BAHAN PROYEK KALKULUS “TURUNAN” Diisusun Oleh

BAHAN PROYEK KALKULUS

“TURUNAN”

Diisusun Oleh:

Citra Tiara Ningati (K1321029)

Disusun untuk memenuhi tugas pada Mata Kuliah Kalkulus Diferensial

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS SEBELAS MARET TAHUN 2021

Garis Singgung

Gagasan Euclides tentang garis singgung adalah garis yang menyentuh kurva di satu titik benar untuk lingkaran, tetapi tidak memuaskan untuk kurva lain. Lihat gambar dibawah ini.

Gagasan bahwa garis singgung kurva pada titik P sebagai garis yang merupakan aproksimasi terbaik terhadap kurva di sekitar titik P adalah gagasan yang lebih baik, tapi masih kurang jelas secara matematis. Misalkan P adalah titik pada kurva dan Q titik berdekatan yang dapat dipindah – pindahkan pada kurva. Garis yang melalui P dan Q disebut garis sekan (tali busur).

Garis singgung (garis tangen) di P adalah posisi pembatas (jika ada) dari garis sekan jika Q bergerak kearah P sepanjang kurva. Lihat gambar dibawah ini.

Misalkan terdapat suatu kurva dengan grafik dari persamaan . Misal P mempunyai koordinat dan titik di dekatnya mempunyai koordinat . Tali busur

memiliki gradien .

) (x f y= ))

( , (c f c

P Q Q(c+h,f(c+h))

PQ

h c f h c f

mPQ ( + )− ( )

=

P

P

Kecepatan Rata – rata dan Kecepatan Sesaat

Misalkan suatu benda bergerak sepanjang garis lurus dengan persamaan , menunjukkan jarak ( berarah ) benda terhadap titik asal setelah waktu dan sering disebut sebagai fungsi posisi.

Pada interval sampai dengan perubahan posisi adalah . Sehingga kecepatan rata – rata pada interval ini adalah

Vrata – rata = 𝒇 (𝒂+𝒉) −𝒇 (𝒂) 𝒉

) (t f s=

t a

t = t =a+h f(a+h)− f(a)

Definisi

Garis singgung terhadap kurva pada titik adalah garis yang melalui dengan kemiringan

NB : asalkan limitnya ada dan bukan atau ) (x f

y = P(c,f(c)) P

h c f h c m f

mgsP h h

) ( ) lim (

lim talibusur 0

0

−

= +

= → →

 −

TURUNAN

Kemiringan garis singgung, kecepatan sesaat, laju pertumbuhan organisme, keuntungan marjinal, kepadatan kawat adalah merupakan konsep matematika yang dikenal dengan istilah turunan atau derivative.

Definisi

Jika benda bergerak di sepanjang garis lurus dengan posisi f(t), maka kecepatan sesaat pada saat a adalah

NB : asalkan limitnya ada dan bukan atau

h

a f h a v f

v

h h

) ( )

lim ( lim

rata-rata[a,a h] 0 a 0

pada

−

= +

=

→ + →

 −

Definisi Turunan di Suatu Titik

Fungsi 𝑦 = 𝑓(𝑥) dikatakan memiliki turunan di 𝛼 jika limit berikut ada : 𝑓(𝑐) = lim

ℎ→0

𝑓(𝑐 + ℎ) − 𝑓(𝑐) ℎ

NB : Asalkan limit ini ada dan bukan ∞ 𝑎𝑡𝑎𝑢 − ∞.

❖ Turunan fungsi f di c dinotasikan dengan f’(a).

❖ Jika suatu fungsi memiliki turunan di c, maka fungsi f terdiferensil di c.

❖ Pencarian turunan disebut diferensiasi.

ATURAN PENCARIAN TURUNAN Aturan Fungsi Konstanta

BUKTI :

Untuk 𝑓 (𝑥) = 𝑘, maka 𝑓 ′ (𝑥) = lim

ℎ→0

𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)

ℎ = lim

ℎ→0 𝑘−𝑘

ℎ = lim

ℎ→00 = 0 Aturan Fungsi Satuan

Aturan Pangkat

Aturan Kelipatan Konstanta Bentuk Ekuivalen

Jika 𝑥 = 𝑎 + ℎ sehingga ketika ℎ → 0 𝑏𝑒𝑟𝑎𝑘𝑖𝑏𝑎𝑡 𝑥 → 𝑐, maka turunan fungsi 𝑦 = 𝑓(𝑥) dititik c dinyatakan sebagai berikut :

𝑓′(𝑐) = lim

𝑥→𝑐

𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑐) 𝑥 − 𝑐 NB : Asalkan limit ini ada dan bukan ∞ 𝑎𝑡𝑎𝑢 − ∞.

Jika f(x) = k, dengan k suatu konstanta maka untuk sebarang x, f(x) = 0; yakni, Dx (k) =0

Jika f(x) = x, maka f’(x) = 1; yakni, Dx (x) = 1

Jika f(x) = 𝑥^𝑛, dengan n suatu bilangan bulat positif maka f’(x) = n𝑥^𝑛−1; yakni, Dx (𝑥^𝑛) = 𝑛𝑥^𝑛−1

Jika k suatu konstanta dan f suatu fungsi yang terdiferensiasikan maka (𝑘𝑓)^′𝑥 = 𝑘. 𝑓′(𝑥)

Aturan Jumlah

Perhatikan bahwa Dx adalah operator, sehingga teorema D dapat dinyatakan

‘Turunan dari suatu jumlah adalah jumlah dari turunan - turunan’

Aturan Selisih

Perhatikan bahwa Dx adalah operator, sehingga teorema D dapat dinyatakan sebagai :

“Turunan dari suatu selisih adalah selisih dari turunan - turunan”

Aturan Kali

Aturan Bagi

Untuk aturan pangkat, bagaimana jika pangkat 𝒏 merupakan bilangan bulat negatif, yaitu 𝒏 < 𝟎 atau −𝒏, turunan dari fungsi. 𝑓(𝑥) = 𝑥^−𝑛 .

