Bahan Proyek Turunan
Nama : Ratna Ainun Nuraini NIM/ Kelas : K1321067/ A
1. Definisi Turunan
Turunan fungsi f adalah fungsi lain f’ yang nilainya pada sebarang bilangan riil 𝑥 didefinisikan dengan :
f′(x) = lim
h→0
f(x + h) − f(x) h
Daerah asal f’ adalah himpunan semua x pada daerah asal f di mana 𝑙𝑖𝑚
ℎ→0
𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥) ℎ ada.
Dikatakan f terdiferensiasi di x = a jika lim
h→0
f(a+h)−f(a) h ada.
2. Teorema Kontinu
Jika f’(c) ada, maka f kontinu di c.
Catatan :
Tidak benar mengatakan bahwa jika suatu fungsi kontinu di suatu titik, maka fungsi tersebut dapat di turunkan di titik tersebut.
3. Aturan Pencarian Turunan
Teorema Fungsi Konstanta
Jika f(x) = k dengan k suatu konstanta maka untuk sebarang x, f’(x) = 0; yakni, Dx (k) = 0
Teorema Aturan Fungsi Satuan
Jika f(x) = x, maka f(x) = 1; yakni Dx (x) = 1
Teorema Aturan Pangkat
Jika f(x) = xn, dengan n bilangan bulat positif, maka f’(x) = nxn-1 yakni, Dx (xn) = nxn-1
Teorema Aturan Kelipatan Konstanta
Jika k suatu konstanta dan f suatu fungsi yang terdiferensiasi, maka (kf)’(x) = k.f(x) yakni, Dx[k.f(x)] = k.Dxf(x)
Teorema Aturan Jumlah
Jika f dan g adalah fungsi- fungsi yang terdiferensiasi, maka (f + g)’(x) = f(x) + g(x) yakni, Dx[f(x) + g(x)] = Dx f(x) + Dx g(x)
Teorema Aturan Selisih
Jika f dan g adalah fungsi- fungsi yang terdiferensiasi, maka (f - g)’(x) = f(x) - g(x) yakni, Dx[f(x) - g(x)] = Dx f(x) - Dx g(x)
Teorema Hasil Kali
Jika f dan g adalah fungsi- fungsi yang terdiferensiasi, maka (fg)’(x) = f(x)g’(x) + g(x)f’(x) yakni, Dx[f(x)g(x)] = f(x)Dx g(x) + g(x)Dx f(x)
Teorema Hasil Bagi
Jika f dan g adalah fungsi- fungsi yang terdiferensiasi dengan g(x) ≠ 0, maka (𝑓
9)′(𝑥) =
𝑔(𝑥)𝑓′(𝑥)−𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥) 𝑔2(𝑥) Yakni, Dx(f(x)
g(x)) = g(x)Dxf(x)−f(x)Dx𝑔(𝑥)
g2(x)
4. Turunan Fungsi Trigonometri
Teorema A
Fungsi f(x) = sin x dan g(x) = cos x keduanya terdiferensiasikan, dan Dx (sin x) = cos x, Dx (cos x) = -sin x
Teorema B
Untuk semua titik x di dalam daerah asal fungsi, Dx tan x = sec2 x
Dx sec x = sec x tan x Dx cot x = -csc2 x Dx csc x = -csc x cot x
5. Teorema Aturan Rantai
Misalkan y = f(u) dan u = g(x) menentukan fungsi komposit y = f(g(x)) = fog (x). Jika g terdiferensiasi di x dan f terdiferensiasi di u = g(x) maka y = f(g(x)) = fog (x) terdiferensiasi di x dan (fog)’(x) = f’(g(x))g’(x)
Dxy = Duy Dxu atau 𝑑𝑦
𝑑𝑥=𝑑𝑦
𝑑𝑢 𝑑𝑢 𝑑𝑥
6. Turunan Tingkat Tinggi
Turunan-ke Notasi f ' Notasi y' Notasi Dx Notasi Leibniz
1 f '(x) y' Dxy 𝑑𝑦
𝑑𝑥
2 f ''(x) y'' Dx2y 𝑑2𝑦
𝑑𝑥2
3 f '''(x) y''' Dx3y 𝑑3𝑦
𝑑𝑥3
4 f (4) (x) y(4) Dx4y 𝑑4𝑦
𝑑𝑥4 .
