5 barisan dan deret - UNIKOM Kuliah Online

EDISI 1

MATEMATIKA DISKRIT

Penulis :

Nelly Indriani Widiastuti S.Si., M.T.

JURUSAN TEKNIK INFORMATIKA UNIVERSITAS KOMPUTER INDONESIA

BANDUNG 2011

5

BARISAN DAN DERET BARISAN DAN DERET

JUMLAH PERTEMUAN : 1 PERTEMUAN TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS :

Materi :

6.1

6.1Pendahuluan Pendahuluan

Induksi matematika merupakan suatu teknik yang dikembangkan untuk membuktikan pernyataan. Induksi matematika digunakan untuk mengecek hasil proses yang terjadi secara berulang sesuai dengan pola tertentu.

Contoh :

p(n): “Jumlah bilangan bulat positif dari 1 sampai n adalah n(n + 1)/2”.

Buktikan p(n) benar!

Induksi matematika merupakan teknik pembuktian yang baku di dalam matematika. Melalui induksi matematik kita dapat mengurangi langkah-langkah pembuktian bahwa semua bilangan bulat termasuk ke dalam suatu himpunan kebenaran dengan hanya sejumlah langkah terbatas.

6.2

6.2 BARISAN BARISAN

Barisan adalah suatu susunan bilangan yang dibentuk menurut suatu urutan tertentu. Bilangan- bilangan yang tersusun tersebut disebut suku.

contoh barisan :

barisan bil. Real : 1, 2, 3, 4, 5, …. dst

Jika barisan yang suku berurutannya mempunyai tambahan/pengurangan bilangan yang tetap, maka barisan ini disebut barisan aritmetika. Misal:

a) 2, 5, 8, 11, 14, ... (ditambah 3) b) 100, 95, 90, 85, 80, ... (dikurangi 5)

Jika barisan yang suku berurutannya mempunyai kelipatan bilangan tetap, maka disebut barisan geometri. Misal:

a) 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, ... (dikalikan 2) b) 80, 40, 20, 10, 5, 2½, ... (dikalikan ½) 6.36.3 DERET DERET

Deret adalah jumlah dari bilangan dalam suatu barisan. Pembagian deret diantaranya : a) Deret aritmetika (deret hitung)

Deret hitung adalah deret yang perubahan suku-sukunya berdasarkan penjumlahan terhadap sebuah bilangan tertentu.

Selisih antara dua suku yang berurutan disebut pembeda.

Misal : 2 + 4 + 6 + 8 + 10 = 30

b) Deret geometri (deret ukur)

Deret ukur adalah deret yang perubahan suku-sukunya berdasarkan perkalian terhadap sebuah bilangan tertentu.

Bilangan yang membedakan suku-suku sebuah deret ukur disebut pengganda atau rasio.

Misal :2 + 4 + 8 + 16 + 32 = 62 6.4

6.4BARISAN ARITMETIKA BARISAN ARITMETIKA

Jika U1, U2, U3,..., Un,... merupakan barisan bilangan real, maka U1 + U2 + U3,... + Un +... disebut deret, dan Un disebut suku ke n barisan itu.

Permasalahan :

Bagaimana menentukan suku ke-n dari suatu barisan aritmatika yang tidak terbatas (infinite)?

Contoh :

Tentukan suku ke 10 dari barisan berikut : 3, 5, 7, 9,…..

Jawab :

U1 = 3, U2 = 5, U3 = 7, U4 = 9,.….

Tentukan suku pertama (U1) sebagai a dan pembeda (b) : U1 = a = 3

b = Un+1 – Un = U2 – U1 = 5 – 3 = 2

Maka, dapat diturunkan rumus sebagai berikut : U1 = 3 = a

U2 = 5 = a + b

U3 = 7 = (a + b) + b = a + 2b U4 = 9 = (a + 2b) + b = a + 3b

Jadi, dapat disimpulkan untuk suku ke n pada barisan aritmatika : Maka, suku ke 10 :

U10 = a + (10 – 1)b = 3 + (9)2 = 21 Contoh soal :

1) Suku ke-3 dan suku ke-16 dari barisan aritmetika adalah 13 dan 78. Tentukan suku pertama dan pembedanya!

2) Carilah suku ke-21 dalam barisan aritmetika dimana suku ke-5 = 41 dan suku ke-11 = 23 6.56.5BARISAN GEOMETRIBARISAN GEOMETRI

Barisan geometri adalah barisan yang suku berurutannya mempunyai kelipatan bilangan tetap.

Contoh :

3, 6, 12, 24,…. Tentukan suku ke 11!

Permasalahan :

Bagaimana mengetahui suku ke n pada barisan geometri yang tidak terbatas (infinite)?

Caranya :

Tentukan suku pertama (U1) sebagai a dan rasionya (r) : U1 = a = 3

r = 2 Turunkan rumus : U1 = 3 = a

U2 = 6 = a x r = ar U3 = 12 = ar x r = ar² U4 = 24 = ar² x r = ar³

Jadi dapat disimpulkan untuk suku ke n pada barisan geometri : Maka, suku ke 11 :

U11 = ar^(11-1) = 3(2¹⁰) = 3 (1024) = 3072 Latihan :

Carilah suku ke-8 dari barisan geometri jika suku pertamanya 16 dan rasionya adalah 2.

6.66.6 DERET ARITMETIKA DERET ARITMETIKA

Jika Dn menyatakan jumlah n suku pertama deret aritmatika U1 + U2 + U3 + …+Un

contoh :

2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 = 56 -> D7 = 56

maka Dn = U1 + U2 + U3 + ... dapat diturunkan dengan cara sebagai berikut : Dn = a + (a + b) + (a + 2b) + ...+ Un

Dn = Un + (Un - b) + (Un – 2b) + ...+ a

--- +

2 Dn = (a + Un) + (a + Un) + (a + Un) + ... sebanyak n 2 Dn = n(a + Un)

Dn = n(a+U n) 2

Dn = n(a+a+(n−1)b) 2

Dn = n(2a+(n−1)b)

2 →

Contoh soal :

Carilah jumlah 10 suku pertama dari barisan aritmetika: 3, 7, 11, 15, ...

Carilah jumlah 10 suku pertama dari barisan aritmetika: 3, 7, 11, 15, ...

6.76.7 DERET GEOMETRI DERET GEOMETRI

Jika Dn menyatakan jumlah n suku pertama deret geometri U1 + U2 + U3 + …+Un dengan rasio r.

contoh :

2 + 4 + 8 + 16 + 32 = 62 -> D5 = 62 dan r = 2

maka Dn = U1 + U2 + U3 + ... dapat diturunkan dengan cara sebagai berikut :

D

_n

= n/2 (2a + (n-1)b)

Dn = a + ar + ar² + ar³ + ... + ar^n-1

r Dn = ar + ar² + ar³ + ... + ar^n-1 + arⁿ

_________________________________________ - Dn - r Dn = a - arⁿ

(1-r) Dn = a (1-rⁿ) ->

6.86.8 LATIHAN LATIHAN

1. Seorang karyawan menerima gaji pertama sebesar Rp 1.000.000, setiap tiga bulan gajinya naik Rp 50.000. Gaji yang telah diterima karyawan tersebut selama 2 tahun adalah

2. Harga sebuah barang setiap tahun menyusut 20%. Jika harga pembelian barang tersebut Rp 40.000.000. Harga pada tahunke-4 adalah

3. Jumlah suku ke-n suatu barisan ditentukan dengan rumus n² + n. Nilai suku ke-100 adalah

D

_n

= a(1-r

ⁿ

)

(1-r)