DISTRIBUSI PROBABILITAS
Program Studi Teknik Kimia
Aida Nur Ramadhani, M.T. – Dr. Margono
Tika Paramitha, M.T. – Mujtahid Kaavessina, Ph.D
Random variables &
probability distribution concept
Distribusi probabilitas
Distribusi probabilitas adalah sebuah daftar dari keseluruhan hasil suatu percobaan kejadian yang disertai dengan nilai probabilitas masing-masing hasil (event).
Distribusi probabilitas menunjukan hasil yang diharapkan terjadi dari suatu kegiatan dengan nilai probabilitas masing-masing hasil tersebut
Grafik
Histogram probabilitas: sumbu vertikal menunjukkan probabilitas.
Pada histogram di samping, sumbu x memiliki nilai 0, 1, 2, 3,…, 14, yang setiap unit bernilai 1. Sehingga, area setiap persegi panjang sama dengan nilai probabilitasnya, yaitu 0,000, 0,001, 0,006, dan seterusnya.
Ada tiga orang mahasiswa yang akan memilih mata kuliah pada semester genap angkatan 2017. Mata kuliah tersebut Stasistika dan Matematika.
Ketiga mahasiswa tersebut bebas memilih mata kuliah mana yang akan diikuti.
Dari tabel distribusi probabilitas kita dapat dengan mudah menentukan berapa
probabilitas ketiga mahasiswa akan memilih mata kuliah Statistik yaitu
0,125. Jumlah STK di pilihan mahasiswa
Variabel Acak
Variabel acak didefenisikan sebagai sebuah ukuran atau besaran yang merupakan
hasil suatu percobaan atau kejadian yang terjadi secara acak dan mempunyai nilai yang berbeda-beda.
Contoh:
Petani menimbang berat setiap semangka yang telah dipanen. Dari lima semangka beratnya berturut-turut 3.56; 3.80; 2.79; 3.60 dan 4.05 kg. Maka penimbangan berat adalah percobaan acak dan nilai berat setiap semangka adalah variabel acak.
Persyaratan Distribusi Probabilitas
1. ∑P(x) = 1 menunjukkan keseluruhan nilai 2. 0 < P(x) < 1 untuk nilai setiap x
Contoh 1
Apakah Tabel 4-2 mendeskripsikan distirbusi probabilitas?
Jawab:
Distribusi probabilitas harus memenuhi dua persyaratan yang telah dijelaskan sebelumnya.
∑P(x) = P(0) + P(1) + P(2) + P(3)
∑P(x) = 0,2 + 0,5 + 0,4 + 0,3 = 1,4
∑P(x) tidak bernilai 1, sehingga Tabel 4-2 bukan termasuk distribusi probabilitas.
Contoh 3
Apakah P(x) = x/3 ( dimana x = 0, 1, dan 2) merupakan distribusi probabilitas?
Jawab:
P(0) = 0/3 P(1) = 1/3 P(2) = 2/3
1.
2. Setiap P(x) bernilai antara 0 dan 1
Kedua persyaratan memenuhi bahwa P(x) merupakan distribusi probabilitas.
P ( x ) 0 3 3 1 3 2 3 3 1
Mean, varian, dan standar deviasi
Mean untuk distribusi probabilitas
Varian untuk distribusi probabilitas
Varian untuk distribusi probabilitas
Standar deviasi untuk distribusi probabilitas
2 2
2 2
2 2 2
) ( .
) ( .
) ( . ) ( .
x P x
x P x
x P x
x
P
x
Nilai Rata-rata Hitung (mean)
Nilai rata-rata hitung merupakan nilai harapan (expected value) yang dilambangkan dengan μ.
Rumus nilai rata-rata hitung:
μ X P(x)
: Nilai rata-rata hitung distribusi pobabilitas : Kejadian
: Probabilitas suatu kejadian
x . P ( x )
Varians dan Standar deviasi
Varian dan standar deviasi merupakan ukuran penyebaran yaitu mengukur seberapa besar data menyebar dari nilai tengahnya.
