir kedalam tiga kelas, yaitu kelas 1 yang berhubungan dengan nilai impedansi yang tinggi dari batupasir, kelas 2 yang berhubungan dengan nilai impedansi dari batupasir yang mendekati nol dan kelas 3 dengan nilai impedansi batupasir yang rendah. Gambar 2.3 adalah klasifikasi AVO Rutherford dan Williams (1989).
Gambar II.4. Klasifikasi AVO dalam kasus shale- gas sand menurut Rutherford dan Williams (1989).
Anomali kelas 1 memiliki nilai impedansi akustik batupasir yang tinggi. Batupasir kelas satu relatif mempunyai nilai impedansi yang lebih tinggi dibandingkan lapisan penutup atau lapisan di atasnya yang biasanya berupa shale. Batas antara shale dan batupasir tersebut mepunyai nilai koefesien refleksi yang tinggi dan positif. Batupasir pada kelas 1 merupakan batupasir yang secara ekstrim telah terkompaksi. Nilai koefesien refleksi dari akustik impedansi batupasir yang tinggi
R( )
akan positif pada zero offset dan menurun seiring dengan meningkatnya offset, Nilai gradien batupasir kelas 1 biasanya lebih besar bila dibandingkan dengan kelas 2 dan 3.
Anomali kelas 2 memiliki kontras akustik impedansi yang mendekati nol. Batupasir kelas 2 memiliki nilai impedansi akustik yang hampir sama dengan batuan di atasnya. Batupasir tersebut terkompaksi dan terkonsolidasi. Gradien dari batupasir kelas dua mempunyai nilai yang besar namun tidak sebesar gradien pada kelas satu. Nilai reflektifitas sangat kecil pada offset yang mendekati nol. Polaritas terjadi jika nilai koefesien refleksinya zero offset positif, namun hal tersebut jarang terlihat karena noise yang relatif tinggi pada offset yang kecil. Amplitudo pada anomali akan terlihat sangat jelas pada data stacknya.
Anomali kelas 3, batupasirnya memiliki nilai akustik impedansi yang kecil. Batupasir kelas 3 mempunyai akustik impedansi yang kecil dibandingkan batuan di atasnya. Batupasirnya biasanya kurang terkompaksi dan tidak terkonsolidasi. Pada data seismik stacknya, batupasir kelas 3 mempunyai anomali amplitudo yang besar. Biasanya nilai gradienya tidak lebih besar dari kelas 1 dan kelas 2 (Sukmono, 2007).
II.2 Parameter Lambda-Mu-Rho (LMR) II.2.1 Definisi Lambda Mu Rho
Parameter Lambda-Mu-Rho merupakan parameter elastik batuan yang merupakan indikator akan perubahan litologi dan fluida. Parameter Lambda-Mu-Rho berkaitan dengan inkompresibilitas, rigiditas dan densitas suatu batuan.
Lambda berkaitan erat dengan sifat inkompresibilitas suatu batuan. Inkompresibilitas berarti ketahanan terhadap suatu tekanan (kompresi). Inkompresibilitas juga disebut sebagai modulus bulk, yaitu resistansi batuan terhadap perubahan volume batuan yang disebabkan oleh perubahan tekanan. Modulus inkompresibilitas dengan skala densitas ( ) merepresentasikan kehadiran fluida. Jika terdapat batuan berpori tersaturasi fluida seperti minyak atau air mengalami suatu kompresi (tekanan), maka fluida tersebut akan berfungsi sebagai penahan sehingga batuan menjadi lebih inkompresibel dengan ditandai oleh
volume batuan secara keseluruhan yang cenderung tetap. Jika batuan tersebut terisi fluida yang berupa gas maka nilai inkompresibilitas batuan akan lebih rendah karena batuan akan mudah terkompresi (tertekan) dengan ditandai dari perubahan volume batuan secara keseluruhan.
Mu ( ) adalah sifat rigid dari batuan. Mu atau modulus shear, adalah kemampuan batuan untuk tahan terhadap tekanan geser (shear stress) maupun regangan geser (shear strain). Jika batuan mengalami tekanan geser, sehingga dengan mudah matrik batuanya akan bergeser dan batuan tersebut akan merubah bentuk namun tidak merubah volume batuan tersebut secara keseluruhan, maka bisa dikatakan batuan tersebut tidak rigid atau nya relatif kecil. Jika sebaliknya, matriknya tidak mudah bergeser, tidak mudah berubah bentuk, maka batuan tersebut rigid atau nya cenderung besar. Shale dan batuan yang tidak terkompaksi mempunyai nilai yang relatif rendah sedangkan batupasir yang terkompaksi dan karbonat mempunyai nilai yang relatif tinggi.
