Bahan Proyek Maksimum dan Minimum

(1)

NAMA = DILLA AULIA RAMADHANTI NIM = K1321031

1. Aturan Selisih

TEOREMA F (ATURAN SELISIH)

Jika f dan g adalah fungsi – fungsi yang terdiferensiasikan maka (𝑓 − 𝑔)^′(𝑥) = 𝑓^′(𝑥) − 𝑔′(𝑥) Sehingga, 𝐷_𝑥[𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)] = 𝐷_𝑥𝑓(𝑥) − 𝐷_𝑥𝑔(𝑥)

Contoh penggunaan teorema F : - Carilah turunan dari 2𝑥⁵− 6𝑥²

Jawab =

𝐷_𝑥[2𝑥⁵− 6𝑥²] = 𝐷_𝑥2𝑥⁵− 𝐷_𝑥6𝑥² = 2𝐷_𝑥𝑥⁵− 6𝐷_𝑥𝑥² = 2.5𝑥⁴− 6.2𝑥 = 10𝑥⁴− 12𝑥 2. Nilai Maksimum

Definisi

Misalkan, S, daerah asal f , mengandung titik c. Kita katakan bahwa (i) 𝑓(𝑐) nilai maksimum dari 𝑓 pada 𝑆 jika 𝑓(𝑐) ≥ 𝑓(𝑥) untuk semua 𝑥 pada 𝑆 (ii) 𝑓(𝑐) nilai minimum dari 𝑓 pada 𝑆 jika 𝑓(𝑐) ≤ 𝑓(𝑥) untuk semua 𝑥 pada 𝑆 (iii) 𝑓(𝑐) nilai ekstrim dari 𝑓 pada 𝑆 jika 𝑓(𝑐) adalah nilai maksimum atau minimum.

(iv) Fungsi yang akan dicari nilai maksimum dan minimumnya dikatakan fungsi objektif.

Teorema A Keberadaan Maks-Min

Jika 𝑓 kontinu pada selang tutup [𝑎, 𝑏] maka 𝑓 mencapai nilai maksimum dan minimum di selang tersebut.

Gambar fungsi nilai maksimum dan minimum.

(2)

Selanjutnya titik di mana fungsinya bernilai nol di namakan titik stasioner, sedangkan titik di mana fungsinya tidak dapat diturunkan dinamakan titik singular. Titik ujung selang, titik stasioner dan titik singular dinamakan titik-titik kritis. Titik-titik kritis memegang peran penting dalam menentukan nilai maksimum dan minimum, seperti yang ditunjukkan dalam teorema berikut : Langkah – langkah mencari nilai maksimum dan minimum dari suatu fungsi di selang tutup :

1. Cari titik – titik kritis dari 𝑓 pada selang tutup yang diberikan.

2. Cari nilai 𝑓 pada titik – titik kritis.

3. Nilai yang paling besar pada langkah ke 2 menjadi nilai maksimum dan yang paling kecil menjadi nilai minimum.

3. Teorema Titik Kritis Teorema Titik Kritis

Misal 𝑓 didefinisikan pada interval I yang memuat c. Jika 𝑓(𝑐) adalah nilai ekstrim, maka 𝑐 haruslah titik kritis, yakni

1. Titik ujung dari I

2. Titik stationer dari 𝑓, yakni 𝑓^′(𝑐) = 0 3. Titik singular dari 𝑓, yakni 𝑓^′(𝑐) 𝑡𝑖𝑑𝑎𝑘 𝑎𝑑𝑎

4. Teorema Uji Turunan Kedua

TEOREMA B UJI TURUNAN KEDUA

Misalkan f’ dan f’’ ada pada setiap titik interval terbuka (a,b) yang memuat c, dan misalkan f’(c)=0 (i) Jika 𝑓^′′(𝑐) < 0, maka 𝑓(𝑐) adalah nilai maksimum lokal f

(ii) Jika 𝑓^′′(𝑐) < 0, maka 𝑓(𝑐)adalah nilai maksimum lokal f Contoh :

- Untuk 𝑓(𝑥) = ¹

3𝑥³− 𝑥²− 3𝑥 + 4, gunakan Uji Turunan Kedua untuk mengenali ekstrim lokal.

𝑓^′(𝑥) = 𝑥²− 2𝑥 − 3 = (𝑥 − 3)(𝑥 + 1) 𝑓^′′(𝑥) = 2𝑥 − 2

Titik-titik kritis adalah -1 dan 3.

f(-1) = 0 f(3) = 0

Karena, f’’(-1) = -4 dan f’’(3) = 4, kita simpulkan menurut Uji Turunan Kedua bahwa f(-1) adalah nilai maksimum lokal dan bahwa f(3) adalah nilai minimum lokal.