Bahan Proyek Turunan

(1)

Nama: Asma’ Hanifah NIM: K1321019

A. Materi

1. Definisi

1.1 Garis Singgung

Garis singgungterhadap kurva 𝑦 = 𝑓(𝑥) pada titik 𝑃(𝑎, 𝑓(𝑎)) adalah garis yang melalui 𝑃 dengan gardien 𝑚_𝑡𝑎𝑛 = lim

ℎ→0

𝑓(𝑎+ℎ)−𝑓(𝑎)

ℎ asalkan limit tersebut ada, bukan ∞ atau −∞

1.2 Kecepatan Sesaat

Jika suatu objek bergerak pada sumbu-s sehingga posisinya setelah waktu tempuh 𝑡 adalah 𝑓(𝑡), kecepatannya pada saat 𝑡 = 𝑎 adalah

𝑣(𝑎) = lim

ℎ→0

𝑓(𝑎 + ℎ) − 𝑓(𝑎) ℎ

1.3 Turunan

Fungsi 𝑓′ yang nilainya pada 𝑥 ditentukan oleh 𝑓′(𝑥) = lim

ℎ→0

𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥) ℎ

dinamakan turunan dari 𝑓 terhadap 𝑥.

Daerah asal 𝑓′ adalah himpunan semua 𝑥 pada daerah asal 𝑓 dimana llimit tersebut ada, bukan ∞ atau −∞

Dikatakan 𝑓 terdiferensiasi di 𝑥 = 𝑎 jika lim

ℎ→0

𝑓(𝑎+ℎ)−𝑓(𝑎) ℎ ada.

2. Aturan dalam Pencarian Turunan 2.1 Fungsi Konstanta

Teorema: Jika 𝑓(𝑥) = 𝑘 dengan 𝑘 suatu konstanta maka untuk sebarang 𝑥, 𝑓′(𝑥) = 0 atau 𝐷_𝑥(𝑘) = 0

2.2 Fungsi Satuan

Teorema: Jika 𝑓(𝑥) = 𝑥 maka 𝑓^′(𝑥) = 1 atau 𝐷_𝑥𝑥 = 1 2.3 Pangkat

Teorema: Jika 𝑓(𝑥) = 𝑥^𝑛 dengan 𝑛 bilangan bulat positif maka 𝑓^′(𝑥) = 𝑛𝑥^𝑛−1 atau 𝐷_𝑥𝑥^𝑛 = 𝑛𝑥^𝑛−1

2.4 Kelipatan Konstanta

Teorema: Jika 𝑓terdiferensial dan 𝑘 konstanta maka (𝑘𝑓)^′(𝑥) = 𝑘𝑓′𝑥 atau 𝐷_𝑥(𝑘𝑓(𝑥) = 𝑘𝐷_𝑥𝑓(𝑥)

2.5 Penjumlahan

Teorema: Jika 𝑓 dan 𝑔 adalah fungsi-fungsi yang terdiferensiasikan, maka (𝑓 + 𝑔)^′𝑥 = 𝑓^′(𝑥) + 𝑔′(𝑥)

2.6 Selisih

Teorema: Jika 𝑓 dan 𝑔 adalah fungsi-fungsi yang terdiferensiasikan, maka (𝑓 − 𝑔)^′𝑥 = 𝑓^′(𝑥) − 𝑔′(𝑥)

(2)

2.7 Pembagian

Teorema: Jika 𝑓 dan 𝑔 adalah fungsi-fungsi yang terdiferensiasikan, maka (^𝑓

𝑔)^′(𝑥) =^{𝑔(𝑥)𝑓}^′^{(𝑥)−𝑓(𝑥)𝑔}_𝑔₂_(𝑥) ^′^(𝑥) 2.8 Aturan Rantai

Teorema: Misal 𝑦 = 𝑓(𝑢) dan 𝑢 = 𝑔(𝑥) menentukan fungsi komposit 𝑦 = 𝑓(𝑔(𝑥)) = 𝑓 ∘ 𝑔(𝑥)

Jika 𝑔 terdiferensiasi di 𝑥 dan 𝑓 terdiferensiasi di 𝑢 = 𝑔(𝑥) maka 𝑦 = 𝑓(𝑔(𝑥)) = 𝑓 ∘ 𝑔(𝑥) terdiferensiasi di 𝑥 dan

(𝑓 ∘ 𝑔)^′(𝑥) = 𝑓^′(𝑔(𝑥))𝑔′(𝑥) 3. Turunan Tingkat Tinggi

Jika operasi pendiferensiasian dikenakan pada 𝑓 diperoleh 𝑓’, disebut turunan pertama.

