CENTER OF MASS AND LINEAR MOMENTUM OF A SYSTEM

Kelompok 1

Presentation

Hi !

Mata kuliah : MEKANIKA

Dosen Pengampu : Iqbal Firdaus, S.si., M.Si

2022

GUSTI AL AYSAA

LULU QOMARIYAH ANGGRAENI FEBRIYANTI ANGELINA

ANGELIKA RAMONA PUTRI HASIBUAN KHOIROTUL MUDRIKATU SILFI

SAFIRA BERLIANDA BUDI

CENTER OF MASS AND

LINEAR MOMENTUM OF A SYSTEM

7.1

Dalam pembahasan - pembahasan

sebelumnya kita hanya meninja

usebuah partikel atau sebuah benda

yang diperlakukan sebagai partikel

titik. Dalam bab ini kita akan

meninjau kasus yang lebih umum,

dengan sistem ataupun benda yang

terdiri dari banyak partikel(titik

partikel) maupun benda yang terdiri

dari partikel-partikel yang dianggap

tersebar secara kontinyu pada

benda.

Sistem umumnya terdiri dari n partikel massa m1, m2,. . .mn, yang posisinya vektor, masing- masing, r1, r2, . . .rn .

Mendefinisikan pusat massa sistem sebagai titik vector rcm yang posisinya ditampilkan pada persamaan 7.1.1 yaitu:

Dimana m = ∑mⁱ adalah massa total sistem.

Definisi dalam Persamaan 7.1.1 setara dengan tiga persamaan yaitu

Kami mendefinisikan momentum linier “p” pada sistem sebagai

jumlah vektor dari linier momentum masing-masing partikel, yaitu,

Pada perhitungan dari Persamaan 7.1.1 dan

membandingkan dengan Persamaan 7.1.3, diperoleh

“momentum linier dari sistem partikel sama dengan kecepatan pusat massa dikalikan dengan massa total sistem”.

GAMBAR PUSAT MASSA DARI SISTEM PARTIKEL

Misalkan sekarang ada kekuatan eksternal F1, F2,…...,Fi,……Fn yang bekerja pada partikel masing-masing. Selain itu, mungkin ada kekuatan internal interaksi antara setiap dua partikel sistem. Kami menunjukkan kekuatan internal ini sebagai Fij dengan arti kekuatan diberikan pada partikel i oleh partikel j, dengan pemahaman bahwa Fii = 0. Persamaan gerak partikel i kemudian adalah

di mana Fi berarti gaya eksternal total yang bekerja pada partikel i. Persamaan 7.1.5 mewakili jumlah vektor dari semua gaya internal yang diberikan pada partikel I oleh semua partikel lain dari sistem. Menambahkan Persamaan 7.1.5 untuk partikel n, didapatkan

Dalam penjumlahan ganda dalam Persamaan 7.1.6, untuk setiap gaya Fij ada juga gaya Fji, dan kedua kekuatan ini sama dan berlawanan

Persamaan 7.1.7 didapatkan dari hukum aksi dan reaksi, pada hukum ketiga Newton.

Akibatnya, kekuatan internal batal berpasangan, dan jumlah ganda menghilang.

Oleh karena itu, kita dapat menulis Persamaan 7.1.7 pada cara berikut

Dengan kata lain: Percepatan pusat massa suatu sistem partikel adalah sama seperti partikel tunggal yang memiliki massa sama dengan massa total sistem dan ditindaklanjuti dengan jumlah kekuatan eksternal.

Pertimbangkan, misalnya, segerombolan partikel yang bergerak dalam medan gravitasi yang seragam. Kemudian, karena Fi = mi g untuk setiap partikel, maka

Langkah terakhir mengikuti dari fakta bahwa g konstan. Sehingga

Ini sama dengan persamaan untuk satu partikel atau proyektil. Dengan demikian, pusat massa pecahan peluru dari peluru artileri yang meledak di udara mengikuti jalur parabola yang sama dengan yang akan diambil peluru jika tidak meledak (sampai salah satu bagian menyerang sesuatu).

