Nama : Venti Julianti NIM : K1318078
BAHAN PROYEK NILAI MAKSIMUM-MINIMUM
Definisi
Misal Df daerah asal f yang memuat titik c, sehingga
1. f(c) adalah nilai maksimum pada Df jika f(x) ≤ f(c), untuk semua x di Df
2. f(c) adalah nilai minimum pada Df jika f(c) ≤ f(x), untuk semua x di Df
3. f(c) adalah nilai ekstrim pada Df jika f(c) adalah nilai maksimum atau nilai minimum.
Teorema : (Eksistensi Nilai Maks-Min)
Jika f kontinu pada suatu selang tutup maka f mencapai nilai maksimum dan minimum pada selang itu.
Note :
Selang tutup tidak menjamin akan selalu ada nilai maksimum dan nilai minimum di dalamnya.
Contoh :
Fungsi g tidak kontinu di x = 2
Teorema : (Titik Kritis)
Misal f didefinisikan pada selang I yang memuat titik c. Jika f(c) adalah nilai ekstrim maka c haruslah suatu titik kritis yaitu berupa salah satu dari 3 titik berikut:
1. Titik ujung dari I,
2. Titik stasioner dari f, yaitu titik dimana f’(c) = 0, 3. Titik singular dari f, yaitu titik dimana f’(c) tidak ada
Note : Nilai maksimum dan nilai minimum hanya mungkin dicari pada titik kritis.
Kontraposisi teorema (titik kritis) :
Jika f tidak memiliki titik kritis maka f tidak memiliki nilai ekstrim.
Pada selang [1,3]
Nilai maksimum g : tidak ada Nilai minimum g : 0
Pernyataan yang salah : Jika f memiliki titik kritis maka f memiliki nilai ekstrim Pernyataan yang benar : Ada f memiliki titik kritis namun tidak memiliki nilai ekstrim.
Kemonotonan dan Kecekungan Kemonotonan
Definisi
Misal 𝑓 terdefinisi pada interval 𝐼, dikatakan bahwa
(i) f naik pada I jika untuk setiap pasangan bilangan 𝑥1 dan 𝑥2, dan 𝑥1 < 𝑥2 anggota I berlaku 𝑓(𝑥1 ) < 𝑓(𝑥2 ) .
(ii) 𝑓 turun pada I jika untuk setiap pasang bilangan 𝑥1 dan 𝑥2, dan 𝑥1 < 𝑥2 anggota I
berlaku 𝑓(𝑥1 ) > 𝑓(𝑥2 ) .
(iii) 𝑓 monoton murni pada I, jika 𝑓 naik pada 𝐼 atau turun pada 𝐼.
Teorema : (Kemonotonan)
Misal 𝑓 kontinu pada interval 𝐼 dan terdiferensiasi pada setiap titik di 𝐼 maka a) Jika 𝑓 ′ (𝑥) > 0 untuk setiap titik di 𝐼 maka 𝑓 naik pada 𝐼
b) Jika 𝑓 ′ (𝑥) < 0 untuk setiap titik di 𝐼 maka 𝑓 turun pada 𝐼.
Kecekungan Definisi
Misal 𝑓 terdiferensiasi pada selang buka 𝐼, dikatakan bahwa 𝑓 cekung ke atas pada 𝐼 jika 𝑓′
menaik pada 𝐼 dan dikatakan bahwa 𝑓 cekung ke bawah pada 𝐼 jika 𝑓′ menurun pada 𝐼.
Teorema (Kecekungan)
Misal 𝑓 terdiferensiasikan dua kali pada selang buka 𝐼 maka
a) Jika 𝑓 ′′ (𝑥) > 0 untuk setiap titik di 𝐼 maka 𝑓 cekung ke atas pada 𝐼.
b) Jika 𝑓 ′ ′(𝑥) < 0 untuk setiap titik di 𝐼 maka 𝑓 cekung ke bawah pada 𝐼.
Pernyataan yang salah : Jika f naik pada I maka f’(x) > 0 untuk semua titik dalam dari I Pernyataan yang benar : Ada f naik pada I namun ada x0 anggota dari I dengan f’(x0) < 0.
Definisi
Misal f kontinu pada I
Titik (c,f(c)) dikatakan titik belok dari f jika f cekung ke atas di satu sisi dan cekung ke bawah di sisi lainnya.
Definisi
Misal 𝑆 adalah daerah asal 𝑓 dan 𝑐 ∈ 𝑆. Dapat dikatakan bahwa :
1) 𝑓(𝑐) nilai maksimum lokal 𝑓 pada 𝑆 jika terdapat selang buka I yang memuat 𝑐 sedemikian sehingga 𝑓(𝑐) ≥ 𝑓(𝑥),∀𝑥 ∈ 𝐼 ∩ 𝑆
2) 𝑓(𝑐) nilai minimum lokal 𝑓 pada 𝑆 jika terdapat selang buka I yang memuat 𝑐 sedemikian sehingga 𝑓(𝑐) ≤ 𝑓(𝑥),∀𝑥 ∈ 𝐼 ∩ 𝑆
3) 𝑓(𝑐) nilai ekstrim lokal 𝑓 pada 𝑆 jika 𝑓(𝑐) nilai maksimum lokal atau nilai minimum lokal
Teorema : (Uji pertama untuk ekstrim lokal)
Misal 𝑓 dapat didiferensialkan pada selang buka (a,b) yang memuat titik kritis c :
1) Jika 𝑓′(𝑥) > 0 untuk semua 𝑥 ∈ (𝑎, 𝑐) 𝑑𝑎𝑛 𝑓′(𝑥) < 0 untuk semua titik 𝑥 ∈ (𝑎, 𝑐) maka 𝑓(𝑐) adalah nilai maksimum lokal
2) Jika 𝑓′(𝑥) < 0 untuk semua 𝑥 ∈ (𝑎, 𝑐) 𝑑𝑎𝑛 𝑓′(𝑥) > 0 untuk semua titik 𝑥 ∈ (𝑎, 𝑐) maka 𝑓(𝑐) adalah nilai maksimum lokal.
3) Jika 𝑓′(𝑥) bertanda sama untuk kedua belah pihak, maka 𝑓(𝑐) bukan nilai ekstrim
Teorema : (Uji kedua untuk ekstrim lokal)
Misal f terdiferensialkan dua kali pada setiap titik dalam selang terbuka (a,b) yang memuat c dan misal f ‘(c) = 0
1. Jika f “(c) < 0 maka f(c) nilai maksimum lokal 2. Jika f “(c) > 0 maka f(c) nilai minimum lokal
Menggambar Grafik Fungsi
Diperlukan beberapa informasi yang akan membantu dalam menggambar grafik fungsi, antara lain :
1. Daerah asal 2. Asimtot tegak
3. Turunan pertama untuk melihat kemonotonan 4. Turunan kedua untuk melihat kecekungan 5. Garis singgung tegak
6. Asimtot datar
7. Titik potong dengan sumbu-x dan titik potong dengan sumbu-y
