Pendugaan Parameter. Debrina Puspita Andriani /

(1)

Pendugaan Parameter

Debrina Puspita Andriani

www.debrina.lecture.ub.ac.id

E-mail : debrina.ub@gmail.com / debrina@ub.ac.id

(2)

Outline

Pendahuluan

Pendugaan Titik

Pendugaan Interval

Pendugaan Parameter:

Kasus 1 Sampel Rataan Populasi Pendugaan Parameter:

Kasus 1 Sampel Proporsi

Kasus 2 sampel saling bebas & berpasangan selisih rataan dua populasi

Kasus 2 Sampel Selisih 2 Proporsi

(3)

Pendahuluan (1)

25/07/15 www.debrina.lecture.ub.ac.id

(4)

Pendahuluan (2)

4

•  Pendugaan adalah proses yang menggunakan sampel statistik

untuk menduga atau menaksir hubungan parameter populasi yang tidak diketahui.

•  Pendugaan merupakan suatu pernyataan mengenai parameter populasi yang diketahui berdasarkan informasi dari sampel

random yang diambil dari populasi bersangkutan.

•  Pendugaan = Penaksiran

•  Penduga adalah suatu statistik (harga sampel) yang digunakan untuk menduga suatu parameter. Dengan penduga, dapat

diketahui seberapa jauh suatu parameter populasi yang tidak diketahui berada di sekitar sampel (statistik sampel)

•  Secara umum, parameter diberi lambang θ dan penduga diberi lambang xxx

(5)

Pendahuluan (3)

5 Kriteria penduga yang baik



 

Tidak bias



 

Efisien



 

Konsisten

Populasi :

Parameter

Sampel :

Statistik

Statistik merupakan PENDUGA bagi parameter populasi

PENDUGA à TAK BIAS DAN MEMPUNYAI RAGAM

(6)

STATISTIK

merupakan

PENDUGA

bagi

PARAMETER

TARGET PENDUGA TITIK PENDUGA SELANG

Penduga titik tidak selalu tepat menduga parameter populasi maka digunakan

pendugaan dalam bentuk selang interval Dalam setiap pendugaan mengandung

PELUANG kesalahan

penduga selang à konsep probability à SELANG

6 Pendahuluan (4)

(7)

Pendugaan Titik (1)

¡

 

Pendugaan tunggal atau titik (

point estimate

)

ialah pendugaan yang terdiri dari satu nilai saja.

¡

 

Memberikan nilai yang kemungkinan besar

berbeda dari nilai parameter yang sebenarnya.

7

TARGET PENDUGA TITIK 25/07/15 www.debrina.lecture.ub.ac.id

(8)

Pendugaan Titik (2)

8

(9)

9 Pendugaan Titik (3)

2

1 x

x −

p

2

1 ˆ

ˆ

_p

p −

Satu Populasi

Dua Populasi

x

_pˆ

µ

₁

−

µ

₂

p −

₁

p

₂

2

1 s

s

2

1 σ

σ

2 s

2

σ

µ

(10)

Pendugaan Interval (1)

10

•  Pendugaan tunggal yang terdiri dari satu angka tidak

memberikan gambaran mengenai berapa jarak/selisih nilai penduga tersebut terhadap nilai sebenarnya.

•  Jika kita menginginkan suatu pengukuran yang obyektif tentang derajat kepercayaan kita terhadap ketelitian pendugaan, maka kita sebaiknya menggunakan pendugaan interval (interval

estimation). Pendugaan ini akan memberikan nilai-nilai statistik dalam suatu interval dan bukan nilai tunggal sebagai penduga parameter. TARGET PENDUGA TITIK PENDUGA SELANG

•  Pendugaan interval (selang) : pendugaan berupa

interval, dibatasi dua nilai (batas bawah dan batas atas)

•  Pendugaan interval : interval kepercayaan atau

interval keyakinan (confidence interval) yang dibatasi oleh batas keyakinan atas (upper

confidence limit) dan batas keyakinan bawah (lower confidence limit)

•  Untuk membuat pendugaan interval harus

ditentukan terlebih dahulu koefisien keyakinan atau

(11)

11 Pendugaan Interval (2)

<

(12)

Koefisien Keyakinan atau Tingkat Keyakinan (1)

12 Misalnya : 1 - α = 0,90

α = 0,10 = 10 %.