Dalam kasus khusus di mana tidak ada kekuatan eksternal yang bekerja pada suatu sistem (atau jika

∑Fi = 0), kemudian a cm = 0 dan v cm= konstant;

Dengan demikian, momentum linier sistem tetap konstan:

Ini adalah prinsip konservasi momentum linier.

Dalam mekanika Newton keteguhan momentum linier dari sistem yang terisolasi berhubungan langsung dengan, dan berada dalam fakta konsekuensi dari, hukum ketiga. Ini adalah prinsip konservasi momentum linier. Dalam mekanika Newton keteguhan momentum linier dari sistem yang terisolasi berhubungan langsung dengan, dan berada dalam fakta konsekuensi dari, hukum

ANGULAR MOMENTUM AND

KINETIC ENERGY OF A SYSTEM

7.2

Kami sebelumnya menyatakan bahwa momentum sudut dari satu partikel didefinisikan sebagai cross product r x mv.

Momentum sudut L dari sistem partikel didefinisikan sebagai jumlah vektor dari momentum sudut individu, yaitu,

Mari kita hitung turunan waktu dari momentum sudut.

Menggunakan aturan mendifferensiasi cross product, didapatkan

Sekarang istilah pertama di sebelah kanan lenyap, karena, vi x vi = 0 dan, karena mi ai adalah sama Untuk gaya total yang bekerja pada partikel i, kita bisa menulis

di mana, seperti dalam Bagian 7.1, Fi menunjukkan gaya eksternal total pada partikel i, dan Fij menunjukkan Gaya (internal) yang diberikan pada partikel i oleh partikel lain yaitu partikel j. Menunjukkan perpindahan vektor partakel j relatif terhadap partikel i oleh kita lihat dari

segitiga ditunjukkan pada Gambar 7.2.1 bahwa

Oleh karena itu, karena Fji = - Fij, maka pada persamaan 7.2.4 terjadi pengurangan menjadi

Sekarang cross product ri X Fi adalah momen gaya eksternal Fi. Jumlah

∑ri x Fi adalah momen total dari semua kekuatan eksternal yang bekerja pada sistem. Jika kita menunjukkan torsi

eksternal total, atau momen gaya, oleh N, Persamaan 7.2.3 mengambil bentuk

Jika suatu sistem diisolasi, maka N = 0, dan momentum sudut tetap konstan di baik besaran maupun arah:

Terkadang nyaman untuk mengekspresikan momentum sudut dalam hal Gerakan dari pusat massa. Seperti yang

ditunjukkan pada Gambar 7.2.2, kita dapat mengekspresikan setiap vektor posisi pada daftar

di mana ri relatif terhadap pusat massa. Mengambil turunannya

sehubungan dengan t, diperoleh

Di sini v cm adalah kecepatan pusat massa dan merupakan kecepatan partikel i relatif ke pusat massa. Oleh karena itu, ungkapan untuk L dapat ditulis

Sekarang, dari Persamaan 7.2.9, kita memperoleh

Demikian pula diperoleh

dengan diferensiasi sehubungan dengan t. (Kedua persamaan ini hanya menyatakan bahwa posisi dan kecepatan pusat massa, relatif terhadap pusat massa, keduanya nol.) Akibatnya, penjumlahan kedua dan ketiga dalam perluasan L lenyap, dan kita bisa menulis

mengekspresikan momentum sudut suatu sistem dalam hal bagian "orbital" (gerakan pusat massa) dan bagian "spin"

(gerakan tentang pusat massa)

Energi kinetik total T dari suatu sistem partikel diberikan oleh jumlah energi individu, yaitu,

𝑻 = σ_𝒊^𝟏

𝟐𝒎_𝒊𝒗_𝒊^𝟐 = σ_𝒊^𝟏

𝟐𝒎_𝒊(𝒗_𝒊 . 𝒗_𝒊 )

Seperti sebelumnya, kita dapat menyatakan kecepatan relatif terhadap pusat massa

Karena penjumlahan kedua σ_𝒊^𝟏

𝟐𝒎_𝒊ഥ𝒗_𝒊 hilang, kita dapat menyatakan energi kinetik sebagai berikut:

𝑻 = ෍

𝒊

𝟏

𝟐𝒎𝒗_𝒄𝒎^𝟐 + ෎

ሶ𝒊

𝟏

𝟐𝒎_𝒊ഥ𝒗_𝟏^𝟐

Suku pertama adalah energi kinetik translasi seluruh sistem, dan suku kedua adalah energi kinetik gerak relatif terhadap pusat massa.