Jika f dan g adalah fungsi – fungsi yang terdiferensialkan, maka (𝑓 + 𝑔)^′(𝑥) = 𝑓^′(𝑥) + 𝑔′(𝑥)

Jika f dan g adalah fungsi – fungsi yang terdiferensialkan, maka (𝑓 − 𝑔)^′(𝑥) = 𝑓^′(𝑥) − 𝑔′(𝑥)

Jika f dan g adalah fungsi – fungsi yang terdiferensialkan, maka (𝑓. 𝑔)^′(𝑥) = 𝑓^′(𝑥)𝑔(𝑥) + 𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥)

Jika f dan g adalah fungsi – fungsi yang terdiferensialkan, maka (𝑓

𝑔)

′

(𝑥) =𝑓^′(𝑥)𝑔(𝑥) − 𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥) 𝑔²

Perhatikan bahwa 𝑓(𝑥) = 𝑥^−𝑛= ¹

𝑥^𝑛, sehingga dengan menggunakan teorena untuk aturan bagi diperoleh :

𝑓^′(𝑥) = 0(𝑥^𝑛) − 𝑛𝑥^𝑛−1(1) 𝑥^2𝑛

= −𝑛𝑥^𝑛−1

𝑥^2𝑛 = −𝑛𝑥^−𝑛−1 Jadi, jika 𝑓(𝑥) = 𝑥^−𝑛, 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑓^′(𝑥) = −𝑛𝑥^−𝑛−1

TURUNAN TINGKAT TINGGI

Operasi pendiferensialan terhadap f mengahasilkan sebuah fungsi baru f'. Jika operasi pendiferensialan dilakukan pada f'akan diperoleh f" ( dibaca f dua aksen ) dan disebut turunan kedua. Jika operasi pendiferensialan dilakukan pada f"akan diperoleh fungsi f'''dan disebut turunan ketiga. Cara penulisan untuk turunan dari y = f(x) adalah sebagai berikut :

Turunan-ke Notasi f' Notasi y' _Notasi D_x Notasi Leibniz

1 f'(x) y' Dxy

dx dy

2 f ''(x) y''

xy D2

2 2 dx y d

3 f'''(x) y' ''

xy D3

3 3 dx y d

4 f (4)(x) y(4) Dx4y

4 4 dx y d

. . .

n f n(x) y(n) ny

Dx

dxn ny d

KECEPATAN DAN PERCEPATAN

Berdasarkan definisi kecepatan sesaat, maka dengan menggunakan notasi Leibniz dapat dituliskan menjadi :

Misalkan, kita menggunakan lambing v(t) untuk kecepatan pada saat t 𝑣(𝑡) =𝑑𝑠

𝑑𝑡

Percepatan merupakan turunan pertama dari kecepatan. Percepatan mengukur laju perubahan kecepatan terhadap waktu. Jika percepatan dinyatakan oleh a, maka :

𝑎 =𝑑𝑣

𝑑𝑡 = 𝑑²𝑠 𝑑𝑡² CONTOH SOAL :

Teleskop ruang angkasa Hubbis diluncurkan pada 24 April oleh peswat ulang – alik luar angkasa Bernama Dicovery. Persamaan kecepatan dari pesawat ulang – alik selama misi, dari lepas landas pada t = 0 sampai roket pendorong dilepaskan pada t = 126 s diberikan sebagai :

𝑣(𝑡) = 0.001302𝑡³ − 0.09029𝑡²+ 23.61𝑡 − 3.083

(Dalam kaki per detik). Dengan menggunakan model ini, perkiraan nilai maksimum dan minimum dari percepatan pesawat ulang – alik saat lepas landas dan saat melepaskan roket pendorongnya.

PEMBAHASAN SOAL :

Kita diminta untuk menilai ekstrim bukan dari fungsi kecepatan yang diberikan, melainkan dari fungsi percepatan. Jadi pertama kita perlu membedakan unutuk menemukan percepatan :

𝑎(𝑡) = 𝑣^′(𝑡) = 𝑑

𝑑𝑡(0.001302𝑡³− 0.09029𝑡² + 23.61𝑡 − 3.083)

= 0.003906𝑡²− 0.18058𝑡 + 23.61

Kita sekarang menerapkan metode interval tertutup pada fungsi kontinu a pada interval 0 ≤ 𝑡 ≤ 126. Turunannya adalah

𝑎^′(𝑡) = 0.007812𝑡 − 0.18058

Satu – satunya bilangan kritis yang terjadi Ketika 𝑎^′(𝑡) = 0 : 𝑡₁ = 0.18058

0.007812≈ 23.12

Mengevaluasi 𝑎(𝑡) pada bilangan kritis dan pada titik akhir, kita mendapatkan 𝑎(0) = 23.61 𝑎(𝑡₁) ≈ 21.52 𝑎(126) ≈ 62.87

Jadi percepatan maksimum adalah 62.57 𝑓𝑡/𝑠² dan percepatan minimum adalah 21.52 𝑓𝑡/𝑠²