TEORI DASAR
PELUANG
POKOK BAHASAN
2
Teori Dasar Peluang
Pengantar Teori Probabilitas
Konsep Ruang Sampel dan Kejadian
Pendekatan Probabilitas
Aturan Perhitungan Probabilitas
PENGANTAR TEORI PROBABILITAS
PENGERTIAN TEORI PROBABILITAS
Probabilitas/peluang suatu kejadian adalah suatu niilai yang digunakan untuk mengukur tingkat kemungkinan terjadinya suatu peristiwa random.
Bahwa suatu kejadian yang bersifat random (acak)
mempunyai peluang yang sama untuk terjadi. Hal ini disebut dengan equally likely (sama-sama berpeluang).
Contoh
a. Gambar sebuah kartu dari kartu bridge. Setiap kartu dalam tumpukan mempunyai peluang yang sama untuk dipilih.
b. Pemutaran sebuah dadu. Hasilnya adalah permukaan dadu (spot). Ada 6 spot yang mempunyai peluang yang sama untuk muncul adalah equally likely
4
PENGERTIAN TEORI PROBABILITAS
• Nilai antara nol sampai dengan satu, menggambarkan kemungkinan relatif (peluang) suatu kejadian.
• Populasi adalah keseluruhan dari subjek penelitian, sedangkan
• Sampel adalah sebagian dari populasi tersebut
• Eksperimen adalah Proses yang membawa pada
terjadinya satu dan hanya satu-satunya dari beberapa kemungkinan pengamatan
• Hasil adalah Hasil tertentu dari eksperimen
• Kejadian merupakan Kumpulan dari satu atau lebih hasil dari eksperimen
Nilai dan Istilah pada Probabilitas
KONSEP RUANG SAMPEL DAN KEJADIAN
RUANG SAMPEL DAN KEJADIAN
Misalkan dalam permainan kita untuk melempar sebuah dadu.
• Dalam pelemparan dadu merupakan salah satu contoh dari suatu percobaan.
• Kemunculan mata dadu 1, 2, 3, 4, 5 atau 6, jika dihimpun maka diperoleh himpunan
{1,2,3,4,5,6}. Himpunan ini disebut juga
dengan ruang sampel, biasanya diberi notasi S = {1,2,3,4,5,6}, jadi ruang sampel adalah himpunan dari semua hasil yang mungkin pada suatu percobaan/kejadian.
• Kemunculan titik dadu (1), (2), (3), (4), (5), dan (6) disebut sebagai titik sampel dalam
pengamatan.
CARA PENYUSUNAN RUANG SAMPEL
Contoh: { MM, MB, BM, BB }
Mendaftar anggota
Menyajikan tahapan perhitungan probabilitas.
Diagram pohon
8
Mendaftar anggota pada tabel Tabel
CONTOH TEORI PROBABILITAS
Dari 100 unit barang, 25 diantaranya cacat. Jika barang tersebut diambil secara acak, berapa
peluang bahwa barang yang diambil adalah cacat?
Penyelesaian
A = barang cacat.
n(A) = 25, dan n(S) = 100.
Jadi P(A) = 25/100 = 0,25
Dua keping uang logam yang sisi-sisinya seimbang diputar sekali. Berapa probabilitas paling sedikit muncul satu muka ?
Penyelesaian
M = sisi muka, dan B = sisi belakang.
S = { MM, MB, BM, BB }, n(S) = 4 A = { MM, MB, BM }, n(A) = 3 ; Jadi P(A) = 3/4 = 0,75
Penyajian Mendaftar Anggota
CONTOH TEORI PROBABILITAS
Jika saat lantunan pertama dilakukan pada uang logam, ternyata muncul sisi muka, maka akan
dilakukan lantunan kedua kalinya. Tetapi jika lantunan pertama diperoleh sisi belakang, maka untuk lantunan kedua akan digulirkan sebuah dadu. Untuk mempermudah penyajian ruang sampel, dibuat diagram pohon
Percobaan : Terdiri atas lantunan pertama uang logam, dan lantunan kedua digulirkan
sebuah dadu.
Ruang sampel: S = {(M,M), (M,B), (B,1), (B,2), (B,3), (B,4), (B,5), (B,6)}
Kejadian :
a). Sekurang-kurangnya ada satu muncul sisi belakang
= {(M,B), (B,1), (B,2), (B,3), (B,4), (B,5), (B,6)}
b). Terdapat Kedua lantunan sama = {(M,M)}
Titik Sampel : anggota-anggota dari pasangan dalam S disebut titik sampel
Banyak anggota ruang sampel : n(S) = 8
Penyajian bentuk diagram pohon
10
PENDEKATAN PROBABILITAS
PENDEKATAN PROBABILITAS
Untuk menentukan probabilitas kejadian dibagi menjadi dua sudut pandang, yakni objektif dan subjektif. Probabilitas objektif dibagi menjadi dua yaitu klasik dan empiris.