. .
n f n (x) y(n) Dxny 𝑑𝑛𝑦
𝑑𝑥𝑛
7. Turunan Secara Implisit
Secara eksplisit menyatakan y dalam peubah x dan kemudian menghitung 𝑑𝑦
𝑑𝑥 dapat dilakukan dengan mendiferensiasikan kedua ruas terhadap x. Mencari
𝑑𝑦
𝑑𝑥 dengan tanpa menyatakan y secara eksplisit dalam x terlebih dahulu disebut pencarian turunan secara implisit.
8. Laju yang Berkaitan
Jika variabel y bergantung pada waktu t, maka 𝑑𝑦
𝑑𝑡 disebut laju perubahan sesaat. Jika y mengukur jarak, maka laju sesaat ini disebut kecepatan. Jika y diberikan secara eksplisit sebagai fungsi t, maka masalah mencari 𝑑𝑦
𝑑𝑡 dapat dilakukan dengan mendiferensiasikan dan kemudian menghitung turunan pada saat yang diminta.
Bisa jadi, sebagai ganti diketahuinya y secara eksplisit dalam t, kita mengetahui sesuatu tentang
𝑑𝑥
𝑑𝑡. Kita masih tetap mampu mencari 𝑑𝑦
𝑑𝑡, karena 𝑑𝑦
𝑑𝑡 dan 𝑑𝑥
𝑑𝑡 adalah laju- laju yang berkaitan.
Contoh :
Sebuah pesawat udara terbang ke utara dengan laju 640 mil/jam melintasi sebuah kota pada tengah hari. Pesawat kedua terbang ke timur dengan laju 600mil/jam langsung di atas kota yang sama 15 menit kemudian. Jika pesawat- pesawat itu terbang pada ketinggian yang sama, seberapa cepat mereka berpisah pada pukul 13.15?
Penyelesaian :
Langkah 1 : Misalkan t menyatakan lamanya jam setelah pukul 12.15, y jarak dalam mil yang ditempuh pesawat ke arah utara setelah pukul 12.15, x jarak yang ditempuh oleh pesawat ke arah timur setelah pukul 12.15, dan s jarak antara pesawat- pesawat tersebut. Dalam waktu 15 menit dari tengah hari ke pukul 12.15, pesawat ke arah utara akan terbang 640
4 = 160 mil, sehingga jarak dari kota ke pesawat kearah utara pada saat t akan sebesar y + 160.
Langkah 2 : Untuk semua t > 0, diketahui bahwa 𝑑𝑦
𝑑𝑡 = 640 dan 𝑑𝑥
𝑑𝑡 = 600. Kita ingin mengetahui
𝑑𝑠
𝑑𝑡 pada saat t = 1, yakni pukul 13.15.
Langkah 3 : Menurut Teorema Pythagoras s2 = x2 + (y + 160)2
Langkah 4 : Dengan mendiferensiasikan secara implisit terhadap t dan menggunakan Aturan Rantai, kita mempunyai
2𝑥𝑑𝑠
𝑑𝑡= 2𝑥𝑑𝑥
𝑑𝑡+ 2(𝑦 + 160)𝑑𝑦 𝑑𝑡 𝑥𝑑𝑠
𝑑𝑡= 𝑥𝑑𝑥
𝑑𝑡+ (𝑦 + 160)𝑑𝑦 𝑑𝑡
Langkah 5 : Untuk semua t > 0, 𝑑𝑥
𝑑𝑡 = 600 dan 𝑑𝑦
𝑑𝑡 = 640, sedangkan pada saat khusus t = 1, x = 600, y = 640, dan 𝑠 = √(600)2+ (640 + 160)2 = 1000. Ketika kita mensubstitusi data- data ini ke dalam persamaan dari Langkah 4, kita peroleh
1000𝑑𝑠
𝑑𝑡 = 36(600)(600) + (640 + 160)(640) Sehingga,
𝑑𝑠
𝑑𝑡 = 872
Pada pukul 13.15, pesawat- pesawat itu berpisah pada kecepatan 872 mil/jam.