bahan proyek kalkulus - Spada UNS

BAHAN PROYEK KALKULUS

“TURUNAN”

NABILA QOYUMMA MUNIF K1321057

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS SEBELAS MARET TAHUN AKADEMIK 2021/2022

Definisi Turunan

Turunan fungsi 𝑓 adalah fungsi lain 𝑓^′ (dibaca f aksen) yang nilainya pada sembarang bilangan riil x adalah 𝑓^′(𝑥) = lim

ℎ → 0

𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)

ℎ

Jika lim

ℎ → 0

𝑓(𝑐+ℎ)−𝑓(𝑐)

ℎ ada untuk suatu bilangan riil c, maka kita katakan 𝑓 dapat diturunkan di c dan ditulis 𝑓^′(𝑐) = lim

ℎ → 0

𝑓(𝑐+ℎ)−𝑓(𝑐)

ℎ . pencarian turunan disebut pendiferensialan.

Contoh: Misalkan 𝑓(𝑥) = 2𝑥² − 4𝑥 , carilah 𝑓^′(𝑥) Penyelesaian : 𝑓^′(𝑥) = 𝑓^′(𝑥) = lim

ℎ → 0

𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥) ℎ

= lim

ℎ → 0

[2(𝑥 + ℎ)²+ 4(𝑥 + ℎ)] − [2𝑥²+ 4𝑥]

ℎ

= lim

ℎ → 0

ℎ(2ℎ + 4𝑥 − 4) ℎ

= lim

ℎ → 0(2ℎ + 4𝑥 − 4) = 4𝑥 – 4

Teorema A Keterdiferensiasian Mengimplikasi Kontinuitas Jika 𝑓^′(𝑐) ada maka 𝑓 kontinu di c

Contoh:

Tunjukan bahwa 𝑓(𝑥) = |𝑥| kontinu di x = 0 Penyelesaian: 𝑓(𝑥) = |𝑥| = {𝑥 , ≥ 0

𝑥 , < 0 𝑓(0) = 0

𝑥 → 0lim⁺𝑓(𝑥) = lim

𝑥 → 0 𝑥 = 0

𝑥 → 0lim⁻𝑓(𝑥) = lim

𝑥 → 0 −𝑥  =  0

𝑥 → 0lim 𝑓(𝑥) = 𝑓(0)

𝑓 kontinu di x = 0

Selidiki apakah 𝑓 terdiferensiasikan di x = 0 𝑓₋(0) = lim

𝑥 → 0⁻ =  𝑓(𝑥) − 𝑓(0)

𝑥  −  0   =   lim

𝑥 → 0 

−𝑥  −  0 

𝑥 =   lim

𝑥 → 0 

−𝑥

𝑥   =   − 1

𝑓₊ (0) = lim

𝑥 → 0⁺ =  𝑓(𝑥) − 𝑓(0)

𝑥  −  0   =   lim

𝑥 → 0 

𝑥  −  0 

𝑥 =   lim

𝑥 → 0 

𝑥 𝑥  =  1 Karena −1 = 𝑓₋(0) ≠ 𝑓₊ (0) = 1

Maka 𝑓 tidak diferensibel di x = 0

Aturan Pencarian Turunan

1. Teorema A (Aturan Fungsi Konstanta)

Jika 𝑓(𝑥) = 𝑘, 𝑘 konstanta maka 𝑓^′(𝑥) = 0 atau 𝐷_𝑥𝑘 = 0 2. Teorema B (Aturan Fungsi Satuan)

Jika 𝑓(𝑥) = 𝑥 maka 𝑓^′(𝑥) = 1 atau 𝐷_𝑥𝑘 = 1 3. Teorema C (Aturan Pangkat)

Jika 𝑓(𝑥) = 𝑥^𝑛 , n bilangan positif maka 𝑓^′(𝑥) = 𝑛𝑥^{𝑛 − 1} atau 𝐷_𝑥𝑥^𝑛 = 𝑛𝑥^{𝑛 − 1} 4. Teorema D ( Aturan Kelipatan Konstanta)

Jika 𝑓 terdeferensial dan 𝑘 konstanta maka (𝑘𝑓)^′(𝑥) = 𝑘𝑓^′(𝑥)atau 𝐷_𝑥(𝑘𝑓(𝑥) = 𝑘𝐷_𝑥 𝑓(𝑥)

