7 7
2.1 Kajian Algoritma
2.1 Kajian Algoritma Greedy
Greedy
Definisi Algoritma
Definisi Algoritma GreedyGreedy Algoritma
Algoritma GreedyGreedy adalah algoritma yang membentuk solusi langkahadalah algoritma yang membentuk solusi langkah per langkah. Pada setiap langkah tersebut akan dipilih keputusan yang paling per langkah. Pada setiap langkah tersebut akan dipilih keputusan yang paling optimal. Keputusan tersebut tidak perlu memperhatikan keputusan optimal. Keputusan tersebut tidak perlu memperhatikan keputusan selanjutnya yang akan diambil, dan keputusan tersebut tidak dapat diubah selanjutnya yang akan diambil, dan keputusan tersebut tidak dapat diubah lagi pada langkah selanjutnya. Prinsip utama Algoritma
lagi pada langkah selanjutnya. Prinsip utama Algoritma GreedyGreedy adalah ”adalah ”taketake what you can get now!”.
what you can get now!”.Maksud dari prinsip tersebut adalah sebagai berikutMaksud dari prinsip tersebut adalah sebagai berikut : Pada setiap langkah dalam Algoritma
: Pada setiap langkah dalam Algoritma Greedy,Greedy, diambil keputusan yangdiambil keputusan yang paling
paling optimal optimal untuk untuk langkah langkah tersebut tersebut tanpa tanpa memperhatikan memperhatikan konsekuensikonsekuensi pada langkah selanjutnya. Dinamakan solusi
pada langkah selanjutnya. Dinamakan solusi tersebut dengan optimum lokal.tersebut dengan optimum lokal. Kemudian saat pengambilan nilai optimum local pada setiap langkah, Kemudian saat pengambilan nilai optimum local pada setiap langkah, diharapkan tercapai optimum global, yaitu tercapainya solusi optimum yang diharapkan tercapai optimum global, yaitu tercapainya solusi optimum yang melibatkan keseluruhan langkah dari awal sampai akhir.
melibatkan keseluruhan langkah dari awal sampai akhir.
Skema Umum Algoritma
Skema Umum Algoritma GreedyGreedy
Algoritma greedy disusun oleh elemen-elemen berikut: Algoritma greedy disusun oleh elemen-elemen berikut: 1.
1. Himpunan kandidat.Himpunan kandidat.
Berisi elemen-elemen pembentuk solusi. Berisi elemen-elemen pembentuk solusi. 2.
2. Himpunan solusiHimpunan solusi
Berisi kandidat-kandidat
3. Fungsi seleksi (selection function)
Memilih kandidat yang paling memungkinkan mencapai solusi optimal. Kandidat yang sudah dipilih pada suatu langkah tidak pernah dipertimbangkan lagi pada langkah selanjutnya.
4. Fungsi kelayakan ( feasible)
Memeriksa apakah suatu kandidat yang telah dipilih dapat memberikan solusi yang layak, yakni kandidat tersebut bersama-sama dengan himpunan solusi yang sudah terbentuk tidak melanggar kendala (constraints) yang ada. Kandidat yang layak dimasukkan ke dalam himpunan solusi, sedangkan kandidat yang tidak layak dibuang dan tidak pernah dipertimbangkan lagi.
5. Fungsi obyektif, yaitu fungsi yang memaksimumkan atau meminimumkan nilai solusi (misalnya panjang lintasan, keuntungan, dan lain-lain).
(Munir, 2004 ).
2.2 Kajian Pengangkutan (Transportasi)
2.2.1 Pegertian Pengangkutan (Transportasi)
Pengertian transportasi berasal dari kata latin yaitu transportare dimana trans berarti seberang atau sebelah lain dan portare berarti mengangkut atau membawa. Jadi, transportasi berarti mengangkut atau membawa (sesuatu) ke sebelah lain atau suatu tempat ke tempat lainnya. Transportasi dapat didefenisikan sebagai usaha dan kegiatan mengangkut atau membawa barang atau penumpang dari suatu tempat ke tempat lainnya. Menurut Rustian Kamaluddin untuk setiap bentuk transportasi terdapat empat unsur pokok transportasi, yaitu : jalan , kendaraan dan alat angkut, tenaga penggerak, dan terminal. Sedangkan Ahmad Munawar menjelaskan dalam bukunya bahwa ada lima unsur pokok dalam sistem transportasi yaitu :