II.2.1 Pendekatan Goodway
Goodway et al (1997) memperkenalkan penggunaan konstanta lame dan modulus geser sebagai indikator litologi dan fluida. Dari kombinasi impedansi gelombang P atau lebih dikenal dengan Impedansi Akustik (AI) dan impedansi gelombang S atau sering disebut dengan shear impedance (SI), Goodway memperkenalkan 3 parameter elastik: lambda-rho (λρ), mu-rho (μρ dan bulk modulus (K), yang dapat dikombinasikan sebagai indikator litologi dan fluida. Hubungan ketiga parameter tersebut dan kombinasinya dengan kecepatan gelombang P dan kecepatan gelombang S adalah sebagai berikut:
2 (2.9) 4 3 (2.10)
(2.11) Hubungan antara nilai akustik impedansi atau P-impedance (PI) dan shear impedance (SI) dengan dan adalah sebagai berikut:
(2.12)
(2.13) Dengan subtitusi persamaan 2.9 dan persamaan 2.11 diperoleh:
(2.14) 2 (2.15) 4 3 (2.16) Daari persamaan (2.14) dan (2.15) terlihat bahwa parameter dan merupakan fungsi kuadrat dari PI dan SI sehingga anomali kecil dari reflektivitas gelombang P maupun gelombang S akan menjadi besar pada parameter dan . Goodway et al (1997) memberikan contoh hasil pengukuran log pada lapangan shallow gas yang secara sekematik terdapat pada Gambar II.5. Hasil perhitungan yang
dilakukan oleh Goodway kedalam parameter-parameter fisis dari pengukuran log terdapat dalam tabel II.1
Gambar II.5. Pengukuran log shallow gas-sand (Goodway, 1996).
Tabel II.1. Pengukuran log shallow gas batupasir Goodway
/ ( / ) / Shale 2,25 5,1 0,38 20,37 4,035 12,3 3,1 Gas batupasir 1,71 2,9 0,24 18,53 6,314 5,9 0,9 Perubahan rata-rata (%) 27 55 46 9,2 44 70 110
Dari tabel II.1, memperlihatkan parameter dan memiliki sensitivitas perubahan yang relatif lebih tinggi jika dibandingkan dengan parameter lainya. Parameter / mempunyai sensitivitas perubahan paling besar dibandingkan dengan parameter lainya.
II.3 Impedansi Elastik (Elastic Impedance)
Connoly (1999) mengenalkan konsep impedansi elastik (EI) sebagai generalisasi AI untuk beberapa sudut datang. EI merupakan pendekatan yang diturunkan dari linerisasi persamaan Zoeppritz. EI merupakan fungsi dari Vp,Vs dan sehingga dapat dihasilkan reflektivitas gelombang seismik untuk beberapa sudut datang.
Dari persamaan Aki-Richard (Persamaan 2.4), untuk offset sama dengan nol maka: 0 1 2 Δ V Δ 1 2 ∆ (2.17) Connoly mendefinisikan impedansi elastik sebagai:
1 2
∆ 1
2∆
(2.18)
Jika dan maka persamaan Aki-Richards
2.14 dan 2.18 dapat ditulis sebagai: 1 2∆ 1 2 ∆ 1 ∆ 8 ∆ 1 4 Δ Δ Δ Δ Δ
Sehingga dengan mengintegrasikan persamaan di atas maka:
(2.19) Dengan
(2.20) (Connoly, 1999)
II.4 Extended Elastic Impedance (EEI)
Extended Elastic Impedance (EEI) merupakan suatu metode hasil pengembangan dari metode impedansi akustik (AI) dan impedansi elastik (EI). Meskipun range sudut datang pada data seismik biasanya berkisar 0 sampai dengan 30 , namun secara matematika sudut yang diperbolehkan bisa dalam range 90 sampai dengan 90 . Fungsi EI pada persamaan (2.19) telah dimodifikasi oleh Whitcombe (2002), dengan memberikan nilai konstanta , , sehingga memberikan suatu nilai EI yang menormalisasi kembali nilai impedansi untuk semua sudut .