Jika operasi pendiferensiasian dikenakan pada 𝑓’ diperoleh 𝑓’’, disebut turunan kedua

Jika operasi pendiferensiasian dikenakan pada 𝑓’’ diperoleh 𝑓’’’ disebut turunan ketiga

Tabel Turunan Tingkat Tinggi

4. Turunan Implisit

Persamaan 𝑓(𝑥, 𝑦) = 0 mendefinisikan 𝑦 secara implisit sebagai fungsi dari 𝑥.

Domain dari fungsi yang didefinisikan secara implisit terdiri dari 𝑥 maka terdapat 𝑦 unik sehingga 𝑓(𝑥, 𝑦) = 0.

Jika 𝑦 adalah fungsi implisit didefinisikan oleh persamaan 𝑓(𝑥, 𝑦) = 0, turunan 𝑦^′ dapat ditemukan dalam dua cara yang berbeda:

i. Selesaikan persamaan untuk 𝑦 dan hitung 𝑦′ secara langsung. Kecuali untuk persamaan yang sangat sederhana, metode ini biasanya tidak mungkin atau tidak praktis.

ii. Misalkan 𝑦 sebagai fungsi dari 𝑥, diferensiasikan kedua sisi persamaan asli 𝑓(𝑥, 𝑦) = 0 dan selesaikan hasil persamaan untuk 𝑦′. Proses diferensiasi ini dikenal sebagai diferensiasi implisit.

(3)

B. Contoh Masalah

Misalkan air dituangkan ke dalam wadah kerucut, seperti yang ditunjukkan pada Gambar 1, pada tingkat konstan 0,5 inci kubik per detik. Tentukan ketinggian ℎ air sebagai fungsi waktu 𝑡 dan plot ℎ(𝑡) dari waktu 𝑡 = 0 ke waktu sampai saat wadah penuh.

Gambar 1 Solusi:

Rumus volume kerucut adalah 𝑉 = ¹

3𝜋𝑟²ℎ dimana 𝑉, 𝑟, ℎ adalah fungsi waktu. Fungsi ℎ dan 𝑟 saling terkait (perhatikan segitiga sebangun pada Gambar 13). Dengan menggunakan sifat segitiga sebangun, diperoleh:

𝑟 ℎ=1

4

Sehingga 𝑟 = ℎ/4. Diperoleh volume air di dalam kerucut:

𝑉 =1

3𝜋𝑟²ℎ =𝜋 3(ℎ

4)

2

ℎ = 𝜋 48ℎ³

Di sisi lain, karena air mengalir ke dalam wadah pada tingkat 0,5 inci kubik per detik, volume pada waktu 𝑡 adalah 𝑉 =¹

2𝑡 di mana 𝑡 diukur dalam hitungan detik. Persamaan dua ekspresi 𝑉 diperoleh:

1 2𝑡 = 𝜋

48ℎ³ Ketika ℎ = 4, diperoleh 𝑡 =^2𝜋

484³ =⁸

3𝜋 ≈ 8.4

Jadi, dibutuhkan waktu 8.4 detik untuk mengisi penuh kerucut dengan air. Kemudian selesaikan untuk ℎ dalam persamaan di atas yang berkaitan dengan ℎ dan 𝑡 sehingga diperoleh:

ℎ(𝑡) = √24 𝜋 𝑡

3

Turunan pertama dan kedua ℎ adalah

ℎ^′(𝑡) = 2

√9𝜋𝑡²

3

ℎ^′(𝑡) bernilai positif, dan

(4)

ℎ′′(𝑡) = − 4 3 √9𝜋𝑡³ ⁵

ℎ^′′(𝑡) bernilai negative. Maka grafik ℎ(𝑡) naik dan cekung ke bawah.