Bahan Proyek Nilai Maksimum dan Minimum

(1)

Nama: Asma’ Hanifah NIM: K1321019

1. Materi 1.1 Definisi

Fungsi 𝑓 dikatakan memiliki maksimum relatif pada 𝑥₀ jika 𝑓 (𝑥₀) ≥ 𝑓 (𝑥) untuk semua 𝑥 dalam beberapa interval terbuka yang berisi 𝑥₀ dan 𝑓(𝑥) terdefinisi. Dengan kata lain, nilai 𝑓 pada 𝑥₀ lebih besar dari atau sama dengan semua nilai 𝑓 pada titik terdekat.

Demikian pula, 𝑓 dikatakan memiliki minimum relatif pada 𝑥₀ jika 𝑓(𝑥₀) ≤ 𝑓(𝑥) untuk semua 𝑥 dalam beberapa interval terbuka yang mengandung 𝑥0 dan 𝑓(𝑥) terdefinisi.

Dengan kata lain, nilai f pada 𝑥₀ kurang dari atau sama dengan semua nilai f pada titik terdekat. Dengan extremum relatif 𝑓 yang dimaksud baik relatif maksimum atau relatif minimum 𝑓.

Misal 𝑆, domain 𝑓, berisi titik 𝑐. Dikatakan bahwa

i. 𝑓(𝑐) adalah nilai maksimum f pada S jika 𝑓(𝑐) ≥ 𝑓(𝑥) untuk semua 𝑥 dalam 𝑆;

ii. 𝑓(𝑐) adalah nilai minimum f pada S jika 𝑓(𝑐) ≤ 𝑓(𝑥) untuk semua 𝑥 dalam 𝑆;

iii. 𝑓(𝑐) adalah nilai ekstrim f pada S jika itu adalah nilai maksimum atau nilai minimum;

iv. Fungsi yang ingin dimaksimalkan atau minimalkan adalah fungsi objektif.

Teorema: Jika 𝑓 memiliki extremum relatif pada titik 𝑥₀ di mana 𝑓 ′(𝑥₀) terdefinisi, maka 𝑓 ′(𝑥₀) = 0.

Jadi, jika f dapat dibedakan pada titik di mana ia memiliki ekstrem relatif, maka grafik 𝑓 memiliki garis singgung horizontal pada saat itu. Dalam Gambar 1, ada garis singgung horizontal pada titik A dan B di mana 𝑓 mencapai nilai maksimum relatif dan nilai minimum relatif masing-masing.

(2)

(Gambar 1)

1.2 Eksistensi Nilai Maksimum dan Minimum

Teorema: Jika 𝑓 kontinu pada interval tertutup [𝑎, 𝑏], maka 𝑓 mencapai nilai maksimum dan nilai minimum di sana.

1.3 Titik Kritis

Teorema: 𝑓 didefinisikan pada interval 𝐼 yang berisi titik 𝑐. Jika 𝑓(𝑐) nilai ekstrim, maka 𝑐 harus menjadi titik kritis. Artinya, salah satu 𝑐 adalah

i. Titik akhir dari 𝐼

ii. Titik stasioner 𝑓 yaitu, titik di mana𝑓′(𝑐) = 0 atau

iii. Titik tunggal dari 𝑓 itu adalah, titik di mana𝑓′(𝑐) tidak ada.

1.4 Kemonotonan a. Definisi

𝑓 didefinisikan pada interval 𝐼 (terbuka, tertutup, atau tidak). Dikatakan bahwa

i. 𝑓 naik pada 𝐼 jika, untuk setiap pasangan angka 𝑥₁ dan 𝑥₂ dalam 𝐼, 𝑥₁ < 𝑥₂⇒ 𝑓(𝑥₁) < 𝑓(𝑥₂)

ii. 𝑓 turun pada 𝐼 jika, untuk setiap pasang angka 𝑥₁ dan 𝑥₂ dalam 𝐼, 𝑥₁ < 𝑥₂⇒ 𝑓(𝑥₁) > 𝑓(𝑥₂)

iii. 𝑓 monoton murni pada 𝐼 jika 𝑓 naik pada 𝐼 atau 𝑓 turun pada 𝐼.

b. Teorema:

Misalkan 𝑓 kontinu pada interval 𝐼 dan terdiferensial di setiap titik di dalam 𝐼.

i. Jika 𝑓′(𝑥) > 0 untuk semua 𝑥 di dalam 𝐼, maka 𝑓 naik pada 𝐼.

(3)

ii. Jika 𝑓′(𝑥) < 0 untuk semua 𝑥 di dalam 𝐼, maka 𝑓 turun pada 𝐼.

1.5 Kecekungan a. Definisi:

Misal 𝑓 terdiferensial pada interval terbuka 𝐼. Dikatakan bahwa 𝑓 (serta grafiknya) cekung atas pada 𝐼 jika 𝑓′ naik pada 𝐼, dan dikatakan bahwa 𝑓 cekung bawah pada 𝐼 jika 𝑓^′ turun pada 𝐼.

b. Teorema:

Misal 𝑓 terdiferensiasi dua kali pada interval terbuka 𝐼.

i. Jika 𝑓^′′(𝑥) > 0 untuk semua 𝑥 dalam 𝐼, maka 𝑓 cekung ke atas pada 𝐼.

ii. Jika𝑓^′′(𝑥) < 0 untuk semua 𝑥 dalam 𝐼 maka 𝑓 cekung ke bawah pada 𝐼.

