Analisis Elastis Penampang Beton dalam Kondisi Beban Layan

KEMAMPUAN LAYANAN

Analisis Elastik Penampang Beton

Pada kondisi beban layan, perhitungan elastik dapat digunakan untuk memperkirakan harga tegangan yang bekerja pada beton dan baja dengan baik. Perhitungan elastik juga diperlukan untuk:

1. Perhitungan kekakuan EI penampang pada kondisi layan sehingga defleksi balok dapat ditentukan.

2. Perhitungan tegangan pada baja sehingga lebar retak yang mungkin terjadi dapat diperkirakan.

Modulus Elastisitas dan Rasio Modular

Modulus elastisitas beton dapat ditentukan berdasarkan SNI Beton Pasal 10.5.1:

Modulus elastisitas baja tulangan biasanya diambil sebesar 200000 MPa.

Perbandingan antara modulus elastisitas baja tulangan dan beton, yaitu disebut rasio modular n, yang

' f 4700

E_c = _c

s

E E

Penampang yang Ditransformasi

Jika penampang terbuat dari bahan yang berbeda dibebani, perbedaan harga E menyebabkan perbedaan distribusi tegangan. Material yang lebih kaku akan menerima tegangan lebih besar untuk kondisi regangan yang sama.

Untuk analisis elastik, penampang dapat ditransformasikan menjadi penampang beton semua.

Hal ini dilakukan dengan menggantikan luas baja dengan luas beton ekivalen yang mempunyai kekakuan aksial EA yang sama. Karena Es/Ec = n, maka luas beton ekivalen dari suatu baja tulangan dengan luas As akan menjadi nAs

Penampang Transformasi (Belum Retak)

(n-1) A_s

(n-1) A_s

Penampang Transformasi (Retak)

(n-1) A_s

nA_s

c=kd

Sumbu netral

Penampang Transformasi (Retak)

Sumbu netral pada penampang retak terjadi pada jarak c = kd dari tepi atas. Untuk penampang elastik, sumbu netral terjadi pada pusat penampang; yang dapat dihitung sebagai titik dimana:

dimana adalah jarak dari sumbu netral ke sumbu pusat luas A

0

= - y

_i

∑ Ai

y_i

−

Contoh Perhitungan:

Penampang berikut terbuat dari beton dengan fc’ = 28 MPa. Tentukan lokasi sumbu netral dan nilai momen inersia untuk penampang yang sudah dan belum retak.

Ec 4700 f' c 4700 28 24870 MPa n = Es

Ec

200,000

24,870 8.04

= = =

= =

Karena semua baja berada pada bagian penampang yang belum retak maka luas transformasi dari kedua lapisan baja adalah:

– Baja atas → (8.04 - 1) x 760 mm2 = 5350.4 mm2 – Baja bawah→ (8.04 - 1) x 1520 mm2 = 10700.8 mm2

Perhitungan Lokasi Sumbu Netral

^y

Bagian Luas (mm²)

y

−

dari tepi atas

(mm) ^{A y}

−

(mm³)

Beton 180.000 300 54*10⁶ Baja atas 5350.4 50 26.75*10⁴ Baja bawah 10700.8 550 58.85*10⁵

Jumlah 196051.2 60.1525*10⁶

y A y

y mm

− =

− =

∑

A

3.0682 * 10

²

Perhitungan Momen Inersia

Bagian Luas (mm²)

(y) (mm)

I

(mm⁴⁾ _{A y}

-

2

(mm⁴)

Beton 180.000 -6.82 54 * 10⁸ 837.2 x 10⁴

Baja atas 5350.4 -256.82 3.53 x 10⁸

Baja bawah 10700.8 +243.18 6.33 x 10⁸

Jumlah 54 * 10⁸ 9.944 x 10⁸

∑

∑

^{I + AY 2 = 63.94 x 108 mm4}

Jadi I_gross =

Tanpa memperhitungkan tulangan

nilai momen inersia penampang = 54 x 10⁸ mm⁴

Penampang yang Sudah Retak

Asumsikan posisi sumbu netral berada dibawah baja atas sehingga luas transformasi:

– baja atas → (8.04 - 1) x 760 mm2 = 5350.4 mm2 – baja bawah → (8.04) x 1520 mm2 = 12220.8 mm2

Jika posisi sumbu netral adalah c, maka jumlah momen area terhadap posisi sumbu netral adalah

