Bahan Proyek Turunan - Spada UNS

NAMA = DILLA AULIA RAMADHANTI NIM = K1321031

Bahan Proyek Turunan

1. Definisi Turunan

Fungsi 𝑦 = 𝑓(𝑥) dikatakan memiliki turunan di 𝑎 jika limit berikut ada:

ℎ→0lim

𝑓(𝑎 + ℎ) − 𝑓(𝑎) Turunan fungsi 𝑓 di 𝑎 dinotasikan dengan 𝑓′(𝑎). ℎ

Jika suatu fungsi memiliki turunan di 𝑎, maka fungsi 𝑓 terdiferensial di 𝑎.

Pencarian turunan disebut diferensiasi.

Bentuk Ekuivalen

Jika 𝑥 = 𝑎 + ℎ sehingga ketika ℎ → 0 berakibat 𝑥 → 𝑎, maka turunan fungsi 𝑦 = 𝑓(𝑥) di titik 𝑎 dinyatakan sebagai berikut: 𝑓^′(𝑎) = lim

𝑥→𝑎

𝑓(𝑥)−𝑓(𝑎)

𝑥−𝑎 asalkan limit ada.

2. Aturan Selisih

TEOREMA F (ATURAN SELISIH)

Jika f dan g adalah fungsi – fungsi yang terdiferensiasikan Maka (𝑓 − 𝑔)^′(𝑥) = 𝑓^′(𝑥) − 𝑔′(𝑥)

Sehingga, 𝐷_𝑥[𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)] = 𝐷_𝑥𝑓(𝑥) − 𝐷_𝑥𝑔(𝑥)

Contoh penggunaan teorema F :

- Carilah turunan dari 4𝑥⁶− 3𝑥⁵− 10𝑥² Jawab =

𝐷_𝑥[4𝑥⁶− 3𝑥⁵− 10𝑥²] = 𝐷_𝑥4𝑥⁶− 𝐷_𝑥3𝑥⁵− 𝐷_𝑥10𝑥² = 4𝐷_𝑥𝑥⁶− 3𝐷_𝑥𝑥⁵− 10𝐷_𝑥𝑥² = 4.6𝑥⁵− 3.5𝑥⁴− 10.2𝑥 = 24𝑥⁵− 15𝑥⁴− 20𝑥 3. Aturan Hasil kali

TEOREMA G (ATURAN HASIL KALI)

Jika f dan g adalah fungsi-fungsi yang terdiferensiasikan, Maka (𝑓 ∙ 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥)𝑔^′(𝑥) + 𝑔(𝑥)𝑓′(𝑥)

Sehingga, 𝐷𝑥[𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)] = 𝑓(𝑥)𝐷_𝑥𝑔(𝑥) + 𝑔(𝑥)𝐷𝑥𝑓(𝑥)

Contoh penggunaan teorema G :

- Carilah turunan dari (3𝑥²− 5)(2𝑥⁴− 𝑥) Jawab =

𝐷_𝑥[(3𝑥²− 5)(2𝑥⁴− 𝑥)] = (3𝑥²− 5)𝐷_𝑥(2𝑥⁴− 𝑥) + (2𝑥⁴− 𝑥)𝐷_𝑥(3𝑥²− 5) = (3𝑥²− 5)(8𝑥³− 1) + (2𝑥⁴− 𝑥)(6𝑥)

= 24𝑥⁵− 3𝑥²− 40𝑥³+ 5 + 12𝑥⁵− 6𝑥² = 36𝑥⁵− 40𝑥³− 9𝑥²+ 5

4. Turunan Fungsi Trigonometri TEOREMA A

Fungsi 𝑓(𝑥) = sin 𝑥 dan 𝑔(𝑥) = cos 𝑥 keduanya terdiferensiasikan, dan 𝐷_𝑥(sin 𝑥) = cos 𝑥 𝐷_𝑥(cos 𝑥) = − sin 𝑥

TEOREMA B

Untuk semua titik x di dalam daerah asal fungsi,

𝐷_𝑥(tan 𝑥) = 𝑠𝑒𝑐²𝑥 𝐷_𝑥cot 𝑥 = −𝑐𝑠𝑐²𝑥 𝐷_𝑥(sec 𝑥) = sec 𝑥 tan 𝑥 𝐷_𝑥csc 𝑥 = − csc 𝑥 cot 𝑥

Contoh penggunaan teorema A dan B - Carilah turunan dari 𝑦 = sin 𝑥 tan 𝑥

Jawab =

𝐷_𝑥𝑦 = sin 𝑥 𝐷_𝑥tan 𝑥 + tan 𝑥 𝐷_𝑥sin 𝑥 = sin 𝑥 𝑠𝑒𝑐²𝑥 + tan 𝑥 cos 𝑥

5. Teorema Aturan Rantai

TEOREMA A (ATURAN RANTAI)

Misalkan 𝑦 = 𝑓(𝑢) dan 𝑢 = 𝑔 (𝑥). Jika g terdiferensiasikan di x dan f terdiferensiasikan di 𝑢 = 𝑔 (𝑥), maka fungsi komposit 𝑓 ° 𝑔, yang didefinisikan oleh (𝑓 ° 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)), adalah terdiferensiasikan di x dan

(𝑓 ° 𝑔)′(𝑥) = 𝑓^′(𝑔(𝑥))𝑔′(𝑥) Yakni

𝐷_𝑥(𝑓(𝑔(𝑥))) = 𝑓′(𝑔(𝑥))𝑔′(𝑥) Atau

𝑑𝑦 𝑑𝑥= 𝑑𝑦

𝑑𝑢 𝑑𝑢 𝑑𝑥 Contoh penggunaan teorema aturan rantai

- Jika 𝑦 =_(2𝑥5¹₋₇₎₃ carilah ^𝑑𝑦

𝑑𝑥

Jawab = Misalkan 𝑦 = ¹

𝑢³= 𝑢⁻³ dan 𝑢 = (2𝑥⁵− 7) Maka,

^𝑑𝑦

𝑑𝑥= ^𝑑𝑦

𝑑𝑢 𝑑𝑢 𝑑𝑥

= (−3𝑢⁻⁴)(10𝑥⁴) = ⁻³

𝑢⁴10𝑥⁴ = ^−30𝑥4

(2𝑥⁵−7)⁴