Bahan Proyek Nilai Maksimum dan Minimum
Nama : Ratna Ainun Nuraini NIM/ Kelas : K1321067/ A
Maksimum dan Minimum 1. Definisi
Misal S daerah asal dari f dan memuat titik c . Dikatakan bahwa,
(1) f (c) nilai maksimum dari f pada S jika f (c) f (x) untuk semua x pada S (2) f (c) nilai minimum dari f pada S jika f (c) f (x) untuk semua x pada S
(3) f (c) nilai ekstrim dari f pada S jika f (c) adalah nilai maksimum atau minimum (4) Fungsi yang akan dicari nilai maksimum dan minimumnya dikatakan fungsi objektif 2. Teorema
Teorema A (Teorema Keadaan Maks-Min)
Jika f kontinu pada interval tertutup [a,b], maka f mencapai nilai maksimum dan nilai minimum di sana.
Teorema B (Teorema Titik Kritis)
Misal f didefinisikan pada interval I yang memuat c. Jika f (c) adalah nilai ekstrim, maka c haruslah titik kritis, yakni
(1) Titik ujung dari I
(2) Titik stasioner dari f , yakni f '(c) = 0 (3) Titik singular dari f , yakni f '(c) tidak ada
Langkah- langkah mencari nilai maksimum dan minimum darisuatu fungsi kontinu : 1. Cari titik-titik kritis dari f pada selang tutup yang diberikan
2. Cari nilai f pada titik-titik kritis
3. Nilai yang paling besar pada langkah ke 2 menjadi nilai maksimum dan yang paling kecil menjadi nilai minimum
Kemonotonan dan Kecekungan 1. Definisi
Misal f didefinisikan pada interval I (buka, tutup atau bukan keduanya). Kita katakan bahwa :
(1) f naik pada I jika untuk setiap pasangan bilangan x1 dan x2 dalam I x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2)
(2) f turun pada I jika untuk setiap pasangan bilangan 1 x dan 2 x dalam I x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2)
(3) f monoton murni pada I jika f naik pada I atau turun pada I 2. Teorema
Teorema A (Teorema Kemonotonan)
Misalkan f kontinu pada interval I dan terdiferensiasi pada setiap titik dalam dari I, (1) Jika f '(x) 0 untuk semua titik dalam x dari I maka f naik pada I
(2) Jika f '(x) 0 untuk semua titik dalam x dari I maka f turun pada I
Teorema B (Teorema Kecekungan)
Misal f dapat didiferensialkan dua kali pada selang buka I
(1) Jika f "(x) 0 untuk semua titik dalam x dari I maka f cekung ke atas pada I (2) Jika f "(x) 0 untuk semua titik dalam x dari I maka f cekung ke bawah pada I 3. Titik Belok
Misalkan f kontinu di c. Kita sebut (c,f(c)) sebagai suatu titik belok (Inflection points) dari grafik f jika cekung ke atas pada satu sisi dan cekung ke bawah pada sisi lainnya dari c.
Uji Ekstrim Lokal 1. Definisi
Misal S, adalah daerah asal f dan c S . Kita katakan bahwa
(1) f (c) nilai maksimum lokal f pada S jika terdapat selang buka I yang memuat c sedemikian sehingga f (c) f (x) , x I S
(2) f (c) nilai minimum lokal f pada S jika terdapat selang buka I yang memuat c sedemikian sehingga f (c) f (x) , x I S
(3) f (c) nilai ekstrim lokal f pada S jika f (c) nilai maksimum lokal atau nilai minimum local
2. Teorema
Teorema A (Teorema Uji Turunan Pertama)
Misal f dapat didiferensialkan pada selang buka (a,b) yang memuat titik kritis c (1) Jika f '(x) 0 untuk semua x (a,c) dan f '(x) 0 untuk semua titik x (a,c) maka
f (c) adalah nilai maksimum lokal
(2) Jika f '(x) 0 untuk semua x (a,c) dan f '(x) 0 untuk semua titik x (a,c) maka f (c) adalah nilai minimum lokal
(3) Jika f '(x) bertanda sama untuk kedua belah pihak, maka f (c) bukan nilai ekstrim
Teorema B (Teorema Uji Turunan Kedua)
Misal f dan f' dapat didiferensialkan pada selang buka (a,b) yang memuat titik c dengan f '(c) = 0
(1) Jika f "(c) 0 maka f (c) adalah nilai minimum lokal (2) Jika f "(c) 0 maka f (c) adalah nilai maksimum lokal 3. Ekstrim Pada Interval Terbuka
Interval yang muncul dalam praktik, tidaklah selalu tertutup, kadang- kadang terbuka, atau bahkan terbuka pada satu ujung dan tertutup pada ujung lainnya. Kita tetap dapat menangani masalah ini jika kita secara benar menerapkan teori. Ingat bahwa, maksimum (minimum) tanpa keterangan tertentu berarti maksimum (minimum) global.