1.6 Titik Balik a. Definisi

Misal 𝑓 kontinu di 𝑐. Dikatakan (𝑐, 𝑓(𝑐)) titik infleksi (titik balik) dari grafik 𝑓 jika 𝑓 cekung atas di satu sisi 𝑐 dan cekung bawah di sisi lain. Grafik pada Gambar 2 menunjukkan sejumlah kemungkinan titik balik.

(Gambar 2)

Titik balik pada kurva 𝑦 = 𝑓(𝑥) adalah titik di mana kecekungan berubah, yaitu, kurva cekung ke atas di satu sisi dan cekung ke bawah di sisi lain titik. Jadi, jika 𝑦" ada dalam interval terbuka yang berisi 𝑥₀, maka 𝑦" < 0 di satu sisi 𝑥₀ dan 𝑦 " > 0 di sisi lain 𝑥₀. Oleh karena itu, jika 𝑦" kontinu pada 𝑥₀, maka 𝑦" = 0 pada 𝑥₀.

b. Teorema

(4)

Teorema: Jika grafik 𝑓 memiliki titik balik pada 𝑥₀ dan 𝑓" ada dalam interval terbuka yang berisi 𝑥₀ dan 𝑓" kontinu pada 𝑥₀, maka 𝑓"(𝑥₀) = 0.

1.7 Nilai Maksimum dan Minimum Lokal a. Definisi

Misal 𝑆, domain 𝑓, berisi titik 𝑐. Kami mengatakan bahwa

i. 𝑓(𝑐) adalah nilai maksimum lokal 𝑓 jika ada interval (𝑎, 𝑏) yang mengandung 𝑐 sehingga 𝑓(𝑐) nilai maksimum 𝑓 pada (𝑎, 𝑏) ∩ 𝑆;

ii. 𝑓(𝑐) adalah nilai minimum lokal 𝑓 jika ada interval (𝑎, 𝑏) yang mengandung 𝑐 sehingga 𝑓(𝑐) nilai minimum 𝑓 pada (𝑎, 𝑏) ∩ 𝑆;

iii. 𝑓(𝑐) adalah nilai ekstrim lokal 𝑓 jika 𝑓(𝑐) adalah maksimum lokal atau nilai minimum lokal.

b. Teorema Uji Turunan Pertama untuk Ekstrim Lokal

Misal 𝑓 kontinu pada interval terbuka (𝑎, 𝑏) yang berisi titik kritis 𝑐.

(i) Jika 𝑓′(𝑥) > 0 untuk semua 𝑥 pada (𝑎, 𝑐) dan 𝑓′(𝑥) < 0 untuk semua 𝑥 pada (𝑐, 𝑏), maka 𝑓(𝑐) adalah nilai maksimum lokal 𝑓.

(ii) Jika 𝑓′(𝑥) < 0 untuk semua 𝑥 pada (𝑎, 𝑐) dan 𝑓′(𝑥) > 0 untuk semua 𝑥 pada (𝑐, 𝑏), maka 𝑓(𝑐) adalah nilai minimum lokal 𝑓.

(iii) Jika 𝑓^′(𝑥) memiliki tanda yang sama di kedua sisi 𝑐, maka𝑓′(𝑥) bukan nilai ekstrim lokal 𝑓.

c. Teorema Uji Turunan Kedua untuk Ekstrim Lokal

Misalkan 𝑓 terdiferensialkan dua kali pada setiap titik di (𝑎, 𝑏) yang memuat 𝑐, dan 𝑓^′(𝑐) = 0

i. Jika 𝑓^′′(𝑐) < 0 maka 𝑓(𝑐) adalah nilai maksimum lokal dari 𝑓.

ii. Jika 𝑓^′′(𝑐) > 0 maka 𝑓(𝑐) adalah nilai minimum local dari 𝑓.

(5)

2. Contoh Soal

Seorang petani memiliki pagar kawat sepanjang 100 meter yang dengannya ia berencana untuk membangun dua pagar yang berdekatan identik, seperti yang ditunjukkan pada Gambar 3.

Berapa panjang dan lebar kawat agar diperoleh luas kandang maksimal?

(Gambar 3) Solusi:

Misalkan 𝑥 menjadi lebar dan 𝑦 panjang kandang total, keduanya dalam meter. Karena ada pagar sepanjang 100 meter, 3𝑥 + 2𝑦 = 100, diperoleh:

𝑦 = 50 −3 2𝑥 Total luas area 𝐴 diperoleh dengan

𝐴 = 𝑥𝑦 = 50𝑥 −3 2𝑥²

Karena harus ada tiga sisi panjang 𝑥, perhatikan bahwa x 0 ≤ 𝑥 ≤¹⁰⁰

3 . Dengan demikian, masalahnya adalah memaksimalkan 𝐴 pada [0,¹⁰⁰

3 ]. Kemudian, 𝑑𝐴

𝑑𝑥 = 50 − 3𝑥 Ketika 50 − 3𝑥 = 0, diperoleh 𝑥 =⁵⁰

3 sebagai titik stasioner. Terdapat tiga titik kritis yakni 0,⁵⁰

3, dan ¹⁰⁰

3 . Dua titik pojok 0 dan ¹⁰⁰

3 membuat 𝐴 = 0, sedangkan 𝑥 = ⁵⁰

3 membuat 𝐴 ≈ 416.67 sehingga 𝐴 maksimal pada 𝑥 =⁵⁰

3. Diperoleh 𝑦 = 50 −³

2(⁵⁰

3) = 25 meter.