(2.21) Dengan:
1 8
1 4
Ada dua kesulitan dalam mendefinisikan EI di atas, yaitu memerlukan nilai sin θ untuk melebihi satu dan nilai reflektivitas harus lebih dari satu jika nilai sin θ meningkat. Faktanya tidak ada kontras impedansi pada nilai reflektivitas yang nilainya lebih dari satu (kecuali jika impedansi bernilai negatif diperbolehkan). Untuk mengatasi hal tersebut Whicombe et al (2002) membuat perubahan pada definisi EI, yaitu mengganti sin θ dengan tan χ, sehingga memperoleh jangkauan nilai yang lebih luas yaitu -∞ sampai dengan ∞ dibandingkan dengan jika menggunakan nilai sin θ yang jangkauanya adalah 0 sampai dengan 1. Nilai reflektivitas yang berhubungan dengan kontras parameter elastik bisa didefinisikan sebagai:
(2.22) Yang dapat diturunkan sebagai berikut:
(2.23) Skala reflektivitas diperluakn untuk menormalisasi nilai reflektivitas ( ) sehingga tidak lebih dari 1. Normalisasi dilakukan dengan mengkalikan dengan
.
(2.24) Maka dapat diperoleh persamaan:
(2.25) Yang ekuivalen dengan EI, sehingga diperoleh persamaan:
(2.26) Dengan: 8 4 (2.27)
Persamaan (2.26) merupakan nilai EEI dengan jangkauan dari -900 sampai dengan 900. Nilai χ diperoleh dari korelasi maksimum log EEI yang diperoleh dari persaman (2.26) dengan data log (log referensi).
II.5 Inversi Seismik
Sukmono (2007) mendefinisikan seismik inversi merupakan suatu teknik untuk menggambarkan model geologi bawah permukaan menggunakan data seismik sebagai masukan dan data log sebagai pengontrol. Data seismik mempunyai resolusi yang bagus kearah horizontal sedangkan data log mempunyai resolusi bagus kearah vertikal.
Pada dasarnya seismik inversi mengembalikan data seismik yang merupakan suatu pemodelan maju (forward modeling) menjadi data AI yang merupakan cerminan langsung dari model geologi sesungguhnya. Secara umum ada 3 metode seismik inversi yang diturunkan dari analisa amplitudo atau nilai reflektivitasnya, yaitu metode seismik band-limted, model base dan sparse spike.
II.5.1 Metode Seismik Band-Limited
Metode Inversi band-limited mengasumsikan bahwa jejak seismik merupakan koefesien refleksi yang telah difilter oleh sebuah wavelet berfasa nol. Pada proses inversi band-limited, komponen frekuensi rendah dianggap telah hilang dari data seismik sehingga memerlukan data sumur sebagai acuan untuk mengembalikan frekuensi rendah yang hilang tersebut.
Koefesien refleksi dari data seismik yang telah ditambahkan dengan komponen frekuemsi rendah kemudian di invert dengan menggunakan inversi rekrusif seperti dalam persamaan berikut:
1 1
Dengan adalah reflektivitas lapisan ke-i dan impedansi akustik lapisan ke-i. Kelebihan dari metode ini adalah cepat dalam aplikasinya karena relatif sederhana algoritmanya. Kelemahanya, kesalahan akan menjalar keseluruh proses rekrusif jika ada masalah noise dan amplitudo, sehingga tidak dapat diterapkan pada data dengan kualitas yang rendah.
2.5.2 Metode Seismik Sparse-Spike
Metode inveversi sparse-spike dilakukan dengan cara mengekstraksi trace seismik menjadi deret reflektivias untuk kemudian dikonvolusi dengan wavelet sehingga menghasilkan model trace seismik. Setelah diperoleh model yang paling optimal dengan eror kecil, model tersebut kemudian diinversi dengan menggunakan konstrain atau fungsi pembatas tertentu dari data log terdekat.
Salah satu proses yang digunakan pada metode seismik sparse-spike dalam membuat model reflektivias adalah dengan menggunakan dekonvolusi masksimum likehood (dekonvolusi kemungkinan maksimum), yang prinsipnya menganggap koefesien refleksi terbentuk oleh rentetan large events yang bercampur dengan smaller event Gaussian. Secara geologi, large events mewakili batas ketidakselarasan atau batas antar litologi sedangkan smaller events adalah noise.
Inversi sparse spike menggunakan asumsi hanya spike yang besar yang dianggap penting. Metode ini mencari spike yang besar dengan menambah refleksi satu demi satu sampai hasil yang optimal diperoleh, artinya setelah dikonvolusi dengan wavelet yang telah ditentukan, didapat jejak sintetik yang mirip dengan trace seismik dalam batas toleransi tertentu. Parameter eror ditentukan dari perbedaan antara trace seismik dengan trace sintetik.