Pemisahan momentum sudut dan energi kinetik menjadi bagian pusat massa dan bagian relatif ke pusat massa menemukan aplikasi penting dalam fisika atom dan molekul dan dalam astrofisika.

Kami menemukan dua teorema sebelumnya berguna dalam studi benda tegar dalam bab-bab berikut.

MOTION OF TWO INTERACTING BODIIES:

THE REDUCED MASS

7.3

Mari kita perhatikan gerakan sistem yang terdiri dari dua benda, diperlakukan di sini sebagai partikel, yang berinteraksi satu sama lain oleh kekuatan pusat.

dianggap sistem terisolasi, dan, karenanya, pusat massa bergerak dengan kecepatan konstan. Untuk kesederhanaan, diambil pusat dari massa sebagai itu asal. Kita memiliki kemudian

dimana, seperti ditunjukkan pada Gambar 7.3.1, vektor é 1 dan é mewakili posisi partikel a nd rnt, masing- masing, relatif terhadap pusat massa.

Sekarang, jika adalah vektor posisi dari partikel 1 relatif terhadap partikel 2, maka

Itu terakhir melangkah mengikuti dari Persamaan 7.3.1.

Diferensial persamaan dari gerakan dari partikel 1 relatif ke itu tengah dari massa adalah

di mana I/(•)l adalah besarnya gaya timbal balik antara dua partikel.

Dengan menggunakan Persamaan 7.3.2, bisa ditulis

di mana

Besaran y disebut massa tereduksi. Persamaan gerak baru memberikan gerakan partikel 1 relatif terhadap partikel 2, dan persamaan yang persis sama memberikan gerakan partikel 2 relatif terhadap partikel 1. Persamaan ini persis sama dengan biasa persamaan dari gerakan dari sebuah lajang partikel dari massa kamu bergerak di sebuah pusat bidang dari memaksa diberikan selamat tinggal. Jadi, fakta bahwa keduanya partikel bergerak relatif terhadap pusat massa adalah secara otomatis diperhitungkan untuk oleh menggantikan oleh itu dikurangi massa y. Jika itu benda adalah dari setara massa di, maka y=

ke/2.

Untuk dua benda menarik setiap lainnya oleh gravitasi

Di ini kasus itu persamaan dari gerakan adalah

atau, setara,

di mana e R/R adalah vektor satuan dalam arah R.

Pada Bagian sebelumnya kita menurunkan persamaan yang memberikan waktu periodik gerak orbit planet bermassa m yang bergerak dalam

medan gravitasi Matahari, yaitu, t=2x (GM) -1/2 3/2 di mana Mo adalah massa Matahari dan a adalah sumbu semimayor orbit elips planet terhadap Matahari. Dalam derivasi itu kita berasumsi bahwa Matahari tidak

bergerak, dengan asal sistem koordinat kita di pusat Matahari. Untuk menjelaskan gerak Matahari terhadap pusat massa bersama, persamaan yang benar adalah Persamaan terakhir di mana m=m, dan Mo-m2.