5. Teorema E (Aturan Jumlah)

Jika 𝑓 dan 𝑔 terdiferensial maka (𝑓 + 𝑔)^′(𝑥) = 𝑓^′(𝑥) + 𝑔^′(𝑥) atau 𝐷_𝑥(𝑓 + 𝑔)(𝑥) = 𝐷_𝑥𝑓(𝑥) + 𝐷_𝑥𝑔(𝑥)

6. Teorema F (Aturan Selisih)

Jika 𝑓 dan 𝑔 terdiferensial maka (𝑓 − 𝑔)^′(𝑥) = 𝑓^′(𝑥) − 𝑔^′(𝑥) atau 𝐷_𝑥(𝑓 − 𝑔)(𝑥) = 𝐷_𝑥𝑓(𝑥) − 𝐷_𝑥𝑔(𝑥)

7. Teorema G (Aturan Hasil Kali)

Jika 𝑓 dan 𝑔 terdiferensial maka (𝑓𝑔)^′(𝑥) = 𝑓^′(𝑥)𝑔(𝑥) + 𝑓(𝑥)𝑔^′(𝑥) atau 𝐷_𝑥(𝑓𝑔)(𝑥) = 𝑔(𝑥)𝐷_𝑥𝑓(𝑥) + 𝑓(𝑥)𝐷_𝑥𝑔(𝑥)

8. Teorema H (Aturan Hasil Bagi)

Jika 𝑓 dan 𝑔 terdiferensial maka (^𝑓

𝑔)^′(𝑥) =^𝑓′(𝑥)𝑔(𝑥) − 𝑓(𝑥)𝑔^′(𝑥)

(𝑔(𝑥))² 𝑔(𝑥) ≠ 0 atau 𝐷_𝑥(^𝑓

𝑔)^′(𝑥) =^{𝑔(𝑥)𝐷𝑥𝑓(𝑥)−𝑓(𝑥)𝐷}_{(𝑔(𝑥))2} ^{𝑥𝑔(𝑥)}, 𝑔(𝑥) ≠ 0

Contoh:

Tentukan nilai 𝐷_𝑥² dari fungsi y = (3x² – 5)(2x⁴ – x) Penyelesaian

𝐷_𝑥[(3x2– 5)(2x4– x)] = (3𝑥²– 5)𝐷𝑥(2𝑥⁴– 𝑥) + (2𝑥⁴– 𝑥)𝐷𝑥(3𝑥²– 5) Teorema G

= (3𝑥²– 5)(8𝑥³– 1) + (2𝑥⁴– 𝑥)(6𝑥)

= 24𝑥⁵ – 3𝑥² – 40𝑥³ + 5 + 12𝑥⁵ – 6𝑥²

= 36𝑥⁵ – 40𝑥³ – 9𝑥² + 5

𝐷_𝑥² 36𝑥⁵ – 40𝑥³ – 9𝑥² + 5 = 𝐷_𝑥(36𝑥⁵– 40𝑥³– 9𝑥²) + 𝐷_𝑥(5) Teorema E

= 𝐷_𝑥(36𝑥⁵) – 𝐷_𝑥 (40𝑥³) − 𝐷_𝑥 (9𝑥²) + 𝐷_𝑥(5) Teorema F

= 36𝐷_𝑥(𝑥⁵) – 40 𝐷_𝑥 (𝑥³) − 9 𝐷_𝑥 (𝑥²) + 𝐷_𝑥(5) Teorema D

= 36 . 5𝑥⁴ − 40 . 3𝑥² − 9 . 2𝑥 + 0 Teorema C, B , A

= 180𝑥⁴ − 120𝑥² − 18𝑥 Tentukan nilai 𝐷_𝑥 dari fungsi 𝑦 = ^3𝑥

4𝑥⁵ Penyelesaian

𝐷_𝑥 3𝑥

4𝑥⁵ = (4𝑥⁵) 𝑑

𝑑𝑥(3𝑥) − (3𝑥) 𝑑

𝑑𝑥(4𝑥⁵) (4𝑥⁵)²

= (4𝑥⁵)(3) − (3𝑥)(20𝑥⁴) (4𝑥⁷)

= (12𝑥⁵) − (60𝑥⁵) (4𝑥⁷)