Kelebihan dari metode seismik inversi sparse spike adalah metode komponen frekuensi rendah sudah ditambahkan secara matematis dalam solusi. Kelemahanya, jika diterapkan pada data seismik yang noisy dan hasilnya kurang detail jika dibandingkan dengan metode band-limited.
2.5.3 Metode Sismik Model Base
Metoda inversi model base dilakukan dengan cara membangun model geologi lebih dahulu dan membandingkan model tersebut dengan data seismik. Hasilnya kemudian digunakan untuk memperbarui model secara iteratif sehingga sesuai dengan data seismik. Metode ini tidak secara langsung melibatkan data seismik dalam proses inversinya hal ini bisa mengakibatkan adanya masalah ketidak unikan pada solusi hasil metoda inversi ini, yaitu hasil model yang benar-benar cocok dengan data seismik tetapi tidak benar.
Jadi proses yang dilakukan dalam inversi model base adalah membuat model seismik sintetik dari model geologi yang dibuat, kemudian hasilnya dibandingkan dengan rekaman seismik, secara berulang-ulang dengan selalu memperbaharui model geologinya sampai diperoleh kesalahan terkecil diantara keduanya. Model seismik dengan kesalahan terkecil itu lalu dijadikan penyelesaian untuk diubah menjadi impedansi akustik.
Kelebihan dari metode ini antara lain penyelesaian yang lengkap termasuk informasi frekuensi rendah. Kesalahan didistribusikan kedalam solusi sehingga relatif lebih baik digunakan pada data seismik yang noisy jika dibandingkan dengan metode yang lain. Kelemahanya adalah solusi yang lengkap didapat secara iterative mungkin tidak tercapai.
II.6 Prediksi Kecepatan Gelombang S 2.6.1 Hubungan dan
Dilihat dari segi sejarahnya, banyak metode prediksi yang diturunkan dari sebagai input dibandingkan dari yang diturunkan dari porositasnya atau analisa petrofisika lainya (Dvorkin, 2008). Picket (1963) memperlihatkan hubungan
dan pada batuan limestone adalah ⁄ /1,8 dan dolomite
⁄ /1,8. Han (1986) dengan menggunakan 75 jenis batupasir dengan
0,7936 0,7868. Mavko et al (1998) mengukur pada sejumlah sampel berupa batupasir yang berporositas tinggi dan tidak terkonsolidasi dan diperoleh
persamaan ⁄ 0,79 0,79. Hubungan linear antara dan yang
dikenal dengan mudrock line diperkenalkan olah Castagna dengan persamaannya adalah ⁄ 0,862 1,172, yang diukur pada batuan klastik tersaturasi air (Castagna & Backus, 1993). Kelebihan dari yang diturunkan dari nya adalah kecepatan dan kepraktisanya dalam mengaplikasikan. Kelemahan dari persamaan-persamaan di atas adalah solusinya harus dilihat kasus-perkasus. Untuk kasus jenis batuan dan fluida yang berbeda akan diperoleh persamaan linearitas yang berbeda pula. Hal tersebut menjadi kurang akurat jika digunakan untuk memprediksi , pada data log yang jenis litologi dan fluidanya sangat heterogen. Harus ada analisis fisika batuan lebih lanjut pada tiap kedalamanya yang mengakibatkan ketidak praktisan dalam aplikasinya.