α/2 = 0,05

jadi Z

_α/2

= Z 0,05 = (Z⏐P = 0,5 - α/2) = Z

_{0,5 – 0,05}

= Z

_0,45

= 1,645

(lihat

Tabel Normal

).

Misalnya : 1- α = 0,98 dan n = 25

α = 0,02

α/2 = 0,01

jadi t

_{α/2 ; v}

= t

_{α/2 ; n – 1}

= t

_{0,01 ; 25 –1}

= t

_{0,01 ; 24}

= 2,492

( lihat

tabel Distribusi t

).

(13)

Koefisien Keyakinan atau Tingkat Keyakinan (2)

13

(14)

Menaksir Rataan

14

Pendugaan Titik untuk Rataan

Populasi Penduganya

µ

cenderung akan menjadi penduga µ yang amat tepat, jika n (ukuran sampel) besar

2

σ

x n s x 2 2 σ =

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

CONTOH

Lihat di tabel dengan nilai 1-0,025 =0,9750 à z = 1,96

19

(20)

Dari soal sebelumnya, tentukan selang kepercayaan 99% untuk rataan nilai matematika semua mahasiswa tingkat sarjana

20

sebelumnya

(21)

21

(22)

Pendugaan

Parameter:

Kasus Satu Sampel

Rataan Populasi

(23)

Rataan contoh merupakan

PENDUGA

tak bias bagi µ

s

2

_{merupakan penduga tak}

bias bagi σ

2

µ σ

2

x

s

2 µ 1.96 x

σ

1.96

σ

x SAMPLING ERROR

23 x

(24)

Dugaan Selang

n

z

x

n

z

x

α

σ

_µ

α

σ

2 2

<

+

−

n

s

t

x

n

s

t

x

₍_n ₁₎ ₍_n ₁₎ 2 2 −

<

+

−

α

µ

α Syarat : kondisi σ2 diketahui Tidak diketahui

σ

2

diduga dengan s

2

24 Berlaku juga untuk

sampel kecil (n < 30)

(25)

25 Contoh

Survei dilakukan terhadap 20 RT disuatu kota untuk menduga

besarnya rata-rata biaya pendidikan (juta Rp/thn/RT).

Datanya diperoleh sebagai berikut:

RT 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Biaya (juta Rp) 2,30 4,50 4,00 5,00 3,80 7,20 6,25 5,75 6,70 7,80 RT 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Biaya (juta Rp) 6,80 5,30 8,00 15,10 13,20 4,50 2,00 4,70 5,75 10,10 a.  Dugalah rata-rata biaya pendidikan per RT per tahun

b.  Buatlah selang kepercayaan 95%, asumsikan biaya pendidikan mengikuti sebaran normal.

(26)

26 a.

 

Penduga rata-rata biaya pendidikan

b.

 

Selang kepercayaan 95%

44 .

6 ˆ

_{= x}

₌

µ

093 ,

2 732407

,

0

20 /

275422

,

3 /

) 19 ; 2 / 05 , 0 (

=

= db x

t

n

s

Penyelesaian

970 ,

7

905 ,

4

732 ,

0

093 ,

2

44 ,

6

732 ,

0

093 ,

2

44 ,

6 ≤

≤

+

≤

−

µ

x

Nilai s Dicari dari rumus

(27)

Pendugaan

Parameter:

Kasus Satu Sampel

Proporsi

(28)

Proporsi contoh

merupakan

PENDUGA

tak bias

bagi P

p

pˆ

p 1.96

_σ

_pˆ 1.96

_σ

_pˆ

28 pˆ

(29)

Dugaan Selang / interval

n

p

z

p

P

n

p

z

p

ˆ

(

1 ˆ

)

ˆ

(

1 ˆ

)

2 2

−

+

<

−

α α

Selang kepercayaan (1-α)100% bagi p

29 ˆp − t

₍α 2;n−1)

ˆp(1− ˆp)

n

< P < ˆp + t

(α2;n−1)

ˆp(1− ˆp)

n

Sampel Besar

Sampel Kecil

(30)

30 Contoh

Dari sampel dengan n = 100 mahasiswa PTS “ABC”. Ternyata 25

mahasiswa memiliki IPK ≥ 3. Buatlah dugaan untuk proporsi

mahasiswa PTS “ABC” yang memiliki IPK ≥ 3 dengan interval

keyakinan 95%.