Konstanta k, yang diambil sebagai GMom pada perlakuan sebelumnya, harus diganti dengan G(Mo+m)m sehingga persamaan yang benar untuk periode adalah

atau, untuk setiap dua benda sistem dipegang bersama oleh gravitasi, itu orbitnya adalah

Jika sebuah nd dinyatakan dalam satuan massa Matahari dan a dalam satuan astronomi ( berarti jarak dari Bumi ke itu Matahari), kemudian itu orbit Titik di bertahun-tahun adalah diberikan oleh

Untuk paling planet di kita tenaga surya sistem, itu

ditambahkan massa ketentuan dalam mendahului

ekspresi untuk periode tersebut membuat perbedaan

yang sangat kecil—massa Bumi hanya 1/330.000

massa Matahari massa. Planet yang paling masif,

Jupiter, memiliki massa sekitar 1/1000 massa

Matahari, jadi itu memengaruhi dari itu massa

tereduksi rumus adalah ke mengubah itu lebih awal

perhitungan di itu perbandingan (1.00l )' l =

0,9995 untuk itu Titik dari Yupiter revolusi tentang

itu Matahari.

Bintang Biner: kurcaci Putih dan lubang Hitam

Tentang setengah dari semua itu bintang di itu galaksi di itu sekitarnya dari itu Matahari adalah biner, atau dobel; yaitu, mereka terjadi berpasangan yang disatukan oleh tarikan gravitasi timbal balik mereka, dengan masing-masing anggota dari itu pasangan berputar tentang milik mereka umum tengah dari massa. Dari itu mendahului analisis kita bisa

menyimpulkan itu juga anggota biner sistem berputar tentang yang lain di sebuah elips orbit yang mengorbit periode diberikan oleh Persamaan 7.3.9b dan c, dimana a adalah sumbu semimayor dari elips dan m dan adalah massa kedua bintang. Nilai dari sistem biner yang diketahui berkisar dari yang paling kecil (biner kontakdi mana bintang saling menyentuh) hingga nilai yang sangat besar sehingga periodenya diukur dalam jutaan tahun. Contoh tipikal adalah

bintang paling terang di langit malam, Sirius, yang terdiri dari bintang yang sangat terang. akal bintang dengan massa 2,1 My dan sangat kecil redup bintang, disebut putih_ kerdil, yang hanya dapat dilihat di teleskop besar. Massa sekecil ini corri{ianion adalah 1,05 tapi ukurannya kira-kira sebesar planet besar, jadi kepadatannya sangat besar (30.000 kali kerapatan air). Nilai a untuk sistem Sirius kira-kira 20 SA (sekitar jarak dari Matahari ke planet Uranus), dan periode, yang dihitung dari Persamaan 7.3.9c, Sebaiknya menjadi tentang

yang apa dia adalah diamati ke menjadi.

Sebuah biner sistem itu adalah percaya ke pelabuhan sebuah hitam lubang sebagai satu dari -nya komponen adalah sumber sinar-x yang dikenal sebagai Cygnus X-1. ³Komponen yang terlihat adalah HDE bintang normal 226868. Pengamatan spektroskopi cahaya optik dari bintang ini menunjukkan bahwa periode dan semimajor sumbu orbit masing-masing adalah 5,6 hari dan sekitar 30 x 10 ⁶ km. Pendamping yang tidak terlihat secara optik adalah sumber fluks sinar-x yang menunjukkan fluktuasi yang bervariasi secepat milidetik, menunjukkan bahwa ia tidak boleh lebih dari 300 km. Pengamatan ini, serta sejumlah pengamatan lainnya, menunjukkan bahwa massa HDE 226868 setidaknya sama besar sebagai 20 My, sementara itu pendampingnya mungkin sebesar sebagai 16 My tapi pasti melebihi 7 My. Sulit untuk menyimpulkan bahwa ini kompak, masif obyek bisa menjadi apa pun lainnya dibandingkan sebuahhitam lubang. Hitam lubang adalah benda itu berisi begitu banyak massa dalam radius tertentu ⁴ sehingga tidak ada, bahkan cahaya, yang dapat lolos dari gravitasinya. bidang itasi. Namun, jika lubang hitam terletak di sistem biner, massa dapat "bocor" dari bintang pendamping besar dan membentuk piringan akresi di sekitar lubang hitam. sebagai materi dalam piringan ini mengorbit lubang hitam, ia dapat kehilangan energi dengan pemanasan gesekan dan menabrak turun ke dalamnya, akhirnya Pemanasan ke suhu dengan baik

Berlebihan dari puluhan juta derajat. Sinar-X dipancarkan oleh materi panas ini sebelum jatuh sepenuhnya ke dalam lubang Lubang hitam diprediksi secara matematis oleh teori umum relativitas, dan bukti tegas tentang keberadaan mereka akan menjadi tonggak sejarah dalam astrofisika.