2.6.2 Prediksi dengan Menggunakan Metode Lee
Lee (2006) menggunakan kecepatan gelombang P, porositas dan modulus dry rock untuk memprediksi kecepatan gelombang S. Kecepatan gelombang P dan kecepatan gelombang S pada batuan sedimen yang tersaturasi bisa dihitung dengan menggunakan persamaan Gassman jika modulus dry rock nya diketahui. Hubungan persamaan modulus dry rock untuk batupasir terkonsolidasi menurut Pride et al (2004) adalah sebagai berikut:
1 1 (2.29) dan 1 1 1.5 (2.30)
Dengan dan adalah modulus bulk dan shear dari dry frame. dan adalah modulus bulk dan shear dari matrik batuan. dan merupakan parameter yang mencerminkan tingkat konsolidasi dan porositas grain. Generalisasi dari persamaan 2.30, adalah sebagai berikut:
1 1 (2.31) dengan 1 2 1 (2.32) Jika mempunyai nilai 1 maka bernilai 1.5 yang identik dengan persamaan 2.32. Semakin tinggi nilai maka nilai akan mendekati 2. Dengan menggunakan modulus dry frame pada persamaan 2.29 dan 2.31, maka kecepatan gelombang berfrekuensi rendah pada batuan yang tersaturasi bisa dihitung karena parameter berhubungan dengan modulus bulk dan modulus shear dari dry frame. Dengan menggunakan teori Biot Gasman dan modulus dry yang diperoleh dari persamaan 2.29 dan 2.31, nilai parameter konsolidasi bisa dihitung dengan menggunakan persamaan berikut:
0
(2.33)
Dengan adalah kecepatan gelombang P yang dihitung dengan
menggunakan modulus elastik dari persamaan 2.29 dan 2.32 dan adalah kecepatan gelombang P pada log. Prediksi kecepatan gelombang S bisa dihitung dengan menggunakan persamaan:
(2.34) Dengan adalah bulk densitas dari sedimen dan adalah modulus shear yang diperoleh dari persamaa 2.31 dengan nilai yang memenuhi persamaan 2.33. Lee menguji metode tersebut dengan menggunakan data sampel batupasir terkonsolidasi dari Han et al (1986) dan sampel batupasir tak terkonsolidasi dari data log lapangan sumur Alpine 1. Dari hasil pengujianya, Lee (2006) menyimpulkan metode tersebut cukup akurat dan cepat diterapkan baik pada batuan yang terkonsolidasi maupun tidak terkonsolidasi.
Berikut adalah parameter dan konstanta elastik yang digunakan Lee dalam pengujianya.
Tabel II.2. Konstanta yang digunakan dalam Studi Lee (2006)
Nilai
Modulus shear quartz 44 GPa
Modulus bulk quartz 38 GPa
Modulus shear lempung 6.85 GPa
Modulus bulk lempung 20.9 GPa
Modulus bulk air 2.29 GPa
Densitas quartz 2650 kg/m3
Densitas lempung 2580 kg/m3
II.7 Estimasi Modulus Elastik
Pada prediksi gelombang , modulus bulk matrik ( ) atau modulus shear matrik ( ) batuan yang terdiri dari campuran beberapa jenis litologi bisa dihitung dengan melakukan pengukuran secara langsung maupun dengan memodelkan dan merata-ratakan nilai atau dari tiap-tiap litologi tersebut. Untuk alasan kecepatan dan kepraktisan menentukan atau , biasanya digunakan model untuk membuat susunan matrik batuan dan
merata-ratakannya. Salah satu metode perataan yang digunakan adalah metode Voight, Reuss dan Hill. Ketiga metode tersebut sering disebut sebagai perataan Voigt-Reuss-Hill (VRH).
2.7.1 Model Voight
Perataan Voight memodelkan susunan matrik batuanya adalah seri atau strain homogen (homogeneous strain). Karena hasilnya yang relatif selalu lebih tinggi bila dibandingkan dengan model perataan lainya, maka sering dijadikan sebagai up limit yaitu batas nilai tertinggi dari modulus elastik batuan. Gambar II.6 adalah Model susunan matrik Voight.
Gambar II.6. Model susunan matrik Voight. Persamaan model Voight adalah:
(2.35) Dengan adalah presentasi volume metrik dari komponen n. dan adalah modulus bulk dan shear matrik batuan yang dihitung dengan menggunakan perataan Voight, dan adalah modulus bulk dan shear komponen n.
2.7.2 Model Reuss
Perataan Reuss memodelkan susunan matrik batuanya adalah paralel atau stress homogen (homogeneous strain). Karena hasilnya yang relatif selalu lebih rendah
bila dibandingkan dengan model perataan lainya, maka sering dijadikan sebagai lower limit yaitu batas nilai terendah dari modulus elastik batuan. Gambar II.7 adalah model susunan matrik Resuss (Schon, 2004).
Gambar II.7. Model susunan matrik Reuss. Persamaan model Reuss adalah:
1 1
(2.36) Dengan dan adalah modulus bulk dan shear matrik batuan yang dihitung dengan menggunakan perataan Reuss.
2.7.3 Model Hill
Model Hill menggunakan nilai rata-rata dari nilai Reuss dan Voight yang persamaanya adalah sebagai berikut:
/2 /2
(2.37)
Dengan dan adalah modulus bulk dan shear matrik batuan yang