Bagian Luas

(mm²)

y

−

(mm) ^{A y}

-

(mm²)

Beton Tekan 300 c c/2 150 c²

Baja atas 5350.4 c - 50 5350.4c - 267520

Baja bawah 12220.8 c- 550 12220.8c -

6721440

( ) ( )

(¹⁵⁰ )

2

6988.960 150

4 17571.2

17571.2

= c

0

= 6988960 -

c 17571.2 c

150

0

= 6721440 -

c 12220.8 +

267520 -

c 5350.4 c

150

0 y A

2 2

2

+

± +

+

∑ =

±

Perhitungan Inersia

Bagian Luas (mm²)

y (mm)

I (mm⁴)

Ay² (mm⁴)

Beton 49527 82.545 1.1248 x 10⁸ 3.375 x 10⁸

Baja atas 5350.4 115.09 7.087 * 10⁷

Baja bawah 12220.8 - 384.91 1.81 * 10⁹

Jadi I_cr = ∑ ∑^{I + Ay2}

= 23.3085 * 10⁸ mm⁴

Catatan:

Momen inertia penampang retak (= I_cr) adalah 23.31 * 10⁸ mm⁴, yang besarnya ±36.46% momen inersia penampang belum retak.

Hal ini menggambarkan penurunan inersia yang cukup besar dengan

Perhitungan Lendutan

Alasan untuk membatasi lendutan:

- Penampakan visual

- Kerusakan pada elemen non-struktural

- Menganggu kinerja mesin yang sensitif

- Memicu kerusakan elemen struktural

Perhitungan Lendutan

(1) Lendutan elastik (langsung terjadi)

(2) Lendutan akibat beban tetap (sustained) Lendutan Seketika

akibat beban mati (tak terfaktor), hidup, dll Persamaan untuk menghitung ∆_inst pada umumnya dapat digunakan (menggunakan EI effektif)

Perhitungan Lendutan

Lendutan seketika akibat pembebanan dapat dihitung dengan menggunakan modulus elastisitas Ec dan momen inersia berikut, tapi tidak lebih besar dari Ig (Pasal 11.5):

I_g adalah momen inersia penampang bruto beton terhadap garis sumbunya, dengan mengabaikan tulangan, mm⁴. M_a adalah momen maksimum pada komponen struktur disaat lendutan

cr a

cr g

a cr

e I

M I M

M M

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

−⎛

⎟⎟ +

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛

3 3

I 1

dengan

t g r

cr y

l

M = f f_r = 0,7 f_c^'

Momen

Momen Vs Vs Kurvatur Kurvatur

M EI

M ⇒ = =

= φ

φ slope

Untuk komponen struktur menerus, nilai momen inersia efektifnya boleh diambil sebagai nilai rata-rata yang diperoleh dari penerapan persamaan I_e di atas, pada penampang-penampang dimana momen negatif dan positifnya kritis.

Momen inersia efektif untuk komponen struktur prismatis boleh diambil sesuai dengan nilai I_e penampang ditengah bentang pada kondisi bentang sederhana dan bentang menerus, dan nilai I_e penampang di daerah tumpuan pada struktur kantilever.

Lendutan yang dihitung berdasarkan nilai I_e tersebut

Perilaku Defleksi Balok Beton (Lentur)

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ =

12 wl2

M ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ =

12 wl2

M

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ =

24 wl2

M

Perilaku

Perilaku Defleksi Defleksi Balok Balok Beton Beton ( ( Lentur Lentur ) )

Untuk Balok Menerus

SNI 11.5.2.4 ^{⇒ I}_{e( )avg} ^{= 0.50I}_e(mid) ^{+ 0.25}

(

^I_e1 ^{+ I}_e2

)

( ) ( )

( )

⎩⎨

⎧

+ +

= _{e mid e1 e2}

avg

e 0.70 0.15

: menerus ujung

2

I I

I I

( ) ( )

( )

⎩⎨

⎧

+

= _{e mid e1}

avg

e 0.85 0.15

: menerus ujung

1

I I

I

(_mid) _e@ tengah bentang

e I

I =

Lendutan Izin Maksimum

Jenis Komponen Struktur Lendutan yang diperhitungkan

Batas Lendutan Atap datar yang tidak menahan atau tidak

disatukan dengan komponen nonstruktural yang mungkin akan rusak oleh lendutan yang besar

Lendutan seketika akibat beban

hidup (L) 180

la

Lantai yang tidak menahan atau tidak disatukan dengan komponen nonstruktural yang mungkin akan rusak oleh lendutan yang besar

Lendutan seketika akibat beban

hidup (L) 360

l

Konstruksi atap atau lantai yang menahan atau disatukan dengan komponen nonstruktural yang

mungkin akan rusak oleh lendutan yang besar 480

lb

Konstruksi atap atau lantai yang menahan atau disatukan dengan komponen

nonstruktural yang mungkin tidak akan rusak oleh lendutan yang besar.