Semakin kecil sebaran data, maka semakin baik, karena menunjukkan data mengelompok pada nilai rata-rata hitung.
Varian dan standar deviasi dirumuskan sebagai berikut:
2 2
2 2 2
) ( .
) ( .
x P x
x
P
x
Varians dan Standar deviasi
μ X P(x)
: Nilai rata-rata hitung distribusi pobabilitas : Kejadian
: Probabilitas suatu kejadian x : varian
: Standar deviasi
: Nilai rata-rata hitung distribusi pobabilitas : Kejadian
: Probabilitas suatu kejadian x : varian
: Standar deviasi
2. ( )
2 x P x
Round-off Rule untuk µ, σ, dan σ
2Contoh:
Jumlah rata-rata mesin jet yang sukses di seluruh penerbangan adalah 3,999714286, yang menjadi 4,0 ketika dibulatkan daripada data asli.
4,0 akan memberikan pengertian yang salah karena menunjukkan
bahwa semua mesin jet sukses dalam penerbangan. Presisi diperlukan Bulatkan hasil dengan satu desimal lebih banyak daripada jumlah desimal yang digunakan untuk variabel acak x. Jika nilai x adalah bilangan bulat, bulatkan µ, σ, dan σ2 ke satu desimal.
Identifikasi hasil yang tidak biasa dengan “the range rule of thumb”
Nilai-nilai yang "tidak biasa/unusual" dapat diidentifikasi dengan menentukan bahwa nilai tersebut berada di luar batas-batas ini:
Nilai maksimum = µ + 2σ Nilai minimum = µ - 2σ
Contoh
Tabel 4 menunjukkan distribusi probabilitas untuk jumlah anak perempuan di antara 14 bayi yang baru lahir secara acak. Dengan asumsi bahwa penelitian diulangi secara acak yang memisahkan 14 bayi baru lahir dan menghitung jumlah anak perempuan, tentukan jumlah rata-rata anak perempuan (di antara 14), varian, dan standar deviasi.
Tentukan nilai maksimum dan nilai minimum yang tidak biasa menggunakan “the range rule of thumb”.
Identifikasi hasil yang tidak biasa dengan probabilitas
Berdasarkan asumsi tertentu (seperti asumsi bahwa anak laki-laki dan perempuan memiliki kemungkinan yang sama), kemungkinan kejadian tertentu (seperti 13 anak perempuan dalam 14 kelahiran) sangat kecil, dapat disimpulkan bahwa asumsi itu mungkin tidak benar.
Using Probabilities to Determine When Results Are Unusual
Unusually high : x successes among n trials is an unusually high number of successes if P (x or more) is very small (such as 0.05 or less)
Unusually low : x successes among n trials is an unusually low
Dengan menggunakan dua kriteria sebelumnya, apakah tidak biasa untuk mendapatkan 13 anak perempuan dari 14 kelahiran?
Jawab:
13 anak perempuan dari 14 kelahiran adalah ketidakbiasaan yang tinggi (unusually high) jika P(13 atau lebih anak
perempuan) bernilai kecil.
P(13 atau lebih anak perempuan) = P(13) + P(14)
= 0,001 + 0,000
= 0,001
Dikarenakan probabilitas 0,001 sangat rendah kita menyimpulkan bahwa tidak biasa untuk mendapatkan 13 anak perempuan dari
Binomial probability distribution
Binomial probability distribution
Data yang dihasilkan oleh suatu percobaan yang dinamakan Bernoulli.
Yang memenuhi persyaratan berikut :
Prosedur memiliki jumlah percobaan (trial) yang pasti
Percobaan bersifat independen dengan percobaan lainnya
Setiap percobaan memiliki dua kemungkinan (gagal / berhasil, diterima / ditolak, dst.)
