BAB III

BAB III

TEGANGAN AKIBAT MOMEN

Balok akan melengkung akibat menderita momen, apabila ada gaya yang bekerja padanya.

Sebelah atas balok akan mengalami perpendekan sehingga timbul tekanan dan bagian bawah akan mengalami perpanjangan sehingga timbul tarikan.

Besar kecilnya lengkungan yang terjadi tergantung kepada :

Macam bahan

Bentuk tampang

Besarnya muatan yang bekerja

Arah kerjanya beban.

Apabila jari-jari lengkungan disebut P dan jarak titik yang ditinjau ke garis netral = Z, sedangkan CD =bagian yang tidak mengalami perubahan panjang (garis netral), maka :

CD BB '= P

ρ+Z BB^'=ρ+Z

ρ . CD BB^'=(1+Z

ρ).CD Z

ρ. CD adalah perpanjangan.

Dengan rumus : = ɛ . E diperoleh.

¿Z ρ

bagian atas balok menderita tegangan tekan, sedangkan bagian bawah timbul tegangan tarik, sedangkan gaya-gaya tersebut ditimbulkan sebagian kuat-kuat didalam bahan untuk melawan gaya-gaya yang menyebabkan perubahan bentuk tadi ( lengkung ), sehingga :

ʃ Z dA = M . ( momen karena muatan ) ʃ E Z

ρ. Z dA=M E

ρ ʃ Z²dA=M Z²dA=I

E

ρI=M mengingat : ¿EZ ρ E

. =Z ρ

Maka : . ZI=M

Momen Perlawanan ( tahanan )

Momen perlawanan adalah momen kelembaman berbanding dengan jarak suatu titik/sisi yang ditinjau terhadap titik berat tampang, yang secara matematik ditulis :

Dimana : W = momen perlawanan I = momen kelemaman

Z = jarak suatu titik/sisi yang ditinjau terhadap titik berat tampang ( garis netral ).

¿M . Z I

W=I Z

Contoh :

“suatu tampang empat persegi panjang dengan ukuran sebagai berikut :

I_x= 1

12bh³

W_xa= I_x ya=

1 12bh³

1 12h

=1 6bh²

W_xb= I_x yb=

1 12bh³

1 12h

=1 6bh²

Atau dapat juga ditulis : W=W_xa=W_xb=1

6bh²

Dimana : ^Wxa = momen perlawanan sisi atas sejauh W_xb = momen perlawanan sisi bawah sejauh

Demikaian dengan untuk mengitung tegangan akibat momen lentur dapat digunakan rumus : ¿M

I Z

¿M W

mengingat suatau bentang yang mengalami lentur, serat akan yang tertekan diberi tanda ( - ) dan serat bawah mengalami tarikan diberi tanda ( + )

Jadi tegangan yang akan terjadi : a. Bagian serat atas : ._a=−M

W_xa b. Bagian serat atas : ._b=+M W_xb

Dengan hasil yang diperoleh diatas dapat digambarkan diagram tegangan sebagai berikut :

Contoh 1

Diketahui : suatu gelagar dengan pembebanan dan ukuran seperti gambar :

Ukuran tampang :

Diminta : hitung dan gambar diagram tegangan yang terjadi.

Penyelesaian :

Momen : ^MA = 0

M_C = 3.8 .5

8 = 15 tm = 1500000 kgcm.

M_B = 0

Momen perlawanan : W=W_xa=W_xb=1

6bh²

¿1

6.12.24 ²

¿1152cm²

Tegangan :

._a=−M_C

W_xa =−1500000

1152 =−1302,083kg/cm² ._b=+M_C

W_xb =+1500000

1152 =+1302,083kg/cm²

Gambar diagram tegangan :

Contoh 2

Diketahui : suatu konstruksi seperti gamabr.

ukuran tampang adalah sebagai berikut :

Ditanya : hitung dan gambar diagram tegangan yang terjadi.

Penyelesaian :

Momen : M_A = 0

M_C = 1

8.4 .7 ²=24,5tm=2450000kgcm M_B = 0

Analisa tampang

 Menentukan titik berat tampang Ambil statis momen terhadap sisi atas.

ya = (36.6.3)+(36.6.18)

(36.6)+(36.6) =10,5cm yb = 42 – 10,5 = 31,5cm.

