Analisis Variansi Satu Faktor

Bab 1

Analisis Variansi satu faktor Single Factor Analysis Of

Variance (ANOVA)

Analisis Variansi Satu Faktor

Di MetStat 1 sudah dikenal uji hipotesis rata-rata dua populasi A dan B yang berdistribusi Normal

Bagaimana jika terdapat lebih dari dua populasi?

B A

B A

H H











 :

:

1 0

Analisis variansi satu faktor

Untuk mengetahui ada tidaknya perbedaan tingkat faktor (perlakuan) dalam populasi

Di lihat dari signifikansi rata-rata populasi A, B dan C

μ_A μ_B μ_C

Latar belakang anava 1

Model Linier Anava satu Faktor

Secara umum, jika n observasi dikenakan perlakuan maka model linier statistik :^a

,.., 1

,.., 1







 



 j n

a y_ij  _i _ij i

One- way atau single factor analysis of variance ?

 Karena hanya satu faktor yang diselidiki

Perlakuan yang digunakan diusahakan se-seragam mungkin,

completely randomized design (Rancangan Random Lengkap)

i n

j

a y i

i ij

i ij

- ke perlakuan rata

- rata -

-

dengan

,.., 1

,.., 1

i













 















) , 0 ( NID

~ ²

_ij

Asumsi :

Normal

Homogenitas Variansi

Independensi

yij



i

ij

: variabel terikat ke (ij)

: rata-rata keseluruhan perlakuan (overall means) : pengaruh/efek perlakuan ke-i

: sesatan dengan asumsi NID (0, ²) ,..,

1 ,.., 1







 



 j n

a y_ij  _i _ij i

Analysis of variance (ANOVA) digunakan untuk menyelidiki pengaruh/ efek utama dan atau interaksi dari variabel independen (disebut dengan “faktor” )

Tingkat/ level yang berbeda dari faktor  Perlakuan

Variabel independen pada ANAVA ; kualitatif

Pengaruh utama adalah efek langsung dari suatu variabel independen terhadap variabel dependen

Pengaruh interaksi adalah efek bersama antar satu atau lebih variabel independen terhadap variabel dependen (anava 2 faktor)

Contoh 1

Tiga kelompok subyek penelitian untuk menguji keakuratan alat pengukur pH digital dengan 3 merek. Merek yang dimaksud adalah merek I, II dan III. Merek dipilih yang memiliki spesifikasi yang sama. Data hasil penelitian adalah sebagai berikut:

Faktor  Merek

Perlakuan  merek I, merek II, merek III

Variabel terikat

Contoh 2 anava 1?

Seorang eksperimenter ingin mengetahui pengaruh antara model pembelajaran (konvensional dengan LC5E), dan aktivitas (Tinggi, Sedang, Rendah) terhadap prestasi belajar mereka.

Tabel data di bawah ini.

Jika perlakuan dipilih tertentu oleh eksperimenter maka kesimpulan uji tidak bisa digeneralisasikan untuk populasi perlakuan

 (1) merupakan MODEL EFEK TETAP

Jika perlakuan dipilih random dari populasi perlakuan oleh eksperimenter maka kesimpulan uji dapat digeneralisasikan ke seluruh populasi perlakuan

 (1) merupakan MODEL EFEK RANDOM/ components of variance model

Asumsi Model Efek Tetap











a

a i

i 1

Artinya asumsi model efek tetap :

Jumlah rata-rata perlakuan ke-i dibagi dengan jumlah perlakuan sama dengan overal mean



 







a

a i

i

i







1  



 a

a i

i 



1

0

1





 a i

τi

Langkah-langkah Uji ANAVA 1 Faktor -Model Efek Tetap

ii. Dipilih tingkat signifikansi 

2

i. Hipotesis:

) satu setidaknya

( 0 :

0 :

1

2 1

0

i H

H

i

a

















 

,.., 1

,.., 1







 



 j n

a y_ij  _i _ij i

Tiap observasi memuat overall mean dan error. Hal ini equivalen menyatakan bahwa N observasi diambil dari distribusi Normal dengan rata-rata  dan variansi.

