BAHAN PROYEK NILAI MINIMUM DAN MAKSIMUM Muhammad Mafaza Rabbani
K1321055
Maksimum berarti n (nilai suatu besaran) yang paling besar. Sedangkan, minimum berarti n (nilai suatu besaran) yang paling kecil.Sehingga nilai maksimum suatu fungsi adalah nilai terbesar yang dapat dicapai suatu fungsi, begitu pula untuk nilai minimum fungsi. Akan tetapi secara lebih formal dan khusus, nilai maksimum dan minimum suatu fungsi didefinisikan dengan definisi berikut :
Definisi :
Misalkan S, daerah asal f, yang di dalamnya terdapat titik c. Akan dikatakan bahwa 1. 𝑓(𝑐) adalah nilai maksimum f pada S jika𝑓(𝑐) ≥ 𝑓(𝑥) untuk setiap x pada S.
2. 𝑓(𝑐) adalah nilai minimum f pada S jika𝑓(𝑐) ≤ 𝑓(𝑥) untuk setiap x pada S.
3. 𝑓(𝑐) adalah nilai ekstrim f pada S jika𝑓(𝑐) merupakan nilai maksimum atau minimum f pada S.
4. f merupakan fungsi objektif.
Teorema Eksistensi Nilai Ekstrim
Jika f kontinu pada interval tertutup [𝑎, 𝑏], maka f pasti mencapai nilai maksimum dan minimum di [𝑎, 𝑏].
Teorema Titik Kritis
Jika f terdefinisi pada interval I yang memuat titik c dan 𝑓(𝑐)adalah nilai ekstrim maka c merupakan titik kritis; dengan kata lain c merupakan salah satu dari :
1. Titik ujung dari interval I,
2. Titik stasioner dari f, yaitu titik di mana 𝑓′(𝑐) = 0, atau 3. Titik singular dari f, yaitu titik di mana 𝑓′(𝑐) tidak ada.
Langkah-Langkah Menentukan Nilai Ekstrim Suatu Fungsi pada I
Mencari titik kritis f pada I, berarti mencari nilai x yang merupakan ujung-ujung I, nilai x yang menyebabkan 𝑓′(𝑥) = 0 (stasioner), atau nilai x yang menyebabkan 𝑓′(𝑥) tidak ada. Secara tidak langsung pada langkah ini diminta untuk mencari turunan pertama f.
Mencari nilai f untuk setiap titik kritis yang didapatkan.
Memeriksa nilai f. Jika nilai f dari suatu titik kritis merupakan nilai yang terbesar maka nilai f pada titik tersebut merupakan nilai maksimum. Sedangkan, jika nilai f dari suatu titik kritis merupakan nilai yang terkecil maka nilai f pada titik tersebut merupakan nilai minimum.
Ekstrim Lokal Definisi :
Misalkan S, daerah asal f, yang terdapat titik c. Akan dikatakan bahwa :
1. 𝑓(𝑐) nilai maksimum lokal f, jika terdapat interval (𝑎, 𝑏) yang memuat c sehingga 𝑓(𝑐) ≥ 𝑓(𝑥) untuk setiap x pada (𝑎, 𝑏) ∩ 𝑆.
2. 𝑓(𝑐) nilai minimum lokal f, jika terdapat interval (𝑎, 𝑏) yang memuat c sehingga 𝑓(𝑐) ≤ 𝑓(𝑥) untuk setiap x pada (𝑎, 𝑏) ∩ 𝑆.
3. 𝑓(𝑐) nilai ekstrim lokal f, jika 𝑓(𝑐) adalah nilai maksimum lokal atau minimum lokal.
Uji Turunan Pertama
Misalkan f kontinu pada interval (𝑎, 𝑏) yang memuat titik c.
1. Jika 𝑓′(𝑥) > 0 untuk setiap x pada (𝑎, 𝑐) dan 𝑓′(𝑥) < 0 untuk setiap x pada (𝑐, 𝑏), maka 𝑓(𝑐) adalah nilai maksimum lokal f pada (𝑎, 𝑏).
2. Jika 𝑓′(𝑥) < 0 untuk setiap x pada (𝑎, 𝑐) dan 𝑓′(𝑥) > 0 untuk setiap x pada (𝑐, 𝑏), maka 𝑓(𝑐) adalah nilai minimum lokal f pada (𝑎, 𝑏).
3. Jika 𝑓′(𝑥) > 0 untuk setiap x pada (𝑎, 𝑐) dan 𝑓′(𝑥) > 0 untuk setiap x pada (𝑐, 𝑏) atau Jika 𝑓′(𝑥) < 0 untuk setiap x pada (𝑎, 𝑐) dan 𝑓′(𝑥) < 0 untuk setiap x pada (𝑐, 𝑏), maka 𝑓(𝑐)bukan nilai ektrim lokal f pada (𝑎, 𝑏).
Contoh soal dan pembahasan:
Suatu toko kue bernama Wonder menghasilkan x produk dengan biaya produksi sebesar
(10.000 + 400𝑥 + 𝑥 ) rupiah. Jika semua hasil produk kue tersebut habis dijual dengan harga Rp2.000,00 untuk satu produknya, maka tentukan laba maksimum yang dapat diperoleh Wonder tersebut.
Jawab :
Biaya produksi x produk : (10.000 + 400𝑥 + 𝑥 ) Biaya penjualan x produk : 2.000x
Laba = Biaya penjualan – Biaya produksi L(x) = 2.000x − (10.000 + 400𝑥 + 𝑥 ) L(x) = 2.000x − 10.000 − 400𝑥 − 𝑥 L(x) = − 10.000 + 1600𝑥 − 𝑥
Laba akan maksimum, jika :
L'(x) = 0
1600 − 𝑥 = 0
1600 = 𝑥
2400 = x
Jadi, laba akan maksimum jika Wonder menghasilkan 2400 kue, dengan laba maksimumnya adalah :
L(2400) = − 10.000 + 1600 (2400) − (2400) L(2400) = −10.000 + 3.480.000 – 1.920.000 L(2400) = Rp 1.550.000,00