 Momen kelembaman I_X = 1

12 . 36. 6³ + 36. 6 ( 10.5 – 3)² = 1

12 6. 3 + 6. 36 ( 31,5 – 13 )²

= 75492 cm²

 Momen perlawanan W_Xa = I_x

ya = 75492

10,5 = 7189,71 cm³

 Tegangan ._a = - M_max

yb = 240000

7189,71 = 340.78 kg/¿_cm²

¿ ._b = - M_max

yb = 2450000

2396,57 = 1022.29 kg/¿_cm²

¿

 Gambar diagram tegangan

Contoh 3

Diketahui : Suatu gelagar dengan pembebanan serta ukuran tampang seperti gambar.

Ditanya : hitung dan gambar diagram tegangan yang di timbul Penyelesaian :

Perhitungan statika.

Ʃ M_B = 0 R_A .8 – q. 10. 3 = 0 8 R_A - 2. 10. 3 = 0

R_A=60

8 = 7,5 t (↑) Ʃ ^MA = 0 - ^RB .8 + q. 10. 5 = 0

-8 ^RB + 2. 10. 5 = 0 R_A=100

8 = 12,5 t (↑) Ceking :

Ʃv = 0 - R_A + R_B - q . 10 = 0 7,5 + 12,5 - 2 . 10 = 0

0 = 0

Momen . M_A = 0

M_X = ^RA . x – q . x . ½ x

= 7,5 x – 2 . x . ½ x

= 7,5 x - x² M_max , bila DM_X

dx = ^DX = 0 DM_X

dx = 7,5 – 2 x = 0

x = 7,5

2 = 3,75 m dari A M_max = 7,5 . 3,75 – 3,75² = 14,0625 tm

= 1406250 kg cm

M_B = - q . 2 . 1 = - 2 . 2 . 1 = - 4 tm = - 400000 kg cm Analisa tampang .

 Menentukan titik berat tampang.

Ambil statis momen terhadap sisi atas ya = ^{A1. y1+A2. y2+A3. y3}

A1+A2+A3

= 36 .12 .6+32 .12.28+28 .8 .48

36.12+32 .12+28.8 =16,92cm yb = 52 – 16,92 = 35,08cm.

 Momen kelembaman I_X = 1

12 . 36. 12³ + 36.12 ( 16.92 – 6)² + 1

12 . 12. 32³ + 12.32 (-35,08 + 24)²

+ 1

12 . 28. 8³ + 28.8 (-35,08 + 4)²

= 354179,8827 cm⁴

 Momen perlawanan W_Xa = I_x

ya = 354179,8827

16,92 = 20932,63 cm³ W_Xb = I_x

yb = 354179,8827

35,08 = 10096,35 cm³

 Tegangan

a. Pada momen positif ._a

= -

^M_W^max

Xa

= -

_20932,62^1406250

= - 67,18

^kg/¿cm²

¿ ._b

=

^M_W^max

Xb

=

_100932,35^1406250

= 139,28

^kg/¿cm²

¿

b. Pada momen negatif ._a

=

_W^MB

Xa

=

_20932,62⁴⁰⁰⁰⁰⁰

= 19,11

^kg/¿cm²

¿ ._b

= -

_W^MB

Xb

= -

_100932,35⁴⁰⁰⁰⁰⁰

= - 39,62

^kg/¿cm²

¿

 Gambar diagram tegangan a. Pada momen positif

b. Pada momen positif

Contoh 4.

Diketahui : Gelagar dengan pembebanan seperti gambar.

q = 2t/ m'

A B

3,5 m 3,5 m

Ditanya : rencanakan ukuran tampang gelagar diatas, bila ukuran tampang yang digunakan empat persegi panjang dengan lebar = 1

2 x tingginya dan tegangan izin = = 100 kg/cm²

Penyelesaian : Perhitungan statika.