Artinya jika H0 benar maka perubahan tingkat faktor (perlakuan) ke-i tidak berpengaruh terhadap rata-rata respon

Overall mean

) , 0 ( NID

~ ²

_ij

iii. Penentuan Tabel ANAVA

 Partisi Jumlah Kuadrat (JK)

   

²

1 1

2

1 1





    

  

































a i

n j

ij i i

a i

n j

ij

i ij

i ij

y y

y y

y y

y y

y y

y y

,.., 1

,.., 1







 



 j n

a y_ij  _i _ij i

 

      

²

JK 1 1 0

1 1

2

JK 1 1

2

JK 1 1

S P

T

2



 



 









 







 





 



 





 



 











  



    

   

  

















a i

n j

ij i a

i n j

ij i i

a i

n j

i a

i n j

ij

y y

y y

y y

y y

y y

     

²

JK 1 1 2

JK 1 1 2

JK 1 1

S P

T



 



 





 



 





 



 



 



 



 







 



    

 ^a

i

n j

ij i a

i

n j

i a

i

n j

ij y y y y y

y

Jumlah sel sama:n

 

N y y

y

y ^a

i n

j ij a

i n j

ij

2 2

1 1

2

JKT ^

     



 

Partisi JK

Beberapa definisi variasi.

1. Variasi Total

Jumlah total kuadrat selisih data dengan rata-rata total seluruh data (overall mean)

2. Variasi Antar Sampel (atau Variasi karena Perlakuan)

Jumlah total kuadrat selisih rata-rata tiap sampel thd rata-rata total (grand mean)

 



 





 



a i

n j

i y

y

1

2

1

JKP

 

N y y

y

y ^a

i n

j ij a

i n j

ij

2 2

1 1

2

JKT ^

     



 

N y n

y

a i

i

2

1 2







 





^Buktikan JKT dan JKP

Beberapa definisi variasi.

3. Variasi Random

Jumlah total kuadrat selisih data dengan rata-rata sampel yg terkait

 

_{T P}

1

2

1

S JK JK

JK 



  

  

a i

n j

i

ij y

y

iii. dari partisi JK disusun Tabel ANOVA 1 Jalan ...

Sumber Variansi

JK db RK Fp

Perlakuan JKP a-1 RKP=JKP/(a-1) Fp=RKP/RKS

Sesatan JKS a(n-1) RKS=JKS/a(n-1)

Total JKT an-1

iv. Daerah Kritis

)) ),(a(n-

(a-1 1

0

) db(sesatan an),

db(perlaku 0

F Fp

jika H

Tolak

F Fp

jika H

Tolak





Derajat bebas (db)

Derajat kebebasan (degrees of freedom, df)  jumlah total pengamatan dalam sampel (N) dikurangi banyaknya kendali (linier) bebas atau pembatasan (restriksi) yang diletakan atas pengamatan tadi.

Angka derajat kebebasan adalah banyaknya pengamatan bebas dari total pengamatan N

Rumus umum untuk menentukan derajat kebebasan (db) adalah total pengamatan (N) dikurangi banyaknya parameter yang ditaksir atau df = N – banyaknya parameter yang ditaksir (k) (Gujarati, 1978).

Estimasi dari rerata perlakuan ke-i 

ⁱ

  

^y_ij ^E _{i ij}



^E

^{ }

_i ^ˆ_i ^ˆ_i ^???

E          

 

 

  



































i i

i

i n

j ij

i n

j ij

n j

i n

j ij

n j

i ij

i i

n j

i ij

i

n y y n

y

n y

y d y dQ

y Q









 



ˆ

ˆ ˆ

ˆ 0

0 ˆ 1

2

2

ij i

yij    

ij i

yij ^  ^

Estimasi Parameter dalam ANAVA 1 FAKTOR

Dapat diketahui bahwa :

Sehingga

ij

i

y

ij

     



 y

^ˆ





 











y y

y y

i i

ij i

i ij

ˆ

ˆ ˆ

ˆ

ˆ ˆ

ˆ











PR