Menggambar Grafik Fungsi 1. Asimtot
Asimtot Tegak
Garis dikatakan asimtot tegak dari kurva jika paling sedikit satu dari pernyataan berikut benar :
(1) lim
x→c+f(x) = ∞ (2) lim
x→c−f(x) = ∞ (3) lim
x→c+f(x) = −∞
(4) lim
x→c−f(x) = −∞
Asimtot Datar
Garis dikatakan asimtot datar dari kurva jika syarat berikut dipenuhi : (1) lim
x→∞f(x) = b atau lim
x→−∞f(x) = b
(2) Setelah batas tertentu grafik fungsi tidak memotong lagi garis y = b
Asimtot Miring
Garis dikatakan asimtot miring dari kurva jika syarat berikut dipenuhi : 1. lim [
x→∞
f(x) + (mx + c)] = 0 atau lim [
x→−∞
f(x) + (mx + c)] = 0
2. Setelah batas tertentu grafik fungsi tidak memotong lagi garis y = mx + c
2. Penyelesaian Masalah Terapan Optimasi
Untuk membantu menggambar grafik fungsi kumpulkan informasi tentang : 1. Daerah asal
2. Titik kritis, kemonotonan, nilai maksimum dan minimum lokal 3. Kecekungan dan titik belok
4. Asimtot
5. Titik potong dengan sumbu –x dan titik potong pada sumbu –y
Langkah- langkah penyelesaian masalah terapan optimasi : 1. Baca/ pahami masalahnya
2. Buat gambar yang mengilustrasikan masalah 3. Perkenalkan variabel
4. Tulis suatu persamaan untuk suatu kuantitas yang tidak diketahui 5. Uji titik kritis pada daerah asal dari variabel
Contoh :
Sketsakan grafik f(x) = x
2−2x+4 x−2
Penyelesaian :
Fungsi ini bukan ganjil ataupun genap, sehingga kita tidak mempunyai simetri yang biasa. Tidak terdapat perpotongan dengan sumbu –x, karena penyelesaian dari x2 – 2x + 4 = 0 bukan bilangan real. Perpotongan sumbu –y adalah -2. Kita mengharapkan asimtot tegak pada x = 2.
Kenyataannya,
x→2lim−
x2− 2𝑥 + 4
x − 2 = −∞ dan lim
x→2+
x2− 2𝑥 + 4 x − 2 = ∞
Diferensiasi dua kali memberikan
𝑓′(𝑥) =x(x − 4)
(𝑥 − 2)2 𝑑𝑎𝑛 𝑓′′(𝑥) = 8 (𝑥 − 2)3
Karena itu titik stasioner adalah x = 0 dan x = 4.
Jadi, f(x) > 0 pada (-∞,0) ∪ (4, ∞) dan f’(x) < 0 pada (0,2) ∪ (2,4). (Ingat, f(x) tidak ada ketika x = 2). Selain itu, f’’(x) > 0 pada (2, ∞) dan f’’(x) < 0 pada (-∞,2). Karena f’’(x) tidak pernah 0, tidak terdapat titik belok. Sebaliknya, f(0) = -2 dan f(4) = 6 masing- masing memberikan nilai maksimum dan minimum lokal.
Merupakan gagasan yang baik untuk memeriksa perilaku f(x) untuk |x| besar. Karena, 𝑓(𝑥) =x2− 2𝑥 + 4
x − 2 = 𝑥 + 4 x − 2
Grafik y = f(x) makin lama semakin dekat ke garis y = x ketika |x| menjadi semakin besar. Kita sebut garis ini asimtot miring untuk grafik f.
Dengan semua info ini, kita mampu membuat sketsa grafik yang agak cermat.