M_A = 0 M_C = 1

4 P . 7 + q 7²

= 1

4 . 4 . 7 + 1

8 . 2 . 7²

= 19, 25 tm

= 1925000 kg cm M_B = 0

Analisa tampang.

h

y

x

Misalkan lebar tampang = b dan tingginya = h Bila: b = 1

2 h , maka :

W = W_xa = W_xb = 1 6 bh² = 1

6 . 1

2 h . h² = 1

12 h³ Tegangan yang timbul :

a = b = M_C W =

1925000 1

12h³

≤

=

1925000 1

12h³

≤ 100

=

h³

≥ 231000

= h ≥ 61,357

Ambil : h = 62 cm

b = 1

2 . h = 1

2 . 62 = 31 cm Kontrol :

= M_C W =

1925000 1

12.31.62² = 96,925 kg/cm² < = 100 kg/cm² Jadi ternyata ukuran tampang b x h = 31 x 62 cm aman dipakai.

Contoh 5.

Diketahui : Suatu gelagar konsole yang mempunyai tampang bulat dengan kedudukan beban seperti gambar

P=4 t

A B

4 m

d

Tampang I - I

Diminta : Direncanakan ukuran tampang bulat tersebut , bila tegangan lentur izin

= = 1600 kg/cm² Penyelesaian : Momen

A B

16

- M

M_A = -P . 1 = -4 . 4 =16 tm

Analisa tampang . I_X = 1

64 . π. D⁴

W = I_X 1

2d = 1

3 π D³ - Tegangan yang timbul.

= M W

=

1600000 1

32π d³ = 51200000 π d³

- Ukuran tampang adalah:

= 51200000

d³

≤ l

= 51200000

d³

≤

1600 = d3

≥

10184,97 = d

≥

21,676 cm Ambil d = 22 cm .

Kontrol

=

^M_W

=

1600000 1

32. π .d³

=

1600000 1

32. π .22³

= 1530,57 kg/cm

²

< l = 1600 kg/cm

²

Ternyata ukuran tampang dengan d = 22 cm cukup aman dipakai.

Contoh 6.

Diketahui : Suatu gelagar dengan pembebanan serta ukuran seperti gambar.

8 m 2 m

A B

C

Ukuran tampang adalah sebagai berikut :

2,5 m

7,5 m

2,5 m Tegangan lentur tarik izin

ltr = 450 kg/cm² Tegangan lentur tarik izin ltk = 750 kg/cm² Ditanya : hitung beban P yang diizinkan.

Penyelesaian:

Momen.

P

8 m 2 m

A B

C

-

2 P

M_A = 0

M_B = - P . 2 = -2 P (tm) M_C = 0

Analisa Tampang

y2

y¹

y

x A1

A2

Ambil statis momen terhadap sisi atas ya

=

^{A1. y}_A^{1+A2. y2}

1+A₂

=

10 .2,5 .1,25+2,5 .7,5 .6,25

10 .2,5+2,5 .7,5 =3,4cm

yb

= 10 – 3,4 = 6,6cm.

Momen inertia.

I_X = 1

12 . 10. 2,5³ + 10.2,5 ( 3,4 – 1,25)² + 1

12 . 2,5. 7,5³ + 2,5 (-6,6 + 3,75)²

= 368,77 cm⁴ Momen perlawanan

W_a = I_x

ya = 368,77

3,4 = 108,46 cm³ W_b = I_x

yb = 368,77

6,6 = 55,87 cm³ Tegangan yang terjadi

._a

=

_W^MB

A

=

_108,46^202P

(tegangan tekan)

._b

=

^M_W^max

Xb

=

²⁰⁰_55,87^P

(tegangan tarik)

x

M

+ -

a

b

Besarnya P izin

- Berdasarkan tegangan tarik ._a

=

²⁰²_55,87^P

≤ 450

P ≤ 125,7075 kg

- Berdasarkan tegangan tekan

._b

=

_108,46^200P

≤ 750

P

≤ 406,725 kg

Jadi besar P yang diizinkan adalah 125,7075 kg Tegangan pada tampang composite.

Composite adalah gabungan dari dua jenis bahan yang berada.

Contoh:

- Gabungan antara kayu dan besi - Gabungan antara beton dan besi

Untuk menghitung tegangan pada sebuah composite adalah sebagai berikut :

1. Besarnya tegangan pada sebuah balok yang diapit oleh pelat besi.

y

x Ek

Ey

besi

besi kayu

I = I_k + n I_y E_y

E_k = n ρ = EI

M

= ε E ε = Z

ρ = Z ρ E

M =

∫

^{k . d Ak . Z +}

∫

^{y . d Ay . Z}

= E_k

ρ

∫

^{Z2 d Ak + E}_ρ^y

∫

^{Z2 d Ay}

= E_k

ρ ^Ik + nE_k ρ I_y

= E_k

ρ ( I_k + I_y )

E_k

ρ = M I_k+n I_y

Rumus : tegangan pada kayu.

