6. SOLVED PROBLEMS - statically indeterminate structures

SOLVED PROBLEMS

1. The assembly consists of an aluminum tube AB

having a cross-sectional area of 400 mm². A steel rod having a diameter of 10 mm is attached to a rigid collar and passes through the tube. If a tensile load of 80 kN is applied to the rod, determine the displacement of the end C of the rod. Take E_st = 200 GPa, E_al = 70 GPa.

Penyelesaian: Pipa aluminium: l0-Al = 400 (mm), A0-Al = 400 mm², EAl = 70 GPa Baut baja: l0-St = 600 mm, dSt = 10 mm, ESt = 200 GPa

F = 80 kN, CC’ = ?

Pada gambar di atas terlihat jelas bahwa baut akan mengalami tegangan tarik dan pipa aluminium akan mengalami tegangan tekan. Menghitung perpanjangan baut akibat beban tarik:

Luas penampang batang baut: ASt = /4 d² = /410² = 78,5 mm²

Besar tegangan yang terjadi pada baut: St = F / ASt = 801000 / 78,5 = 1019,1 MPa Besar regangan yang terjadi pada baut; St = St / ESt = 1019,1 / (2001000)

= 0,005096 mm/mm

Perpindahan titik C akibat perpanjangan baut: lSt = Stl0-St = 0,005096600

= 3,057 mm.

Menghitung perpendekan pipa akibat beban tekan:

Tegangan tekan yang terjadi pada pipa: Al = F / AAl = 801000 / 400 = 200 MPa Regangan tekan pada pipa: Al = Al / EAl = 200 / 701000 = 0,002857 mm/mm Perpendekan pipa = pergeseran titik B ke kanan: lAl = All0-Al = 0,002857400

= 1,143 (mm) Pergeseran titik C: CC’ = lSt + lAl = 3,057 + 1,143 = 4,200 (mm).

2. F = 10 kN, L = 4 m, RA, RB, MA = ?

Dengan prinsip superposisi pembebanan dibagi dua seperti pada gambar (a) dan (b).

Gambar (a): l = x = L/2 = 2 (m), F = 10 kN

y₂ =  BC = 20/EI2 = 40/EI Gambar (b): l = x = L = 4 m, F = R_B

y

₁

F

y

2

 .

A B

C’

(a)

y

₃

R

_B

A B’

(b)

mm 3

) 80 2 2 3 6 (

2 ) 10 3

6 (

2 2

1 l x EI EI

EI x

y  F      

rad 20 ) 2 2 2 2 (

2 ) 10 2

2 ( l x EI EI

EI x

F      

 

Karena titik B tetap, maka: y₁ + y₂  y₃ = 0  80/3EI + 40/EI  64 R_B/3EI = 0 Sehingga: R_B = (80 + 120) / 64 = 3,125 kN

F_v = 0  R_A = F – R_B = 10 – 3,125 = 6,875 kN MA = RB L – F L/2 = 3,1254  102 = 7,5 kNm

3. w = 3 kN/m, L = 5 m. RA, RB, MA = ?

x = 2 m dan y +3 cm  max, 1 , 2 =?

Balok prismatis homogen: b  h = 6  10 cm.

Dengan prinsip superposisi pembebanan dibagi dua seperti pada gambar (a) dan (b).

Gambar (a): l = x = L = 5 (m), w = 3 kN/m

Gambar (b): l = x = L = 5 m, F = R_B

Karena titik B tetap, maka: y₁  y₂ = 0  1875/8EI  250 R_B/6EI = 0 Sehingga: R_B = 18756 / (2508) = 5,625 kN

F_v = 0  R_A = wL – R_B = 35 – 5,625 = 9,375 kN

M_A = R_B L – w L²/2 = 5,6255  35²/2 = 9,375 kNm Menghitung besar tegangan normal yang terjadi di x:

Besar momen di x = 2 m: M_x = R_B (L – x) – w (L – x)²/2 = 5,625 (5 – 2) – 3 (5 – 2)²/2

= 3,375 kNm

Inersia linear penampang: I_x = 1/12 b h³ = 1/1260100³ = 5 000 000 mm⁴

Besar tegangan normal yang terjadi: xx = M_b y / I_x = 3,37510⁶ 30 / 5000 000 = 20,25 MPa Menghitung besar tegangan geser yang terjadi di x:

Besar gaya lintang F_y di x = 2 m: F_y = R_B – w (L – x) = 5,625 – 3 (5 – 2)

= 3,375 kN

Besar tegangan geser yang terjadi: = 0,54 MPa

y

₁

w

A

B (a)

y

₂

R

_B

A B’

(b)

mm 3

) 64 4 4 3 6 (

) 4 3 6 (

2 B 2 B

3 EI

R EI

x R EI l

x

y F    



 



x y

mm 8

) 1875 5 5 5 4 5 6 24 (

5 3

) 4

6 24 (

2 2 2

2 2 2

1

EI EI

x lx EI l

x y w











 





 



mm 6

) 250 5 5 3 6 ( ) 5 3 6 (

2 B 2 B

2 EI

R EI

x R EI l

x

y  F      

 

_^_ ^ _^

 

^ _^

 

 ^{y 2} ₁^{2 2 2}

yx 1002 30

000 000 5 2

1000 375 , 3 h2

2 y

I

 F

Menghitung tegangan geser maksimum dan tegangan utama:

 1 = 20,26 MPa

₂ = 0,0136 MPa

 

⁴ ₂¹

^

^{20,25 0}

^

^{4 0,54 10,139 M Pa}

2

1 _{2 2 2}

xy 2

yy xx min

max,          



139 , 2 10

0 25 , 20 2 ^max,min

yy 2 xx

,

1     

  