PROBABILITAS SUBJEKTIF
• Probabilitas subjektif adalah kemungkinan dari kejadian yang terjadi ditentukan oleh seseorang berdasarkan informasi apapun yang tersedia.
12
PENDEKATAN PROBABILITAS
PROBABILITAS OBYEKTIF
• PROBABILITAS KLASIK
Pendekatan ini berdasarkan pada asumsi bahwa hasil dari eksperimen kemungkinan besar sama. Contoh pendekatan ini yaitu, jika anda melempar dadu yang adil, ada 6 hasil yang mungkin (angka 1 sampai 6), dan setiap hasil memiliki probabilitas 1/6.
𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃 𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝑃𝑃𝐾𝐾𝑃𝑃𝑃𝑃𝐾𝐾 = 𝐽𝐽𝐽𝐽𝐽𝐽𝑃𝑃𝑃𝑃𝐽 𝐽𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃 𝑦𝑦𝑃𝑃𝐾𝐾𝑦𝑦 𝐾𝐾𝑃𝑃𝐽𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑑𝑑𝑑𝑑𝑃𝑃𝐾𝐾 𝐽𝐽𝐽𝐽𝐽𝐽𝑃𝑃𝑃𝑃𝐽 𝑃𝑃𝐾𝐾𝑃𝑃𝐽𝐽𝑃𝑃𝐽𝐽𝐽 𝐽𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃 𝑦𝑦𝑃𝑃𝐾𝐾𝑦𝑦 𝐽𝐽𝐽𝐽𝐾𝐾𝑦𝑦𝑑𝑑𝑃𝑃𝐾𝐾
PENDEKATAN PROBABILITAS
PROBABILITAS OBYEKTIF
• PROBABILITAS EMPIRIS
Merupakan probabilitas kejadian yang terjadi adalah bagian dari kejadian yang terjadi pada waktu yang sama di masa lampau. Pendekatan empiris terhadap probabilitas didasarkan pada apa yang disebut hukum jumlah besar.
Contohnya yaitu dalam pengujian kecepatan mobil di jalan tol.
14
𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃 𝐾𝐾𝐽𝐽𝑑𝑑𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃 = 𝐵𝐵𝐾𝐾𝑃𝑃𝑃𝑃𝑑𝑑𝑃𝑃 𝑑𝑑𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃 𝑑𝑑𝐾𝐾𝐾𝐾𝑃𝑃𝐾𝐾𝑃𝑃𝑃𝑃𝐾𝐾 𝑃𝑃𝐾𝐾𝑃𝑃𝐾𝐾𝑃𝑃𝐾𝐾𝑃𝑃 𝑇𝑇𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃 𝐾𝐾𝐽𝐽𝐽𝐽𝑃𝑃𝑃𝑃𝐽 𝑑𝑑𝐾𝐾𝐾𝐾𝑦𝑦𝑃𝑃𝐽𝐽𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝐾𝐾
ATURAN PERHITUNGAN PROBABILITAS
ATURAN PENJUMLAHAN
Pada penjumlahan khusus, kejadian-kejadian harus bersifat saling lepas. Saling lepas ialah jika suatu peristiwa terjadi, maka tidak ada peristiwa lain yang terjadi pada saat yang sama.
Contoh : P(A) = 0,35, P(B) 0,40 DAN P (C) 0,25 Maka P(A ATAU C ) = 0,35 + 0,25 = 0,60
Penjumlahan Khusus
16
𝑃𝑃 𝐴𝐴 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝐽𝐽 𝐵𝐵 =𝑃𝑃 𝐴𝐴 +𝑃𝑃(𝐵𝐵)
Atau
𝑃𝑃 𝐴𝐴 ∪ 𝐵𝐵 =𝑃𝑃 𝐴𝐴 +𝑃𝑃(𝐵𝐵)
ATURAN PENJUMLAHAN
Pada penjumlahan umum atau probabilitas
gabungan adalah probabilitas yang mengukur dua kemungkinan kejadian atau lebih yang akan terjadi secara bersamaan. Pada penjumlahan umum, hasil dari eksperimen mungkin tidak saling lepas.