Rumus : tegangan pada besi k =

M . Z I_k+n I_y

y = nM . Z I_k+n I_y

y = n . k

Rumus : hubungan tegangan pada besi dan pada kayu

NB: Rumus diatas hanya berlaku untuk penampang co posite yang simetris.

2. Besar tegangan pada tampang composite yang tidak simetris ( beton dan besi ).

h'

M x

∫

^{y . d Ay +}

∫

^{b . d Ab = 0}

E_y

ρ

∫

^{Z d Ay + E}_ρ^b

∫

^{Z d Ab = 0}

Mengingat :

ε = Z ρ = ε E = Z

ρ E E_y

E_b

= n

Maka :

n

^E_ρ^b

∫ Z

d

^Ay

+

^E_ρ^b

∫ Z

d

^Ab

= 0

Dimana : Z = jarak ke garis nertral.

Sy = statis momen besi Sb = Statis momen beton

n S

y

+ S

b

= 0

Mencari letak garis netral.

b . X . 1

2 X = n . Ey . (h’ – X ) X = dapat

(Ingat : Beton tidak dapat menahan tarik )

∫

^{y .Z d Ay +}

∫

^{b . Zd Ab = M}

E_y

ρ

∫

^{Z2 d Ay + E}_ρ^b

∫

^{Z 2 d Ab = M}

E_y Eb

= n

nE_b

ρ ∫ Z² d A_y + E_b

ρ ∫ Z² d A_b = M nE_b

ρ ^Iy + E_b

ρ ^Ib = M E_b

ρ = M

¿_y+I_b

Dimana : Z = jarak garis netral terhadap sisi yang ditinjau.

Dalam hal ini :

a) Untuk beton Z = X b) Untuk besi Z = h’ – X

Contoh 1.

Diketahui : Balok seperti tergambar terdiri dari kayu yang diperkuat dengan plat besi harus menahan berat terbagi rata.

b = M . Z

¿_y+I_b y = nM . Z

¿_y+I_b

q= 250 kg/tm'

A B

3 m 1 m

C

Ukuran tampang adalah sebagai berikut:

17 cm 1 1

30 cm besi

kayu

Modulus elastisitas kayu : E_kayu = 10⁵ kg / cm² Modulus elastisitas besi : E_besi = 2 . 10⁶ kg / cm² Ditanya : Hitung tegangan maximum yang terjadi.

Penyelesaian:

Perhitungan momen .

q= 250 kg/tm'

A B

1 m 3 m

P = 1 ton

C

R_A=P.1+q .4.2

4 =1.1+0.25.4 .2

4 =0,75t R_B=P.3+q .4.2

4 =1 .3+0.25 .4 .2

4 =1,25t

MX = 0,75 . X – q . X . 1

2 X = 0,75 X – 0,125 X² Mmax , bila dM_X

dx = DX = 0

dM_X

dx = 0,75 – 0,25 X = 0 X = 0,75

0,25 = 3 m dari A

Mmax = MC = 0,75 . 3 – 0,125 . 3² = 1,125 tm = 112500 kg/cm

Analisa tampang .

1 1

besi

kayu besi

y

x

Untuk kayu.

Ix_k= 1

12.15.30³ = 33750 cm⁴ Untuk besi.

Ix_b=2( 1

12.1.30³) = 4500 cm⁴

E_kayu E_besi= 10⁵

2.10⁶= 1 20 E_kayu

E_besi=20=n

I_gab = Ix_k + n . Ix_b

Pada kayu

k = a = b = M . y_a

I_gab = M . y_a Ix_k+nIx_b = 112500.15

33750+20.4500 = 13,64 kg/ cm²

Pada besi

k = a = b = n . k = 20 . 13,64 = 272,8 kg/ cm²

Contoh 2.

Diketahui: sebuah balok beton bertulang seperti penampang tergambar.

