DESAIN DAN ANALISIS ALGORITMA

DESAIN DAN ANALISIS ALGORITMA

Oleh:

Zulfikar Sembirin

PERTEMUAN 4

CORRECTNESS OF ALGORITHM

INTRODUCTION

• Correctness of Algorithm merupakan suatu Teknik dalam melakukan analisis terhadap suatu algoritma.

• Dimana Teknik ini membuktikan apakah suatu algoritma adalah valid (benar) atau invalid (salah)

INDUKSI MATEMATIKA (IM)

• Filosofi IM

[Barisan Orang]

• Pertanyaan: Orang Apakah Anda?

INDUKSI MATEMATIKA (IM)

• Kasus I

Tanya Orang ke-1 di barisan Jawab : Orang Inggris

Apakah itu berarti seluruh orang dibarisan adalah orang Inggirs??

Belum Tentu !!!

• Kasus II

Tanya Orang ke-n di barisan Jawab : Orang Jepang

Apakah itu berarti seluruh orang dibarisan adalah orang Jepang??

Belum Tentu !!!

INDUKSI MATEMATIKA (IM)

• Kasus III

Tanya Orang ke-1 di barisan Dan Tanya Orang ke-n di barisan Jawab : Orang Arab

Apakah itu berarti seluruh orang dibarisan adalah orang Arab??

Belum Tentu !!!

Namun Probabilitasnya :

(2 x Kasus 1) xor (2 x Kasus 2)

INDUKSI MATEMATIKA (IM)

• Kasus IV

Tanya Orang ke-1 sampai dengan Orang ke-n di barisan Jawab : Orang Indonesia

Apakah itu berarti seluruh orang dibarisan adalah orang Indonesia??

Ya !!!

INDUKSI MATEMATIKA (IM)

• Kasus IV

Tanya Orang ke-1 sampai dengan Orang ke-n di barisan Jawab : Orang Indonesia

Apakah itu berarti seluruh orang dibarisan adalah orang Indonesia??

Ya !!!

PRINSIP INDUKSI MATEMATIKA

• Apabila ada claim (pernyataan yang belum terbukti) mengenai suatu usuan algoritma (Proposed Algorithm) maka:

1.Buktikan Algoritma tersebut untuk kasus pertama.

Gunakan Base Case, dimana n = 1 .

2.Buktikan Algoritma tersebut untuk kasus ke n+1.

Gunakan Inductive Step, dimana n + 1 .

• Apabila 1 dan 2 valid  Claim Valid

CONTOH

• Claim

𝟏 + 𝟐 + 𝟑 + ⋯ + 𝒏 = 𝒏^𝟐 + 𝒏 𝟐

= 𝒏^𝟐 + 𝒏 𝟐

KIRI KANAN

PEMBUKTIAN

• Base Case, n =1

• Kiri =

• Kanan =

𝑛² + 𝑛 = 1² + 1

2 2 = 1

•  Kiri = Kanan  Base Case (BC) Valid

PEMBUKTIAN

• Inductive Step, n + 1

• Kiri =

Substitusikan dengan kanan

= ^{𝑛2+ 𝑛} + 𝑛 + 1 = ^{𝑛2+ 𝑛} + 2𝑛 + 2

= ^{𝒏𝟐+ 𝟑𝒏 +𝟐}

2 2 2 𝟐

•

_{Kanan =} ^(𝑛+1)2 + (𝑛+1)

= ^𝑛2+ 2𝑛 + 1+ 𝑛 +1

= ^{𝒏𝟐+ 𝟑𝒏 + 𝟐}

2 2 𝟐

•  Kiri = Kanan  Inductive Step (IS) Valid

•  BC & IS Valid  Claim Valid

CONTOH

• Claim

𝟏^𝟐 + 𝟐^𝟐 + 𝟑^𝟐 + ⋯ + 𝒏^𝟐 = 𝒏(𝒏 + 𝟏)(𝟐𝒏 + 𝟏) 𝟔

= 𝒏(𝒏 + 𝟏)(𝟐𝒏 + 𝟏) 𝟔

KIRI KANAN

PEMBUKTIAN

• Base Case, n =1

• Kiri =

=1

• Kanan = 𝑛(𝑛 + 1)(2𝑛 + 1)

= 1(1 + 1)(2.1 + 1)

= 1(2)(3) 6

= 6 = 1

6 6 6

•  Kiri = Kanan  Base Case (BC) Valid

PEMBUKTIAN

• Inductive Step, n + 1

• Kiri =

Substitusikan dengan kanan

= 𝑛 (𝑛+1)(2𝑛+1)

+ 𝑛² + 2𝑛 + 1 = 𝑛 (𝑛+1)(2𝑛+1)

+ ^{6𝑛2+12𝑛+6}

6 6 6

= ^{2𝑛3 + 3𝑛2 + 𝑛} + ^6𝑛2 + 12𝑛 + 6

= ^{𝟐𝒏𝟑 + 𝟗𝒏𝟐 + 𝟏𝟑𝒏 + 𝟔}

6 6 𝟔

•

_{Kanan =}(𝑛+1)((𝑛+1)+1)(2(𝑛+1)+1)

= (𝑛 + 1)(𝑛 + 2)(2𝑛 + 3)

6 6

= ^𝑛2 + 3𝑛 + 2 . (2𝑛 + 3)

= ^{2𝑛3 + 3𝑛2 + 6𝑛2} + 9𝑛 + 4𝑛 + 6

= ^{𝟐𝒏𝟑 + 𝟗𝒏𝟐 + 𝟏𝟑𝒏 + 𝟔}

𝟔

6 6

•  Kiri = Kanan  Inductive Step (IS) Valid

•  BC & IS Valid  Claim Valid

ANY QUESTION…?

TUGAS

• Buktikan Claim berikut ini valid atau tidak.

𝑥^𝑛+1 − 1

𝑥− 1 ; 𝑥≠ 1 𝑑𝑎𝑛 𝑛 ≥ 0

=

LATIHAN

BUATLAH RANGKUMAN DARI JURNAL TENTANG CORRECTION OF ALGORITHM

See You Next Week….

Thank You for Your Attention