Contoh: Apabila P(AB) = 0,2,
maka, P(A ATAU B) = 0,35 + 0, 40 – 0,2 = 0,55
Penjumlahan Umum
𝑃𝑃 𝐴𝐴 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝐽𝐽 𝐵𝐵 =𝑃𝑃 𝐴𝐴 +𝑃𝑃 𝐵𝐵 − 𝑃𝑃(𝐴𝐴 𝐾𝐾𝑃𝑃𝐾𝐾 𝐵𝐵) Atau
𝑃𝑃 𝐴𝐴 ∪ 𝐵𝐵 =𝑃𝑃 𝐴𝐴 +𝑃𝑃 𝐵𝐵 − 𝑃𝑃(𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵)
ATURAN PERKALIAN
Pada aturan ini, mengharuskan bahwa dua kejadian A dan B adalah saling bebas. Dua kejadian saling bebas jika kemunculan sebuah kejadian tidak mengubah probabilitas
kemunculan kejadian lainnya.
Penjumlahan Khusus
18
𝑃𝑃 𝐴𝐴 𝐾𝐾𝑃𝑃𝐾𝐾 𝐵𝐵 = 𝑃𝑃 𝐴𝐴 𝑃𝑃 𝐵𝐵
Penjumlahan Umum
Jika dua kejadian tidak saling bebas, kejadian tersebut disebut saling terikat. Sehingga dapat dikatakan probabilitas bersyarat ialah
probabilitas munculnya suatu kejadian apabila diketahui kejadian lain sudah terjadi.
𝑃𝑃 𝐴𝐴 𝐾𝐾𝑃𝑃𝐾𝐾 𝐵𝐵 = 𝑃𝑃 𝐴𝐴 𝑃𝑃(𝐵𝐵 𝐴𝐴) Atau
𝑃𝑃 𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵 = 𝑃𝑃 𝐴𝐴 𝑃𝑃(𝐵𝐵 𝐴𝐴)
LATIHAN SOAL
Pendapatan Setelah Pajak Jumlah Perusahaan
Di bawah $1 juta 102
$1 juta hingga $20 juta 61
$20 juta atau lebih 37
1. Studi mengenai 200 perusahaan iklan mengemukakan pendapatan mereka setelah pajak:
• Berapa probabilitas perusahaan iklan yang secara acak memilih pendapatan setelah pajak di bawah $1 juta?
• Berapakah probabilitas perusahaan iklan yang secara acak memilih pendapatan di antara $1 juta dan $20 juta, atau pendapatan sebesar
$20 juta atau lebih? Aturan probabilitas apakah yang digunakan?
RUMUS PERMUTASI
Suatu pengurutan elemen dimana pengurutan elemen tersebut penting. Atau PERMUTASI adalah susunan dari objek sejumlah r yang terpilih dari sekelompok objek sejumlah n kemungkinan.
Contoh: Suatu perusahaan mempunyai 10 rencana investasi. Direktur menyuruh manajer untuk mencari 5 rencana investasi. Ada berapa carakah?
20
)!
(
! x m
P
mm
x
= −
5 10
=
= x m
30240
6 7 8 9 5! 10
10!
5)!
(10 10!
=
×
×
×
×
=
− =
10=
5P
RUMUS KOMBINASI
Suatu pengurutan elemen dimana pengurutan elemen tersebut tidak penting.
Contoh: Ada 5 calon kades, bagaimana cara memilih 2 calon?
)!
(
!
! x m
x C
mm
x
= −
2 5
=
= x
m 10 cara
1 2
4 5 3!
2!
5!
2)!
(5 2!
5! =
×
= ×
= ×
= −
5 2C
LATIHAN SOAL
2. Betts Machine Shop memiliki delapan mesin tetapi hanya memiliki 3 ruangan untuk menyimpan mesin-mesin tersebut. Berapa banyak cara berbeda delapan mesin tersebut dapat disusun di dalam tigaa ruang yang tersedia?
DIAGRAM POHON
22
Diagram Pohon
Suatu diagram berbentuk pohon yang membantu mempermudah mengetahui probabilitas suatu peristiwa
1
Beli Jual
0,6 BNI
BLP BCA
BNI BLP BCA
0,25 0,40 0,35
0,25 0,40 0,35
Keputusan Jual atau Beli Jenis Saham Probabilitas Bersyarat
Probabilitas bersama
1 x 0,6 x 0,35 = 0,21
1 x 0,6 x 0,40 = 0,24 1 x 0,6 x 0,25 = 0,15
1 x 0,4 x 0,35 = 0,14
1 x 0,4 x 0,40 = 0,16
1 x 0,4 x 0,25 = 0,10
0,21+0,24+0,15+0,14 +0,16+0,10 =1,0 Jumlah harus = 1.0
