daftar isi - Repository UIN Mataram

LOGIKA MATEMATIKA

Pengertian Umum Logika dan Pernyataan 2

Pengertian Logika
Pernyataan
Rangkuman
Tugas
Penilaian

Pengertian logika menurut para ahli dirumuskan berbeda-beda satu sama lain, namun pengertiannya tidak jauh berbeda, misalnya menurut Soekadijo “Logika adalah suatu kajian sistematik terhadap struktur proposisi dan syarat-syarat umum penalaran yang sahih dengan menggunakan metode yang mengabaikan logika.” isi atau materi proposal dan hanya membahas bentuk logikanya saja.” Sejalan dengan pernyataan di atas, menurut kamus matematika Borowsky & Borwein dijelaskan bahwa logika adalah prinsip-prinsip dan metode-metode khas yang digunakan dalam argumentasi atau penalaran, tanpa memperhatikan isi atau konteks bentuk penalarannya. . Logika yang mengabaikan isi pernyataan dan hanya melihat pada bentuk (apalagi pada saat menalar), lebih dikenal dengan logika formal, logika simbolik, logika modern, atau logika matematika.

Kemampuan penalaran adalah kemampuan menarik kesimpulan yang tepat dari bukti-bukti yang ada dan menurut kaidah tertentu. Pernyataan adalah kalimat yang mempunyai nilai benar atau salah, namun tidak sekaligus benar dan salah. pernyataan disebut juga preposisi, kalimat deklaratif). Istilah benar dan salah dapat digunakan sebagai istilah yang tidak terdefinisi karena kita dapat dengan jelas mempertimbangkan pernyataan mana yang benar dan mana yang salah.

Benar atau tidaknya kalimat pertama hingga ketiga dapat langsung ditentukan, sedangkan untuk menentukan benar atau tidaknya kalimat terakhir harus dilakukan observasi. Dari sudut pandang matematis atau logika, kalimat seperti: "lima (5) cinta 3"; "ayah dibagi oleh anak-anak"; tidak dikatakan pernyataan salah tetapi disebut kalimat tidak bermakna (tidak benar, tidak salah).

Ingkaran (Negasi), Pernyataan tunggal

Uraian Materi

Operasi Konjungsi
Operasi Disjungsi

Secara gramatikal, suatu kalimat atau pernyataan harus mempunyai klausa utama atau masalah utama dan kata kerja yang menjelaskan apa yang dilakukan atau terjadi dalam masalah utama. Benar atau salahnya suatu pernyataan disebut nilai kebenaran atau nilai logika pernyataan tersebut dan dilambangkan dengan (p). Nilai kebenaran suatu pernyataan dapat juga disusun dalam sebuah tabel yang disebut tabel kebenaran.

Jika suatu pernyataan terdiri dari lebih dari satu pernyataan, maka diperlukan kata penghubung antara pernyataan yang satu dengan pernyataan yang lain sehingga terciptalah pernyataan majemuk. Untuk logika matematika, ada lima jenis pernyataan penghubung, yaitu negasi (tidak), konjungsi (dan), disjungsi (atau), implikasi (jika...maka...) dan implikasi ganda (jika dan hanya jika). Operasi konjungsi merupakan operasi biner (operasi yang diterapkan pada dua pernyataan) dan dilambangkan dengan tanda.

Jika p dan q merupakan dua pernyataan, maka konjungsi pernyataan p dan q (pq) benar jika p dan q keduanya benar, sedangkan pq salah jika salah satu p atau q salah atau keduanya salah. Jika p dan q adalah dua pernyataan maka (pq) salah, jika p dan q salah, jika tidak maka benar.

Tabel nilai kebenaran dari operasi konjungsi.

Hukum-hukum Logika

Kesimpulan

Untuk membuktikan bentuk hukum aljabar pernyataan di atas dapat dilakukan dengan menggunakan tabel kebenaran, kemudian hukum-hukum tersebut dapat digunakan untuk membuktikan persamaan pernyataan majemuk lainnya. Dengan menggunakan tabel kebenaran juga dapat dibuktikan bahwa ekuivalen setiap hukum aljabar proposisi di atas adalah benar. Misalnya kita akan membuktikan bahwa hukum komutatif benar antara pernyataan-pernyataan di ruas kiri dan kanan yang ekuivalen atau mempunyai nilai kebenaran yang sama.