1. Orang yang membutuhkan 2. Barang yang dibutuhkan.
3. Kendaraan sebagai alat angkut. 4. Jalan sebagai prasarana angkutan.
5. Organisasi atau manajemen yang menggerakkan kegiatan transportasi tersebut.
2.2.2 Fungsi transportasi
Untuk menunjang perkembangan ekonomi yang mantap perlu dicapai keseimbangan antara penyediaan dan permintaan jasa angkutan. Jika penyediaan jasa angkutan lebih kecil daripada permintaannya, akan terjadi kemacetan arus barang yang dapat menimbulkan kegoncangan harga di pasaran. Sebaliknya, jika penawaran jasa angkutan melebihi permintaannya
maka akan timbul persaingan tidak sehat yang akan menyebabkan banyak perusahaan angkutan rugi dan menghentikan kegiatannya, sehingga penawaran jasa angkutan berkurang, selanjutnya menyebabkan
ketidaklancaran arus barang dan kegoncangan harga dipasar.
Pengangkutan berfungsi sebagai faktor penunjang dan perangsang pembangunan dan pemberi jasa bagi perkembangan ekonomi. Fasilitas pengangkutan harus dibangun mendahului proyek-proyek pembangunan
lainnya(Nasution, 2004).
2.2.3 Model Matematika Metode Transportasi
Metode transportasi pada intinya mencari dan menentukan perencanaan pengiriman barang dari tempat asal ke tempat tujuan, dengan total biaya transportasi yang minimal. Oleh karena itu, dalam total biaya transportasi terdapat 3 (tiga) variabel, yakni sebagai berikut:
a. Jumlah barang yang tersedia di tempat (sumber) asal, yakni kapasitas pengiriman.
b. Daya tampung di daerah atau tempat tujuan, yakni daya tampung tempat tujuan.
c. Biaya transportasi per unit barang yang akan dikirimkan.
Bila barang yang dikirimkan berjumlah x buah, sedangkan biaya per unit b rupiah, berarti biaya pengiriman adalah x ×b rupiah (Rp x ×b) . Akan tetapi, karena banyak sumber, misalnya sumber barang i dikirimkan ke berbagai tempat tujuan j, maka total biaya menjadi xij ×
ijatau Rp xij ×
ij. Oleh karena total biaya pengiriman dari tempat sumber barang i ke berbagai tempat tujuan j harus minimum maka model LP-nya menjadi:Tujuan: Z =
∑ ∑
=1
=1
×
minimumPerlu diingat, bahwa jumlah barang yang dikirimkan (dari tempat asal) ke tempat tujuan tidak boleh melebihi supply barang yang tersedia. Artinya jumlah barang yang dikirimkan ke tempat tujuan harus sebesar atau lebih kecil dari jumlah barang yang diproduksi supplied). Kalimat tersebut apabila dinyatakan dalam bentuk matematis ialah sebagai berikut:
a. Jumlah barang
yang dikirimkan harus lebih kecil dari jumlah barang yang tersedia di tempat asal sebesar
.Kalimat matematikanya:
∑
=1
≤
, di mana i = 1, 2, ... mb. Jumlah barang yang ”dikapalkan” ke tempat tujuan harus sama atau dapat juga lebih besar dari permintaan (P).
Kalimat matematikanya :
∑
=1
≥
, di mana j = 1, 2, ... n.Sehingga model transportasi dapat dirumuskan sebagai berikut : Fungsi tujuan Z =
∑ ∑
=1
=1
×
minimumDengan Fungsi kendala :
∑
=1
≤
, di mana i = 1, 2, ... m∑
=1
≥
, di mana j = 1, 2, ... n. Dimana :
= kapasitas penawaran (S) barang dari sumber i
= kapasitas permintaan (P) barang dari tujuan jXij =Unit yang dikirim dari sumber i ke tujuan j
bij = biaya angkut per unit dari sumber i ke tujuan j
Apabila jumlah barang yang dikirimkan dari tempat asal i sama dengan
jumlah barang yang diminta oleh tempat tujuan j, maka kalimat matematikanya :
∑
=1
=
, di mana i = 1, 2, ... m∑
=1
=
, di mana j = 1, 2, ... n.Kondisi ini disebut model transportasi seimbang (balance transportation model).
