Dasar-dasar Optimasi Optimasi Linier

(1)

1

8/24/2003 [email protected] 1

Dasar-dasar Optimasi

Optimasi Linier

diambil dari buku

Introduction to Operations Research, Sixth Edition, Frederick S. Hillier, Gerald J. Lieberman, McGraw-Hill, Inc., International

Editions, Industrial Engineering Series, 1995

KPB Tiga P3A

• Sebuah satuan wilayah irigasi mempunyai tiga organisasi P3A (Persatuan Petani Pemakai Air)

• Wilayah ini dikelola secara bersama oleh sebuah KPB (Kantor

Pengelolaan Bersama)

• KPB ini akan merencanakan produksi pertanian yang akan ditanam untuk tahun mendatang

Ketersediaan Sumberdaya

• Produksi pertanian terkait dibatasi oleh ketersediaan lahan dan air irigasi yang disediakan oleh pemerintah

375 300

3

800 600

2

600 400

1

Alokasi air (10³m³) Lahan (ha)

P3A

Produksi Pertanian

• Produksi pertanian yang cocok untuk daerah ini adalah cabai, jagung, padi.

• Ketiga jenis tanaman ini berbeda kebutuhan airnya maupun keuntungan bersih tiap ha.

• Departemen Pertanian menetapkan kuota luas lahan untuk masing- masing jenis tanaman.

Keterbatasan sumberdaya

250 1

325 Cabai

750 2

500 Jagung

1000 3

600 Padi

Keuntungan bersih (juta/ha) Kebutuhan air

(10³m³) Luas

Lahan (ha) Tanaman

• Karena ketersediaan air terbatas, maka KPB tidak akan dapat mengairi seluruh lahan dengan air yang tersedia

Aturan Kelompok

• Dari aspek sosial-kemasyarakatan, untuk menjaga persamaanantar P3A, maka telah disepakati bahwa dalam masing-masing P3A daerah yang diusahakan harus sama prosentasenya terhadap tanah yang tersedia.

• Contoh: jika P3A 1 mengolah 200 ha dari luas tersedia 400 ha, maka P3A 2 harus mendapat 300 ha dari yang tersedia 600 ha, dan maka P3A 2 harus mendapat 150 ha dari yang tersedia 300 ha.

• Dalam masing P3A kombinasi tanaman yang boleh ditanam tidak dibatasi.

(2)

2

Tujuan

•

KPB harus menentukan tanaman apa dan berapa luasnya untuk masing-masing P3A sehingga:

keuntungan total ketiga P3A maksimum

memenuhi setiap kendala yang dijumpai di lapangan

Perancangan

• Variabel keputusan:

Luas lahan untuk masing-masing tanaman dan P3A

P3A 3 P3A 2

P3A 1 Tanaman

x₈ x₈

x₇ Cabai

x₆ x₅

x₄ Jagung

x₃ x₂

x₁ Padi

Luas Lahan (ha)

Formulasi

• Keuntungan bersih padi 1000 (x₁+x₂+x₃)

• Keuntungan bersih jagung 750 (x₄+x₅+x₆)

• Keuntungan bersih cabai 250 (x₇+x₈+x₉)

• Fungsi Tujuan

Max Z= 1000 (x₁+x₂+x₃) + 750 (x₄+x₅+x₆) + 250 (x₇+x₈+x₉)

Kendala

•

Lahan (ha) tersedia tiap P3A:

x₁

+ x

₄

+ x

₇≤

400

x₂

+ x

₅

+ x

₈≤

600

x₃

+ x

₆

+ x

₉≤

300

•

Alokasi air (10

³

m

³

) untuk tiap P3A: 3x

₁

+ 2x

₄

+ x

₇≤

600

3x

₂

+ 2x

₅

+ x

₈≤

800 3x

₃

+ 2x

₆

+ x

₉≤

375

Kendala

•

Kuota luas (ha) masing-masing tanaman:

x₁

+ x

₂

+ x

₃≤

600

x₄

+ x

₅

+ x

₆≤

500

x₇

+ x

₈

+ x

₉≤

325

• Persamaan

untuk tiap P3A:

300 600

400

9 6 3 8 5 2 7 4

1 x x x x x x x x

x + + = + + = + +

Kendala

•

Non-negatif: x

_j≥

0, j = 1,2,3,…,9

•

Kendala persamaan harus diubah menjadi:

3(x

₁

+ x

₄

+ x

₇

) = 2(x

₂

+ x

₅

+ x

₈

)

4(x

₃

+ x

₆

+ x

₉

) = 2(x

₂

+ x

₅

+ x

₈

)