Bagian dari lendutan total yang terjadi setelah pemasangan komponen nonstruktural (jumlah dari lendutan jangka panjang, akibat semua beban tetap yang bekerja, dan lendutan seketika, akibat penambahan beban hidup)^c

240 ld

a Batasan ini tidak dimaksudkan untuk mencegah kemungkinan penggenangan air. Kemungkinan penggenangan air harus diperiksa dengan melakukan perhitungan lendutan, termasuk lendutan tambahan akibat adanya penggenangan air tersebut, dan mempertimbangkan pengaruh jangka panjang dari beban yang selalu bekerja, lawan lendut, toleransi konstruksi dan keandalan sistem drainase.

b Batas lendutan boleh dilampaui bila langkah pencegahan kerusakan terhadap komponen yang ditumpu atau yang disatukan telah dilakukan.

c Lendutan jangka panjang harus dihitung berdasarkan ketentuan 11.5(2(5)) atau 11.5(4(2)), tetapi boleh dikurangi dengan nilai lendutan yang terjadi sebelum penambahan komponen non-struktural. Besarnya nilai lendutan ini harus ditentukan berdasarkan data teknis yang dapat diterima berkenaan dengan karakteristik hubungan waktu dan lendutan dari komponen struktur yang serupa dengan komponen struktur yang ditinjau.

d Tetapi tidak boleh lebih besar dari toleransi yang disediakan untuk komponen non-struktur. Batasan ini boleh

Defleksi

Defleksi Akibat Akibat Beban Beban Tetap Tetap

Rangkak menyebabkan peningkatan regangan beton

Kurvatur meningkat

⇒

Dapat menurunkan

regangan rangkak beton Bila tulangan tekan

ada

Defleksi Akibat Beban Tetap

Defleksi beban tetap = λ ∆_i

Defleksi seketika ρ

λ ξ

+ ′

=

50

1 SNI 11.5.2.5

bd A_s′

′ =

ρ Pada tengah bentang untuk bentang sederhana dan menerus

Pada tumpuan untuk balok kantilever

Defleksi Akibat Beban Tetap

ξ = faktor jangka panjang untuk beban tetap 5 tahun atau lebih

12 bulan 6 bulan 3 bulan

1.4

⇒

1.2

⇒

1.0

⇒

2.0

⇒

Defleksi Akibat Beban Tetap

Untuk beban mati dan hidup:

(^inst) ^LL(^inst) ^DL(^L.T.) ^LL(^L.T.)

DL

total

= ∆ + ∆ + ∆ + ∆

∆

DL dan LL dapat memiliki faktor ξ yang

berbeda untuk perhitungan ∆ jangka panjang

(^inst)

DL total

struktural -

non elm

pemasangan total stl

∆

−

∆

=

∆

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

Pengontrolan Lebar Retak

Lebar retak pada beton bertulang perlu diperhatikan karena tiga hal, yaitu:

- penampakan - kebocoran - korosi

Oleh karena itu, SNI Beton Pasal 12.6.4 membatasi lebar retak yang boleh terjadi pada struktur beton bertulang, yaitu:

ω = 0,4 mm untuk unsur-unsur interior ( Z = 30 MN/m)

Persamaan Gergely - Lutz

Z A

d f

10 x

11

^-6

β

_s ³ _c

β

ω = = 11 × 10

⁻⁶

dimana:

ω = lebar retak, mm

β = Jarak dari sumbu netral ke serat terbawah dibagi dengan jarak dari sumbu netral ke pusat tulangan fs = tegangan layan pada baja, MPa

dc= jarak dari serat tarik terluar ke pusat tulangan yang terdekat

A = luas tarik efektif beton disekitar tulangan

(Lihat Gambar) ^N

A_e

=

⎛=

⎝⎜ ⎞

⎠⎟ h h

2 1

Luas Tarik Efektif Beton