Algoritma-algoritma Shortest Path Lain

Algoritma-algoritma Shortest

Path Lain

Algoritma Bellman-Ford

• Memecahkan masalah Single Source SP untuk kasus bobot negatif

• Ide:

– Inisialisasi tabel shortest path dari source ke semua verteks lain ∞kecuali dari source ke source 0.

– relaksasi tabel shortest path dalam n-1 iterasi setiap pasangan verteks u dan v jika sisi (u,v) ada

• Syarat: tidak ada siklus negatif krn tidak ada solusi

• Kompleksitas O(NM) untuk N jumlah verteks dan M jumlah sisi

Relaksasi

• Update tabel jarak minimum ke verteks u (yaitu d[v]) yang diketahui hingga saat itu atas dasar informasi jarak minimum ke

verteks v (yaitu d[u]) dan bobot sisi antar u dan v (yaitu w[u][v])

relax(u,v,w) {

if (d[v] > d[u] + w[u][v])

d[v] = d[u] + w[u][v]

}

Algoritma

Inisialisasi tabel jarak d[ ] Iterate in n-1 times:

For each vertex pair of u & v where edge is (u,v) in in E[G]

do relax(u,v,weight)

// periksa jika terdapat siklus negatif

For each vertex pair of u & v where edge (u,v) is in in E[G]

do

If (d[v] > d[u] + weight[u][v]) then return false return true // tidak terdapat siklus negatif

u

x y

v

z

6

7

8

5 -2

2 9

7 -3

-4

∞ ∞

∞

∞ 0

Inisialisasi: hanya d[z] = 0, lainnya ∞

u

x y

v

z

6

7

8

5 -2

2 9

7 -3

-4

6 ∞

∞ 7

0

iterasi pertama: Dari semua pasangan hanya d[u] dan d[x] yang terupdate saat relaksasi

u

x y

v

z

6

7

8

5 -2

2 9

7 -3

-4

6 4

2 7

0

iterasi kedua: Dari semua pasangan hanya d[v] dan d[y] yang terupdate saat relaksasi

u

x y

v

z

6

7

8

5 -2

2 9

7 -3

-4

2 4

2 7

0

iterasi ketiga: Dari semua pasangan hanya d[u] yang terupdate saat relaksasi (d[u] terupdate yang kedua kalinya)

u

x y

v

z

6

7

8

6 -2

2 9

7 -3

-4

2 4

-2 7

0

iterasi keempat: Dari semua pasangan hanya d[y] yang terupdate saat relaksasi (d[y] terupdate yang kedua kalinya)

Konstruksi Path

• Untuk konstruksi path diperlukan array

predesesor yang mencatat melalui verteks v mana harga d[u] diperoleh saat

relaksasi.

– Dari verteks tujuan, mundur ke predesesor, kemudian mundur lagi, dst… hingga sampai di verteks source

Improvement Relaksasi dari Yen

• Sebelum pass pertama urutan linear v₁,v₂, …, v_n

• Partisi E ke dalam E_f dan E_b:

– E_f: {(v_i,v_j) dl E: I < j}, definisikan G_f = (V, E_f) – E_b: {(v_i,v_j) dl E: I > j}, definisikan G_b = (V, E_b)

• G_f adalah graf assiklik dengan urutan topological

<v₁,v₂,…v_n> dan G_b graf asiklik dengan urutan topological <v_n, v_n-1, …,v₁>

• Modifikasi algoritma Bellman-Ford

– Visit setiap verteks dg urutan <v₁,v₂,…v_n>, relakasi sisi-sisi dl E_f

– Visit setiap verteks dg urutan <v_n,v_n-1,…v₁>, relakasi sisi-sisi dl E_b

Algoritma Floyd-Warshall

• All-pair Shortest path problem

– Menemukan shortest path dari setiap pasangan verteks dalam graf

• Berdasarkan formulasi rekursif Dynamic Programming

– Periksa path antara vi-vj apakah bisa lebih pendek melalui path vi-vk dan vk-vj ?

• Kompleksitas O(N

³

)

Ide Forumulasi Rekursif (DP)

• Verteks-verteks antara dalam shortest path

• jika V = {1,2,3,…,N}

• Untuk k=0,…, n, maka d

_ij^{(k) =}

• w_ij, untuk k=0

• Min(d_ij^(k-1), d_ik^(k-1)+d_kj^(k-1)), untuk k > 0

• Solusi adalah d

_ij⁽ⁿ⁾

merupakan matriks

shortest path dari verteks i ke verteks j.

• Formulasi tsb dpt di visualisasi dengan mudah sbb

• Pada iterasi ke k, elemen d(i,j)

dibandingkan

dengan d(i,k)+d(k,j)

d(k, j)

1

5 4

2

-4 3

-5

6 2

4

1

3 7

0 6

∞

∞

∞

∞ 0

-5

∞ 2

∞

∞ 0

4

∞

7 1

∞ 0

∞

-4

∞ 8

3 0

8

0 6

∞

∞

∞

-2 0

-5 5

2

∞

∞ 0

4

∞

7 1

∞ 0

∞

-4

∞ 8

3 0

0 6

∞

∞

∞

-2 0

-5 5

2

11 5

0 4

∞

7 1

∞ 0

∞

-4 4

8 3

0

-2 0

-5 -1

2

11 5

0 4

∞

7 1

∞ 0

∞

-4 4

8 3

0

-2 0

-5 -1

2

3 5

0 4

7

-1 1

-4 0

3

-4 4

-1 3

0

0 6

1 5

8

-2 0

-5 -1

2

3 5

0 4

7

-1 1

-4 0

3

-4 2

-3 1

0

Konstruksi Path

• Gunakan matriks predesesor

• Saat inisialisasi diisi dengan i jika sisi (i, j) ada dalam E

• Saat iterasi, jika elemen jarak(i, j) terupdate

pada iterasi ke k, maka elemen predesesor (i, j) diupdate dengan harga k

• Setelah semua iterasi maka elemen predesesor menunjukan verteks k antara yang dilalui path dari i ke j dan diperiksa lagi secara rekursif

untuk mendapatkan verteks antara dari i ke k dan dari k ke j.

- 5

4 3

4

1 -

4 3

4

1 2

- 3

4

1 2

4 0

4

1 5

4 3

-

Contoh

• eg yang diperoleh dari contoh sebelumnya:

• Dari 3 ke 5, melalui 1

• Dari 3 ke 1, melalui 4

• Dari 3 ke 4, melalui 2

• Dari 3 ke 2, langsung

• Dari 2 ke 4, langsung

• Dari 4 ke 1, langsung

• Dari 1 ke 5, langsung

• Matriks predesesor setiap iterasi bisa

dilihat di buku Cormen (Edisi 1) hal 561.