Pembuktian dengan menggunakan tabel kebenaran dapat dilakukan untuk semua hukum proposisional aljabar di atas untuk meyakinkan diri sendiri bahwa hukum tersebut dapat dibuktikan kebenarannya. Hukum pernyataan aljabar terdiri dari komplemen, identitas, invers, idompten, involusi, serapan, komutatif, asosiatif, distributif, dan De Dorgan. Buktikan dengan menggunakan tabel kebenaran dan tunjukkan bahwa semua pernyataan hukum aljabar mempunyai nilai kebenaran eksak dan pernyataan di sisi kiri dan kanan mempunyai nilai kebenaran yang sama atau setara.

Pernyataan Bersyarat

Banyak pernyataan, khususnya dalam matematika, berbentuk "jika p maka q", pernyataan seperti itu disebut pernyataan implikasi atau kondisional dan ditulis sebagai p ⇒q. Kemudian perhatikan: "Jika kedua sudut alas segitiga ABC sama besar, maka segitiga tersebut sama kaki." Sehingga segitiga ABC sama kaki merupakan syarat perlu dan cukup agar kedua alasnya sama besar, begitu pula kedua sudut alasnya sama besar merupakan syarat perlu dan cukup agar segitiga ABC sama kaki.

Segitiga sama kaki ABC mempunyai syarat perlu dan cukup agar kedua sudut alasnya sama besar.” Jika saya memakai jas maka saya merasa kedinginan" dan juga "Jika saya merasa kedinginan maka saya memakai jas". Ternyata memakai jas adalah syarat perlu dan cukup bagi saya untuk merasa kedinginan, dan rasa dingin itu merupakan syarat perlu dan cukup bagi saya untuk memakai jas.

Pertanyaan seperti itu disebut pernyataan bikondisional atau biimplikasi atau kondisional ganda dan dituliskan p ⇔ q, dan dibaca p jika dan hanya jika q (disingkat p jhj q atau p bhb q). Jika Abdu pandai matematika, Abdu menjadi juara dan jika hujan, Wirman tidak bersekolah.

Mendeskripsikan Invers, Konvers Dan

Pernyataan matematis juga sering ditemukan dalam bentuk implikasi yang mengharuskan pernyataan pertama benar. Contoh: jika semua sisi suatu persegi sama besar, maka bangun tersebut adalah persegi. Dalam bentuk terbalik, pernyataan tersebut disusun sebagai “jika bangun datar adalah persegi, maka semua sisinya sama besar.

Jika pernyataan ini disusun dalam bentuk kebalikannya maka akan benar juga, yaitu jika bukan persegi maka semua sisi persegi mempunyai ukuran yang berbeda-beda. Demikian pula pada bentuk kontraposisi “jika tidak berbentuk datar dan tidak berbentuk persegi, maka sisi-sisinya mempunyai ukuran yang berbeda-beda. Semua perubahan bentuk pernyataan yang disusun mempunyai nilai kebenaran yang sama, yaitu sama keduanya benar.

Buatlah pernyataan kondisional yang mempunyai implikasi logis dalam pernyataan matematika, kemudian buatlah bentuk yang berlawanan, berlawanan, dan berlawanan. Buatlah pernyataan kebalikan, kebalikan dan kebalikannya.Jika dua garis saling tegak lurus maka kedua garis tersebut membentuk sudut siku-siku.

BENTUK-BENTUK PERNYATAAN

Materi

Buktikan bahwa dua pernyataan berikut mempunyai nilai kebenaran yang sama antara pernyataan di sebelah kiri dan di sebelah kanan.

Ingkaran pernyataan majemuk

Jawaban: Ahmad menduduki peringkat teratas di kelas dan Ahmad tidak rajin belajar atau Ahmad rajin belajar dan Ahmad tidak menduduki peringkat teratas di kelas B. Buatlah pernyataan majemuk yang berkaitan dengan pernyataan matematika tersebut, lalu cantumkan negasi ke dalam bentuk kalimat dan simbol. Kepala desa tidak diwajibkan memiliki minimal ijazah sekolah menengah atas dan pemerintah tidak memberikan dana hibah kepada korban banjir.

Kepala desa harus perempuan dan harga tembakau turun, jika tidak, pemerintah tidak perlu memberikan kontribusi kepada para korban banjir. Haris pandai matematika dan Haris tidak bisa menang, atau Haris bisa menang tapi tidak pandai matematika. Haris pandai matematika dan juara atau Haris tidak juara dan tidak pandai matematika d.