THE RESTRICTED

THREE-BODY PROBLEM

7.4

Masalah tiga benda terbatas berfungsi sebagai model yang sangat baik untuk menghitung gerakan orbit tersier kecil di medan gravitasi dari dua lainnya. Ini cukup mudah untuk melihat dua kemungkinan solusi yang menggambarkan dua situasi ekstrem. Salah satunya terjadi ketika tersier kurang lebih mengorbit pusat massa dua lainnya pada jarak yang begitu jauh bahwa dua primer tampak kabur bersama sebagai sumber gravitasi tunggal.

● Persamaan Gerak untuk Dibatasi Masalah Tiga Tubuh

Ditetapkan M1 massa primer paling masif, M2 massa yang paling tidak masif, dan m massa kecil tersier yang orbitnya ingin kami hitung. Dipilih sistem koordinat x'-y' yang berotasi dengan dua primer dan asalnya pusat massa.

Gambar 7.4.1 Koordinat sistem untuk dibatasi masalah tiga tubuh

Biarkan koordinat tersier menjadi (x', y'). jarak antara itu dan masing- masing dua pendahuluan adalah

Gaya gravitasi bersih yang bekerja pada m (lihat Persamaan 6.1.1) dengan demikian

Dimana 𝑟₁’ dan 𝑟₂’ adalah posisi vektor m terhadap M1 dan M2.

Karena m adalah umum untuk semua suku, dapat ditulis kembali dalam bentuk percepatan sebagai

Sekarang berada dalam posisi untuk menghitung dua percepatan noninersia berikutnya dalam Persamaan 7.4.4 Coriolis dan percepatan sentrifugal

Sekarang menyisipkan Persamaan 7.4. la dan b, 7.4.2, 7.4.5, dan 7.4.6 menjadi 7.4.4 untuk mendapatkan persamaan gerak massa m pada koordinat x' dan y'

● Potensi Efektif: Lima Poin Lagrangian

Dicatat bahwa tiga istilah pertama di masing-masing persamaan tersebut dapat dinyatakan sebagai gradien dari fungsi potensial efektif, V(r') dalam koordinat kutub

atau V(x', y') dalam koordinat Cartesian

Jadi, harus memasukkan suku Coriolis sebagai istilah tambahan dalam persamaan apa pun yang menurunkan gaya dari potensial efektif

Penyederhanaan yang cukup besar dalam semua perhitungan lebih lanjut dapat dicapai dengan menyatakan massa, panjang, dan waktu dalam satuan yang mengubah V(x', y') menjadi bentuk invarian yang membuatnya berlaku untuk semua situasi tiga-tubuh terbatas terlepas dari nilai-nilai massa.

Dalam jarak masing-masing primer dari pusat massa adalah

Koordinat primer pertama adalah, dengan demikian, (a, 0) dan koordinat primer kedua adalah (1— a, 0). Selanjutnya, karena asal sistem koordinat adalah pusat massa, dari Persamaan 7.3.1, kami memiliki

dan massa "gravitasi" masing-masing primer kemudian dapat dinyatakan juga dalam bentuk faktor a

M1 adalah massa primer yang lebih besar, dan M2 adalah massa primer yang lebih kecil, maka, 0< a <0.5andO.5<1—a<1. Dalam hal unit baru ini, fungsi potensial efektif dari Persamaan 7.4.8b Menjadi

Masing-masing primer adalah sumber pelengkap "satelit"; Jupiter memiliki bulan- bulannya dan Matahari memiliki empat planet terestrial dalam. Tidak ada primer yang mengganggu lampiran yang lain. Namun, sudut kecepatan semua "satelit" ini tentang primernya masing-masing jauh lebih besar dari kecepatan sudut dua primer tentang pusat massa. Selain itu, tersier dalam orbit tersebut diseret oleh primer dalam orbitnya sendiri.

