BAHAN PROYEK KALKULUS
“TURUNAN”
TAMARA FEBRIANA SALSABIELA K1321077
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS SEBELAS MARET TAHUN AKADEMIK 2021/2022
TURUNAN
Turunan merupakan suatu perhitungan terhadap perubahan nilai fungsi karena perubahan nilai input (variabel). Turunan dapat disebut juga sebagai diferensial dan proses dalam menentukan turunan suatu fungsi disebut sebagai diferensiasi. Menggunakan konsep
limit yang sudah dipelajari, turunan dapat didefinisikan sebagai :
Turunan tersebut didefinisikan sebagai limit dari perubahan rata-rata dari nilai fungsi terhadap variabel x.
▪ Teorema A : Keterdiferensiasian Mengimplikasi Kontinuitas Jika f’(c) ada maka f kontinu di c.
Aturan Pencarian Turunan
▪ Teorema A : Aturan Fungsi Konstanta
Jika f(x) = k, k konstanta maka f’(x) = 0, atau 𝐷𝑥k = 0
▪ Teorema B : Aturan Fungsi Satuan Jika f(x) = x, maka f’(x) = 1, atau 𝐷𝑥x = 1
▪ Teorema C : Aturan Pangkat
Jika f(x) = 𝑥𝑛, n bilangan positif maka f’(x) = n𝑥𝑛−1 , atau 𝐷𝑥x n = n𝑥𝑛−1
▪ Teorema D : Aturan Kelipatan Konstanta
Jika f terdiferensial dan k konstanta maka (kf)’(x) = kf’(x), atau Dx(kf(x)) = kDxf(x)
▪ Teorema E : Aturan Jumlah
Jika f dan g terdiferensial maka (f + g)’(x) = f’(x) + g’(x) atau Dx(f + g)(x) = Dx(f)(x) + Dx(g)(x)
▪ Teorema F : Aturan Selisih
Jika f dan g terdiferensial maka (f - g)’(x) = f’(x) - g’(x) atau Dx(f - g)(x) = Dx(f )(x) - Dx(g)(x)
▪ Teorema G : Aturan Hasil Kali
Jika f dan g terdiferensial maka (fg)’(x) = f’(x)g(x) + f(x)g’(x) atau Dx(fg)(x) = g(x)Dx(f )(x) + f(x)Dx(g)(x)
▪ Teorema H : Aturan Hasil Bagi Jika f dan g terdiferensial maka
( 𝑓 𝑔 )’(x) = 𝑓 ′ (𝑥)𝑔(𝑥)−𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥) (𝑔(𝑥)) 2 , g(x) ≠ 0 atau Dx( 𝑓 𝑔 )(x) = 𝑔(𝑥)𝐷𝑥𝑓(𝑥)−𝑓(𝑥)𝐷𝑥𝑔(𝑥) (𝑔(𝑥)) 2 , g(x) ≠ 0 Aturan Rantai
Aturan pencarian turunan dan rumus turunan fungsi trigonometri yang telah kita punya dalam banyak kasus sulit untuk digunakan. Misalnya untuk mendapatkan turunan dari f(x)=
(3x2 – 4x + 1)50 maka kita harus melakukan perkalian sebanyak 50 kali faktor (3x2 – 4x + 1).
Untuk mencari turunan dari sin 3x , kita harus menggunakan identitas- identitas trigonometrik untuk mendapatkan sesuatu yang bergantung pada sin x dan cos x . Untungnya terdapat cara yang lebih baik, yang memudahkan kita untuk menentukan turunan suatu fungsi, yang di kenal dengan aturan rantai.
Teorema:
Misal y = f (u) dan u = g(x) menentukan fungsi komposit y = f (g(x)) = fog(x) . Jika g terdiferensialkan di x dan f terdiferensialkan di u = g(x) maka fog terdiferensialkan di x dan fog'(x) = f '(g(x))'g'(x) atau Dxy = DUyDxu
Contoh SOAL :
Teleskop ruang angkasa Hubbis diluncurkan pada 24 April oleh peswat ulang – alik luar angkasa Bernama Dicovery. Persamaan kecepatan dari pesawat ulang – alik selama misi, dari lepas landas pada t = 0 sampai roket pendorong dilepaskan pada t = 126 s diberikan sebagai :
𝑣(𝑡) = 0.001302𝑡3 − 0.09029𝑡2 + 23.61𝑡 − 3.083
(Dalam kaki per detik). Dengan menggunakan model ini, perkiraan nilai maksimum dan minimum dari percepatan pesawat ulang – alik saat lepas landas dan saat melepaskan roket pendorongnya.
Pembahasan
Kita diminta untuk menilai ekstrim bukan dari fungsi kecepatan yang diberikan, melainkan darifungsi percepatan. Jadi pertama kita perlu membedakan untuk menemukan percepatan :
(𝑡) = 𝑣 ′ (𝑡) = 𝑑
𝑑𝑡 (0.001302𝑡 3 − 0.09029𝑡 2 + 23.61𝑡 − 3.083)
= 0.003906𝑡 2 − 0.18058𝑡 + 23.61
Kita sekarang menerapkan metode interval tertutup pada fungsi kontinu a pada interval 0 ≤ 𝑡 ≤ 126. Turunannya adalah
𝑎 ′ (𝑡) = 0.007812𝑡 − 0.18058
Satu – satunya bilangan kritis yang terjadi Ketika 𝑎 ′ (𝑡) = 0 : 𝑡1 = 0.18058
0.007812 ≈ 23.12
Mengevaluasi 𝑎(𝑡) pada bilangan kritis dan pada titik akhir, kita mendapatkan 𝑎(0) = 23.61 𝑎(𝑡1) ≈ 21.52 𝑎(126) ≈ 62.87
Jadi percepatan maksimum adalah 62.57 𝑓𝑡/𝑠2 dan percepatan minimum adalah 21.52 𝑓𝑡/𝑠2