(Prawirosentono, 2005)
2.2.4 Masalah Keseimbangan
Dalam dunia nyata (real world) sering terjadi ketidaksamaan antara jumlah kapasitas daerah sumber (asal ) dengan daya tampung daerah tujuan
(Transportasi Tidak seimbang). Sehingga ada beberapa kemungkinan yang akan terjadi :
1. Bisa dikatakan bahwa jumlah kapasitas sumber bisa tidak sama dengan kapasitas tujuan,bila kapasitas sumber lebih besar dari kapasitas tujuan (unbalanced program ) maka kendala sumber berupa pertidaksamaan dengan tanda ”>”, atau
∑
>∑
.2. Bila kapasitas sumber lebih kecil dari kapasitas tujuan (unbalanced program ) maka kendala tujuan berupa pertidaksamaan dengan tanda
“<”, atau
∑
<∑
.Penggunaan tanda pertidaksamaan ini mempunyai tujuan untuk mengalokasikan kelebihan kapasitas yang terjadi kedalam dummy.
Jika harus disesuaikan dengan dummy kolom atau baris, maka hal tersebut berubah menjadi :
∑
+ Di =∑
. atau∑
=∑
+ D j Dimana : Di = dummy untuk baris2.2.5 Tabel Transportasi
Karena bentuk masalah transportasi yang khas, ia dapat ditempatkan dalam suatu bentuk tabel khusus yang dinamakan tabel transportasi. Tabel ini mempunyai bentuk umum seperti ditunjukkan pada tabel 2.1.
Tabel 2.1. Tabel umum transportasi (
∑
=∑
)Dari Ke TUJUAN Penawaran (supply) 1 2 … j … n S U M B E R 1 X11 b11 X12 b12 … X1j b1j … X1n b1n S1 2 X21 b21 X22 b22 … X2j b2j … X2n b2n S2 … … … … i Xi1 bi1 Xi2 bi2 … Xij bij … Xin bin Si … … … … m Xm1 bm1 Xm2 bm2 … Xmj bmj … Xmn bmn Sm Permintaan (demand) P1 P2 … P j … Pn
�
=�
Tabel 2.2. Tabel transportasi (
∑
>∑
) Dari Ke TUJUAN Penawaran (supplay) 1 2 3 … Semu (n) A S A L 1 X11 b11 X12 b12 X13 b13 … 0 S1 X1n 2 X12 b21 X22 b22 X23 b23 … 0 S2 X2n … … … … m Xm1 b31 Xm2 b23 Xm3 b33 … Xmn 0 Sm Permintaan (demand) P1 P2 P3 … PnTabel 2.3. Tabel Transportasi (
∑
<∑
)∑
=1
≤
, di mana i = 1, 2, ... m∑
=1
≥
, di mana j = 1, 2, ... n. Dimana
≥
0 (Aminudin, 2005). Dari Ke TUJUAN Penawaran (supplay) 1 2 3 … n A S A L 1 X11 b11 X12 b12 X13 b13 … b1n S1 X1n 2 X12 b21 X22 b22 X23 b23 … b2n S2 X2n … … … … Semu (m) Xm1 0 Xm 2 0 Xm3 0 … Xmn 0 Sm Permintaan (demand) P1 P2 P3 … PnLangkah - langkah penyelesaian pendistribusian dengan Algoritma Greedy (Hidayat, 2007) :
.
1. Membuat Tabel Persoalan Transportasi (Pendistribusian).
2. Menyelesaikan solusi layak dasar.
3. Menampilkan elemen-elemen dari algoritma greedy.
4. Mengalokasikan.
5. Tes optimalisasi.
6. Hasil.
2.3.
Solusi Layak Dasar
Untuk mendapatkan pemecahan awal dari persoalan transportasi, kami menyajikan prosedur yang disebut dengan aturan Sudut Barat Laut ( Northwest Corner Rule) dan dua prosedur yang lainnya adalah Metode Biaya terendah ( Least Cost Rule) danVogell Approximation Method (VAM).