= −12 𝑥²

Aturan Fungsi Trigonometri Teorema A

Fungsi 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑖𝑛𝑥 dan 𝑔(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠𝑥 keduanya terdiferensiasikan, dan 𝐷_𝑥(𝑠𝑖𝑛𝑥) = 𝑐𝑜𝑠𝑥 dan 𝐷_𝑥(𝑐𝑜𝑠𝑥) = −𝑠𝑖𝑛𝑥

Contoh :

Cari 𝐷_𝑥 dari fungsi 𝑦 = 2 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 3 𝑐𝑜𝑠𝑥

Penyelesaian: 𝐷_𝑥(2𝑠𝑖𝑛𝑥 + 3𝑐𝑜𝑠𝑥) = 2𝐷_𝑥(𝑠𝑖𝑛𝑥) + 3𝐷_𝑥(𝑐𝑜𝑠𝑥)

= 2 𝑐𝑜𝑠𝑥 − 3 𝑠𝑖𝑛 𝑥

Teorema B

Untuk semua titik x di dalam daerah asal fungsi, 𝐷_𝑥 tan 𝑥 = sec²𝑥

𝐷_𝑥 sec 𝑥 = sec 𝑥 . tan 𝑥 𝐷_𝑥 cot 𝑥 = −csc²𝑥 𝐷_𝑥 csc 𝑥 = −csc 𝑥 . cot 𝑥 Contoh:

Carilah 𝐷_𝑥 dari fungsi 𝑦 = 𝑥² 𝑐𝑜𝑠 𝑥

Penyelesaian: 𝐷_𝑥 (𝑥²𝑐𝑜𝑠𝑥) = 𝑥² 𝐷_𝑥 (𝑐𝑜𝑠𝑥) + 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝐷_𝑥 (𝑥²)

= −𝑥²𝑠𝑖𝑛 𝑥 + 2𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥

Aturan Rantai

Teorema A (Aturan Rantai)

Misal 𝑦 = 𝑓(𝑢) dan 𝑢 = 𝑔(𝑥) menentukan fungsi komposit 𝑦 = 𝑓(𝑔(𝑥)) = 𝑓𝑜𝑔(𝑥). Jika 𝑔 terdiferensialkan di 𝑥 dan 𝑓 terdiferensialkan di 𝑢 = 𝑔(𝑥) maka 𝑓𝑜𝑔 terdiferensialkan di 𝑥 dan 𝑓𝑜𝑔^′(𝑥) = 𝑓^′(𝑔(𝑥))^′𝑔^′(𝑥) atau 𝐷_𝑥𝑦 = 𝐷_𝑢𝑦 𝐷_𝑥𝑢

Aturan rantai dapat dihafalkan dengan cara “Turunan fungsi komposit adalah turunan fungsi sebelah luar dihitung pada fungsi sebelah dalam, dikalikan turunan fungsi sebelah dalam”

Contoh:

Cari Dx dari fungsi 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠 √𝑡𝑎𝑛(𝑥² + 1) Misal :

w = 𝑥²  +  1 v = tan w u = 𝑣¹² t = cos u

Penyelesaian: 𝐷_𝑥 = (𝑐𝑜𝑠 (√𝑡𝑎𝑛(𝑥² + 1)))

= 𝐷_𝑢𝑡 𝐷_𝑣𝑢 𝐷_𝑤𝑣 𝐷_𝑥𝑤

= (−𝑠𝑖𝑛𝑢) (1

2𝑣⁻¹²) (Sec² 𝑤)(2𝑥)

= (−sin  (𝑣¹²))   (1

2 ( tan w)⁻¹²)  (Se𝑐²(𝑥²  +  1)) (2x)

= (−𝑠𝑖𝑛(𝑡𝑎𝑛 𝑤)¹²) (1

2(𝑡𝑎𝑛(𝑥² + 1)⁻¹² (𝑆𝑒𝑐²(𝑥² + 1) (2𝑥)

= (−𝑠𝑖𝑛 (𝑡𝑎𝑛 (𝑥² + 1)¹²) (1

2(𝑡𝑎𝑛(𝑥² + 1)⁻¹² (𝑆𝑒𝑐²(𝑥² + 1) (2𝑥)

