Buku ini awalnya merupakan dikte perkuliahan mata kuliah Analisis Data Geofisika yang diberikan kepada mahasiswa Geofisika Jurusan Fisika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Indonesia. Kami berharap dengan adanya buku ini dapat membantu mahasiswa ilmu geofisika untuk memiliki kemampuan merumuskan masalah, mengembangkan hipotesis, metode dan solusi sehingga mampu menyelesaikan permasalahan geofisika secara mandiri. Saya mengucapkan terima kasih yang tak terhingga kepada Dede Djuhana yang telah bersedia membagikan file buku yang berformat LATEX sehingga tampilan buku ini jauh lebih baik.
Pendahuluan
Definisi dan Konsep Dasar
Proses geofisika
Eksplorasi geofisika dan inversi
Macam-macam data geofisika
Dalam pengukuran di lapangan, data geofisika yang diukur dapat berupa massa jenis, kecepatan gelombang seismik, modulus curah, resistivitas jenis batuan, permeabilitas batuan, kerentanan magnet dan lain sebagainya yang termasuk dalam besaran fisis sebagai ciri-ciri bawah permukaan bumi. Dalam pengukuran di laboratorium, model lapisan bumi atau keberadaan anomali dapat dibuat dalam skala kecil dan responnya dapat diukur sebagai data geofisika. Apabila suatu pengukuran diulang berkali-kali, baik di lapangan maupun di laboratorium, sering kali kita mendapati hasil pengukuran yang berubah-ubah, meskipun dengan variasi yang masih dapat ditoleransi.
Variasi ini biasanya disebabkan oleh kesalahan alat ukur (instrumental error) atau bisa juga karena human error.
Deskripsi proses geofisika: Model matematika
Diskritisasi dan linearisasi
Kita sering berasumsi bahwa bawah permukaan bumi terdiri dari lapisan-lapisan yang masing-masing memiliki sifat fisik atau parameter fisik yang seragam (z). Pada kuliah kali ini kita akan selalu membahas model diskrit dan parameter diskrit, bukan model dan parameter kontinu. Namun, jika kita mendefinisikan parameter model c= 1/v, dimana adalah lambatnya gelombang seismik, maka permasalahan ini dapat dinyatakan sebagai
Sekarang mari kita perhatikan masalah pengukuran resistivitas semu menggunakan metode Schlumberger untuk mengamati lapisan bawah permukaan yang diasumsikan terdiri dari dua lapisan. DISKRETISASI DAN LINEARISASI 7 dimana L=AB/2 adalah jarak masing-masing elektroda ke pusat, J1 adalah suatu fungsi.
DISKRITISASI DAN LINEARISASI 7 dimana L = AB/2 adalah jarak masing-masing elektroda terhadap titik tengah, J 1 adalah fungsi
Klasifikasi masalah inversi
Inversi Model Garis
INVERSI MODEL GARIS 11 Lalu kita berasumsi bahwa variasi temperatur terhadap kedalaman ditentukan oleh rumus
INVERSI MODEL GARIS 13 3. Kemudian tentukan pula G T d
INVERSI MODEL PARABOLA 17 1. Tentukan transpos dari matrik kernel, yaitu G T
INVERSI MODEL PARABOLA 19
INVERSI MODEL BIDANG 21
INVERSI MODEL BIDANG 23
Anda dapat menggunakan data pengukuran yang Anda miliki, dengan syarat kasus yang Anda hadapi mempunyai bentuk model yang sama dengan yang dikerjakan pada catatan ini, yaitu memiliki tiga model parameter yang tidak diketahui dalam bentuk persamaan bidang (atau 2 dimensi): d=m1+m2x+m3y.
Contoh aplikasi
- Menghitung gravitasi di planet X
CONTOH APLIKASI 25
Seperti yang dipelajari pada bab ini, penyelesaian masalah inversi diawali dengan proses manipulasi persamaan matriks sehingga perkalian antara Gt dan G menghasilkan matriks persegi.
CONTOH APLIKASI 27 1. Menentukan transpos matrik kernel, yaitu G t
- Analisa data seismik pada reflektor tunggal horizontal
Hasil inversinya nilai kecepatan awal saat batu dilempar ke atas adalah m1 =vo= 3,2009 m/s. Terlihat jelas bahwa kurva biru benar-benar sesuai dengan semua titik data pengukuran. Oleh karena itu, nilai kecepatan awal dan gravitasi yang dihasilkan dari inversi tersebut cukup valid untuk menjelaskan pergerakan batuan di planet X.
Survei seismik dilakukan untuk mengetahui kedalaman reflektor horizontal seperti terlihat pada gambar.
- Analisa data seismik pada reflektor tunggal miring
Kesimpulan
Penyelesaian Masalah Overdetermined
- Regresi linear sederhana
- Metode least square
- METODE LEAST SQUARE 33 menjadi
- Aplikasi regresi linear pada analisis data seismik refraksi
- APLIKASI REGRESI LINEAR PADA ANALISIS DATA SEISMIK REFRAKSI 35
- Aplikasi pada data survei seismik refraksi
Soalnya nilai konstanta a1 dan a0 manakah yang sedemikian rupa sehingga posisi garis paling dekat dengan titik data atau bahkan melewati titik data yang diplot di atas. Dengan kata lain, sedapat mungkin yi (pada persamaan (3.2)) sama dengan P(xi) (pada persamaan (3.3)) atau dapat dirumuskan sebagai. Namun, kita masih bisa berharap bahwa fungsi error akan mengembalikan suatu nilai, dimana nilai tersebut adalah nilai minimum atau mendekati nol.