2.3.1. Metode Sudut Barat Laut ( Northwest Corner Rule)
Metode ini disebut juga dengan metode Pojok Kiri Atas atau metode Barat Laut. Metode ini digunakan untuk mencari penyelesaian awal dari sebuah persoalan transportasi yang dihadapi. Prosedur penggunaan North West Corneradalah sebagai berikut:
a. Buatlah tabel inisial ( pertama) transportasi dan lengkapi semua nilai demand dan supply, termasuk kotak-kotak kecil biaya transportasi.
b. Selalu memulai pengisian yang pertama kali pada jalur yang berada pada pojok kiri atas. Pengisian atau pengalokasian barang pada jalur ini harus berpedoman kepada kapasitas yang ada dan jumlah permintaan yang
c. Lakukan gerakan zig-zag dari pojok kiri atas kea rah kanan bawah, sampai semua barang yang diproduksi habis terdistribusi dan memenuhi semua permintaan yang ada.
d. Hitung total biaya yang diperoleh.
(Supranto, 2006)
2.3.2.
Metode Biaya terendah ( Least Cost Rule)
Pada umumnya model transportasi yang berlaku tidak dimulai dengan pertimbangan biaya yang baik. Untuk itu akan diberikan dua metode yang cukup baik untuk memulai mendapatkan pembiayaan transportasi yang minimum.
Penguraian yang sistematis dapat ditunjukkan dengan suatu prosedur yang dapat menguraikan metode least square yang lebih umum yang langkah-langkahnya adalah sebagai berikut :
a. Bentuk tabel inisial dari transportasi dengan memasukkan data yang sudah diperoleh dari persoalan yang ada, seperti pada pengisian kotak-kotak kecil dengan biaya transportasi, total komoditas dimasukkan pada supply dan demand, dan seterusnya.
b. Pilih biaya atau nilai kecil pada kotak-kotak kecil dari kotak tabel transportasi. bila terdapat kesamaan pada nilai kotak kecil maka pilih total komoditas terbanyak dari supply dan demand dengan memperhatikan kondisi muatan komoditas transportasi yang seimbang. c. Setelah biaya atau nilai kecil pada kotak kecil tabel transportasi dipilih
maka isi nilai komoditas pada kotak transportasi yang didalamnya terdapat kotak kecil tersebut.
Pengesian kotak ini dilakukan dengan mempertimbangkan total komoditas supply dan demand.
d. Bila kotak transportasi sudah terisi dengan komoditas yang memadai maka kemudian dilakukan pencoretan baris atau kolom yang melalui kotak tabel transportasi sesuai keseimbangan supply dan demand dengan menggunakan garis lurus.
e. Kembali pada langkah kedua dengan memilih biaya atau nilai terkecil pada kotak-kotak transportasi yang tersisa dimana garis lurus pada garis
atau kolom belum ada.
Prosedur ini selesai secara lengkap bila hanya ada satu baris atau kolom yang tersisa sehingga hasilnya dapat ditentukan dengan baik.
Prosedur metode least cost ini dapat dipergunakan pada setiap model transportasi dengan mempertimbangkan optimalisasi dan kelayakan penyelesaian ( kakay, 2008 ).
2.3.3. Vogell Approximation Method (VAM)
Metode vogel dapat menyelesaikan kasustransportasi dengan cara lebih tepat dan mudah karena penentuan sel yang akan diisi dapat diketahui dengan lebih pasti, yaitu dengan mengalokasikan distribusi pada sel yang memiliki bij terkecil dan letak pada baris dan kolom yang memiliki nilai terbesar dari selisih dua bij terkecil. Oleh karena itu, ada tiga tahap yang harus ditempuh pada setiap alokasi distribusi, yaitu :
a. Penentuan pinalti setiap baris dan kolom dengan menggunakan elemen biaya terkecil dalam baris ( kolom ) dari biaya terkecil berikutnya dalam baris ( kolom ) yang sama.
b. Pemilihan baris atau kolom yang memiliki nilai terbesar dari selisih nilai dua bijterkecil sebagai dasar alokasi.
c. Alokasi distribusi maksimum pada baris atau kolom terpilih yang memiliki bijterkecil.
