TUGAS KALKULUS UNNES KE-13
ASSIGNMENT WEEK 13INCREASING AND DECREASING FUNCTIONS
KALKULUS
Nama : Maulana Figur Pradano NIM : 4101421180
Fakultas : MIPA
Prodi : Pendidikan Matematika Jurusan : Matematika
Mata Kuliah : Kalkulus
Kompetensi : Increasing and Decreasing Functions
Soal Tugas dan Pembahasan
ASSIGNMENT WEEK 13
INCREASING AND DECREASING FUNCTIONS
1. Suatu fungsi f(x) = 2x³ – 3ax² + 6 turun hanya pada interval [0,3]. Tentukan a Jika f(x) turun → f ‘(x) < 0
Jawab.
f(x) = 2x³ – 3ax² + 6 f ‘(x) = 6x2 – 6ax
syarat fungsi turun → f ‘(x) < 0 f ‘(x) < 0
6x2 – 6ax < 0 x2 – ax < 0 ... (1)
untuk interval [0,3] artinya (x – 0)(x – 3) < 0 (x – 0)(x – 3) < 0
x² – 3x < 0... (2)
gunakan elliminasi untuk pertidaksamaan (1) dan (2) x2 – ax = 0 …..(1)
x 2 – 3x = 0 – ….(2) – ax + 3x = 0 3x = ax 3 = a a = 3
diperoleh a=3
1 ASSIGNMENT WEEK 13
2. Tentukan nilai q sehingga fungsi f(x) = 1
3 x³ – x² + qx + 10 naik pada (-∞,-3] dan [5,∞]
dan turun pada [-3,5]
Dapat diartikan bahwa f(x) hanya turun pada interval [-3,5] mengimplikasikan bahwa (x+3)(x-5) < 0
x² – 2x – 15 < 0…..(1)
syarat f(x) turun → f ‘(x) < 0 maka f(x) =
1
3 x³ – x² + qx + 10 sehingga f ‘(x) < 0
f ‘(x) = x² – 2x + q x² – 2x + q < 0….(2)
kaitkan pertidaksamaan (1) dan (2) x² – 2x – 15 = 0…..(1)
x² – 2x + q = 0 – ….(2) –15 – q = 0
–15 = q
diperoleh q = -15
3. Diberikan f(x) = x + 1
x , x ≠ 0.
a. Tentukan interval terbesar di mana f adalah fungsi naik.
Jawab.
f(x) = x + 1 x , f ‘(x) = 1 – xˉ², fungsi naik f ‘(x) > 0 1 –
1 x2 > 0 1 –
1 x2 = 0 1 =
1 x2 x² = 1 x = ± 1 Fungsi f(x) = x +
1
x , x ≠ 0 akan naik pada interval {x | x < - 1 dan x > 1}
Jadi fungsi naik pada nilai interval terbesar x > 1
2 ASSIGNMENT WEEK 13
+ − +
̵̵̵̵̄- 1 1
b. Gunakan hasil bagian a untuk menyimpulkan bahwa x + 1
x ≥ 2 untuk semua x > 0 Jawab.
Jika x = 1 maka x + 1
x ≥ 2 berarti 1 + 1
1 ≥ 2 jadi 2 ≥ 2 benar Jika x = -1 maka x +
1
x ≥ 2 berarti -1 + 1
-1 ≥ 2 jadi -1 -1 ≥ 2 sehingga -2 ≥ 2 (ini tidak benar)
Alternatif penyelesaian yang lain x +
1 x ≥ 2 x² + 1 ≥ 2x x² − 2x + 1 ≥ 0 x² − 2x + 1 = 0 (x – 1)² = 0 x = 1
jadi fungsi f akan selalu naik pada x > 1
4. Jumlah dua bilangan positif adalah 50. Jika x menyatakan salah satu bilangan tersebut, a. dimana bilangan itu merupakan hasil kali kedua bilangan tersebut dan merupakan
fungsi naik dari x, jawab.
x + y = 50 →y = 50 – x f(x) = xy
f(x) = x(50 – x) f(x) = 50x – x² f ‘(x) = 50 – 2x
fungsi naik sehingga f ‘(x) > 0 50 – 2x > 0
50 > 2x 25 > x x < 25
b. berapa nilai maksimum hasil perkaliannya?
Jawab.
f(x) = 50x – x² f ‘(x) = 50 – 2x
syarat nilai maksimum → f ‘(x) = 0 f ‘(x) = 50 – 2x
50 – 2x = 0 50 = 2x 25 = x
3 ASSIGNMENT WEEK 13
+ 1
x = 25
sehingga nilai maksimum hasil perkaliannya f(x) = 50x – x²
f(x) = 50(25) – (25)² f(x) = 25(50 – 25) f(x) = 25(25) f(x) = 625
jadi nilai maksimum fungsi f(x) hasil perkaliannya adalah 625
4 ASSIGNMENT WEEK 13