Ukuran tampang adalah:

baja beton

h=50 cm h'=46 cm

h=24 cm

Luas tampang baja : Ay = 6,75 cm²

modulus elastisitas baja = Ey = 15 . 10⁶ kg / cm² modulus elastisitas baja = Eb = 10⁵ kg / cm²

q= 1,4 t/m'

A B

4 m

ditanya : tegangan maximum yang terjadi.

Penyelesaian : M_max=1

8.1,4.4² = 2,8 tm = 280000 kg cm Analisa tampang .

h'

M x

b

Beton tidak dapat menahan tarik.

Letak garis netral b . x . 1

2 x = n . Ay (h’ – x ) 24 . x . 1

2 x = 15 . 6,75 (46 – x) 12 X² = 4657,5 – 101,25 X

12 X² = 101,25 X -4657,5 = 0

X1,2 = −101,25±

√

^(101,25)2+4 .12 .4657,5

2 .12 = −101,25±483,54 24

X1 = −101,25+483,54

24 =15,93∽16cm X2 = - ( tidak mungkin)

Tegangang .

- Pada beton

b =

15 .6,75.(46−16)²+ 1

12.24 .16^3+¿24.16.82 n . I_y+¿Ib=280000.16

M . x ¿

¿

= 36,16 kg / cm²

- Pada baja.

y =

15 .6,75.(46−16)²+ 1

12.24 .16^3+¿24.16.82 n . I_y+¿Ib=15.280000(46–16)

¿ n. M(h^'−x)

¿

= 1017 kg / cm²

contoh 4

Diketahui : suatu gelagar yang terdiri dari tampang profil siku untuk memikul beban seperti gambar.

3 m 8 m

A B

C

28 cm

20 cm

2 cm 2 cm

Ditanya : hitung dan gambar diagram tegangan yang terjadi.

Penyelesaian:

Momen.

M_max=¿ MA = -4 . 3 = -12 tm = -1200000 kg cm Alisa tampang.

ya

yb

xka

y

x

Ambil statis momen terhadap sisi bawah.

ya

=

^{A1. y}_A^{1+A2. y2}

1+A₂

=

20 .2 .1+28 .2.16

20 .2+28 .2 =9,75cm

yb

= 30 – 9,75 = 20,25 cm.

Ambil statis momen terhadap sisi kiri.

A_1+¿A2=20.2 .10+28 .2.1

20 .2+28.2 =4,75cm x_ki=A1. x1+A2. x2

¿

x_ka=¿ 20 – 4,75 = 15,25 cm

I_X = 1

12 . 20. 2³ + 20.2 ( - 9,75 + 1)² + 1

12 . 2. 28³ + 2 . 28 (20,25 + 14)²

= 8922 cm⁴ I_y = 1

12 . 20³.2 + 20.2 ( 15,25 - 10)² + 1

12 . 2³. 28 + 2 . 28 (-4,75 + 1)²

= 3242 cm⁴

I_Xy = 20 . 2 ( 25,25 -10) (-9,75 +1) +28 .2 (-4,75 + 1) (20,25 -14) = -3150 cm⁴

tg 2 α = ^−2Ixy

I_x−I_y= 2.3150

8922−3242=1,1092

2 α = 47⁰ 57’ 45’’

α = 23⁰ 58’ 53’’

I_x−I_y

2 ¿²+I_xy²

¿

I_{max ,min}=I_{xα , yα}=I_X+I_y 2 ±√¿

=

8922−3242 2

¿

¿¿ 89922+3242

2 ±√¿

=

6082 ± 4241,24

I_max = I_X α = 6082 + 4241,24 = 10323,24 cm I_min = I_y α = 6082 – 4241,24 = 1840,76 cm⁴

y

yA

yB

x x

X_ki

−(¿−2)cosα X_A=y_a.sinα¿

= 20,25 sin 23⁰ 58’ 53’’ - (4,75 – 2 ) cos 23⁰ 58’ 53’’ = 5,72 cm X_ki

+(¿−2)sinα y_A=y_a.sinα¿

= 20,25 cos 23⁰ 58’ 53’’ + (4,75 – 2 ) sin 23⁰ 58’ 53’’ = 19,62 cm X_B=y_b.sinα+X_kicosα

= 9,75 sin 23⁰ 58’ 53’’ + 4,75 cos 23⁰ 58’ 53’’ = 8,30 cm

Y_B=y_bcosα−X_kisinα

= 9,75 cos23⁰ 58’ 53’’ - 4,75 sin23⁰ 58’ 53’’ = 6,98cm

Tegangan .

