bahan proyek kalkulus differensisal “turunan” - Spada UNS

BAHAN PROYEK KALKULUS DIFFERENSISAL

“TURUNAN”

Disusun Oleh :

Arfi’ah Nur Rachmawati Nim: K1321O17

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS SEBELAS MARET

SURAKARTA

2021

Definisi Turunan

Turunan fungsi f adalah fungsi lain f’ (dibaca “f aksen”) yang nilainya pada sebarang bilangan c adalah

f’(c)=lim

ℎ→0

𝑓(𝑐+ℎ)−𝑓(𝑐) ℎ

asalkan limit ini ada dan bukan ∞ 𝑎𝑡𝑎𝑢 − ∞.

Jika limit ini memang ada, dikatakan bahwa f terdiferensiasi di c.

Pencarian turunan dapat dilustrasikan sebagai berikut : Jika f(x)= x³+7x, carilah f’(x)

Penyelesaian:

f’(x)= lim

ℎ→0

𝑓(𝑐+ℎ)−𝑓(𝑐) ℎ

= lim

ℎ→0

[(𝑥+ℎ)³+7(𝑥+ℎ)]−[𝑥³+7𝑥]

ℎ

= lim

ℎ→0

3𝑥²+3𝑥ℎ²+ℎ²+7ℎ ℎ

= lim

ℎ→0 ( 𝑥²+ 3𝑥ℎ²+ ℎ²+ 7) = 3x²+7

Bentuk-bentuk Setara untuk Turunan

Tidak ada yang keramat tentang penggunaan huruf h dalam mendefinisikan f ’(c).

Misalkan perhatikan bahwa f’(x)= lim

ℎ→0

𝑓(𝑐+ℎ)−𝑓(𝑐) ℎ

= lim

ℎ→0

𝑓(𝑐+𝑝)−𝑓(𝑐) 𝑝

= lim

ℎ→0

𝑓(𝑐+𝑠)−𝑓(𝑐) 𝑠

Aturan Pencarian Turunan

Teorema A | Keterdiferensiasian Mengimplikasi Kontinuitas

“Jika f’(x) ada maka f kontinu di c”

TEOREMA A | Aturan Konstanta

Jika f(x)=k, dengan k suatu konstanta maka untuk sebarang x, f’(x)=0; yakni

Dx(k)=0

Bukti : f’(x)= lim

ℎ→0

𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)

ℎ = lim

ℎ→0 𝑘−𝑘

ℎ = lim

ℎ→00 = 0

Bukti : f’(x)= lim

ℎ→0 𝑓(𝑥+ℎ)

ℎ = lim

ℎ→0 𝑥+ℎ−𝑥

ℎ = lim

ℎ→0 ℎ ℎ = 1

Bukti : f’(x)= lim

ℎ→0 𝑓(𝑥+ℎ)

ℎ = lim

ℎ→0

𝑓(𝑥+ℎ)ℎ−𝑥^𝑛 ℎ

= lim

ℎ→0

𝑥^𝑛+𝑛𝑥^𝑛−1ℎ+^{𝑛(𝑛−1)}

2 𝑥^𝑛−2ℎ+⋯+𝑛𝑥ℎ^𝑛−1+ℎ^𝑛−𝑥^𝑛 ℎ

= lim

ℎ→0

ℎ[𝑛𝑥^𝑛−1+^{𝑛(𝑛−1)}₂ 𝑥^𝑛−2ℎ+⋯+𝑛𝑥ℎ^𝑛−2+ℎ^𝑛−1] ℎ

Didalam kurung siku, semua suku kecuali yang pertama mempunyai h sebagai faktor, sehingga masing-masing suku ini mempunyai limit nol ketika h mendekati nol. Jadi

f’(x) = nx^n-1

Bukti :

Misalkan F(x)= k. f(x), maka

TEOREMA B | Aturan Fungsi Satuan Jika f(x)=x, maka f’(x) = 1 ; yakni

Dx(x)=1

TEOREMA C | Aturan Pangkat

Jika f(x)=xⁿ, dengan n bilangan bulat positif, maka f’(x) = nx^n-1 yakni, Dx(xⁿ)= nx^n-1

TEOREMA D | Aturan Kelipatan Konstanta

Jika k suatu konstanta dan f suatu fungsi yang terdiferensiasikan, maka (kf)’(x)= k.f’(x) yakni,

Dx[k. f(x)]= k. Dxf(x)

F’(x)= lim

ℎ→0

𝐹(𝑥+ℎ)−𝐹(𝑥)

ℎ = lim

ℎ→0

𝑘. 𝑓(𝑥+ℎ)−𝑘. 𝑓(𝑥) ℎ

= lim

ℎ→0 𝑘 𝑓(𝑥+ℎ)− 𝑓(𝑥)

ℎ = k. lim

ℎ→0 𝑘 𝑓(𝑥+ℎ)− 𝑓(𝑥) ℎ

= k. f(x)