Teknik-teknik di atas rutin digunakan dalam analisis data geofisika, terutama ketika mencoba mengekstrak satu atau dua parameter model dari data observasi. Teknik ini pada mulanya digunakan untuk mencari solusi terhadap permasalahan yang bersifat overdetermined, namun dalam perkembangannya teknik ini dimodifikasi sehingga dapat juga digunakan untuk permasalahan yang bersifat indeterminate. Jika kita ingin memperoleh lebih dari 2 parameter, teknik ini disebut analisis regresi berganda.
Metode regresi linier atau yang disebut dengan kuadrat terkecil digunakan untuk menyelesaikan parameter-parameter yang tidak diketahui, artinya metode regresi linier mencoba mencari nilai v dan Th. Penerapan metode regresi linier yang mencoba meminimalkan jumlah kesalahan kuadrat, ei = ti−(a0 +a1xi), dapat dinyatakan berdasarkan persamaan (3.11) dan (3.12). Namun hal ini bukanlah nilai yang mutlak, karena bisa saja pengukuran kecepatan gelombang dengan menggunakan (misalnya) Sonic-log dapat memperoleh hasil yang berbeda-beda, walaupun perbedaannya tidak boleh terlalu besar atau masih dapat diterima.
Cara ini bertujuan untuk memperoleh misfit terkecil, yakni selisih terkecil antara data survei dan model. Untuk memastikan bahwa kesalahan kuadrat di atas menghasilkan nilai minimum, persamaan (3.18) diturunkan dari m dan hasilnya harus nol. Untuk menyelesaikan persamaan (3.20) dengan operasi matriks secara numerik atau komputasi, dapat menggunakan beberapa metode antara lain Metode Eliminasi Gauss, Dekomposisi LU, Iterasi Gauss-Seidel, dan Dekomposisi Nilai Singular.
Kami tampilkan kembali Tabel 3.3, dengan data survei refraksi seismik yang dilakukan pada jarak x x, dan persamaan waktu tempuhnya adalah.
Constrained Linear Least Squares Inversion
- Inversi dengan informasi awal
- INVERSI DENGAN INFORMASI AWAL 43 1 Memformulasikan persamaan terkonstrain
- Contoh aplikasi inversi terkonstrain Contoh 1: Least squares garis terkonstrain
- INVERSI DENGAN INFORMASI AWAL 45
- Inversi dengan Smoothness
- Formulasi masalah
- INVERSI DENGAN SMOOTHNESS 47 Perbedaan ini dinyatakan sebagai persamaan konstrain Dm = h
- Solusi masalah
Keunggulannya adalah rumus ini dapat membantu memperoleh solusi unik dari sejumlah kemungkinan penyelesaian suatu permasalahan overdetermined dimana terdapat ketidakpastian akibat kesalahan pengukuran (observational error) dan ketidakpastian. Parameter β ditentukan dengan cara coba-coba, tetapi biasanya mempunyai nilai antara nol dan satu. Jika pada kasus lain kita mempunyai informasi awal yaitu parameter pertama dan parameter keempat, maka persamaan matriks terbatasnya menjadi.
Sedangkan data lapangan merupakan pasangan offset jarak x dan waktu tiba gelombang (first Arrival Time) ti. Sekarang kita asumsikan kita mempunyai informasi kendala dari kegiatan eksplorasi sebelumnya bahwa solusi kuadrat terkecil harus melewati titik koordinat (xc, tc). Cara paling efektif untuk membalikkan data yang dibatasi adalah dengan menentukan batasan sehingga solusi yang diinginkan dapat berjalan dengan lancar.
Jika kita ingin parameter model bervariasi dengan perbedaan kecil, maka kita melakukan prosedur meminimalkan perbedaan parameter yang berdekatan (m1−m2), (m2−m3),..., (mp−1−mp). INVERSI DENGAN KELULUSAN 47Perbedaan ini dinyatakan sebagai persamaan kendalaDm=h Perbedaan ini dinyatakan sebagai persamaan kendalaDm=h. Jika parameter model tidak berubah secara mulus terhadap posisinya, gunakan persamaan kendala yang dirumuskan.
Kita menyatakan permasalahan yang dibatasi sebagai berikut: Mulai dari data lapangan yang tidak lengkap, tidak lengkap, dan tidak mencukupi, kita mencari semua solusi yang mungkin dengan sisa q1 =|d−Gm|2 dan solusi terhalus dengan penilaian ukuranq2(m). Secara matematis, pernyataan di atas bertujuan untuk: memperkecil q2 =mTH, semoga kondisi |d−Gm|2 = q1 atau secara umum |d−Gm|2 ≤ qT, dimana qT adalah nilai maksimum dari sisa atau toleransi misfit.
Daftar Pustaka
Indeks
