dan kontrol h - Direktori File UPI

KONTROL H 2 DAN KONTROL H  SERTA APLIKASINYA DALAM

SISTEM MASSA PEGAS

KARTIKA YULIANTI (20106010)

RIRIN SISPIYATI (20106003)



Pendahuluan



Kontrol H

₂



Kontrol H

KONTROL H

₂

DAN KONTROL H

_

SERTA APLIKASINYA DALAM SISTEM MASSA PEGAS



Kontrol H

_



Aplikasi



Kesimpulan

Pendahuluan

Tujuan:

Membandingkan Kontrol H

₂

dengan Kontrol H

_∞

Kontrol H

_∞

Kontrol H 2

Matrik transfer:

Asumsi-asumsi untuk penyederhanaan masalah:

 (A,B₂) terstabilkan dan (C₂,A) terdeteksi;



1 2

1 12

2 21

( ) 0 .

0

A B B

G s C D

C D

 

 

  

 

 

0 dan

0 ^*

*   



D D R D D



R

 . mempunyai rank kolom penuh untuk setiap w

 mempunyai rank kolom penuh

untuk setiap w

.

0 dan

0 _{2 21 21}^*

12

* 12

1 

D D



R



D D



R



 



 

12 1

2

D C

B jwI A



 



 

21 2

1

D C

B jwI A

Kontrol H 2 (Definisi)

Masalah utama kontrol H

₂

adalah mencari

pengontrol K yang proper dan real rational yang

menstabilkan G secara internal dan meminimumkan H

₂

norm dari transfer matriks Tzw dari w ke z.

H

₂

norm dari transfer matriks Tzw dari w ke z.

Kontrol H 2 (Solusi)

 



 















 



 





 



 







 











* 1

* 12 1 1 2 1

* 12 1 1 12

* 1

* 2 1 1 2 1

* 12 1 1 2

* 2 1

* 12 1 1 12

* 1

2

* 1

* 1 2

) (

) (

0

C D R B A C

D R D I C

B R B C

D R B A

B C

D D R

C B A

C C H A

H₂ anggota dom(Ric) dan

H₂ anggota dom(Ric) dan

0 )

Ric(

₂

2

 H 

X

 



 















 



 





 



 







 











) (

) (

) (

0

2 1 2

* 21 1

* 1 21 1 2

* 21 1

2 1 2

* 2

* 2 1 2

* 21 1

2

* 1 21 1

* 2 21 1

* 2

* 1 1

* 2

C R D B A B

D R D I B

C R C C

R D B A

C B D D R

B C A

B B J A

0 )

Ric(

₂

2

 J 

Y

Kontrol H  (Masalah Sederhana)

Matrik transfer:

Asumsi-asumsi untuk penyederhanaan masalah:

(A,B ) terkontrol dan (C ,A) terobservasi;

1 2

1 12

2 21

( ) 0 .

0

A B B

G s C D

C D

 

 

  

 

 

 (A,B₁) terkontrol dan (C₁,A) terobservasi;

 (A,B₂) terstabilkan dan (C₂,A) terdeteksi;

 .

 .

   

12 1 12 0 ;

D^ C D  I

1

21 21

0 . B D

D I

    

    

 

 

Kontrol H 

Kontrol Optimal H_

Kontrol H



Kontrol Sub Optimal H_ Secara Numerik dan Teori Sangat Rumit

- Lebih mudah diperoleh - Memiliki sifat lebih baik

SeringTidak Diperlukan

Kontrol H  (Definisi)



Kontrol Optimal: mencari semua pengontrol K(s), sedemikian sehingga diperoleh T

_{zw }

minimal.



Kontrol Suboptimal: diberikan ,

mencari semua pengontrol K(s) yang dapat diterima, sedemikian sehingga



  0

T

zw _

 

Kontrol H  (Masalah Sederhana)

Matrik transfer:

Asumsi-asumsi untuk penyederhanaan masalah:

(A,B ) terkontrol dan (C ,A) terobservasi;

1 2

1 12

2 21

( ) 0 .

0

A B B

G s C D

C D

 

 

  

 

 

 (A,B₁) terkontrol dan (C₁,A) terobservasi;

 (A,B₂) terstabilkan dan (C₂,A) terdeteksi;

 .

 .

   

12 1 12 0 ;

D^ C D  I

1

21 21

0 . B D

D I

    

    

 

 

Kontrol H  (Solusi Hamiltonian)

2

1 1 2 2

1 1 1

: A BB B B

H C C A

  

  

  

     



1 1 1

2

1 1 2 2

1 1

: A C C C C

J BB A

   

 

 

  

     



Kontrol H 

(Eksistensi Pengontrol Suboptimal)

Teorema : Terdapat suatu pengontrol yang dapat diterima sedemikian sehingga jika dan hanya jika tiga kondisi berikut terpenuhi:

^zw

T _ 



. dan



. dan



.

( )

H

_

 dom Ric X

_

:  Ric H (

_

)  0.

( )

J

_

 dom Ric Y

_

:  Ric J (

_

)  0.

( X , Y )

2

.



_{ }

 

Kontrol H 

(Eksistensi Pengontrol Suboptimal) Jika ketiga kondisi dipenuhi, maka

ˆ ( ) :

su b 0

A Z L

K s

F

  



  

  

 

 

dengan

  

 

2

1 1 2 2

ˆ :

A

_

  A 

^

B B X

^ _

 B F

_

 Z L C

_{ }

2 1

2 2

: , : , : ( ) .