Bukti :

Misalkan F(x)= f(x) + g(x), maka F’(x)= lim

ℎ→0

[𝑓(𝑥+ℎ)−𝑔(𝑥+ℎ)]

ℎ − [𝑓(𝑥)+𝑔(𝑥)]

ℎ

= lim

ℎ→0

𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)

ℎ − 𝑔(𝑥+ℎ)−𝑔(𝑥) ℎ

= lim

ℎ→0

𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)

ℎ + lim

ℎ→0

𝑔(𝑥+ℎ)−𝑔(𝑥) ℎ

= f’(x) + g’(x)

Bukti :

Misalkan F(x)= f(x) - g(x), maka F’(x)= lim

ℎ→0

[𝑓(𝑥+ℎ)−𝑔(𝑥+ℎ)]

ℎ − [𝑓(𝑥)−𝑔(𝑥)]

ℎ

= lim

ℎ→0

𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)

ℎ − 𝑔(𝑥+ℎ)−𝑔(𝑥) ℎ

= lim

ℎ→0

𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)

ℎ − lim

ℎ→0

𝑔(𝑥+ℎ)−𝑔(𝑥) ℎ

= f’(x) - g’(x)

Bukti :

TEOREMA E | Aturan Jumlah

Jika f dan g adalah fungsi-fungsi yang terdiferensiasikan, maka (f+g)’(x)= f’(x)+g’(x) yakni,

Dx[f(x)+ g(x)]= Dxf(x) + Dxg(x)

TEOREMA F | Aturan Selisih

Jika f dan g adalah fungsi-fungsi yang terdiferensiasikan, maka (f-g)’(x)= f’(x)-g’(x) yakni,

Dx[f(x) - g(x)]= Dxf(x) - Dxg(x)

TEOREMA G | Aturan Hasil Kali

Jika f dan g adalah fungsi-fungsi yang terdiferensiasikan, maka (f.g)’(x)= f(x) g’(x) + g(x) f’(x) yakni,

Dx[f(x) g(x)]=f(x) Dx g(x) + g(x) Dx f(x)

Misalkan F(x)= f(x) . g(x), maka F’(x)= lim

ℎ→0

𝐹(𝑥+ℎ)−𝐹(𝑥) ℎ

= lim

ℎ→0

𝑓(𝑥+ℎ)𝑔(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) ℎ

= lim

ℎ→0

𝑓(𝑥+ℎ)𝑔(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥+ℎ)𝑔(𝑥)+𝑓(𝑥+ℎ)𝑔(𝑥)−𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) ℎ

= lim

ℎ→0

𝑓(𝑥+ℎ) . 𝑔(𝑥+ℎ)−𝑔(𝑥)

ℎ + 𝑔(𝑥). 𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥) ℎ

= lim

ℎ→0𝑓(𝑥 + ℎ) . lim

ℎ→0

𝑔(𝑥+ℎ)−𝑔(𝑥)

ℎ + 𝑔(𝑥) . lim

ℎ→0

𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥) ℎ

= f(x) g’(x) + g(x) f’(x)

Aturan Rantai

Notasi Leibniz

Misal 𝑦 = 𝑓(𝑥) menyatakan suatu fungsi dalam peubah 𝑥. Misal peubah bebas 𝑥 berubah dari 𝑥 ke 𝑥 + ∆𝑥 , maka perubahan yang berpadanan dalam peubah tak

TEOREMA H | Aturan Hasil Bagi

Jika f dan g adalah fungsi-fungsi yang terdiferensiasikan dengan g(x)≠ 0, maka (^𝑓

𝑔)’(x)= 𝑔(𝑥)𝑓(𝑥)−𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥) 𝑔²(𝑥) yaitu,

Dx(^𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥))= ^{𝑔(𝑥) 𝐷𝑥𝑓(𝑥)−𝑓(𝑥)𝐷𝑥𝑔(𝑥)}

𝑔²(𝑥)

TEOREMA A | Aturan Rantai

Misalkan y=f(u) dan u=g(x). Jika g terdiferensiasikan di x dan f terdiferensiasikan di u=g(x), maka fungsi komposit 𝑓 𝜊 𝑔, yang didefinisikan oleh (𝑓 𝜊 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)), adalah terdiferensiasikan di x dan

(𝑓 𝜊 𝑔)^′(𝑥) = 𝑓^′(𝑔(𝑥))𝑔′(𝑥) Yakni

𝐷_𝑋(𝑓(𝑔(𝑥))) = 𝑓^′(𝑔(𝑥))𝑔′(𝑥) Atau

^𝒅𝒚_𝒅𝒙=^𝒅𝒚

𝒅𝒖 𝒅𝒖 𝒅𝒙

bebas 𝑦 adalah ∆𝑦 = 𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥) 𝑑𝑎𝑛 ^Δ𝑦

Δ𝑥= 𝑓(𝑥+∆𝑥)−𝑓(𝑥)