Peluang konstan untuk setiap percobaan
P(S) = p (p = probability of a success) P(F) = 1- p = q (q = probability of a failure) n = fixed number of trials
x = number of successes in n trials, so x can be any integer from 0 to n
p = probability of success in 1 of the n trials q = probability of failure in 1 of the n trials
P(x) = probability of getting exactly x successes from n trials
Binomial Probability Formula
• Mathematically, the binomial probability distribution is represented by the following function:
for x = 0.1,2,...,n
n = number of trials
x = number of successes among n trials p = probability of success in any 1 trial
q = probability of failure in any 1 trial (q = 1 – p)
� ( � ) = � !
( � − � ) ! � ! ∙ �
�∙ �
�−�
Contoh 1
Seorang siswa yang tidak siap menghadapi kuis pilihan ganda 4 pertanyaan, akhirnya membuat tebakan secara acak. Setiap pertanyaan memiliki 5 kemungkinan jawaban (a, b, c, d, e), salah satunya benar.
Probabilitas siswa menjawab dengan benar 3 dari 4 pertanyaan akan dihitung.
1. Apakah proses ini menghasilkan distribusi binomial?
2. Jika demikian, identifikasi nilai-nilai n, x, p, dan q?
3. Berapakah probabilitas siswa menjawab dengan benar 3 dari 4 pertanyaan?
Penyelesaian Contoh 1
1.
Jumlah uji coba sebanyak 4 pertanyaan
Empat pertanyaan besifat independen, karena hasil yang benar atau salah untuk setiap pertanyaan tidak mempengaruhi hasil dari pertanyaan lain
Masing-masing dari 4 pertanyaan memiliki 2 hasil yang mungkin:
benar/salah
Probabilitas jawaban yang benar adalah sama untuk semua uji coba
= 1/5 = 0,2
2.
Karena jumlah percobaan (= jumlah pertanyaan kuis) adalah 4, n = 4
Probabilitas jawaban yang tepat adalah 3 tanggapan yang benar, jadi x = 3
Probabilitas jawaban yang benar untuk 1 pertanyaan adalah 1/5 = 0,2, jadi p = 0,2
Probabilitas jawaban salah adalah 4/5 = 0,8, jadi q = 0,8
Penyelesaian Contoh 1
3.
Jadi probabilitas siswa menjawab dengan benar 3 dari 4 pertanyaan sebesar 0,0256.
Penyelesaian Contoh 1
Contoh 2
Setiap sampel air memiliki kemungkinan 10% mengandung polutan organik tertentu. Asumsikan bahwa setiap sampel independen dengan keberadaan polutan. Tentukan probabilitas bahwa dalam 18 sampel berikutnya, terdapat 2 sampel yang mengandung polutan!
x jumlah sampel yang mengandung polutan dalam 18 sampel dianalisis. x adalah variabel acak binomial dengan p 0,1 dan n 18. Oleh karena itu,
Probabilitas untuk setidaknya empat sampel yang mengandung polutan.
Atau,
Penyelesaian Contoh 2
Probabilitas untuk sampel yang mengandung polutan.
•
Penyelesaian Contoh 2
Mean, varian, dan standar deviasi
Mean
Varian
Standar deviasi
Contoh 3
Masing-masing dari 100 pasangan akan memiliki 1 bayi. Asumsikan bahwa hasilnya adalah 68 anak perempuan di antara 100 bayi.
Tentukan mean dan standar deviasi?
Mean :
Standar deviasi :
Dari 100 pasangan yang memiliki seorang bayi, rata-rata jumlah bayi perempuan adalah 50 dan standar deviasi 5.
•
Dari 100 pasangan yang memiliki seorang bayi, rata-rata jumlah bayi perempuan adalah 50 dan standar deviasi 5. The range rule of thumb :
Maximum usual value : µ + 2σ = 50 + 2 (5) = 60 Minimum usual value : µ - 2σ = 50 - 2 (5) = 40
Sehingga, 68 bukan hasil yang biasa (unusual) karena tidak diantara 40 dan 60.