F

_

  B X

^ _

L

_

 Y C

_ ^

Z

_

 I  

^

Y X

_{ } ^

Perbandingan

l

Kontrol H

₂

Kontrol H

_

 Kontrol optimal H₂ Tunggal

 T.12.4 menjamin matriks

 Kontrol optimal H tidak Tunggal untuk sistem MIMO

 Blok (1,2) dari matriks

 T.12.4 menjamin matriks Hamiltonian H₂anggota dom(Ric)

 Blok (1,2) dari matriks

Hamiltonian tidak sign definite (Tidak bisa menggunakan

T.12.4)

  maka matriks

Hamiltonian H_ berkoresponden dengan matriks Hamiltonian H₂

Aplikasi (Sistem Massa Pegas)

m1

F2

F1

k1 b1

x1

x2

m2

k2 b2

Model Sistem Massa Pegas

State-Space Sistem Massa Pegas

 



_{1 2}



_{2 1 1}



_{1 2}



_{2 2}

1 1 2

2

1 2

2 1

1 1

2 1 1

1

F x

k k

x k x

b b

x b x

m

F x

k x

k x

x b x

m









































 Berdasarkan Hukum Kedua Newton dan hukum kedua Hooke

2 2 4

2 2 1

3 2 1 2

2 2 1

1 2 1 4

1 1 4

1 1 3

1 1 2

1 2 1

1 1 3

m x F

m b x b

m x b

m k x k

m x k

m x F

m x b

m x b

m x k

m x k

 



 





















 Jika

x

₃ 

x

₁ dan

x

₄

 x 

₂ maka

State-Space Sistem Massa Pegas



 























































 

 



 



















2 1 1

4 3 2 1

2 1 1

2 1 1

1 1 1

1 1

1 1

1

4 3 2 1

0 1 1 0

0 0

0 0

1 0

0 0

0 1

0 0

F F m

x x x x

b b b

k k k

m b m

b m

k m

k x

x x x x_p



















 

  





2 4

2 2

2 2

4 0

m x

m m

m m

x



















 



 



 





4 3 2 1

2 1

0 0 1 0

0 0 0 1

x x x x x

x

State-Space Sistem Massa Pegas

Diberikan nilai:

State space dapat dinotasikan:

2 m

dan ,

1 ,

1 . 0 ,

2 . 0 ,

4 ,

1

_{2 1 2 1 2}

1

 k  b  b  m  

k

U B x

A

x^._p  _{p p}  _p

dengan U

D x

C y

U B x

A x

p p

p p

p p

p p



















































 

5 . 0 0

0 1

0 0

0 0

, 15 . 0 1

. 0 5 . 2 5

. 0

1 . 0 2 . 0 1

1

1 0

0 0

0 1

0 0

p p

B A



 



 

0 0

0 0 Dp



 



 

0 0 1 0

0 0 0 1 Cp

Fungsi Bobot

i i

i

i i

A B

W C D

 

  

  _^























1 0 3 0

0 1 0 3

1 0 10 0

0 1 0 10



 5 

 1 0 2.236 0

 

















 





1 0 5

1 0 5

s

W_o s _o ^{o o}

o o

A B

W C D

 

  

 



























0 0

236 . 2 0

0 0

0 236

. 2

236 . 2 0

1 0

0 236

. 2 0

1



















 





100 ) 10 (

01 . 0 0

100 0 ) 10 (

01 . 0

s s s

s

W_n ^{n n}

n

n n

A B

W C D

 

  

  _^

























01 . 0 0

949 . 0 0

0 01

. 0 0

949 . 0

949 . 0 0

100 0

0 949

. 0 0

100



Blok Diagram dan Sistem Loop

Tertutup pada Sistem Massa Pegas

K P W

o

W_i

z_i(outputW_i) w_i

(disturbance)

u

1



 





2 1

x x x



 





2 1 o o

o z

z z

W

n



 





2 1

y y y



 





2 1

2 n

w n

G

K

1 2

 

 

  w w

u1 ¹

2

y y

  

 

i o

z z

  

 

State Space dari Fungsi Bobot

Wi

 Untuk

Untuk

1 1

i i i i

i i i i

x A x B u z C x D u

 

 



W

 Untuk

 Untuk Untuk P

Wo

1 1

1 1

( ( ))

( ( ))

o o o o o o o p p p

o o o o o o o p p p

x A x B A x B C x D u z C x D C x D C x D u

     

     

x w

x w



Wn

2 2

n n n n

n n n

x A x B n C x D

 

 

w w



1 1

1 1

.

w D u

D x

C y

w B u

B x

A x

p p

p p p

p p

p p p















Generalized plant

x 



1 2

1

0 0

0 0 0 0

0 0

0

0 0

0 0 0

0 0 0

D u B B

w w

B D

B

x x x x

A A

C B

A A

x x x x x

P p i

n p

p

n o p i

n o p

o p i

n o p i





















 





















































































1 2

1

0 0 0

0 0

0 0

0 u

D D

D w

w D

D x

x x x C

C D C z

z z

p o

i p

o n

o p i

o p o i o

i 



 







 







 























 







 





   

1

2

0 1

0 D u

w D w D

x x x x C C

n x

y _{p n p}

n o p i

n

p 



 



 









































22 21

2

12 11

1

2 1

) (

D D

C

D D

C

B B

A s



G

Kesimpulan



Untuk kontrol H

₂

dengan nilai norm:



Untuk kontrol dengan nilai norm:



Untuk kontrol dengan nilai norm:

7361 .

2 1 Tzw

H

2

H



9515 .

 0



Tzw