Δ𝑥 adalah kemiringan talibusur yang melalui (𝑥, 𝑓(𝑥)). Jika∆𝑥 → 0 maka kemiringan tali busur akan mendekati kemiringan garis singgung. Leibniz menggunakan lambang ^𝑑𝑦_𝑑𝑥untuk menyatakan lim

∆𝑥→0 Δ𝑦

Δ𝑥 sehingga

𝒅𝒚

𝒅𝒙= lim

∆𝑥→0 Δ𝑦

Δ𝑥 = lim

∆𝑥→0

𝑓(𝑥+∆𝑥)−𝑓(𝑥)

Δ𝑥 = 𝑓′(𝑥)

Selanjutnya pandang _𝑑𝑥^𝑑 sebagai lambang operator yang sama dengan Dx. Semua teorema tentang turunan tetap berlaku, hanya penulisannya berbeda.

Turunan Tingkat Tinggi

Operasi diferensiasi mengambil sebuah fungsi f dan menghasilkan sebuah fugsi baru f’. jika f’ didiferensiasikan lagi, maka akan teteap mengahsilkan fungsi lain dinyatakan oleh f’’ (dibaca “f dua aksen”) dan disebut turunan kedua dari f. Jika didiferensiasikan lagi, dengan demikian mengahasilkan f’’’ yang disebut turunan ketiga dari f. turunan keempat dinyatakan 𝑓⁽⁴⁾ , turunan kelima dinyatakan 𝑓⁽⁵⁾ dan seterusnya.

Cara penulisan untuk turunan dari y= f(x) adalah sebagai berikut

Turunan Implisit

Pencarian turunan implisit yaitu mencari ^𝑑𝑦

𝑑𝑥 dengan tanpa menyatakan y secara eksplisit dalam x terlebih dahulu.

Masalah Benda Jatuh

Jika sebuah benda dilempar ke atas (atau ke bawah) dari suatu ketinggian awal 𝑠₀ desimeter dengan kecepatan awal 𝑣₀ desimeter/detik dan jika 𝑠 adalah tingginya di atas tanah dalam desimeter 𝑡 detik, maka

𝑠 = −16𝑡²+ 𝑣₀𝑡 + 𝑠₀

Ini mengasumsikan bahwa percobaan langsung dekat permukaan laut dan tekanan udara diabaikan.

Contoh Masalah

Dari puncak sebuah gedung setinggi 160 feet, sebuah bola dilempar keatas dengan kecepatan awal 64 feet per detik.

a. Kapan bola mencapai ketinggia maksimum?

b. Berapa ketinggian maksimumnya?

c. Kapan bola membentur tanah?

d. Dengan laju berapa bola membentur tanah?

e. Berapa percepatannya pada t=2?

Penyelesaian

Misalkan t=0 berkorespondensi dengan saat pada waktu bola dilempar. Maka 𝑠₀= 160 𝑑𝑎𝑛 𝑣₀= 64 (𝑣₀ positif karena bola dilempar ke atas). Jadi

𝑠 = −16𝑡²+ 64𝑡 + 160 𝑣 = ^𝑑𝑠

𝑑𝑡 = −32𝑡 + 64 𝑎 =^𝑑𝑣

𝑑𝑡 = −32

a. Bola mencapai ketinggian maksimum pada kecepatannya 0, yakni ketika =

−32𝑡 + 64 = 0 atau ketika 𝑡 = 2 detik.

b. Pada 𝑡 = 2, 𝑠 = −16(2)²+ 160 = 224 𝑓𝑒𝑒𝑡

c. Bola membentur tanah pada waktu 𝑠 = 0, yakni ketika −16𝑡²+ 64𝑡 + 160 = 0

Pembagian oleh -16 memberikan = 𝑡²− 4𝑡 + 10 = 0 Maka rumus 𝑎𝑏𝑐 menghasilkan TEOREMA A | Aturan Pangkat

Misalkan r sebarang bilangan rasional, maka untuk x > 0, 𝐷_𝑥(𝑥^𝑟) = 𝑟𝑥^𝑟−1

Jika r dapat dituliskan dalam suku terendah sebagai r = p/q, dimana q adalah bilangan ganjil, maka 𝐷_𝑥(𝑥^𝑟) = 𝑟𝑥^𝑟−1 untuk semua x.

𝑡 =^4±√16+40

2 = ^4±2√14

2 = 2 ± √14

Hanya jawaban positif yang masuk akal. Jadi bola membentur tanah pada 𝑡 = 2 ± √14 = 5,74 𝑑𝑒𝑡𝑖𝑘

d. Pada 𝑡 = 2 ± √14, 𝑣 = −32(2 + √14) + 64 = −119,73. Jadi bola membentur tanah pada laju 119,73 feet per detik.

e. Percepatan selalu -32 feet per detik. Ini adalah percepatan gravitasi di dekat permukaan laut.