Bahan Proyek Nilai Maks-Min_Venti Julianti.pdf - Spada UNS

(1)

Nama : Venti Julianti NIM : K1318078

BAHAN PROYEK NILAI MAKSIMUM-MINIMUM

Definisi

Misal Df daerah asal f yang memuat titik c, sehingga

1. f(c) adalah nilai maksimum pada Df jika f(x) ≤ f(c), untuk semua x di Df

2. f(c) adalah nilai minimum pada Df jika f(c) ≤ f(x), untuk semua x di Df

3. f(c) adalah nilai ekstrim pada Df jika f(c) adalah nilai maksimum atau nilai minimum.

Teorema : (Eksistensi Nilai Maks-Min)

Jika f kontinu pada suatu selang tutup maka f mencapai nilai maksimum dan minimum pada selang itu.

Note :

Selang tutup tidak menjamin akan selalu ada nilai maksimum dan nilai minimum di dalamnya.

Contoh :

Fungsi g tidak kontinu di x = 2

Teorema : (Titik Kritis)

Misal f didefinisikan pada selang I yang memuat titik c. Jika f(c) adalah nilai ekstrim maka c haruslah suatu titik kritis yaitu berupa salah satu dari 3 titik berikut:

1. Titik ujung dari I,

2. Titik stasioner dari f, yaitu titik dimana f’(c) = 0, 3. Titik singular dari f, yaitu titik dimana f’(c) tidak ada

Note : Nilai maksimum dan nilai minimum hanya mungkin dicari pada titik kritis.

Kontraposisi teorema (titik kritis) :

Jika f tidak memiliki titik kritis maka f tidak memiliki nilai ekstrim.

Pada selang [1,3]

Nilai maksimum g : tidak ada Nilai minimum g : 0

(2)

Pernyataan yang salah : Jika f memiliki titik kritis maka f memiliki nilai ekstrim Pernyataan yang benar : Ada f memiliki titik kritis namun tidak memiliki nilai ekstrim.

Kemonotonan dan Kecekungan Kemonotonan

Definisi

Misal 𝑓 terdefinisi pada interval 𝐼, dikatakan bahwa

(i) f naik pada I jika untuk setiap pasangan bilangan 𝑥1 dan 𝑥2, dan 𝑥1 < 𝑥2 anggota I berlaku 𝑓(𝑥1 ) < 𝑓(𝑥2 ) .

(ii) 𝑓 turun pada I jika untuk setiap pasang bilangan 𝑥1 dan 𝑥2, dan 𝑥1 < 𝑥2 anggota I

berlaku 𝑓(𝑥1 ) > 𝑓(𝑥2 ) .

(iii) 𝑓 monoton murni pada I, jika 𝑓 naik pada 𝐼 atau turun pada 𝐼.

Teorema : (Kemonotonan)

Misal 𝑓 kontinu pada interval 𝐼 dan terdiferensiasi pada setiap titik di 𝐼 maka a) Jika 𝑓 ′ (𝑥) > 0 untuk setiap titik di 𝐼 maka 𝑓 naik pada 𝐼

b) Jika 𝑓 ′ (𝑥) < 0 untuk setiap titik di 𝐼 maka 𝑓 turun pada 𝐼.

Kecekungan Definisi

Misal 𝑓 terdiferensiasi pada selang buka 𝐼, dikatakan bahwa 𝑓 cekung ke atas pada 𝐼 jika 𝑓′

menaik pada 𝐼 dan dikatakan bahwa 𝑓 cekung ke bawah pada 𝐼 jika 𝑓′ menurun pada 𝐼.

Teorema (Kecekungan)

Misal 𝑓 terdiferensiasikan dua kali pada selang buka 𝐼 maka

a) Jika 𝑓 ′′ (𝑥) > 0 untuk setiap titik di 𝐼 maka 𝑓 cekung ke atas pada 𝐼.

b) Jika 𝑓 ′ ′(𝑥) < 0 untuk setiap titik di 𝐼 maka 𝑓 cekung ke bawah pada 𝐼.

Pernyataan yang salah : Jika f naik pada I maka f’(x) > 0 untuk semua titik dalam dari I Pernyataan yang benar : Ada f naik pada I namun ada x0 anggota dari I dengan f’(x0) < 0.

(3)

Definisi

Misal f kontinu pada I

Titik (c,f(c)) dikatakan titik belok dari f jika f cekung ke atas di satu sisi dan cekung ke bawah di sisi lainnya.

Definisi

Misal 𝑆 adalah daerah asal 𝑓 dan 𝑐 ∈ 𝑆. Dapat dikatakan bahwa :

1) 𝑓(𝑐) nilai maksimum lokal 𝑓 pada 𝑆 jika terdapat selang buka I yang memuat 𝑐 sedemikian sehingga 𝑓(𝑐) ≥ 𝑓(𝑥),∀𝑥 ∈ 𝐼 ∩ 𝑆

2) 𝑓(𝑐) nilai minimum lokal 𝑓 pada 𝑆 jika terdapat selang buka I yang memuat 𝑐 sedemikian sehingga 𝑓(𝑐) ≤ 𝑓(𝑥),∀𝑥 ∈ 𝐼 ∩ 𝑆

3) 𝑓(𝑐) nilai ekstrim lokal 𝑓 pada 𝑆 jika 𝑓(𝑐) nilai maksimum lokal atau nilai minimum lokal

Teorema : (Uji pertama untuk ekstrim lokal)

Misal 𝑓 dapat didiferensialkan pada selang buka (a,b) yang memuat titik kritis c :

1) Jika 𝑓′(𝑥) > 0 untuk semua 𝑥 ∈ (𝑎, 𝑐) 𝑑𝑎𝑛 𝑓′(𝑥) < 0 untuk semua titik 𝑥 ∈ (𝑎, 𝑐) maka 𝑓(𝑐) adalah nilai maksimum lokal

2) Jika 𝑓′(𝑥) < 0 untuk semua 𝑥 ∈ (𝑎, 𝑐) 𝑑𝑎𝑛 𝑓′(𝑥) > 0 untuk semua titik 𝑥 ∈ (𝑎, 𝑐) maka 𝑓(𝑐) adalah nilai maksimum lokal.

3) Jika 𝑓′(𝑥) bertanda sama untuk kedua belah pihak, maka 𝑓(𝑐) bukan nilai ekstrim

Teorema : (Uji kedua untuk ekstrim lokal)

Misal f terdiferensialkan dua kali pada setiap titik dalam selang terbuka (a,b) yang memuat c dan misal f ‘(c) = 0

1. Jika f “(c) < 0 maka f(c) nilai maksimum lokal 2. Jika f “(c) > 0 maka f(c) nilai minimum lokal

Menggambar Grafik Fungsi

Diperlukan beberapa informasi yang akan membantu dalam menggambar grafik fungsi, antara lain :

1. Daerah asal 2. Asimtot tegak

3. Turunan pertama untuk melihat kemonotonan 4. Turunan kedua untuk melihat kecekungan 5. Garis singgung tegak

6. Asimtot datar

(4)

7. Titik potong dengan sumbu-x dan titik potong dengan sumbu-y