(3)

3

Formulasi Lengkap

• Max Z= 1000 (x1+x2+x3) + 750 (x4+x5+x6) + 250 (x7+x8+x9)

• kendala:

1. x1 + x4 + x7≤400 2. x2 + x5 + x8≤600 3. x₃+ x₆+ x₉≤300 4. 3x1 + 2x4 + x7≤600 5. 3x2 + 2x5 + x8≤800 6. 3x3 + 2x6 + x9≤375 7. x1 + x2 + x3≤600 8. x4 + x5 + x6≤500 9. x₇+ x8 + x9≤325 10. 3(x1 + x4 + x7) = 2(x2 + x5 + x8) 11. 4(x3 + x6 + x9) = 2(x2 + x5 + x8)

• catatan: kendala 2 dan 3 sudah dipenuhi oleh kendala 10 dan 11

Formulasi Lengkap

• Max Z= 1000 (x₁+x₂+x₃) + 750 (x₄+x₅+x₆) + 250 (x₇+x₈+x₉)

• kendala:

1. x₁+ x₄+ x₇≤400 2. 3x1 + 2x4 + x7≤600 3. 3x₂+ 2x₅+ x₈≤800 4. 3x3 + 2x6 + x9≤375 5. x₁+ x₂+ x₃≤600 6. x4 + x5 + x6≤500 7. x₇+ x₈+ x₉≤325

8. 3x1 + 3x4 + 3x7- 2x2 - 2x5 - 2x8= 0 9. 2x₃+ 2x₆+ 2x₉-x₂-x₅-x₈= 0 10.x_j≥0, j= 1,2,3,…,9

Formulasi dengan Lindo 1

! Contoh 1: Regional Planning, IOR p.48

! Maksimumkan keuntungan bersih, dengan X adalah luas tanah

! yang ditanami satu jenis tanaman di daerah pengairan tertentu

!

Max 1000 X1 + 1000 X2 + 1000 X3 + 750 X4 + 750 X5 + 750 X6 + 250 X7 + 250 X8 + 250 X9 st

!

! 1. Tanah yang dapat ditanami di setiap daerah pengairan X1 + X4 + X7 <= 400

! X2 + X5 + X8 <= 600 tidak digunakan karena ada

! X3 + X6 + X9 <= 300 kendala No.4

!

! 2. Jatah air di setiap daerah pengairan 3 X1 + 2 X4 + X7 <= 600 3 X2 + 2 X5 + X8 <= 800 3 X3 + 2 X6 + X9 <= 375

!

!3. Jumlah luas setiap jenis tanaman X1 + X2 + X3 <= 600 X4 + X5 + X6 <= 500 X7 + X8 + X9 <= 325

!

!4. Persamaan proporsi daerah yang ditanami 3 X1 + 3 X4 + 3 X7 – 2 X2 – 2 X5 – 2 X8 = 0 X2 + X5 + X8 – 2 X3 – 2 X6 – 2 X9 = 0

! 4 X3 + 4 X6 + 4 X9 – 3 X1 – 3 X4 – 3 X7 = 0 “redundant constraint”

End

Formulasi dengan Lindo 2

Max 1000 X1 + 1000 X2 + 1000 X3 + 750 X4 + 750 X5 + 750 X6 + 250 X7 + 250 X8 + 250 X9 st

X1 + X4 + X7 <= 400 3 X1 + 2 X4 + X7 <= 600 3 X2 + 2 X5 + X8 <= 800 3 X3 + 2 X6 + X9 <= 375 X1 + X2 + X3 <= 600 X4 + X5 + X6 <= 500 X7 + X8 + X9 <= 325

3 X1 + 3 X4 + 3 X7 – 2 X2 – 2 X5 – 2 X8 = 0 X2 + X5 + X8 – 2 X3 – 2 X6 – 2 X9 = 0 End

Hasil dengan Lindo

LP OPTIMUM FOUND AT STEP 0 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 633333.3

VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 133.333328 0.000000 X2 100.000000 0.000000 X3 25.000000 0.000000 X4 100.000000 0.000000 X5 250.000000 0.000000 X6 150.000000 0.000000 X7 0.000000 83.333336 X8 0.000000 83.333336 X9 0.000000 83.333336 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 166.666672 0.000000 3) 0.000000 333.333344 4) 0.000000 333.333344 5) 0.000000 333.333344 6) 341.666656 0.000000 7) 0.000000 83.333336 8) 325.000000 0.000000 9) 0.000000 0.000000 10) 0.000000 0.000000