Interval duga: p(0,206 < P < 0,335)

(31)

Pendugaan

Parameter:

Kasus Dua sampel

saling bebas

Selisih rataan dua populasi

(32)

µ

₁

- µ

₂

32

2 1 x x − µ₁-µ₂ 1.96 2 1 x x −

σ

1.96 2 1 x x −

σ

(33)

Dugaan Selang

2 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 2 1

)

(

)

(

n

z

x

n

z

x

₋

_α

σ

₊

σ

_<

_µ

₋

_µ

_<

₋

₊

_α

σ

₊

σ

Syarat : σ₁2 & σ₂2 diketahui Tidak diketahui σ12 & σ22 Tidak sama sama Formula 1 Formula 2

33

(34)

a.

Formula 1:

Jika

σ

₁

dan

σ

₂

tdk diketahui dan diasumsikan sama:

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

−

<

−

<

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

−

2 1 2 ) ( 2 1 2 1 2 1 2 ) ( 2 1

1

1 )

(

1

1 )

(

2 2

s

n

x

t

s

n

t

x

α _v _gab

µ

α _v _gab

2 dan

2 )

1 (

)

1 (

2 1 2 1 2 2 2 2 1 1 2

−

+

=

−

+

−

+

−

=

v

n

s

n

s

n

s

_gab

34 b.

Formula 2:

Jika

_σ

₁

dan

_σ

₂

tdk diketahui dan diasumsikan tidak sama:

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

−

<

−

<

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

−

2 2 2 1 2 1 ) ( 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 ) ( 2 1

)

₂

(

)

₂

(

n

s

n

s

t

x

n

s

n

s

t

x

α _v

µ

α _v

(

)

(

)

⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = 1 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 n n s n n s n s n s v Note:

(35)

Interval Kepercayaan Selisih Rata-Rata Populasi (σ diketahui)

Dua buah mesin A dan B dibandingkan dlm konsumsi

BBM-nya. Random sampling mesin A sejumlah 50 dan B sejumlah

75 dipakai. Ternyata rata-rata konsumsi BBM mesin A adalah

36 mil/galon dan mesin B 42 mil/galon. Carilah interval

kepercayaan 96% bagi μ

_B

- μ

_A

bilamana diketahui standard

deviasi populasi bagi A= 6 mil/galon dan B = 8 mil/galon

Contoh

35

(36)

Penyelesaian

Diket.

X

_sA

=36, X

_sB

= 42; n

_A

=50 dan n

_B

=75. σ

_A

=6 dan σ

_B

=8

Interval kepercayaan 96% bagi μ

_B

- μ

_A

:

3.43 < μ

_B

- μ

_A

< 8.57 .

Jadi beda rata2 konsumsi BBM antara mesin A dan mesin B berkisar antara 3.43 sampai 8.57 mil/galon

B B A A A B A B B B A A A B

n

z

x

n

z

x

2 2 02 . 0 2 2 02 . 0

(

)

(

)

(

₋

σ

₊

σ

_<

_µ

₋

_µ

_<

₋

₊

σ

₊

σ

50

36

75

64

05 .

2 )

36

42 (

)

(

50

36

75

64

05 .