Turunan Tingkat Tinggi Memakai Notasi Leibniz

Turunan Ke- Notasi 𝑓^′ Notasi 𝑦^′ Notasi 𝐷_𝑥 Notasi Leibniz

1 𝑓^′(𝑥) 𝑦^′ D_x dy

dx

2 𝑓^′′(𝑥) 𝑦^′′ D_x² 𝑦 d²y

dx²

3 𝑓^′′′(𝑥) 𝑦^′′′ D_x³ 𝑦 d³y

dx³

4 𝑓⁽⁴⁾(𝑥) y⁽⁴⁾ D_x⁴ 𝑦 d⁴y

dx⁴

…

n 𝑓^𝑛(𝑥) y^(𝑛) D_xⁿ 𝑦 dⁿy

dxⁿ

Contoh:

Carilah D_x³ 𝑦 dari fungsi 𝑦 = x³ + 3x² + 6𝑥 Penyelesaian: D_x𝑦(x³+ 3x² + 6𝑥) = 3x²+ 6𝑥 + 6 D_x²𝑦(3x²+ 6𝑥 + 6) = 6𝑥 + 6

D_x³𝑦(6𝑥 + 6) = 6

Diferensiasi Implisit Metode untuk mencari ^dy

dx tanpa terlebih dahulu menyelesaikan secara gamblang persamaan yang diberikan untuk 𝑦 dalam 𝑥.

Contoh:

Carilah ^dy

dx jika 9x² + 4y² = 36 Penyelesaian: ^d

dx(9x²+ 4y²) = ^d

dy(36) 18𝑥 + 8𝑦dy

dx = 0 dy

dx = 18x 8y

Laju yang Berkaitan

Jika suatu variable 𝑦 bergantung pada waktu 𝑡 , maka turunannya ^dy

dx. Contoh:

Seorang pria berdiri diatas tebing mengawasi perahu motor menggunakan teropong Ketika perahu mendekati pantai tepat dibawahnya. Jika teropong berada 250 feet di atas permukaan laut dan jika perahu mendekat dengan laju 20 feet/detik, berapa laju perubahan sudut teropong pada saat perahu berada 250 feet dari pantai.

Penyelesaian:

Langkah 1: Mengilustrasikan soal pada gambar

Langkah 2: Diketahui bahwa ^dx

dy = −20 tanda adalah negative karena 𝑥 berkurang dengan berlalunya waktu. Akan dicari ^d𝜃

dy pada saat 𝑥 = 250 Langkah 3: Dari ilmu segitiga

𝑡𝑎𝑛 𝜃 = x 250 Langkah 4: Cari D_x dari 𝑡𝑎𝑛 𝜃 = ^x

250

Sec² 𝜃d𝜃

dt = 1 250

dx dt

Langkah 5: pada saat x = 250, 𝜃 adalah ^𝜋

4 radian dan Sec²𝜃 = Sec²(^𝜋

4) = 2 Sehingga diperoleh 2^d𝜃

dt = ¹

250(−20) → ^d𝜃

dt = −0,04

Diferensial dan Aproksimasi Definisi Diferensial

Misalkan 𝑦 = 𝑓(𝑥) adalah fungsi terdiferensiasi dari variable bebas 𝑥

∆𝑥 adalah pertambahan sembarang dalam variable bebas 𝑥 𝑑𝑥 disebut diferensial variable bebas 𝑥 , adalah sama dengan ∆𝑥

∆𝑦 adalah perubahan sebenarnya dalam variable 𝑦 Ketika 𝑥 berubah dari 𝑥 ke 𝑥 + ∆𝑥 yakni 𝑦 = 𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥)

𝑑𝑦 disebut diferensial variable tak-bebas 𝑦 , didefinisikan oleh 𝑑𝑦 = 𝑓^′(𝑥)𝑑𝑥 250

x y

Contoh:

Carilah 𝑑𝑦 ketika 𝑦 = x² + 𝑥 – 3

𝑦 = (7x²+ 3𝑥 − 1)⁻³²

Penyelesaian:

Jika kita mengetahui bagaimana menghitung turunan, maka kita tahu bagaimana menghitung diferensial. Kita cukup menghitung turunan dan mengalikannya 𝑑𝑥

𝑑𝑦 = 2𝑥 + 1

𝑑𝑦 = −3

2(7x² + 3𝑥 − 1)^-52(14x²+ 3)