Tiga langkah diatas adalah satu paket langkah untuk menyusun tabel awal dengan metode VAM. Setiap kali alokasi distribusi dilakukan, maka
ketiga langkah itu harus dilakukan. Proses ini berulang hingga seluruh kapasitas teralokasi dan seluruh permintaan tujuan terpenuhi.
2.4. Metode Pengujian Keoptimalan
Bila pemecahan awal sudah didapat, maka langkah selanjutnya adalah menentukan apakah pemecahan itu sudah merupakan yang terbaik (biayanya termurah) atau belum. Ada dua model pengujian optimalisasi, yaitu :
2.4.1. Metode Stepping Stone
Prosedur penilaian ini melibatkan pemeriksaan tiap segi empat tak terpakai dalam tabel untuk menjajaki kemungkinan perpindahan pengiriman kedalam salah satu darinya. Tujuan evaluasi ini adalah menentukan ada tidaknya rencana pengiriman dari tambang ke proyek yang lebih baik.
Segi empat yang terpakai yakni yang berisi nilai, dikatakan berada dalam pemecahan dan disebut segi empat petunjuk (stone square).
Langkah-langkah Metode Stepping Stone :
a. Pilih segi empat takterpakai yang hendak dievaluasi
b. Cari jalur terdekat (gerakan hanya secara horizontal atau vertical ) dari segi empat tak terpakai ini melalui pijakan segiempat itu kembali ke segi empat tak terpakai semula hanya ada satu jalur terdekat untuk setiap sel tak terpakai dalam suatu pemecahan tertentu. Meskipun kita bias memakai jalur batu loncatan atau sel tak terpakai secara sembarang jalur terdekat hanya ada pada sel yang kita jadikan batu loncatan dan sel tak terpakai yang dinilai.
c. Tanda tambah (+) dan kurang (-) muncul berganti pada tiap sudut sel dari jalur terdekat, dimulai dengan tanda tambah (+) pada sel kosong berilah tanda putaran secara jalur jam atau sebaliknya.
d. Jumlahkan unit biaya dalam segi empat dengan tanda tambah (+) sebagai tanda penambahan biaya. Penurunan biaya diperoleh dari
penjumlahan unit biaya dalam setiap sel negatif (penurutan biaya yang paling besar) bila tak ada nilai negative pada evaluasi sel kosong berarti pemecahan sudah optimal.
e. Ulangi langkah (a) s/d (d) untuk sel kosong lainnya, dan bandingkan hasil evaluasi sel kosong tersebut. Pilihan nilai evalusi yang paling negatife ( artinya penurunan biaya yang paling besar ), bila tak ada nilai negatife pada evaluasi sel kosong berarti pemecahan sudah optimal.
f. Lakukan perubahan jalur pada sel terpilih dengan cara mengalokasikan sejumlah unit terkecil dari sel bertanda kurang (-) dan tambah (+) terhadap sel bertanda tambah.
g. Ulangi langkah (a) s/d (f) sampai diperoleh indeks perbaikan atau evaluasi sel kosong tidak ada yang bernilai negatif.
(Aminudin, 2005 )
2.4.2. Modified Distribution Method (MODI)
Pencapaian optimal dapat dilakukan dengan lebih cepat dan perhitungan biaya per unit dapat dihitung dengan lebih mudah.
Langkah-langkah MODI :
a. Tentukan penyusunan tabel awal transportasi dengan menggunakan metode sebelumnya.
b. Menentukan nilai baris dan kolom..
Nilai baris dan kolom ditentukan berdasarkan persamaan diatas (R+ K j= bij). Baris pertama selalu diberi nilai 0, dan nilai baris-baris yang lain dan nilai semua kolom ditentukan berdasarkan hasil-hasil hitungan yang telah diperoleh. Bila nilai suatu baris sudah diperoleh, maka nilai kolom yang dihubungkan dengan segi empat batu dapat dicari dengan rumus R+ K j= bij.