2 )

36

42 (

₋

₊

_<

_µ

_B

₋

_µ

_A

_<

₋

₊

36

(37)

37 Latihan

Dua buah perusahaan yang saling bersaing dalam industri kertas karton saling mengklaim bahwa produknya yang lebih baik, dalam artian lebih kuat menahan beban. Untuk mengetahui produk mana yang sebenarnya lebih baik, dilakukan pengambilan data masing-masing sebanyak 10 lembar, dan diukur berapa beban yang mampu

ditanggung tanpa merusak karton. Datanya adalah :

¡  Dugalah beda kekuatan karton kedua perusahaan dengan

selang kepercayaan 95%

Persh. A 30 35 50 45 60 25 45 45 50 40 Persh. B 50 60 55 40 65 60 65 65 50 55

(38)

Pendugaan

Parameter:

Kasus dua sampel

berpasangan

Selisih rataan dua populasi

(39)

Diberi pakan tertentu Ditimbang kondisi awal : bobot kelinci Ditimbang kondisi akhir : bobot kelinci

Setelah periode tertentu

Perubahan akibat pemberian pakan :

selisih bobot akhir – bobot awal

(40)

µ

_d

d

n

s

t

d

n

s

t

d

d n D d n 1) ( 1) ( ₂ 2 −

<

+

−

α

µ

α

Selang kepercayaan (1-α)100% bagi µ_d

(41)

Contoh

41

(42)

25 64 4 144 25 4 64 1 36 25 392

d

2 Jumlah: - 16

Contoh

42

(43)

43 Penyelesaian

(44)

Pendugaan

Parameter:

Kasus Dua sampel

Selisih dua proporsi

(45)

p

₁

- p

₂

45

2 1 ˆ ˆ p p − p₁-p₂ 1.96 2 1 ˆ ˆ p p −

σ

SAMPLING ERROR 1.96 2 1 ˆ ˆ p p −

σ

(46)

Dugaan Selang

2 2 2 1 1 1 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1

)

ˆ

1 (

ˆ

)

ˆ

1 (

ˆ

)

ˆ

(

2

1 )

ˆ

1 (

ˆ

)

ˆ

1 (

ˆ

)

ˆ

(

2 2

n

p

n

p

z

p

P

n

p

n

p

z

p

−

α

−

+

−

<

−

<

−

+

α

−

+

−

Selang kepercayaan (1-α)100% bagi p

₁

- p

₂

46 Sampel Besar

Sampel Kecil

( ˆp₁− ˆp2) − tα 2;n1+n2−2 ˆp₁(1− ˆp1) n₁ + ˆp₂(1− ˆp2) n₂ < P1− P2 < ( ˆp1− ˆp2) + tα2;n1+n2−2 ˆp₁(1− ˆp1) n₁ + ˆp₂(1− ˆp2) n₂

(47)

BKKBN melakukan penelitian di dua daerah (D₁ dan D₂) untuk

mengetahui apakah ada perbedaan antara persentase penduduk yang setuju KB di daerah tersebut. Kemudian akan dibuat

pendugaan interval mengenai besarnya selisih/perbedaan

persentase tersebut. Di daerah D₁ dan D₂ masing-masing dilakukan wawancara terhadap 120 orang, antara lain menanyakan

apakah mereka setuju KB atau tidak.

Dari D₁ ada 90 orang dan dari D₂ ada 78 orang yang setuju KB. Buatlah pendugaan interval dari perbedaan persentase tentang pendapat penduduk yang setuju dengan KB, di kedua daerah tersebut,dengan tingkat keyakinan sebesar 90%.

Contoh

47

(48)

Penyelesaian

48 p

^₁

=

X

1

n

₁

=

90

120 = 0, 75, p

^ 2

=

X

₂

n

₂

=

78

120 = 0, 65

p

^₁

− p

^ 2

= 0, 75 − 0, 65 = 0,10

2 2 2 1 1 1 2 1 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1

ˆ

)

ˆ

(

ˆ

)

ˆ

(

2 2

n

q

p

n

q

p

z

p

n

q

p

n

q

p

z

p

−

α

+

<

−

<

−

+

α

+

0,1 – 1,64 (0,059) < (P

₁

– P

₂

) < 0,1 + 1,64 (0,059)

0,003 < (P1 – P2) < 0,197

0,25 0,25

Pendugaan Parameter. Debrina Puspita Andriani /