Gambar 7.4.2Efektif potensial V(x', y') untuk Sistem Bumi-Bulan.

 V(x', y') -4 —00 sebagai x' atau y' —4 oo.

 Ada lima lokasi di mana VV(x', y') = 0, atau di mana gaya pada partikel di istirahat dalam kerangka acuan x'y' lenyap

Gambar 7.4.4 Plot kontur potensial efektif V(x', y') untuk sistem Bumi-Bulan

 Dua primer membentuk alas bersama dari dua segitiga sama sisi yang puncaknyaterletak pada titik L4 dan L5, yang merupakan maksima absolut dari fungsi V(x', y').

 Setiap garis dalam plot kontur adalah ekipotensial, yaitu garis yang memenuhi kon klisi y) = di mana adalah konstanta.

Gaya Coriolis selalu bekerja tegak lurus terhadap kecepatan partikel. Jadi, itu tidak mengubah energi kinetiknya karena F . v = 0. Jika tersier hampir stasioner di kerangka acuan x'y', bergerak perlahan ke arah yang tepat di dekat L4 atau L5, gaya Coriolis mungkin mendominasi gaya gravitasi dan sentrifugal yang hampir seimbang dan hanya mengarahkan kecepatannya, menyebabkan tersier beredar di sekitar L4 atau L5.

● Astreroid Troya

Asteroid Trojan adalah kelompok asteroid tertentu dalam resonansi orbit 1:1 dengan Yupiter dan pusat-pusatnya terletak di sepanjang orbit Yupiter, 600 di depannya dan 600 di belakangnya.

Gambar 7.4.5(a) The asteroid Trojan. (b) Trojan asteroid dan asteroid sabuk ditunjukkan dengan

orbit Yupiter, Mars dan Bumi.

menggunakan skala koordinat

Persamaan nya menjadi

Diperkenalkan dua variabel tambahan u' dan v', sehingga

Untuk mengubah pasangan persamaan orde kedua dalam Persamaan 7.4. 15a dan b menjadi dua orde pertama

Selesaikan [(persamaan, kondisi awal}, {u, v, x, y}, {t, t min, t max}

{persamaan, kondisi awal}

 Masukkan empat persamaan diferensial numerik dan kondisi awal menggunakan format berikut:

 {x,y,u,v} Masukkan empat variabel dependen yang solusinya diinginkan {x, y, u, v}

 {t, t min, t max}

Masukkan variabel independen dan jangkauannya di mana solusi akan dievaluasi {t, 0, t max}

Gambar 7.4.6 Orbit 1,2,3 dari Asteroid Trojan yang sesuai dengan kondisi yang diberikan pada Tabel 7.4.1

Nilai a untuk sistem Matahari-Jupiter adalah 0,000953875.

Satuan adalah jarak rata-rata antara Jupiter dan Matahari, a + b = 5,203 AU, atau sekitar 7,80 x 10 m. Satuan waktu didefinisikan sedemikian rupa sehingga satu periode rotasi dari sistem primer, periode orbit Jupiter (T1 = 11,86 tahun), sama dengan satuan waktu.

Jadi, satu satuan waktu sama dengan = 1,888 tahun. Tersier yang mengikuti orbit 1 dan 2 melingkar perlahan, searah jarum jam, di sekitar L4.

Gambar 7.4.7 Asteroid Trojan orbit 4 (lihat Tabel 7.4.1).

Dalam semua kasus, orbit bersirkulasi searah jarum jam seperti udara di sekitar tekanan tinggi di belahan bumi utara. Gaya Coriolis diarahkan "ke dalam" untuk rotasi searah jarum jam dan "ke luar" untuk rotasi berlawanan arah jarum jam karena tanda co X v.

Gambar 7.4.8Asteroid Trojan orbit 5 (lihat Tabel 7.4.1).

TERIMAKAS IH

^^