A = M_cosα . y_A

I_x +M_sinα . X_A I_y

= 1200000 cos 23⁰58’53’’ .19,62

10323,24

+

1200000 sin 23⁰58’53’’.19,62

1840,76

= 3599,36 kg/cm²

B = −M_cosα . y_B Ix

−M_sinα . X_B Iy

= −1200000 cos 23⁰58’53’’ .6,98 10323,24

−1200000 sin 23⁰58’53’’.8,30 1840,76

= -2940,5 kg/cm²

Gambar diagram tegangan adalah sebagai berikut :

28 cm

20 cm

2 cm 2 cm

y

x ya

yb M

y y

yA

yB

x

x xA

A

B

+

-

Contoh 5

Diketahui : suatu garding yang berukuran empat persegi panjang diletakkan pada kuda- kuda dengan kemiringan 35⁰ seperti gambar.

30 cm 20 cm

= 35 °

Garding ini memikul beban terbagi rata. q= 100 kg/cm¹ jarak garding 3m dan jarak kuda- kuda 4m.

Ditanya : hitung dan gambar tegangan yang timbul.

Penyelesaian:

Perhitungan momen.

A B

4 m

M_max=1

8q .4² = 200 kg m = 20000 kg cm Analisa tampang.

- Momen inertia I_X = 1

12 . 20. 30³ = 45000 cm⁴ I_y = 1

12 . 30³. 20 = 20000 cm⁴

y

x ya= 15 cm

yb= 15 cm

xki xka

- Tegangan A = −M_cosα . y_a

I_x −M_sinα . X_ka I_y

= −20000cos 35⁰.15 45000

−20000sin 35⁰.810 20000

= -11,20 kg/cm² B = ^Mcos_I^{α . yb}

x

+M_sinα . X_ki I_y

= 20000 cos 35⁰.15 45000

+20000 sin 35⁰.810 20000 = 11,20 kg/cm²

Diagram tegangan adalah sebagai berikut :

+

-

a

B b

Contoh 6

Diketahui :suatu garding dengan ukuran tampang profil I , diletakan pada kuda-kuda dengan kemiringan 30⁰ seperti gambar. Jarak kuda-kuda 4m , sehingga jarak garding 3m.

Beban atap yang dipikul sebesar : q = 80 kg / m

Ditanya : hitung dan gambar diagram tegangan yang terjadi.

Penyelesaian : Perhitungan momen.

M_max=1

8q .4² = 1

8.80.16 = 160 kg m = 16000 kg cm

Analisa tampang

y

x ya

yb

xki xka

 Menentukan titik berat tampang.

Ambil statis momen terhadap sisi atas yb = ^{A1. y1+A2. y2+A3. y3}

A1+A2+A3

= 20 .2 .1+31.2 .17+10 .2.34

20.22+31.2+10.2 =14,8cm ya = 35 – 14,8 = 20,2cm.

 Momen kelembaman I_X = 1

12 . 20. 2³ + 20.2 (–14.8 – 1)² + 1

12 . 2. 31³ + 2.31 (20,2 – 17,5)²

+ 1

12 . 10. 2³ + 10.2 (20,2 –1)²

= 20427,55 cm⁴ I_y = 1

12 .20³. 2 + 1

12 . 31. 2³ + 1

12 . 2. 10³

= 1520,67 cm⁴

 Tegangan

c. Pada momen positif ._a

= -

^Mcos_I ^{α ya}

X

–

^Msin_I^{α xka}

y

= -

¹⁶⁰⁰⁰_20427,55^{.cos 30°20,2}

-

¹⁶⁰⁰⁰_1520,67^{.sin 30°.5}

= - 10, 006

^kg/¿cm²

¿

._b

=

^Mcos_I ^{α yb}

X

+

^Msin_I^{α xki}

y

= -

¹⁶⁰⁰⁰_20427,55^{.cos 30°14,8}

+

¹⁶⁰⁰⁰_1520,67^{.sin 30°.10}

= 52,6

^kg/¿cm²

¿ gambar diagram .

M

a

+

-