Pernyataan Kuantor

Ingkaran Pernyataan Berkuantor

Ingkaran Kuantor Universal
Ingkaran Kuantor Eksistensial

Penalaran Logis

Urain Materi

Argumen
Bukti Keabsahan Argumen
Penarikan Kesimpulan

Gunakan pernyataan matematika atau definisi matematika untuk berlatih menarik kesimpulan dan menyatakan nilai kebenarannya. Jika ibunya senang maka dia tidak menyembelih sapi tersebut  Jika Tikno berhasil maka ibunya menyembelih sapi tersebut h.

Pembuktian Sifat Matematika

Pembuktian langsung
Pembuktian Tak Langsung

Misalnya banyaknya anggota A disebut kardinalitas himpunan A. Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak memiliki anggota atau himpunan yang kardinalitasnya = 0. A adalah anggota dari B. Dalam hal ini, B dikatakan menjadi superset dari A. Jika direpresentasikan dengan diagram Venn maka dapat dilihat seperti ini. Jumlah himpunan A dan B adalah himpunan yang suku-sukunya memuat anggota himpunan A dan B, tetapi bukan merupakan suku-suku himpunan A  B (potongannya).

A ke himpunan B adalah pasangan anggota himpunan A (daerah asal) dengan anggota himpunan B (daerah yang berhadapan. Persamaan kuadrat adalah persamaan kuadrat yang ekuivalen dengan persamaan yang bentuknya: ax2 + bx + c = 0, dengan a, b dan c adalah bilangan real dan a ≠ 0. Menentukan akar-akar persamaan kuadrat Akar-akar persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 Akar-akar persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 adalah 'real bilangan x0 sehingga ax2 + bx + c = 0 menjadi pernyataan yang benar.

Salah satu penerapan konsep diskriminan adalah dengan mengetahui jenis (karakter) akar-akar persamaan kuadrat tanpa terlebih dahulu menghitung akar-akarnya. Jika D adalah kuadrat sempurna, maka persamaan kuadrat tersebut mempunyai dua akar nyata, berbeda, dan rasional. Jika D bukan kuadrat sempurna, maka persamaan kuadrat tersebut mempunyai dua akar nyata, berbeda dan irasional.

Buatlah persamaan kuadrat jika diketahui akar-akarnya berhubungan dengan akar-akar persamaan kuadrat yang diberikan. Membangun persamaan kuadrat jika akar-akarnya diketahui berhubungan dengan akar-akar persamaan kuadrat yang diberikan dapat dilakukan dengan dua strategi. Persamaan kuadrat adalah persamaan kuadrat yang ekuivalen dengan persamaan yang bentuknya: ax2 + bx + c = 0, dimana a, b dan c adalah bilangan real dan a.

Himpunan

Pengertian dan penyajian Himpunan

Pengertian Himpunan
Cara Penyajian Himpunan

Macam-macam Himpunan

Himpunan Kardinal
Himpunan Kosong
Himpunan Bagian (Subset)
Himpunan yang Sama
Himpunan yang Ekivalen
Himpunan Saling Lepas
Himpunan Kuasa

Operasi Himpunan

Irisan (intersection)
Gabungan (union)
Komplemen (complement)
Selisih (difference)
Jumlah
Beda Setangkup (Symmetric Difference)
Perkalian Kartesian (cartesian product)

Relasi dan Fungsi

Pengertian Relasi
Fungsi / Pemetaan
Sifat Fungsi
Penialaian

Fungsi

Pengertian Fungsi
Notasi dan Fungsi
Beberapa fungsi khusus

Aljabar, Komposisi, dan Ivers Fungsi

Aljabar Fungsi
Fungsi Komposisi
Fungsi Invers

Fungsi Eksponen Dan Logaritma

Eksponen
Logaritma
Fungsi Eksponen

Persamaan

PERSAMAAN KUADRAT

Bentuk Umum Persamaan Kuadrat
Jenis – jenis Persamaan Kuadrat
Menentukan Akar – akar Persamaan Kuadrat
Jenis Akar Persamaan Kuadrat Dikaitkan dengan
Rumus Jumlah dan Hasil Kali Akar – akar
Menyusun Persamaan Kuadrat yang diketahui Akar

Persamaan Eksponen dan Logaritma

Persamaan Eksponen
Persamaan Logaritma

PERTIDAKSAMAAN

Pertidaksamaan

Pertidaksamaan Kuadrat

Pertidaksamaan Eksponen dan Logaritma 200

Pertidaksamaan Eksponen
Pertidaksamaan Logaritma