c. Menghitung indeks perbaikan
Indeks perbaikan adalah nilai dari segi empat air (segi empat yang kosong). Dengan rumus :
bij ( harga pada sel kosong) - R i - K j = indeks perbaikan R i : Angka kunci pada setiap baris i
K j : Angka kunci pada setiap kolom j bij : Biaya distribusi pada sel ij
d. Memilih titik tolak perubahan
Segi empat yang mempunyai indeks perbaikan negatif berarti bila diberi alokasi (diisi) akan dapat mengurangi jumlah biaya pengangkutan. Segi empat yang indeksnya “bertanda negatif ” dan “angkanya terbesar” yang dipilih sebagai segi empat yang akan diisi. Bila nilainya positif berarti pemecahan optimal sudah diperoleh. e. Memperbaiki alokasi
Cari jalur terdekat untuk sel yang mempunyai indeks perbaikan negatif terbesar. Tempatkan tanda (+) dan (-) pada sudut jalur pemecahan pengganti, dimulai dengan tanda (+) pada sel kosong. Sel dengan biaya terkecil dalam tanda (-) pada jalur terdekat menunjukkan jumlah penugasan pada sel kosong yang akan masuk kedalam pemecahan. Jumlah ini ditambah pada semua sel tanda (+) yang terdekat dan kurangkan pada sel yang bertanda (-).
f. Mengulangi langkah (c) s/d (e) hingga semua nilai indeks perbaikan besar atau sama dengan nol (Pangestu. Dkk , 1986).
Dalam penelitian ini, penulis menggunakan Metode Modifikasi Distribusi (MODI) sebagai metode pengujian keoptimalan karena MODI merupakan metode penyelesaian kasus transportasi yang dikembangkan dari metode stepping stone. Kelebihan metode ini dibandingkan dengan metode pendahulunya adalah penentuan sel kosong yang bias menghemat biaya
dapat dilakukan dengan prosedur yang lebih pasti dan tepat (Hayu Dwi dan Endra, 2004).
Syarat tes optimalitas menggunakan Stepping Stone dan Modified Distribution Method baru bisa dilakukan bila jumlah sel yang terkena alokasi distribusi pada tabel awal adalah m + n-1, dimana m merupakan jumlah baris dan n merupakan jumlah kolom. Dua kemungkinan yang akan
muncul sebagai konsekuensi logis dari syarat tes ters ebut, yaitu :
Degenerasi
Dalam masalah transportasi telah diketahui bahwa penyusunan program awal (solusi dasar) perlu diperhatikan syarat yang harus dipenuhi yaitu persyaratan tepi dan persyaratan jumlah sel terisi. Variabel basis harus memenuhi jumlah m + n – 1. Artinya sebanyak m + n – 1 sel harus terisi, jadi satu kurang dari jumlah banyaknya baris dan kolom.
Jika banyaknya sel terisi kurang dari m + n – 1 maka peristiwa ini disebut masalah kemerosotan (degenerasi).
Kemerosotan dalam masalah transportasi ditangani oleh dua cara.
Pertama, masalah mengalami kemerosotan pada waktu program awal disusun melalui salah satu metode pada langkah pertama. Untuk mengatasi masalah kemerosotan semacam ini, kita dapat member alokasi suatu jumlah barang yang sangat kecil (mendekati nol) terhadap salah satu atau lebih dari sel kosong sehingga jumlah sel terisi menjadi m + n – 1.
Barang sejumlah kecil ini disebut
(epsilon) dn sel yang kita beri alokasi sebesar
(epsilon) ini menjadi sel terisi.Jumlah barang sebesar
ini sedemikian kecilnya sehingga pengurangan atau penambahan terhadap suatu jumlah barang tidak mengubah bilangannya.Kedua, kemerosotan muncul pada tahap penyelesaian. Hal ini terjadi jika keikut sertaan sel kosong yang memiliki opportunity cost tertinggi mengakibatkan kekosongan dua sel atau lebih diantara sel- sel yang ikut dalam program. Untuk menangani masalah kemerosotan semacam ini harus ditempatkan
pada satu atau lebih sel kosong. Redundansi
Bila jumlah sel yang terkena alokasi distribusi lebih besar dari syarat (m+n-1) atau terjadi kelebihan sel yang terkena alokasi distribusi. Sebagai jalan keluarnya adalah penggabungan alokasi distribusi ke sel yang lain sehingga syarat terpenuhi (siswanto,2006).
